Введение к работе
Актуальность темы
В современной нелинейной физике конденсированных сред, ядерной физике и теории сильных взаимодействий активно ис-нользуются топологически нетривиальные модели с кирально-ипвариантными лагранжианами, что отвечает современным представлениям о симметрии основных состояний изучаемых объектов.
Наиболее известным примером таких моделей в (3+1) измерениях является модель Скирма, которая оказалась достаточно простым и удачным нрообразом будущей эффективной мезон-пой теории - ннзкоэпергетичсского предела кваптовой хромо-дшіамикп (КХД). Представляют интерес и различные модификации этой модели, в частности, модель Скирма-Маптопа, позволяющая описывать с едппой точки зрения не только основные состояния барионов, по и плотную ядерную материю.
Несмотря на значительный интерес и большое число физических результатов в этой области, ряд вопросов остается открытым и по сей день. Прежде всего это относится к выяснению алгебраических и сингулярных свойств решепий уравнений модели Скирма [1], для которых доказано лишь их существование и принадленшость к классу веществепно-аналитических функций. Поиск точных решений и в делом выяснение вопросов об интегрируемости обыкповеппых дифференциальных уравнений (ОДУ), возникающих в результате редукции исходных полевых уравнений киральпых моделей, представляется актуальной задачей по нескольким причинам. Помимо того, что это интересная задача с точки зрения математики, знание точных решений позволит существенно продвинуться в проблеме квап-
тования солитоыных конфигураций, в изучении их взаимодействия и т.д.
Не менее актуальной задачей является исследование другого класса нелинейных моделей физики конденсированного состояния, так называемых топологических моделей магнетиков [2], где вектор намагниченности в состоянии насыщения принимает значения на сфере S2. В этом случае мы имеем дело с киральными моделями, для которых как правило не удаётся нроводить редукцию к ОДУ последовательным образом в силу неотделяемости углов. Тем пе менее, представляющие интерес ОДУ в таких моделях получаются на основе анзацев, вид которых находится из физических соображений. Для изотропных магнетиков и для магнетиков с анизотропией типа "легкая ось" (т.е. для многомерных киральных солитонов) известны лишь численные решения таких уравнений, что существенно снижает предсказательные возможности результатов.
Поскольку аналитическая и алгебраическая структура рассматриваемых солитонных конфигураций остается практически неизучепной и в то же время может служить ключом к последовательной схеме поиска аналитических решений, актуальной является следующая постановка целей и задач исследования.
Целью диссертационной работы является
-
Исследование особенностей Пенлеве-апализа в случае нелинейных дифференциальных уравнений в киральных моделях. Построение схемы ирименеиия апалкза для указаных уравнений в сочетании с использованием методов группового и алгебраического анализа уравнений.
-
Исследование алгебраической структуры и симметрий-
пых свойств пелипейных ОДУ в киралышх моделях.
-
Сингулярпый анализ ОДУ в модели Скирма и ее модификациях.
-
Пенлеве-анализ ОДУ в моделях топологических магнетиков.
Научная новизна работы
1. Исследована аналитическая структура решений диффе
ренциальных уравнений топологических моделей магнетиков в
случаях двумерных и трехмерных ферромагнетиков с анизо
тропией типа "легкая ось". Доказано осуществление в этих
уравнениях свойства Пенлеве.
2. Выделены преобразования, сводящие ОДУ, возникаю
щие в дифференциальных уравнениях магнетиков, к уравне
ниям Р-типа. Решения указанных уравнений выражаются в
терминах широко известных неэлементарных функций (транс-
цепдепты Пенлеве, эллиптические интегралы). Решения ура
внений динамики вектора намагниченности Ландау-Лифпшца
в случае цилиндрической-симметрии выражаются через реше
ния уравнения sin-Gordon.
-
Обосновывается применение группового апализа для построения серий решений дифференциальных уравнений. Проводится ностроение алгоритма исследования дифференциальных уравнений, обладающих свойством Пенлеве, основанного на применении сингулярного и группового анализа ДУ.
-
Показано наличие подвижных критических точек, отличных от полюсов, для решений уравнений, возникающих в модели Скирма и ее модификациях. Исследуется алгебраическая структура указанных выше дифференциальных уравнений.
Практическая и научная ценность работы заключается
В том, что:
1. На основе предложенного алгоритма исследования ОДУ
значительно облегчается процедура отыскания серий реше
ний дифференциальных уравпеннй, обладающих свойством
Пенлеве, требующая, как правило, значительных временных
затрат.
-
Исследование решений дифференциальных уравнений тоцологических моделей магнетиков, проводимое до настоящего момента лишь путем численного анализа, предоставляет необходимый материал для понимания физических процессов, описываемых в рамках моделей, а таюке устанавливает связь с методами, применяемыми в других областях теоретической физики.
-
Проведенное изучение сингулярной и алгебраической структуры ДУ модели Скирма и ее модификаций дает дополнительную информацию, необходимую для выяснения математического и физического смысла указанных уравнений.
4. Проведенные исследования предоставляют поле
зный материал для установления глубинной связи между
дифференциально-геометрической теорией дифференциаль
ных уравнений, теорией их алгебраических инвариантов, а
также методами изучения структуры особых точек ДУ и ана
лизом Пенлеве.
Апробация
По результатам диссертации были сделаны доклады и сообщения на
о Всесоюзной межвузовской конференции но математическому моделированию и вычислительной физике (Волгоград, 1989 г.),
о па Международной конференции по теории представлений и групповым методам в физике (Тамбов; 1988г.),
в на П Конференции Научпо-учсбного центра РУДН (1989г.),
» на ежегодных научных конференциях факультета физико-математических и естественных паук РУДП (1991, 1992, 1993 гг.),
о па ХП Конференции молодых ученых РУДИ (1989 г.),
о на Международной коиференции по нелинейным дифференциальным уравнениям и системам (Дубна, 1992),
о на научных семинарах кафедры теоретической физики РУДН.
Объем и структура работы
Диссертация состоит из введения, трех глав и заключения д включает сиисок литературы из 108 наименований. Объем диссертации составляет 97 страниц машинописного текста.
