Содержание к диссертации
Введение
1 Исследование анизотропной браны с магнитным полем 9
1.1 Обзор 9
1.1.1 Общерелятивистская вселенная с магнитным полем 9
1.1.2 Случай изотропной браны 15
1.1.3 Случай анизотропной браны типа Бьянки I 21
1.1.4 Случай анизотропной браны типа Бьянки I с магнитным полем 24
1.2 Результаты 31
1.2.1 Реколлапс в изотропной вселенной на бране без магнитного поля 31
1.2.2 Реколлапс анизотропной вселенной на бране без магнитного поля 33
1.2.3 Реколлапс анизотропной вселенной на бране с магнитным полем 34
1.2.4 Исследование возможности реколлапса при U<0 . 35
1.2.5 Исследование возможности реколлапса при U>0 . 41
1.2.6 Исследование возможности реколлапса при U>0(B момент реколлапса) 41
1.2.7 Проблема смены знака U 43
1.3 Заключение к первой главе 43
2 Исследование струнных поправок к действию в рамках теории с компактификацией 46
2.1 Обзор 46
2.1.1 Модель 46
2.1.2 Поправки к действию Эйнштейна-Гильберта . 46
2.1.3 Компактификация 48
2.1.4 Явный вид поправок, результаты более ранних авторов 49
2.2 Результаты 52
2.2.1 Мотивация, процедура 52
2.2.2 Анализ суперструны второго рода 55
2.2.3 Анализ гетеротической струны 58
2.2.4 Анализ бозошюй струны 60
2.3 Заключение ко второй главе 65
3 Анализ динамики браны с учетом поляризации вакуума 67
3.1 Обзор 67
3.1.1 Обзор по квантовым поправкам 67
3.1.2 Проблема сингулярности на DGP-бране 70
3.1.3 Эффективные гравитационные уравнения на бране с индуцированной гравитацией 72
3.2 Результаты 80
3.2.1 RS-брана 80
3.2.2 DGP-брана 84
3.2.3 Учет влияния собственного натяжения браны . 89
3.2.4 Неустойчивость фантомных режимов 94
3.3 Заключение к третьей главе 96
Заключение 100
Список литературы
- Случай изотропной браны
- Исследование возможности реколлапса при U>0
- Явный вид поправок, результаты более ранних авторов
- Эффективные гравитационные уравнения на бране с индуцированной гравитацией
Введение к работе
В настоящей диссертации исследуются некоторые аспекты нестандартных космологических подходов. В частности рассматриваются некоторые проявления теории бран и теории струн.
Открытое в последнее время ускоренное расширение Вселенной [24, 25] ставит перед космологией задачу объяснения этого феномена. В рамках стандартной Эйнштейновской гравитации для моделирования подобных режимов требуется наличие сильно отрицательного давления р = wp, где w < — |. Поскольку материя с подобным уравнением состояния пока не открыта, возникла идея модифицированной гравитации - теории, в которой подобное эффективное уравнение состояния может достигаться в присутствии лишь обычной материи за счет изменения основных полевых уравнений. Кроме того, поскольку наблюдения указывают на то, что w ~ — 1 и может быть даже меньше минус единицы [105], возникла идея т.н. фантомных полей [97, 98, 99, 100, 101, 102, 103, 104] -материи с весьма необычным уравнением состояния р = wp, где w < — 1. Сама идея существования подобной материи в рамках стандартной Эйнштейновской гравитации представляется несколько странной, поэтому перед теориями модифицированной гравитации стояла задача моделирования в том числе и подобных режимов. Выше сказанным объясняется повышенный интерес к теориям с модифицированной гравитацией.
В рамках подобных теорий можно получить ускоренное расширение вселенной на поздних этапах эволюции, а также обойти проблему фантомных полей, поскольку речь здесь идет уже об эффективном уравнении состояния. Кроме того, популярность подобных теорий также связана с глубокой модификацией основных уравнений, что в принципе может способствовать решению некоторых традиционных проблем в области космологии.
