Содержание к диссертации
Введение
1. Современное состояние проблемы численного моделирования электромагнитных полей
1.1. Описание проблем в рассматриваемых классах электромагнитных, магнитоэлектрических и мехатронных систем 11
1.2. Анализ существующих численных методов расчета электромагнитных полей 16
1.3. Разработка и развитие программных продуктов по анализу магнитных полей 25
Выводы по главе 27
2. Вычислительный алгоритм расчета плоскопараллельного квазистационарного электромагнитного поля комбинированным методом конечных и граничных элементов 28
2.1. Постановка задачи 28
2.2. Математическая модель на основе системы уравнений Максвелла 31
2.3. Выбор метода 36
2.4. Формулировка задачи во внутренних нелинейных областях методом Галеркина 37
2.5. Дискретная модель на основе метода конечных элементов 39
2.6. Формулировка задачи во внешней линейной области 47
2.7. Дискретная модель на основе метода граничных элементов 48
2.8. Выбор способа реализации алгоритма нахождения плоскопараллельного магнитного поля комбинированным методом конечных и граничных элементов 56
2.9. Описание алгоритма, составленного на основе комбинированного метода конечных и граничных элементов 60
2.10.Вычисление силовых характеристик магнитного поля 64
2.11.Оценка сходимости комбинированного метода в задаче расчета стационарного магнитного поля 69
2.12.Результаты расчетов стационарного поля и силовых характеристик асинхронного тягово-подъемного модуля 78
Выводы по главе 83
3. Решение нелинейной задачи расчета плоскопараллельного квазистационарного электромагнитного поля комбинированным методом в магнитоэлектрических системах 84
3.1. Постановка задачи 84
3.2. Математическая модель электромагнитного поля на основе системы уравнений Максвелла 87
3.3. Формулировка задачи в нелинейных магнитомягких ферромагнетиках и постоянных магнитах 90
3.4. Дискретная модель на основе метода конечных элементов 91
3.5. Формулировка задачи вне нелинейных областей и ее дискретная модель на основе метода граничных элементов 97
3.6. Вычисление нормальных производных потенциала на границе... 100
3.7. Алгоритм на основе комбинированного метода конечных и граничных элементов для вычисления магнитного поля в магнитоэлектрических системах 103
3.8. Нахождение начального приближения намагниченности в прямоугольном постоянном магните магнитоэлектрической
системы 105
Выводы по главе 111
4. Алгоритмы расчета квазистационарного осесимметричного электромагнитного поля комбинированным методом 112
4.1. Постановка задачи 112
4.2. Математическая модель плоскомеридианного поля в системах с вихревыми токами 115
4.3. Формулировка задачи в нелинейных ферромагнитных областях и дискретная модель на основе метода конечных элементов 117
4.4. Формулировка задачи во внешней линейной области и дискретная модель на основе метода граничных элементов 122
4.5. Теорема о зависимости аппроксимации решения в комбинированном методе от количества граничных узлов 126
4.6. Использование граничных условий 136
4.7. Вычисление силовых характеристик поля в осесимметричной задаче 143
4.8. Алгоритмы решения осесимметричной задачи на основе комбинированного метода конечных и граничных элементов 147
4.9. Программный комплекс, реализующий КМКГЭ 152
4.10.Результаты расчетов 156
4.11 .Обобщение алгоритмов расчета плоскомеридианного поля на случай плоскопараллельного поля 163
Выводы по главе 164
Общие выводы по работе 166
Список используемой литературы
- Анализ существующих численных методов расчета электромагнитных полей
- Формулировка задачи во внутренних нелинейных областях методом Галеркина
- Математическая модель электромагнитного поля на основе системы уравнений Максвелла
- Формулировка задачи во внешней линейной области и дискретная модель на основе метода граничных элементов
Введение к работе
приходится перебирать большое количество вариантов для выбора наилучшей конструкции, что, как правило, удается с большими временными, материальными и энергетическими затратами. Поэтому актуальным является построение математических моделей, адекватно отражающих процессы в рассматриваемых устройствах, а также создание на их основе вычислительных алгоритмов и программных комплексов, заметно ускоряющих и удешевляющих процесс проектирования.
