Введение к работе
Актуальность. Прогресе в области микроэлектроники, широкое применение вычислительной техники и развитие теории нелинейных явлений - все это оказало сильное влияние как на сами электрические цепи, так и на методы их проектирования и расчета. Качественное усложнение элементной базы с одновременным ужесточением требований к электро- и радиотехнической аппаратуре привело к усилению, особенно на этапе проектирования, роли математического моделирования.
Приближение результатов моделирования к процессам, протекающим в реальной электрической цепи, возможно при гармоничео-ком сочетании принципов построения модели электрической цапи и способов ее расчета. Корректное, с этой точки зрения, выполнение первого этапа моделирования, т.е. построение модели цепи , связано с необходимостью учета и использования таких специфических свойств и особенностей цепи, как статические и динамические нелинейные эффекты, дробно-рациональные зависимости параметров, неоднозначность характеристик элементов пепй и т.д.
Динамику модели, учитывающей все перечисленные особенности, описывает в' общем случае система нелинейных неавтономных нестационарных интегродифференциальных уравнений. Анализ существующих и широко используемых методов расчета таких уравнений динамики выявил следующее: " - критичность к форме описания динамики модели;
отсутствие, в силу выбранного аппарата исследования, возможности выявления характерных особенностей нелинейных явлений, таких как разрывы первого и второго рода, в том числе и дифференцируемые; *
отсутствие оценок достоверности результатов расчета;
невозможность использования для широкого класса цэпей и расчета различных режимов.
Таким образом, актуальна задача разработки метода расчета, ориентированного ка широкий класс нелинейных мотздей с произвольной (формой описания их динамики и обладающего потенциальной спозосностыэ выявления характерных особенностей нелинейних явления, а также обеспечивающего возможность опенкг результатов
При решении поставленной задачи перспективным является использование аппарата функционально-степенных рядов и обобщенных функций. Этот подход и нашел развитие в данной работе.
Диссертационная работа выполнена в соответствии с планом НИР С- Петербургского ЭТИ шд.В.И.Ульянова(Ленина) на 1989-1992 года к проводимой согласно программе " Информатизация образования и науки РСФЗР ".
Цель работы и задачи исследования. Целью диссертационной работы является разработка на основе выбранного аппарата исследования методики построения области существования точного решения уравнения динамики модели нелинейной неавтономной нестационарной электрической цепи с сосредоточенными параметрами.
Исходя из сформулированной цели, в диссертации определен следующий круг подлежащих решению задач:
і) разработка, в рамках выбранного аппарата исследования, процедуры определения существования и единственности решения уравнения динамики модели электрической цепи;
-
получение формул для верхней оценки локальной погреш-. ности расчета, возникающей на каждом шаге расчета и обусловленной заменой рада Тейлора, аппроксимирующего решение, полиномом конечного порядка;
-
получение формул для определения верхней границы полной погрешности расчета, т.е. погрешности после выполнения более чем одного шага расчета;
і) разработка на основе полученных оценок методики построения области существования точного решения уравнения динамики йодоли цэпи с заданным уровнем локальной и полной погрешности расчета;
-
формализация перечисленных процедур, в том числе и операций над степенными рядами, с целью оптимизации объема вычислений;
-
разработка процедуры выбора шага расчета и порядка полинома Тейлора, аппроксимирующего решение, как результат соответствия объективным свойствам модели цепи и субъективным тре-
бованиям заданной точности;
-
определение области численной устойчивости аналитичес-',пн-численного метода;
-
расширенна класса моделей, расчет которых возможен ча
основе функционально- степенных рядов.
Методы исследований. В диссертационной работе для решения поставленных задач используется аппарат обобщенных функций , обобщенного преобразования Лапласа и функционально-степенных рядов. Результаты работы получены с применением современной теории электрических цепей, качественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений и_теории численной устойчивости. Для аналитически-численного расчета переходных процессов использовалась вычислительная техника.