По большому счету все эти модификации можно разделить на две основные группы: первая восходит к теории струн, вторая - к так называемой теории бран [7]. И те и другие изменяют уравнения движения, что в свою очередь модифицирует уравнение Фридмана. (Справедливости ради отметим, что существуют и другие, не вписывающиеся в данную классификацию, модификации теории гравитации, например, содержащие в лагранжиане члены типа 1/R. Однако, здесь мы их рассматривать не будем.)
Несмотря на заманчивость использования подобных нестандартных подходов, к ним нужно относится с известной осторожностью, поскольку они, находясь в стадии активной разработки, все еще далеки от полной внутренней самосогласованности и могут привнести новые проблемы, так и не решив старых.
В настоящей диссертации предпринята попытка критического анализа некоторых теорий модифицированной гравитации на предмет соответствия последних базовым космологическим принципам.
Теория струн претендует на объяснение фундаментальной природы вещей и, не смотря на не вполне оправданные ожидания, продолжает увлекать умы значительной части теоретиков. Однако, не смотря на претенциозность теории струн, она во многом остается достаточно замкнутой на своих внутренних проблемах, что в свою очередь не вносит дополнительной ясности и полноты, поскольку не видя проблемы ее нельзя решить.
В настоящей диссертации проводится анализ теории струн, так сказать, извне, а именно, с космологической точки зрения. Как известно, решение де-Ситтера является крайне важным для современной космологии: па стадии инфляции, без которой уже просто не мыслима космология, Вселенная описывается квази-де-Ситтеровским решением, кроме того, ускоренное расширение Вселенной в настоящем также может свидетельствовать о переходе на де-Ситтеровскую стадию. С другой стороны теория струн дает некоторые поправки к классическому действию
Эйнштейна-Гильберта, которые содержат производные масштабного фактора более высокой степени нежели в самом классическом действии. Описанная ситуация уже сама по себе является существенной математической проблемой, в связи с чем возникал законный вопрос: каким образом она влияет на решение де-Ситтера? Оказалось, что не все тестируемые струнные теории проходят подобную проверку (в диссертации исследовались три из них: бозонная, гетеротическая и суперструнная теория второго рода), однако за основной результат этой работы следует скорее принять указание на недоработашюсть исследуемого разложения струнных поправок к действию Эйнштейна-Гильберта, нежели непригодность конкретной теории в целом.
Безусловно, результаты, полученные в рамках настоящей диссертации, не претендуют на всеобщность, однако хочется надеяться, что интерес к настоящей проблеме будет пробужден не только у космологов, но и у специалистов по теории струн, что несомненно было бы полезно и тем и другим, и способствовало бы устранению белых пятен в теории.
Теория бран, как известно появилась первоначально как альтернатива компактификации и была тесным образом связана с теорией струн. Теория струн, благодаря наличию критических размерностей, предполагает наличие дополнительных (по отношению к нашему восприятию) пространственных измерений, и в рамках теории бран эти дополнительные измерения предполагаются не компактными, в отличие от теории Калуцы-Клейна, но имеющими макроскопический или даже бесконечный размер. Однако впоследствии благодаря определенным успехам теории бран с одной стороны, и пробуксовыванию теории струн с другой, было достигнуто понимание того, что существование бран (мембранных моделей Вселенной в пространстве большего чем три числа измерений) может быть обосновано и без теории струн, что позволило выделить подобные теории в отдельный класс. Кроме того, последние работы, указывающие на возможные наблюдательные проявления бран, переводят подобные теории из чисто гипотетических во вполне физичные модели. Все вышесказанное заставляет относиться к космологическим моделям на бране с должным вниманием.
С другой стороны, теория бран далека от совершенства и сама имеет ряд пока не преодоленных трудностей. Так исследователи не часто выходят за рамки одного дополнительного измерения, по причине большой сложности соответствующих уравнений, что в свою очередь требует большего числа дополнительных допущений.