Получение силовых характеристик электромагнитных и магнитоэлектрических систем требует знаний о распределении магнитного поля в проектируемом устройстве. Наиболее распространенными численными методами для моделирования магнитного поля являются методы конечных разностей, конечных элементов, граничных элементов. Все эти методы по отдельности имеют недостатки, особенно ярко проявляющиеся при использовании устройств со сложной конфигурацией, перемещением частей устройства относительно друг друга, с ферромагнитными средами (нелинейность, вихревые токи), неограниченным в пространстве магнитным полем. В связи с этим возникает необходимость в применении более универсального комбинированного метода конечных и граничных элементов (КМКГЭ), сочетающего достоинства составляющих его методов и свободного от их недостатков.
КМКГЭ имеет следующие преимущества: сокращается размерность дискретной модели задачи; при перемещении ферромагнетика не требуется перестраивать сетку; существенно упрощаются расчеты полей «открытых» электромагнитных систем; имеется возможность параллельного выполнения этапов алгоритма. В известных модификациях КМКГЭ в общем случае вычисляются обратные матрицы, что приводит к большим затратам машинного времени. Отсюда вытекает необходимость разработки вычислительных алгоритмов на основе КМКГЭ, которые более полно учитывают достоинства метода.
Важное значение также имеет разработка прикладного программного обеспечения, реализующего расчет магнитного поля и силовых характеристик для возможно более широкого круга задач и устройств. Снижение размерности решаемых систем алгебраических уравнений в таких программах ведет к уменьшению вычислений и затрат памяти ЭВМ, к увеличению уровня сложности обрабатываемых устройств и к расширению парка компьютеров, на которых можно решать такие задачи. В ЭВМ программа должна также обеспечивать удобство использования, быстродействие, просмотр данных и результатов, простоту переключения режимов работы программы, возможность изменения геометрии области и других исходных данных в диалоговом режиме, привычность и унификацию пользовательского интерфейса в стиле приложений Windows, наглядный контроль за разбиением расчетной области и ходом выполнения программы.
Диссертационная работа посвящена построению вычислительных алгоритмов расчета магнитного поля комбинированным методом и разработке на их основе программных комплексов для решения на ЭВМ ряда задач электротехники. Такие программы позволяют в значительной степени заменить физические эксперименты на численное моделирование и, в итоге, сократить сроки, повысить качество проектирования новых устройств. Использование метода дает возможность сократить размерность дискретной модели на 2-3 порядка.
Диссертационная работа выполнена в рамках научного направления Южно-Российского государственного технического университета (Новочеркасского политехнического института) «Интеллектуальные электромеханические устройства, системы и комплексы», утвержденного ученым советом университета 25.01.1995 г. и 25.04.2001 г., и соответствует приоритетному направлению развития новых технологий «Компьютерное моделирование».
Цель и задачи исследования. Целью работы является создание комплексов программ для моделирования двумерных квазистационарных электромагнитных полей, обеспечивающих сокращение размерности дискретной модели и
7 стоимости проектирования электротехнических устройств, с учетом нелинейности магнитных характеристик и вихревых токов.
Для достижения этой цели решаются следующие основные задачи:
разработка эффективных вычислительных алгоритмов расчета двумерного квазистационарного магнитного поля на основе комбинированного метода конечных и граничных элементов;
исследование предложенных алгоритмов на сходимость, корректность, возможность уменьшения размерности дискретной модели;
построение математической модели, описывающей распределение плоскопараллельного магнитного поля в магнитоэлектрических системах с постоянными магнитами, имеющими нелинейные характеристики;
численная реализация комбинированной математической модели плоскомеридианного электромагнитного поля на основе функции магнитного потока и скалярного магнитного потенциала;
разработка комплексов программ, реализующих анализ поля и сил комбинированным методом конечных и граничных элементов с возможностью задания исходных данных в диалоговом режиме;
проведение компьютерного моделирования плоскопараллельных и плоскомеридианных полей для расчета силовых взаимодействий в выбранном классе электротехнических задач с учетом нелинейности магнитных характеристик и вихревых токов.
Методы исследования. Для решения сформулированных задач использовались: методы линейной алгебры, математического анализа и математической физики, численные методы решения систем алгебраических уравнений, численные методы решения дифференциальных уравнений в частных производных.
При расчете электромагнитных полей применяется комбинированный метод конечных и граничных элементов, основанный на синтезе метода конечных элементов и метода граничных элементов. Метод конечных элементов базируется на методе Галеркина, аппарате вариационного исчисления и функциональ-
8 .
ного анализа. В методе граничных элементов используются метод интегральных уравнений и метод коллокации.
