Содержание к диссертации
ВВВДЕШЇЕ 2
ГЛАВА І. Уравнения движения гирокомпаса в кардановом подвесе с однозначными общими интегралами II
§ І.І. Постановка задачи II
§1.2. Уравнения движения гирокомпаса в кардановом подвесе 12
§1.3. Частные решения уравнений движения 17
§ 1.4. Исследование общего решения на однозначность.. 19
ГЛАВА 2. Асимптотическое интегрирование уравнений движения гирокомпаса в кардановом подвесе 26
§2.1. Интегрирование эволюционных уравнений 26
§ 2.2. Периоды эволюционных движений 39
ГЛАВА 3. Исследование динамики гирокомпаса на торсионном подвесе 54
§ 3.1. Уравнения движения гирокомпаса с неидеальными упругими подшипниками ротора 55
§ 3.2. Уравнения вибрации 62
§3.3. Собственные частоты гирокомпаса 68
§ 3.4. О прецессионных уравнениях гирокомпаса на торсионном подвесе 86
ГЛАВА 4. Влияние погрешностей изготовления подшипников ротора на точность гирокомпаса 90
§ 4.1. Структура точных уравнений 90
§4.2. Погрешности гирокомпаса 100
ЗАКЛЮЧЕНИЕ III
ЛИТЕРАТУРА ИЗ
ПРИЛОЖЕНИЕ 125
Введение к работе
Наземные гирокомпасы созданы немногим более тридцати лет назад для нужд маркшейдерского дела J[75,I02 J . Область их применения за эти годы значительно расширилась. Наземные гирокомпасы дают достаточно точные показания в маркшейдерском деле, геодезии, артиллерии. Для дальнейшего совершенствования высокоточных приборов уже недостаточно хорошо разработанной линейной теории наземных гирокомпасов. Возросшая сложность конструкции, высокие требования, предъявляемые в настоящее время к точности показаний приборов заставляют вновь обратиться к вопросам динамики, но на более глубоком уровне с учетом очень тонких эффектов, связанных с нелинейностью уравнений, с наличием внутренних возмущений, конечных жесткостей конструктивных частей чувствительного элемента гирокомпаса.
Первый наземный гирокомпас был создан в 1950 г. [75 J на основе морского гирокомпаса. Поэтому невозможно говорить о состоянии теории наземных гирокомпасов, не касаясь основных этапов развития морских гирокомпасов. Более того, основная часть линейной теории может быть перенесена на наземные гирокомпасы. Основополагающими работами здесь были работы отечественных и зарубежных ученых в области прикладной гироскопии А.Н.Крылова [72] , Б.В.Булгакова [20] , Б.И.Кудревича [73] , Шуллера [125] . Уже на этом этапе были известны характер движения в окрестности положения равновесия, периоды движений, декременты затухания при наличии демпфирования.
-3 С самого начала развития теории и практики морских гирокомпасов было наиболее важным выявление девиаций, связанных с разнообразными движениями основания и, в особенности, уоловий не-возмущаемости и девиаций, когда эти условия невыполнены. Большой обзор по этим работам дан в [14 ]. Это работы А.Ю.Ишлинского [48-50J , В.Н.Кошлякова [68,70,71J , Климова Д.М. [ 55 ] , Меркина Д.Р. [83 ] , Ю.К.Жбанова [33-35] , Г.Д.Блюмина, М.В.Чичинадзе [I5J , В.П.Василенко, С.М.Онищенко [28 ] , В.Ф.Ляшенко [во] и многие другие.
В дальнейшем развитие теории пространственных гирокомпасов были затронуты вопросы устойчивости невозмущенного движения, несферичности Земли, несовершенства реализации кинематических схем, влияния трения, люфтов, конечных жесткостей и инерции элементов гирорамы и многие другие.
Наземные гирокомпасы в отличие от морских эксплуатируются на неподвижном относительно Земли основании. Это внесло значительные изменения в конструкцию первоначальных образцов и посталило перед механикой задачи иного характера, решению которых посвятили свои труды многие советские ученые и инженеры В.Н. Лавров [ 75,76 ] , М.А.Сергеев [l02 ] , И.Б.Житомирский f36 J , П.А.Ильин [45], С.Р.Селезнев [iOl] , В.П.Василенко, М.Е.Темчен-ко[29] и друтие. Теория наземных гирокомпасов посвящена также значительное число работ зарубежных авторов Реллесмана, Швендера и других.
Как отмечается в [102, с.З] / практика создания и применения наземных гирокомпасов выдвинула ряд проблем: а) разработка обобщенной теории; б) исследование и выявление оптимальных методов определения положения равновесия чувствительного элемента; в) построение теории девиации; г) влияние вибрации на показания гирокомпасов; д) исследование методов автоматической выставки ориентируемых объектов по гироскопическому азимуту". Монография М.А.Сергеева посвящена в основном построению обобщенной теории движения чувствительного элемента, излагается теория девиаций от внешних возмущений, а также рассмотрены уравнения движения с некоторыми негладкими нелинейностями. В круг решаемых механикой задач следует отнести вопросы а), в), г).