К числу существенных для моделей на бране трудностей несомненно следует отнести и проблему коллапса. Дело в том, что благодаря наличию дополнительного измерения и гравитационному взаимодействию браны и всего остального в уравнениях появляется т.н. темное излучение, описывающее это взаимодействие. При определенном знаке отвечающего ей члена может возникнуть коллапс Вселенной, а, поскольку о знаке из общих соображений ничего сказать нельзя, то это явление нельзя сбрасывать со счетов. В настоящей диссертации изучалось также влияние на описанную картину с коллапсом наличия глобального магнитного поля, как наиболее простого и естественного источника анизотропии. Дело в том, что при учете магнитного поля уравнения, описывающие систему, усложняются настолько, что результат аналитически не поддается прогнозированию, поэтому данный вопрос исследовался численно.
Интересным является также и вопрос поляризации вакуума. Экспе-ременталыюе открытие эффекта Казимира[42, 43, 44] поставило вопрос о том как подобные квантовые эффекты могут влиять на космологию ранней Вселенной, где присутствуют экстремально сильные поля. Эффект поляризации вакуума возникает в сильном гравитационном поле, и его анализ позволяет получить некоторые ограничения на параметры фундаментальных частиц, дающих в него вклад. Результаты эти были получены довольно давно, однако возникал вопрос: каким образом они могут измениться в мире на бране? Оказалось, что анализируя устойчивость де-Ситтеровского решения, о значении которого уже упоминалось выше, можно получить сходные с классическими ограничения на число фундаментальных частиц(точнее на параметры / и / _ подробнее см. основной текст), участвующих в поляризации вакуума. Кроме того, в процессе работы выяснилось, что неклассические режимы с дН/др < О, возникающие на модифицированной DGP-бране, являются асимптотиче- ски неустойчивой ветвью решений, что может свидетельствовать о невозможности их реализации.
Диссертация устроена следующим образом. В первой главе рассматривается проблема коллапса на бране. Во второй главе исследуется влияние струнных поправок к действию Эйнштейна-Гильберта на устойчивость де-Ситтеровского решения. В третьей главе получены ограничения в рамках теории бран на параметры т.н. квантовой материи, определяющей эффект поляризации вакуума. В заключении содержатся основные выводы и положения, выносимые на защиту.
Случай изотропной браны
Как известно, в общерелятивистском случае устойчивые состояния существуют только в будущем, тогда как в прошлом вместо них присутствуют т.н. Миксмастеровские осцилляции - осцилляции между различными состояниями Казнеровского вакуума [17].
Наиболее важным результатом, полученным в рамках рассматриваемой модели, является то, что на поздних временах 0 7 устойчива только точка Р(1), соответствующая плоской фридмановской модели, что обобщает полученные в рамках двумерной модели результаты более ранних авторов [10, 13]. Это означает, что любая анизотропная модель типа Бьянки I с баротропной (р = -/є) материей и магнитным полем изо-тропизуется на поздних этапах эволюции, если, разумеется, доживает до них. Кроме того, в работе [14] показано, что Миксмастеро-подобные осцилляции могут происходить даже в отсутствие пространственной кривизны; этот результат был предсказан в [16].
Как известно, многообещающие струнные и мембранные теории претендуют на звание единой теории всех частиц и взаимодействий в природе. Однако внутренне непротиворечивая квантовая струнная теория возможна только в пространстве большей размерности нежели обычное четырехмерное пространство-время. Таким образом, для того, чтобы привести подобные теории к четырехмерному пространственно-временному знаменателю, мы вынуждены предположить, что дополнительные измерения либо компактифицированы, либо предложить механизм локализации полей и частиц в подпространстве меньшей размерности.
На данный момент последняя задача с успехом решена в рамках пятимерной модели [18, 19]. Здесь и далее по всему тексту принята следующая терминология: браной называется четырехмерная пространственно-временная гиперповерхность, на которой находятся все поля и частицы кроме гравитационного поля (шкала структурных констант построена таким образом, что в направлении дополнительных измерений может распространятся только гравитация), в пространстве-времени большей размерности; балком называется все пространство, за вычетом браны. Поскольку авторство этой модели принадлежит Randall и Sundrum, то мы, вслед за мировым научным сообществом, будем называть ее Rundall-Sundrum моделью или для краткости RS-браной. Заметим также, что изначально RS-модель предполагала наличие двух параллельных бран с противоположным по знаку натяжением, однако, позже в этой модели были выявлены существенные трудности [20, 21]. Мы в дальнейшем будем рассматривать модели только с одной браной, которые на данный момент являются достаточно многообещающими.