Для решения систем алгебраических уравнений использовалась комбинация метода Гаусса и метода нижней релаксации. Аппроксимация производной по времени осуществляется методом конечных разностей.
Достоверность полученных результатов. Достоверность научных положений, сформулированных в диссертации, обеспечивается: согласованием результатов расчета с экспериментальными данными, сравнением с результатами тестирования в известных программных комплексах FEMM и Maxwell 2D Field Simulator.
Основные научные результаты и положения, выносимые на защиту.
Комбинированная математическая модель плоскопараллельного магнитного поля в магнитоэлектрических системах.
Вычислительные алгоритмы расчета двумерных квазистационарных магнитных полей комбинированным методом конечных и граничных элементов.
Теорема о зависимости аппроксимации решения в комбинированном методе от количества граничных узлов области (о существовании и единственности решения только при нечетном количестве граничных узлов).
Новые формулы и шаблоны для аппроксимации функций на границе вблизи угловых точек.
Принципы формирования и автоматической генерации сетки в комбинированном методе конечных и граничных элементов.
Научная новизна. Новизна научных результатов, полученных в диссертационной работе, заключается в следующем.
1. Построена математическая модель плоскопараллельного магнитного поля в магнитоэлектрических системах, позволяющая учитывать нелинейность характеристик постоянных магнитов, а также предложена двухэтапная методика расчета поля на основе этой модели.
Разработаны итерационные алгоритмы расчета плоскопараллельного и плоскомеридианного магнитного поля на основе комбинированного метода конечных и граничных элементов, позволяющие снизить размерность дискретной модели на 2-3 порядка, исключить громоздкую процедуру нахождения обратной матрицы, а также учесть нелинейные характеристики ферромагнетиков и вихревые токи.
Сформулирована и доказана теорема о зависимости аппроксимации решения в комбинированном методе от количества граничных узлов области, из которой следуют рекомендации по дискретизации границ раздела сред.
Получены новые шаблоны аппроксимации касательной производной на границе вблизи угловых точек при любом наклоне границ и неравномерной сетке, позволяющие повысить точность расчета магнитного поля.
Сформулированы принципы формирования и автоматической генерации узлов сетки и обмотки, конечных и граничных элементов в комбинированном методе, применение которых ведет к возможности расчета широкого круга электротехнических устройств в программном комплексе.
Практическая ценность работы заключается в создании программных комплексов для расчета плоскопараллельного и осесимметричного магнитного поля в кусочно-однородных нелинейных средах по более эффективному и универсальному алгоритму по сравнению с существующими. Пакеты программ, созданные на базе построенных алгоритмов, используются в ООО «БВН Инже-ниринг», в Техническом Университете Ильменау (Германия), в учебном процессе на кафедрах «Прикладная математика» и «Электрические и электронные аппараты» Южно-Российского государственного технического университета (Новочеркасского политехнического института).
Апробация работы. Основные результаты работы докладывались и обсуждались: на 2-м Всероссийском симпозиуме «Математическое моделирование и компьютерные технологии» (г. Кисловодск, 1998 г.); на Международной научно-технической конференции «Новые технологии управления движением технических объектов» (г. Новочеркасск, 1999 г.); на Международной польско-
германской конференции «Продукция мехатроники» (г. Краков, Польша, 2000 г.); на 47-м Международном научном коллоквиуме Технического университета Ильменау «Мехатронные нанотехнологии» (г. Ильменау, Германия, 2002 г.); на 3-й Международной научно-практической конференции «Интеллектуальные электромеханические устройства, системы и комплексы» (г. Новочеркасск, 2002 г.); на семинарах кафедры «Прикладная математика» ЮРГТУ (г. Новочеркасск).
Публикации. По результатам диссертации опубликовано 8 печатных работ.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, общих выводов, списка литературы и приложений. Общий объем диссертации состоит из 187 страниц, включая 41 рисунок и 2 таблицы. Список литературы включает 146 наименований использованных источников.
Анализ существующих численных методов расчета электромагнитных полей
Несмотря на относительную простоту конструкций электромагнитных и магнитоэлектрических систем, описание происходящих в них процессов требует применения сложного математического аппарата. В этих условиях роль теоретических исследований, связанных с расчетом электромагнитного поля в электромагнитных и магнитоэлектрических системах, существенно возрастает.