Научная новизна проведенных исследований состоит в следующем:
-
Разработана процедура, позволяющая пошагово и на основе аппарата функционально- степенных рядов определить существование и единственность решения нелинейного неавтономного интвгро-дифференпиального уравнения , описывающего динамику модели цепи.
-
Получены новые формулы для оценки остаточного члена формулы Тейлора. "
-
Получены рекррентные формулы для верхней оценки полной погрешности расчета нелинейного интвгродифференциалъного уравнения с помощью одношагового метода на основе функционально-степенных рядов.
-
Разработана методика построения области существования точного решения нелинейного неавтономного янтегродифЪеренцналь-пого уравнения.
-
ПоЛуЧвНЫ НОВЫе формулы ДЛЯ ОПреДвЛеНИЯ К0Э'№ПШ8НТ0П
ряда Тейлора, аппроксимирующего решение нелинейного интегролиФ-
ференниального уравнения. ^
-
Получены новые формулы для определения коэффициентов Результата при возведении ряда Тейлора в дробно-;: ".шнгжалі ну ю степень, а также при произведении рядов подобного типа.
-
В зависимости от совокупности объективных и субгзкшышх требований", предъявляемых к расчету, предложен способ автл?/л?ч~ ческого изменения шага расчета и порядка метода, осно/.янною нг аппарате функционально-степенных рядов.
6. Определена область численной устойчивое?:: метод-э, исп');;т.— зутаего для аппроксимации релэпи.ч' Функпясналько-с?9П2.<т]о рялч.
-.4--
9.. Разработана процедура расчега нелинейных моделей с но-вццеленной линейной частью, для расчета которцх использование фушспионально-стененных радов Тейлора ранее считалось невозможный.
Практическая ценность работы. Использование разработанной методики позволяет получить результат, имеющий качественное от-дпчае от результатов, получаемых при использовании других широко известных численных методов. Результатом расчета уравнения динамики модели электрической пени, при использовании разработанной методики, является не только приближенное решение, НО А построенная на его основе область, в которой гарантировано содержание точного решения уравнения динамики. Размеры этой облас ти могут регулироваться в зависимости от требований заданной точности, локальной или полной.
Для построения требуемой области разработана / в надо едакстгокного неравенства / удобная в пользовании процедура выбора шага расч&та, удовлетворяющая всему спектру предъявляемых требований. Выбранный таким образом шаг соответствует:
собственным свойствам модели электрической цепа;
требованиям выбранного аппарата исследования;
требованиям заданной точности; .
условиям численной устойчивости процедуры раячйта.
Предложенные формулы и способы построения области существования точного решения уравнения дикаиики достаточна полно формализованы и хорошо реализуемы на ЗБМ.
С цельо повышения степени универсальности используемого аппарата исследования, разработана процедура расчета нелинейных моделей с невыделенной линейной частью при нулевых предначальны; условиях.
Использование полученных результатов позволяет не только исследовать переходные проасссы в электрических цагшх, но и тестировать результаты ьаодаыровашя, полученные с помощь» гцугиїх. численных методов.
Выполненные в диссерганионной районе- исследования входят составной частью в комплекс научно-исследовательских работ, проводимых кафедрой Т0.Э С.-Петербургского ЭШ им. В.Н.Ульяноьа (Ленина).
Результаты исследований испяльзуются в учебной аро;г,-;-.'сс
_ 5 -
С.-Петербургского ЭТИ им.В.И.Ульянова ( Ленина) для студентов специальностей 18.01, 18.05, 21.07.
Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на научно-технических конференциях профессорско-преподавательского состава С.-Петербургского ЭТИ им. В.И,Ульянова (Ленина) в 1989-1992 гг.
Публикации. По теме диссертации опубликовано 5 статей. Кроме того, полученные результаты вошли в книгу Ю.А.Бычкова "Расчет систем управления на основе кусочно- степенных моделей. Анализ, синтез, оптимизация'', Л., Энергоатомлздат, 1991.
Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы, включающего.57 наименований. Основной текст работы изложен на 145 страницах машинописного текста. Работа содержит 15 рисунков и 10 таблиц.