Проследим коротко основные результаты, полученные другими авторами в области динамики простейшей RS-браны. Уравнение Эйнштейна в балке может быть записано в следующей форме: = -A(5)g + 4)Til (U1) где TU = S(X)[- SAB + TAB]. (1.12)
В этих обозначениях к ) - пятимерная гравитационная константа взаимодействия; gA B, GAB и Л(5) - соответственно метрика, тензор Эйнштейна и отрицательная космологическая константа в балке; TAB тензор энергии импульса материи; пространственно подобная гиперповерхность X — 0 обозначает брану, a g s индуцированная метрика на бране; Л -натяжение браны, которое предполагается положительным, чтобы получить стандартную гравитацию на бране; в этой части большие латинские индексы принимают значения (0,...,4) , маленькие - обозначают координаты в четырехмерном подпространстве, содержащем брану и принимают следующие значения (0,..., 3).
Уравнение (1.18) - это модифицированное уравнение Райчедри, (1.19) получается из уравнения сохранения тензора энергии импульса, а (1.20) -модифицированное уравнение Фридмана, которое, как известно, является интегралом (1.18) и (1.19). Таким образом, динамика в данном случае полностью описывается двумя функциями (Н, р) и пятью параметрами к, к, 7, Л и Л. Подчеркнем также особо, что динамика на бране является существенно более сложной, нежели в случае обычной четырехмерной вселенной, что хорошо видно из уравнения (1.20): член, квадратичный по р, в четырехмерье отсутствует.
Как видно, система (1.18)-(1.19) является динамической, поэтому дальнейшее ее исследование можно провести по стандартной схеме (1.10). При этом существуют определенные особенности исследования систем, описывающих вселенную с положительной (Лз 0 5 к = 1) и отрицательной кривизной (Rs 0 О к = 0, к = —1), однако все тонкости этой процедуры мы опустим, отсылая за ними к оригинальной статье [26], и приведем лишь результат, обсудив его основные особенности.
В таблице приведены особые точки обсуждаемой в этом разделе системы, и указан их тип; при этом использованы следующие обозначения: s -седло, т.е. среди действительных частей собственных значений линеаризованной системы присутствуют как положительные, так и отрицательные (точка неустойчива); г - неустойчивый полюс, т.е. все действительные части собственных значений положительны (точка неустойчива); а - устойчивый полюс (все действительные части собственных значений отрицательны - точка устойчива).
Исследование возможности реколлапса при U>0
Итак, находим h2 = 6 2 4ac = -(6 + \/b2 - 4ас). Полученное решение для h зависит от других переменных системы(а+, аА, сгв, сто, р, U) как от параметров, причем - от параметров не зависит, а величина (6 + \/Ь2 — Аас) минимальна, когда все переменные сг+,сгл,сгд,сгс,/С, U обращаются в нуль и возрастает при увеличении любой из них, что хорошо видно из структуры членов b и с. Таким образом, заключаем, что существует некое hmin при условии положительности U, которое достигается при b = bmin и с = Стіп, а поскольку Ьтіп = \, Стіп = 0, то легко видеть, что hmin = J - А, если принять % = 1, то hmin = -щ.
Подобные области также были обнаружены нами численно. Их расположение относительно обычных зон реколлапса можно видеть на рис. 1.5 - там эта область находится между кривой А и областью запрещенных значений.
Что касается hmin, то в принципе численные результаты хорошо согласуются с теоретическим значением, полученным в этом разделе, однако справедливости ради отметим, что численная проверка величины hmin не несет в себе большой смысловой нагрузки. Дело в том, что данное значение было получено нами из констрейнта(первого интеграла системы) и является изначально верным при условии верности проделанных выкладок, таким образом численная проверка сводится просто к проверке констрейнта, т.е. к получению гарантий того, что в процессе численного решения системы дифференциальных уравнений не были накоплены ошибки, могущие катастрофическим образом изменить получаемые решения. А поскольку реколлапс в данном случае наступает весьма быстро, то мы и так могли бы быть уверены в этом.