Проблемой расчета электромагнитных полей в нашей стране занимались: В.М. Алехин, В.И. Астахов, Ю.А. Бахвалов, Г.А. Гринберг, К.С. Демирчян, Е.П. Жидков, А.В. Иванов-Смоленский, О.Ф. Ковалев, Э.В. Колесников, П.А. Курбатов, И.Д. Маергойз, Л.Р. Нейман, К.М. Поливанов, Г.К. Птах, Б.Н. Сипливый, А.Н. Ткачев, О.В. Тозони, В.Л. Чечурин, Н.Х. Эркенов и др.
Математическое моделирование полей в технических устройствах может вестись аналитическими (с помощью формул) или численными (с получением дискретных значений величин) методами [2-7, 11-15, 17-120, 130, 132, 133].
В аналитических методах искомую функцию представляют в виде явной зависимости от исходных данных. Некоторые из этих методов получили большое распространение при решении краевых задач и стали классическими. Среди их достоинств следует выделить простоту выведенного выражения и возможность получения точного значения результата в любой точке расчетной области. К недостаткам относятся громоздкость аналитических преобразований (а следовательно, высокая вероятность ошибки) и узкая область применимости.
Поэтому во многих случаях прибегают к использованию численных методов, которые существенно расширяют класс решаемых задач и легко реализуются на ЭВМ. Но эти методы, как правило, требуют большого времени счета и на выходе имеют дискретный спектр значений, совокупность которых называется приближенным решением задачи. Любой численный метод включает ряд этапов: 1) выбор способа аппроксимации решения; 2) преобразование исходной задачи к какому-либо типу математической модели (интегральному уравнению, вариационному функционалу, системе дифференциальных уравнений и др.); 3) дискретизация математической модели; 4) решение дискретной модели.
На первом этапе приближенное решение представляется в виде линейной комбинации некоторых базисных функций. Например, в качестве базисных могут использоваться финитные функции или собственные функции функционального уравнения.
На втором этапе краевая задача преобразуется к какому-либо основополагающему, стержневому математическому соотношению. Среди таких способов можно выделить метод Бубнова-Галеркина, минимизирующий невязку (разность точного и приближенного решений) путем ее ортогонализации к базисным функциям; метод наименьших квадратов, в котором минимум квадрата невязки обеспечивается приравниванием нулю ее первых производных; метод интегральных уравнений, берущий за основу какое-либо уравнение типа Фред-гольма, известное в математической физике; метод коллокации, основанный на совпадении приближенного решения с точным в дискретных точках расчетной области (сетки), называемых узлами.
Третий этап характеризуется сведением полученных зависимостей к системе алгебраических уравнений. Так, можно заменять интегралы суммами (с помощью квадратурных формул); использовать формулы численного дифференцирования; выражать производные в зависимости от выбора базисных функций.
На четвертом этапе выбирается алгоритм решения полученной системы. Это могут быть прямые методы (Гаусса, прогонки и т.д.) и итерационные (последовательных приближений, Зейделя и др.). При решении нелинейных задач применение итерационных алгоритмов обязательно с использованием пересчета коэффициентов.
Для расчета электромагнитных полей наиболее широко в настоящее время применяются метод конечных разностей (МКР), метод конечных элементов (МКЭ), методы, основанные на интегральных уравнениях или теории цепей, а также комбинированные методы, использующие достоинства различных методов и свободные от их недостатков. При выборе численного метода следует учитывать особенности объекта исследования — систем электромагнитного подвеса, магнитоэлектрических или мехатронных систем, описанные в п. 1.1.
Основная идея МКЭ заключается в использовании на первом этапе приближенного решения в виде линейной комбинации финитных базисных функций, отличных от нуля в небольшой части расчетной области. На 2-ом этапе невязка чаще всего минимизируется проекционным способом Галеркина, реже — на основе вариационного подхода. На 3-ем этапе область разбивается на конечные элементы, в каждом из которых записываются уравнения с использованием финитных функций. Полученная система алгебраических уравнений обычно решается прямыми методами, а в случае нелинейности также итерационно с применением метода релаксации.
Метод конечных элементов в последние годы стал наиболее популярным ввиду наилучшего учета нелинейных характеристик сред. Об этом свидетельствуют большое число отечественных и зарубежных работ [12, 14, 15, 28-35, 42, 43,69-96,124,126,128].