Работы, по влиянию нутаций, вибраций, вызванных неидеальностью форм подшипников, различными дебалансами роторов на точночть ность гироскопических приборов [81,124,54,58,60,103,110,111, 39-41, I8,6I,I08j показывают важность учитывания таких явлений. В приложении к наземным гирокомпасам эти вопросы на строгом уровне не были исследованы. В свою очередь исследования такого рода явлений невозможно без развития нелинейной теории наземных гирокомпасов.
В гироскопии решено немало нелинейных задач, обзор \_1 литературы по ним приведен в работе Н.В.Бутенина, Д.М.Климова, Я.Л.Лунца, Н.П.Степаненко [24] .
Отметим работы, касающиеся теории гирокомпасов. Это работы В.П.Василенко, С.М.Онищенко [28J , Ю.К.Жбанова [34 J , где црово-дится точное интегрирование прецессионных уравнений движения гирогоризонткомпаса на произвольно движущемся объекте в прёдг-положенииЬсонечного угла поворота в азимуте. Наиболее близкими по исследованию нелинейных свойств уравнений наземных гирокомпасов являются работы А.М.Летова [78] , 1952 г., где решение прецессионных уравнений гироскопа в кардановом подвесе установленного на экваторе (или гирокомпас Анщютца) сводится к квадратурам без предположения о малости углов поворота подвеса, А.Бегена [l2j , где показана эквивалентность движения гирокомпаса и маятника, Н.В.Бутенина [22] , Н.В.Бутенина и А.М.Лестева [26 J , И.Н.Щитова flI8j , Х.Л.Смолицкого [l04,IQ5] , В.П.Веденина [зо] , Я.Л.Лунца [79J , В.П.Ильчанинова и В.Г.Тере-шина [46,47 J , В.И.Бурлакова и А.М.Бурлаковой [4б, А.М.Лестева [77J . В статье В.П.Ильчанинова и В.Г.Терешина [2jJ полные уравнения движения гирокомпаса Фуко интегрируются точно в эллиптических функциях. Таким образом, развитие нелинейной теории гирокомпасов вплотную подводит цк исследованию полных уравнений более сложных механических систем, моделирующих наземные гирокомпасы.
В гироскопии и механике твердого тела также немало примеров, когда построены точные решения исследуемых уравнений в общем или частных случаях, методы построения которых могут быть использованы в аналогичных случаях. Исследование возможностей точного интегрирования уравнений движения имеет теоретическое и практическое значение. Механика тщательно коллекционирует случаи интегрируемых систем. Нередко точное интегрирование значительно упрощает г___ исследование нелинейных уравнений и имеет свои преимущества.
Прежде всего точное решение задачи служит эталоном для приближенных методов. Примером тому могут быть работы [ 58,41J , где с помощью точных решений уравнений движения гироскопа уточняются формулы ухода Магнуса. Во-вторых, точные решения могут служить начальным приближением для более сложных задач, с помощью приближенных методов можно выяснить поведение системы в окрестности известных частных решений [59] .
В 1-ой и 2-ой главах исследуются полные нелинейные уравнения движения гирокомпаса с кардановым подвесом гиромотора, который будем называть гирокомпасом в кардановом подвесе. Как показано в главе 3, асимптотическое интегрирование уравнений движения гирокомпаса с торсионным подвесом чувствительного элемента пред -6 ставляющего более сложную механическую систему, приводит к решению тех же уравнений. Поэтому более глубокое изучение свойств уравнений гирокомпаса на простой модели представляет не только теоретический интерес.
Точное интегрирование, как правило, удается в тех случаях, когда известно достаточное число первых интегралов движения. Согласно теореме Лиувилля, гамильтдшва система с степе нями свободы интегрируема, если существуют П независимых первых интегралов в инвд&шции f4 ] . Для интегрируемостии исследуемой гамильтоновой системы с тремя степенями свободы необходимо существование одного независимого от интеграла энергии и циклического интеграла собственного вращения ротора. Если в уравнениях положить скорость вращения Земли равной нулю, то получится интегрируемая система, недостающим интегралом будет в этом случае еще один циклический интеграл. Интегрируемый случай - уравнения движения гирокомпаса Фуко - получим за счет уменьшения степеней свободы, если устремить к бесконечности маятниковость системы [47 J . Таким образом, также как и в задаче о движении твердого тела около неподвижной точки имеются некоторые частные случаи интегрируемости. Возникает вопрос: нет ли еще каких-либо случаев, когда существует дополнительный интеграл.
Наводящие мысли при ответе на этот вопрос могут появиться при решении задачи о ветвлении общего решения уравнений. Именно этот путь поиска случаев, когда решение может быть выражено в мероморфных функциях времени, привел С.В.Ковалевскую к открытию нового случая интегрируемости ГбЗ,32Ї . Как оказалось, уравнения движения твердого тела около неподвижной точки имеют недостающий первый интеграл лишь в тех случаях, когда общее решение может быть выражено в однозначных
функциях комплексного времени [94] . Аналогичная работа проделана Ю.А.Архангельским для твердого тела в ньютоновском поле тяжести [ 5-7 J .