И так, подчеркнем еще раз основную идею данного раздела: при наличии в системе магнитного поля возможны два механизма реколлапса. Первый - благодаря наличию отрицательной темной энергии, второй -магнитного поля. Однако при этом нельзя сказать, что этот факт непосредственно увеличивает долю плохих решений (с реколлапсом), поскольку, как хорошо видно из рис. 1.5 , одна из областей включает другую.
Поскольку область из предыдущего раздела, очевидно, мала, то у подавляющего большинства точек из зоны с реколлапсом при Щ 0 происходит смена знака U. Более того, и у определенного количества точек, прилегающих к зоне реколлапса, но не приводящих к нему также происходит смена знака. Возникает также законный вопрос: происходит ли смена знака у всех точек с UQ 0? Ответ на этот вопрос можно видеть на рис. 1.17. Здесь показаны траектории U(t) для определенных значений параметров. Из рис.1.17 хорошо видно, что далеко не всегда происходит смена знака U, однако практически все траектории имеют зигзагообразный вид, и смена знака U если и происходит, то с положительного на отрицательный. Траектории же со сменой знака с минус на плюс тоже есть, но их можно не учитывать, так как ранее там была обратная смена знака, т.е. U из положительных значений заходит в отрицательные, а йотом идет обратно в положительные. Серым цветом на графике выделены треки, заведомо не пересекающие ноль на бесконечности.
Итак, основным выводом из проведенного в первой главе исследования можно назвать следующее: учет магнитного поля на бране в целом существенно усугубляет проблему с реколлапсом, хотя и не может полностью закрыть эту модель, поскольку из-за некомпактности области начальных значений почти всегда можно выбрать разумные начальные данные, не приводящие к коллапсу. Основная причина этого, на наш взгляд, кроется в том, что, как показано в предыдущем разделе, U в основном меняет знак с плюса (почти не приводящего к коллапсу) на минус (где коллапс весьма вероятен). Кроме того, как показано ранее, существуют два основных механизма реколлапса: за счет темной энергии U и за счет магнитного поля h. Второй причиной, усугубляющей проблему с реколлапсом, может быть то, что доля решений с коллапсом, происходящим исключительно за счет магнитного ноля, существенно превосходит долю решений, где коллапс не случается за его счет (см. рис. 1.5 и рис. 1. Также к результатам диссертации можно отнести выписанные аналитически условия реколлапса на бране без магнитного поля для некоторых наиболее интересных уравнений состояния материи.
Явный вид поправок, результаты более ранних авторов
Как известно стандартная (фридмановская) космология сталкивается с существенными трудностями при попытках объяснения возникновения окружающей картины мира. Список таковых проблем весьма обширен и хорошо известен (см. например [61]), поэтому здесь мы их перечислять не будем.
Часть этих трудностей вполне преодолима в рамках т.н. инфляционного сценария, где предполагается наличие на самых ранних этапах жизни Вселенной стадии с экспоненциальным расширением, когда масштабный фактор а меняется по закону а eHt, причем параметр Хаббла Н должен достаточно медленно меняться со временем на этой стадии, что, по сути, соответствует квази-де-Ситтеровскому решению.
Разумеется само по себе пространство де-Ситтера, как частное решение уравнений Эйнштейна, было известно достаточно давно, однако любой геометрический подход нуждается в физическом обосновании, когда речь идет о реальном мире. Единственным известным источником такого расширения на тот момент был Л-член, с использованием которого не удавалось построить непротиворечивую картину мира.
В последствии заговорили о скалярном поле, как возможном источнике экспоненциального расширения. Однако довольно быстро выяснилось, что для реализации такого сценария необходимо накладывать довольно специфические ограничения на параметры потенциала скалярного поля, и пока до преодоления этой трудности в рамках теории хаотической динамики было далеко, был предложен новый сценарий инфляции не связанный со скалярным полем. Этот сценарий впоследствии получил название инфляции Старобинского, по имени своего создателя.