В [28] рассмотрены особенности применения МКЭ для расчета электромагнитных полей в движущихся средах, а также рекомендована комбинация МКЭ с вариационным методом Треффца. В [29] построен алгоритм численного решения задачи расчета вихревых токов на основе вариационного принципа и конечноэлементной дискретизации области. В [30] показано, что влияние подвижных элементов устройств на распределение магнитного поля в системе может быть исследовано с помощью МКЭ с подвижной сеткой. Использование подвижных сеток значительно упрощает численное решение задач и целесообразно при ограниченном периодическом или нестационарном движении элемента устройства.
Формулировка задачи во внутренних нелинейных областях методом Галеркина
Однако для приемлемой точности требуется брать полиномы высоких порядков, графики которых сильно колеблются между узловыми точками. Поэтому предпочтительнее использовать интерполяцию сплайнами (сплайн-функциями), которые на каждом отрезке между узловыми точками представляют собой многочлены более низкой степени, «склеенные» в узловых точках из условия непрерывности функции и ее производных. Пусть в некоторых дискретных точках известны пары значений (#,;#,) (i = \,N) и некоторые требования к гладкости функции. Наиболее оптимальную аппроксимацию дает кубический сплайн дефекта 1 [123]. Матрица для нахождения коэффициентов сплайна трехдиагональна, т.е. ненулевыми в ней являются только элементы главной и двух соседних диагоналей. Такую систему экономнее решать методом прогонки.
Выбор метода
Для данной задачи каждый в отдельности из известных методов оказывается неэффективным.
Рассмотрим метод конечных элементов (МКЭ). Основная идея метода состоит в том, что любую непрерывную величину можно аппроксимировать дискретной моделью, которая строится на множестве кусочно-непрерывных (финитных) функций, определенных на конечном числе подобластей (конечных элементов). МКЭ — удобный метод для решения нелинейных задач. Но если ферромагнитные тела передвигать друг относительно друга, приходится каждый раз строить новую сетку, что создает большие трудности для автоматизации разбиения на элементы. Невозможно также заранее указать внешнюю границу расчетной области, в пределах которой будет существенным рассеяние электромагнитного поля, поэтому границу приходится устанавливать в результате численных экспериментов, от чего страдает универсальность модели.
Рассмотрим метод граничных элементов (МГЭ). МГЭ — это метод интегральных уравнений, которые связывают граничные значения функции и ее нормальной производной на каждой части границы области (граничном элементе). Этот метод удобен для «открытых» систем, в которых внешняя граница удаляется в бесконечную точку. При перемещении тел без их деформации форма и локальные размеры границ не меняются, вследствие чего сетку можно строить всего лишь один раз. Но поскольку наша задача связана с нелинейностью, то решение МГЭ будет затруднено.
Отсюда возникает идея комбинированного метода конечных и граничных элементов (КМКГЭ). Суть данного метода заключается в следующем: в нелинейных ограниченных областях для решения используется МКЭ, а в линейных неограниченных областях — МГЭ. Таким образом, за счет лучшей дискретизации расчетной области КМКГЭ вбирает в себя достоинства обоих методов и освобождается от их недостатков, т.к. каждый из обоих методов используется там, где он наиболее эффективен. КМКГЭ имеет следующие преимущества: 1. Сокращается размерность дискретной модели задачи. 2. При перемещении ферромагнетика не требуется перестраивать сетку. 3. Существенно упрощаются расчеты полей «открытых» электромагнитных систем. 4. Имеется возможность параллельного выполнения этапов алгоритма: системы КМКГЭ могут решаться отдельно и параллельно, за счет чего уменьшаются требуемая память и время счета на ЭВМ. Применим метод Галеркина (или Бубнова-Галеркина) в области S . Для этого рассмотрим дифференциальное уравнение в данной области: div[v grad A\—
При рассмотрении подробнее этапов решения уравнения (2.9) описанную модель следует заменить дискретной математической моделью с помощью метода Галеркина. В отличие от известного подхода, основанного на минимизации функционала, метод Галеркина позволяет решать более широкий класс задач, для которых функционалы не существуют либо пока не найдены [124].
Будем минимизировать невязку (разность между точным и приближенным операторами) методом Галеркина: є = LA - LA — min, где значок « » означает приближенное выражение.
