Введение к работе
Актуальность темы. Известно, что системы с большим числом степеней свободы, будь то статистические или квантовополевые системы, очень трудно исследовать в случае большой константы связи, когда неприменима теория возмущений. В связи с этим продолжает оставаться актуальным поиск точно решаемых моделей в этих областях теоретической физики. В последнее время много ценных результатов было получено при изучении двумерных интегрируемых моделей. Однако большинство интересных систем статистической физики трёхмерны, а в квантовой теории поля — четырёхмерны. Поэтому заслуживают всяческого внимания любые попытки построения нетривиальных точно интегрируемых моделей размерности больше двух.
Наш подход, основанный на построении и исследований решений уравнения тетраэдра (трёхмерного обобщения известного уравнения Янга-Бакстера), интересен, помимо прочего, своей тесной связью с Киральной моделью Поттса, которая является одной из самых сложных и интересных двумерных моделей, и со структурой циклических представлений квантовых алгебр, возникающих в случае, когда параметр q является корнем целой степени из единицы.
В последнее время наметилась связь полученных решений с топологическими теориями в пространстве-времени 2+1.
Цель диссертационной работы состояла в поиске новых решений уравнения тетраэдра, построении на пх основе интегрируемых спиновых моделей и пх исследовании, а также в обобщении этого подхода на неоднородные модели с чередующимися весами (модели "шахматного" типа).
Научная новизна. В работе впервые рассмотрены различные версій: уравнения тетраэдра и предложено его четырёхмерное обобщение. В качестве побочного результата при попытках вычисления статистической суммы для модели Замолодчикова обнаружена скрытая симметрия двумерной модели свободных фермионов, неизвестная ранее. Впервые доказаны трёхмерные соотношения Звезда-Звезда для модели Бажанова-Бакстера и выяснена группа симметрии, весьма сложно устроенных весов этой модели, Впервые предложено обобщение уравнения тетраэдра для неоднородных моделей "шахматного" типа — модифицированные уравнения тетраэдра, а также построены решения для этих уравнений.
На защиту выносятся следующие результаты:
-
Новые результаты по исследованию МСФ (двумерной модели свободных фермионов): выяснение скрытой симметрии статистической суммы модели и построение полностью симметричной параметризации, позволившей установить тождество симметрийных свойств и унитарного фактора для одного из вариантов МСФ и трёхмерной модели Замолодчикова.
-
Вывод уравнения тетраэдра как достаточного условия перестановочности матриц перехода трёхмерных спиновых моделей на простой кубической решётке. Рассмотрение различных версий уравнения тетраэдра и вероятных свойств симметрии его решений.
-
Построение решения уравнения тетраэдра для модели с грассмано-вымн переменными на рёбрах.
4. Выяснение симметрийных свойств весовых функций модели
Бажанова-Бакстера. Два доказательства трёхмерных соотношений Звезда-
Звезда для этой же модели. Построение серии решений уравнения тетра
эдра для произвольного N — числа значений, принимаемых спиновой
переменной.
5. Разработка идеологии использования модифицированных уравнений
тетраэдра и построение решения этих уравнений для случая N = 2.
Научная и практическая ценность работы заключается, в частности, в том, что в ней разработан математический аппарат, использующий расширение гипергеометрических базисных рядов на особый случай, когда база q является корнем целой степени из единицы. В совокупности с работами Замолодчикова, Бакстера и Бажанова эта работа закладывает фундамент для псследования трёхмерных интегрируемых моделей на основе решений уравнения тетраэдра.
Обнадёживают самые последние результаты, полученные в этом направлении. Найдены нетривиальные решения уравнения тетраэдра вершинного типа, что позволяет надеяться на построение двумерного аналога анзатда Бете, на построение L-операторов и т.д.
Апробация работы. Результаты диссертации опубликованы в работах [1-7] и докладывались на международных семинарах по проблемам физики высоких энергий и квантовой теории поля (Протвино, 1981, 1983, 1984, гг.), Международном RIMS — Research Project "Infinite Analysis" (Киото, Япония, 1991 г.), Международной конференции по статистической физике и квантовой теории поля (Лос-Анжелес, США, 1994 г.), Международном математическом конгрессе (Париж, Франция, 1994 г.), а также на семинарах Отдела теоретической физики ЙФВЭ, Отделения математического анализа АНУ (Канберра, Австралия), Физического факультета АУ (Амстердам, Голландия) и Физического факультета ОСУ (Стиллуота, США).
Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав основного текста и заключения, содержит список литературы (39 ссылок, 41 работа) и девять приложений. Объем диссертации 104 страницы.