Как известно [64,65,44j , ветвление решений препятствует интегрируемости. Это значит, что если одна из координат как функция комплексного времени испытывает скачок при обходе по замкнутому контуру в комплексной плоскости независимого- переменного, то тогда независимого от интеграла энергии однозначного первого интеграла не существует. Условия отсутствия ветвления решения дают необходимые условия интегрируемости уравнений, так как из однозначности решения не всегда следует интегрируемость. К примеру, уравнение О + ho+ 0=0 имеет однозначное решение, но первого интеграла при пфО не существует. Отметим еще одну сторону связи проблемы точного интегрирования и однозначности: решение уравнений с однозначными общими интегралами сводится к составлению уравнений для целых функций,отношение которых дает решение задачи.
В 1-ой главе диссертации получены необходимые условия однозначности общего решения уравнений движения гирокомпаса в кардановом подвесе методом вариации частного решения. При этом показано, что некоторые условия оказываются достаточными.JB общем случае, когда скорости вращения Земли и ротора отличны от нуля, общее решение не может быть выражено в однозначных функциях времени.
В связи с полученными в первой главе результатами возникает задача ассимтотического интегрирования уравнений движения гирокомпаса в кардановом подвесе. В гироскопии такого типа задачи -решаются либо с помощью метода осреднения [l6,84] путем сведения к регулярно возмущенным уравнениям, либо те же уравне -8 ния сводятся к сингулярно возмущенным и используется метод А.Н.Тихонова Jl07J . В указанной задаче применимы оба метода. Уравнения движения гирокомпаса представлены в диссертации в виде регулярно возмущенных уравнений свободного [_ гироскопа в неподвижной системе координат. Как известно [87,58J , невозмущенные уравнения интегрируемы, решение задачи сводится к обращению гиперэллиптических квадратур, и может быть использовано для построения асимптотического решения при любых начальных данных, малым параметром служило бы отношение скоростей вращения Земли и ротора. В диссертации уравнения исследуются в предположении малости скоростей нутации, при этом углы поворотов рамок подсеса считаются конечными. Эволюционные уравнения точно интегрируются, вычисляются периоды прецессионных колебаний с учетом конечности амплитуд колебаний и нутационных движений чувствительного элемента.
В действительности свободные нутационные колебания быстро затухают, остающиеся высокочастотные колебания чувствительного элемента вызваны неидеальностью поверхностей качения шариковых подшипников ротора. В силу нелинейных эффектов вибрации могут привести І } к уходам f 401 или к изменению положения равновесия, что ухудшает точность прибора. Поэтому особое значение для практики имеет исследование влияния внутренних возмущений, обусловленных вращением ротора в неидеальных по форме подшипниках на точность гироскопических приборов [52 ].
В гироскопии теория неидеальных подшипников разработана в работах В.Ф.Журавлева 37,40j . Им предшествовали работы Л.З.Новикова [88,89] , С.А.Харламова [lII,II2J , в которых исследуются соожные вопросы статики и динамики ротора в идеальных упругих шариковых подшипниках. Влияние неидеальности обработки подшипников рамок подвеса исследовано В.В.Филатовым (lQ8J . В работах А.Ю.Беляева, В.Е.Петренко, Ю.В.Радыша [l3j , М.А.Павловского, В.Е.Петренко [ 94 J теория неидеальных шарикоподшипников используется для диагностики состояния подшипников и осевого натяга, одной из главных величин, определяющих спектр собственных частот гиромотора.
Во второй части диссертации ставится задача исследавания вибрации гирокомпаса на торсионном подвесе и систематических погрешностей определения азимута, вызванных внутренними возмущениями. При исследовании динамики ротора в неидеальных подшипниках1 ;• неизбежно приходится учитывать конечную жесткость его опор.
Задача определения собственных частот подвешенного на тор-сионе гиромотора с учетом упругости опор ротора тесно связана с этими вопросами и проблемой диагностики И состояния параметров подшипников в собранном гироскопе.
Собственные частоты наземного гирокомпаса с торсионным подвесом чувствительного элемента [101,102J без учета упругости опор ротора получены приближенно в статье В.П.Василенко,М.Е.Тем-ченко [ 29J .
Таким образом, в диссертации -получены необходимые условия однозначности общих интегралов уравнений движения гирокомпаса в кардановом подвесе, -проведено асимптотическое интегрирование уравнений движения гирокомпаса в кардановом подвесе, вычислены периоды прецессионных движений!, получены уравнения вибрации гирокомпаса на торсионном подвесе, приближенные формулы для собственных частот гирокомпаса с учетом упругости опор ротора,
-получены формулы связывающие среднее отклонение оси гирокомпаса из плоскости меридиана с коэффициентами Фурье поверхностей беговых дорожек.