Для этого возьмем конечномерное подпространство с базисом {ff j(Q)}"=] и приближенно представим функцию А в виде линейной комбинации по базисным функциям:
Математическая модель электромагнитного поля на основе системы уравнений Максвелла
Предложенный в п. 2.10 алгоритм расчета поля в электромагнитной системе применим и для магнитоэлектрической системы с небольшими добавлениями. Алгоритм содержит следующие этапы на каждом временном слое [140]. 1. Задание начальных приближений для внешней нормальной производной потенциала, магнитной проницаемости в ферромагнетиках и намагниченности в постоянных магнитах: Q +(0) _ дп = б; /Г(0) = 1000/4,; М (0) = М0; где М0 в постоянном магните находится дополнительно (для прямоугольного магнита начальное значение намагниченности предложено определять по п. 3.8). 2. Решение системы МГЭ вне ферромагнетиков относительно внешних предельных значений потенциала на границе Г: Bi-%p=B2-Q++B3, где В3 — токовая добавка. 3. Нахождение внутренних предельных значений потенциала на границе магнитомягких ферромагнетиков и постоянных магнитов Л- =G1- +; A%=G2-A + . 4. Решение системы МКЭ внутри нелинейных ферромагнитных областей S и S относительно значений потенциала во внутренних точках: Сі А ч = С2 Л + С3,, ( = 1,и); 1(/) ВН(() (/) Гр(() J(,) \ п 104 Сд І/ , = С5 -А т + C6l Y (Л: = 1, р). ( ) ВН(0 Э( ) Щк) ( ) \ 4а. Применение метода релаксации по потенциалам: 5. Вычисление внутренних нормальных производных на границе Г: Q =D -А (/ = М); Q = D2 Л ( = ЇГр). 6. Нахождение внешних нормальных производных потенциала на границе 7. Пересчет магнитной проницаемости в ферромагнетиках и намагниченности в постоянных магнитах.
Здесь (п), (я-1) — номера итерации; є — заданная погрешность решения. Если критерий не выполняется, то расчет проводится на новой итерации, и процесс переходит на п. 2.
При решении системы МГЭ в п. 2 матрицы В.,, В2 и вектор токовой добавки Въ вычисляются поэлементно по формулам (2.30), (2.32), (2.33), (2.35), (2.28). При решении системы МКЭ в п. 4 матрицы C.,--C6 вычисляются поэлементно по формулам (2.19), (2.21), (2.21а), (2.216), (2.21 в), (2.22), (3.13). В пункте 3 матрицы G1 и G2 вычисляются поэлементно по формулам (3.22). В пункте 5 матрицы D- и D2 вычисляются поэлементно по формулам (3.24). В пункте 6 матрица G3 вычисляется поэлементно по формулам (3.25).
Начальное приближение намагниченности М в постоянных магнитах задается или определяется дополнительно, исходя из условий задачи. После нахождения распределения поля можно найти силовые характеристики в задаче.
Нахождение начального приближения намагниченности в прямоугольном постоянном магните магнитоэлектрической системы Для примера рассматривался расчет поля в конкретной магнитоэлектрической системе (электрическом аппарате), представленной на рисунке 3.4, для которой в области S , относящейся к постоянным магнитам, Му = 0. В постоянных магнитах намагниченность направлена параллельно оси от южного полюса (S) к северному (N). Магнитопровод МЭС состоит из двух прямоугольных постоянных магнитов, намагниченных навстречу друг другу, и магнитомягких ферромагнитных частей: сердечник, вокруг которого намотана катушка с током, и верхняя планка, переключаемая справа налево или слева направо. Верхнюю планку будем считать горизонтальной, пренебрегая небольшим изгибом в ее средней части.
Задача решалась в два этапа. На первом — определяются точки отхода на кривой размагничивания материала в различных сечениях постоянных магнитов, удаленных из намагничивающего устройства. На втором выполняется расчет магнитного поля МЭС, причем предполагается, что в каждом сечении магнитов зависимость М(в) определяется своей линией магнитного возврата.
Для вычисления намагниченности постоянного магнита до включения магнитоэлектрической системы нужно найти точки отхода на кривой размагничивания и линии магнитного возврата в различных сечениях постоянного магнита. Исходными данными являются геометрия магнита и кривая размагничивания В(Н), снятая в пермеаметре (рисунок 3.5) и аппроксимированная кубическими сплайн-функциями аналогично п. 22. При этом ориентация поля тако ва, что можно считать Му - 0. По кривой В(Н) строим зависимость МХ{В) и переходим к определению начального приближения М в нейтральном сечении удаленного из намагничивающего устройства постоянного магнита, используя известную методику [8].