Напомним вкратце о чем речь. Было высказано предположение, что на ранних этапах расширения происходит т.н. поляризация вакуума в сильном гравитационном поле. Как уже отмечалось, сам по себе эффект этот вполне наблюдаем в лабораторных условиях[43, 44] (разумеется, здесь речь идет уже не о гравитационных, а о электромагнитных полях), поэтому подобная экстраполяция более чем оправдана. Происходит рождение куперовских пар (например, фермионов фф или векторных частиц G G ), которые образуют бозе конденсат и вносят существенные изменения в динамику системы. А поскольку бозе конденсат является сильно вырожденным состоянием вещества, то по мере расширения и ослабления гравитационных нолей куперовские пары распадаются и аннигилируют, и после осцилляционной стадии, обеспечивающей разогрев, эволюция может идти по стандартному фридмановскому сценарию. Подобные инфляционные сценарии могут быть также получены в некоторых моделях модифицированной гравитации без скалярных полей и нулевым Л-членом.
Остановимся более подробно на динамическом аспекте вышеописанной проблемы, поскольку он наиболее близок к тематике настоящего исследования.
Уравнение Эйнштейна с учетом вклада от квантовых эффектов в правой части уравнения выглядит следующим образом: Rik-\gikR = 87rG(Tik). (3.1) Здесь мы не будем рассматривать рождение частиц в виду нелокальности этого эффекта. Тогда () содержит только локальные члены, которые вычисляются в процессе регуляризации[66, 67]:
В явном виде 00 компонента уравнения (3.1) с учетом (3.2) выглядит следующим образом [68]: где параметр К = +1,0, — 1 соответствует закрытой, плоской и открытой модели. Мы в дальнейшем будем рассматривать только случай К = 0.
В работе[68] показано, что при определенных ограничениях на ті и тз возможно преодоление проблемы сингулярности.
Поскольку в дальнейшем будет проводиться анализ уже готовых динамических уравнений, в которые входит плотность энергии р, нам будет удобнее пользоваться вместо (3.2) следующим выражением для вклада поляризации вакуума в плотность энергии: pq = k2H4 + k3(2HH + 6HH2 - Я2), (3.4) где к2, / - некоторые параметры, характеризующие теорию, Я - параметр Хаббла, кривизна в этом уравнении предполагается нулевой. В явном виде к2 и к% выглядят следующим образом [91, 92, 93]: где числа N( представляют собой число фундаментальных частиц соответствующего спина: N - число скалярных частиц, Щ/2 - число ферми-онов, N\ - число векторных полей, N2 (= 0 или 1) - число гравитонов, NHD - число конформных скалярных полей; таким образом к2 и / носят фундаментальный характер.
Отметим также, что в обычном четырехмерном пространстве существуют следующие ограничения на параметры к2 и к%. Для устойчивости обычного де-Ситтеровского решения, существование которого связано с наличием космологической постоянной, требуется кз 0, к2 при этом может быть любым. Для получения инфляции Старобинского, существование которой не связанно с наличием космологической постоянной, требуется к2 0, кз 0.
Изначально DGP-брана была предложена Двали, Габададзе и Пор-рати [73, 74, 75]. Эта модель весьма активно обсуждалась с различных точек зрения [76, 77, 78, 81, 82, 79, 80, 84, 85, 86, 83, 87, 88, 89]. Позже была предложена и модификация этой модели.
Эффективные гравитационные уравнения на бране с индуцированной гравитацией
Тем не менее, из соображений непрерывности можно считать, что подобный сдвиг справедлив и в случае / 7 0 ПРИ малых Л.
Учет же р = 0, очевидно, будет соответствовать сечению новой, смещенной, картинки осью абсцисс. Заметим также, что введение параметра у соответствует сжатию исходной картинки. Таким образом, чтобы наглядно представить описываемые здесь результаты достаточно подвигать картинку на рис.3.2 относительно осей. При этом плюсовая ветвь уравнения (+) находится выше, минусовая (—) - ниже; точка их соединения - это самая левая точка графика (на рис.3.2 это начало координат).