Формулировка задачи во внешней линейной области и дискретная модель на основе метода граничных элементов
Автором разработан программный комплекс для моделирования стационарных и квазистационарных электромагнитных полей в осесимметричных электротехнических устройствах комбинированным методом конечных и граничных элементов. Комплекс программ включает управляющую программу и несколько программных модулей [144]: - модуль для ввода исходных данных и разбиения расчетной области на конечные и граничные элементы; - модуль формирования матрицы метода конечных элементов во внутренних нелинейных областях; - модуль формирования матрицы метода граничных элементов во внешней линейной области; - модуль формирования матрицы граничных условий; - модуль решения системы линейных алгебраических уравнений методом Гаусса; - модуль вычисления характеристик магнитного поля и сил; - модуль для вывода результатов и представления их в графической форме; - модуль для компоновки остальных модулей, а также для вывода расчетной области и контроля разбиения на экране; - вспомогательные модули для обслуживания диалоговых окон.
Интерфейс. Программы написаны в среде программирования Borland Delphi на языке программирования Object Pascal. Они имеют полноценный Windows-интерфейс с командными кнопками, меню, диалоговыми окнами и т.д. В нижней части окна расположены командные кнопки, предназначенные для запуска программы на выполнение, вывода на печать и выхода из программы. В верхней части находится меню, с помощью которого можно задавать и менять исходные данные, просматривать результаты, изменять масштаб просмотра и другие параметры. В середине находится основная часть программы, состоящая из нескольких страниц с закладками. Щелкнув мышью на нужной закладке, можно увидеть (в любом масштабе) конфигурацию расчетной области и ее размеры, сетку разбиения, нумерацию узлов сетки и обмотки, нумерацию конечных и граничных элементов, ход расчета в программе.
В пакете программ задаются следующие исходные данные (в диалоговом режиме): количество ферромагнитных тел и катушек в расчетной области; их форма (посредством относительных координат), размеры, количество участков разбиения; сила тока, количество витков, кривые намагничивания ферромагнетиков; вычислительные параметры. Данные можно интерактивно менять. Сетка конечных и граничных элементов строится автоматически по исходным данным. Нумерация узлов сетки. Нумерация проводится в 4 этапа: 1) нумерация узлов конечноэлементной сетки; 2) нумерация конечных элементов во внутренних областях; 3) нумерация граничных элементов на границах областей; 4) нумерация узлов обмотки.
Нумерация узлов сетки начинается с предварительного формирования множества координат узлов, которые находятся на пересечении прямых линий, параллельных осям координат, или на их пересечении с границами областей. Далее производятся операции разрежения и сгущения узлов, заключающиеся в формировании множеств координат узлов, которые нужно исключить или добавить. После этого выполняется повторная нумерация узлов сетки с учетом массивов исключаемых или добавляемых узлов. С целью удобства при расчете комбинированным методом сначала нумеруются узлы на оси симметрии, затем граничные узлы и потом внутренние узлы.
Отдельно стоит сказать об операции исключения узлов. Исключаются только те узлы, которые находятся слишком близко друг к другу, т.к. в этом случае получаются слишком длинные и узкие треугольники, что нежелательно. Для этого проводится проверка близости каждой пары узлов. Каждая группа таких узлов, расстояние между которыми R меньше заданного критического значения fjcj,: объединяется в новый узел, координаты которого находятся обычно, как среднее арифметическое координат исключенных узлов. При объединении нескольких узлов в новый следует соблюдать следующие правила: 1) угловые точки никогда не исключаются; 2) если близко стоящие узлы принадлежат разным областям, то эти узлы также принадлежат и разным группам исключаемых узлов; 3) если в группе близко находящихся исключаемых узлов находятся граничные узлы, то координаты нового узла находятся, как среднее арифметическое граничных узлов; 4) если в группе близко находящихся исключаемых узлов находится угловая точка, то добавляемый узел также будет находиться в угловой точке.
Нумерация конечных элементов. Нумерация конечных элементов для прямоугольных областей соответствует алгоритму граничной коррекции [128]. Нумерация идет слева направо и снизу вверх с учетом предыдущей нумерации узлов. Для каждого узла находятся ближайшие узлы, находящиеся справа и сверху, а затем формируются номера узлов в текущем конечном элементе. После этого алгоритм переходит к соседнему правому узлу и формирует для него конечные элементы. Если справа от узла не находится каких-либо других узлов, алгоритм ищет следующий узел, находящийся чуть повыше и являющийся самым левым.