Итак, проследим при помощи рис.3.2 описываемые результаты. В самом деле, описанный только что случай получается, если сплошную линию сместить немного вправо и вверх, тогда на ветви (+) то-чек(пересечений с осью абсцисс) не будет, а на ветви (—) их будет две (3.52); причем, если смещение будет слишком большим, то точки исчезнут и на минусовой ветви, то есть мы попадем в область запрещенных значений Л.
Рассмотрим теперь вторую ветвь уравнений (+) при произвольных значениях параметра /. Уравнение на особые точки (3.50) оказывается достаточно сложным, и в общем виде решить его не удалось, поэтому мы искали особые точки (а следовательно и исследовали их устойчивость) численно.
Поскольку в классическом пределе / = 0 существовало ограничение на величину космологической постоянной Л, то и здесь будет целесообразно ограничить ее сверху величиной близкой к . Исследование экстремумов дает следующий результат: при / 0 особых точек нет, при k i = 0 особых точек также нет, и это совпадает с результатом полученным ранее. (В самом деле, при смещении вправо и вверх верхняя часть штрих пунктирной линии не имеет пересечений с осью абсцисс). При / 0 картина следующая: всегда существует, по крайней мере, одна точка, которая уходит на бесконечность по мере уменьшения / (эта точка хорошо прослеживается на графике), при этом существует и вторая точка(наличие которой уже по графику не прослеживается из-за довольно специфичных условий ее существования) при І&гЛ 1, которая по мере уменьшения &2 стремится к границе запрещенной области Н = уЛ/6, совпадая с ней при Л = 1, после чего эта точка исчезает при дальнейшем уменьшении кі (здесь Л предполагается фиксированным). Первая точка, которая существует всегда, устойчива при / 0 и неустойчива / 0; вторая точка неустойчива при / 0 и устойчива к% 0 там, где она существует. Заметим также, что все точки, существующие в рамках этой ветви уравнений, являются точками сингулярного типа(поскольку при &2 = 0 на плюсовой ветви уравнения точек нет, что соответствует отсутствию пересечений с осью абсцисс верхней сплошной линии при смещении вправо и вверх).
Рассмотрим теперь первую ветвь уравнений(—). Проанализируем сначала случай только отрицательных &2- Здесь картина более сложная. При &2 Щ 0 особых точек нет. При к2 / 0 существуют две регулярных точки(два пересечения нижней части штрих пунктирной линии с осью абсцисс при небольшом смещении вправо и вверх), стремящиеся к классическому пределу при / -» О, причем всегда устойчива только одна из них в зависимости от знака к . при / 0 устойчива точка с меньшим Но, & с большим - неустойчива; при к% 0 - наоборот, что соответствует классическому пределу.
Рассмотрим теперь случай положительных &2- При 0 / к2 существует две регулярных и одна сингулярная точка: Н Н2 Hg (случай нижней длинно штрихованной линии при малом смещении вправо и вверх). Причем при / 0 устойчивы Н х и Я, а при к% О устойчива только Н2.
При 0 к2 / существует только одна регулярная точка(случай нижней коротко штрихованной линии при малом смещении вправо и вверх), устойчивая при / 0 и неустойчивая при к% 0. Отметим также, что в случае Л = 0 критическое значение легко находится аналитически: к 2 = (4/9) (т6/М6).
Следует заметить, что для космологических приложений интересен случай / = 1. Это заставляет нас ввести в рассмотрение еще один параметр у. Во второй ветви уравнений(+) при этом особых точек как не было, так и нет. В рамках первой ветви(—) картина меняется следующим образом. При Л 0 в классическом пределе(&2 = 0) особые точки исчезают при Л г/, а при Л у как и раньше существуют две регулярные особые точки, устойчивые при различных знаках кз] таким образом, мы приходим к необходимости ограничить космологическую постоянную Л сверху, поскольку для любого сколь угодно малого у найдется такое Л, что будут существовать две регулярные особые точки, и ограничения на параметры квантовой материи будут, по-видимому, близки к описанным ранее для случая у = 1.
