Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. Формальное решение уравнения КдФ 16
ГЛАВА II. Решение уравнения Шредингера вдали от резонансной точки 22
I. Построение формального решения 4 22
2. Построение формального решения 29
3. Оценки решений 36
4. Асимптотические свойства решений 4 и (^ 43
ГЛАВА III. Решение уравнения Шредингера в окрестности резонансной точки 53
I. Построение формального решения c53
2. Поведение формального решения 66
3. Оценка решения 71
4. Асимптотические свойства решения 75
ГЛАВА ІV. Сращивание решений. Обратная задача 79
1. Сращивание решений f и а 79
2. Коэффициенты прохождения и отражения 85
3. Формальная обратная задача рассеяния 94
4. Задача Коши 101
ГЛАВА V. Асимптотическое поведение системы типа КдФ при больших временах 112
1. Постановка задачи 112
2. Данные обратной задачи ИЗ
3. Гипотеза о поведении решения системы типа КдФ при больших временах 120
4. Асимптотические решения спектральной задачи 124
5. Резонансная область 131
6. Сращивание решений 134
7. Обратная задача 138
Литература 145
- Построение формального решения
- Асимптотические свойства решения
- Формальная обратная задача рассеяния
- Гипотеза о поведении решения системы типа КдФ при больших временах
Построение формального решения
Итак, можно утверждать, что система уравнений, возникаю щая на П. - ом шаге индукции, позволяет однозначно найти Pn m при \r \ = А и + , ,+./ в терминах U.p?m иРн, ьі4 и Up+z, jo при р 5 іг . Б результате при г. 0 коэффициент ии+г с}0 оказывается выраженным через .р т, р г и и.„ + У Гиі , иі I $ 1. Таким образом, в результате п. - ого шага индукцинной процедуры в индукционной гипотезе произошел переход от п, к п, + і . Индукционная процедура показывает также, что коэффициенты -Ррот(г,к)и иро0 (г.), построенные по Hp , w І о , удовлетворяющим условиям А) - С) бесконечно дифференцируемые функции при А г , к е R и е Я соответственно. Доказательство теоремы 1-і этим, однако, ещё не завершено, так как не прослежена совместность выражения для и, 0 с предположением и, ь. К . Прежде чем обращаться к этому вопросу, докажем два простых предложения. Назовём коэффициенты p(jM при р п - і t коэф-? фициенты І ІІ , а также р+г,с\о при р , и,н -2 -данными ґь - ого шага индукционной процедуры. Предложение 2.1. При Ъ є (с ., $) и vr\4 0 -fp i», &,к)«0. При Z j3 р 0 Сг.к) = 5р0 5?0 При is.oL коэффициенты fpcjoC ) ) постоянны: При Ъ 6-(оС;р) коэффициенты utpejo (ъ) , найденные по формуле (z.n) , равны нулю. Доказательство предложения. Пусть данные гь - ого шага рекуррентной процедуры обладают свойствами, объявленными в предложении. Так как u p ( =-0 при ъ. ( ,) и Р и. , то вне интервала ( } Э) км Следовательно, fhCj v, (ь,к)=о , если z s м и I?(OL;F), Благодаря индукционной гипотезе фунщия n.Z}o0 (ъ,к) постоянна при г. Є ( ;/з) , поэтому Я\го , а значит и и.у, + г, о , см. (1.11), равны нулю, если г.ё ( х;/з). Отсюда с учётом (г.z) следует, что Дл0 (, ) постоянна вне ( -, j3) . Предложение доказано. Предложение 2.2. Справедливы соотношения р Сг,к) = in,- ( ,-K) J (1.1Ъ) коэффициенты и. р (j о , найденные по формуле ("2.. 10 вещественны. Доказательство предложения. Пусть данные к - ого шага обладают свойствами, объявленными в предложении. Тогда непосредственно видно, что FKI (", к) = Fn ?)-m (г,-к). Следовательно, (2..43 J выполнено при р = а и І І -Я. -29- Отсюда следует, что rM j (І,»0 = Ь (г -к} # ак результат, вещественно ..и- и+г , о . Так;жвк ( , ") У ( ,- к), TO K1QO (І,к) = -РИСо (2.,-к) . Далее очевидно, что F cj ( , )= Ри } (г,-к) t откуда, наконец вытекает, что 6п+ у 4 (г,к) = f ( .Предложение доказано. Итак, свойства 6)- D) коэффициентов и.р 0 доказаны. Для того, чтобы доказать свойство А) , придется ещё раз обратиться к индукционной процедуре. Рассмотрим сумму SP9m её слагаемые имеют вид U p m,-?Рг гтг ПРИ Рл+Рч. - ъ+т. и + 9 - и+ 3- причем О рг. Если р q + 1 п , то U-рч», - О и Р ? О, поэтому из членов вида м , Рг - могут быть отличны от нуля лишь произведения и рл рл о {»гр о Они, однако, равны нулю в силу нндукционнй гипотезы, благодаря свойству /\) для u,p+Z)p + z., о при р п. Итак, F м + г- О и, следовательно, „+ = О . Отсюда вытекает л+2.,и + 2.,о-0. Аналогично устанавливается, что +1., + 1,0 = О. Достаточно показать, что Р і,и+ с а0. Сумма состоит из слагаемых вида ир Ppzcfz,-m при Р1 +рг = пи Е ji + 9 . - п, + І , причем О pz , Так как w,pc?m - 0 ж iPa » если р + \ы\ то из них могут быть отличны от нуля лишь произведения UP P O pz,p - ,0 и up1tPi-l,o 1і %ргО Эти произведения равны нулю в силу индукционной гипотезы. Свойство А) коэффициента Un + z,QO проверено. Теорема доказана. 2. Построение формального решения 4 При -г а будет рассматриваться формальное решение - зо і условию й,Сх,к)=Є"("2ч при оС . (z.-Ky) Теорема 2.2. При определенном выборе коэффициентов и », 1 I I, позволяющем рекуррентно по р выразить их элементарными явными формулами через lApioiy»1, І"и І-ї уравнение шредингера имеет при ъ /\ формальное решение Pt (Х,К) , КОЭффИЦИеНТЫ Rpnm (2:,К.) КОТОрОГО гладкие функции "Z. и Ю , если г Л и к е ft Такое решение единственно. Коэффициенты ftpo определяются определяются явной рекуррентной процедурой по р. Доказательство теоремы 2.2 может быть проведено параллельно доказательству теоремы 2.1. Некоторые моменты, имеющие прямые аналоги в теореме 2.1, будут опущены. Тот факт, что К - формальное решение, равносилен следующей системе уравнений для Коэффициентов rlpo
Асимптотические свойства решения
Доказательство. Несколько старших членов ряда ъ совпадают со старшими членами асимптотики коэффициента отражения для потенциала U, и, при т - «о . Число таких членов тем больше, чем больше г. . При достаточно больших ПУ И Т уравнение Шредингера с потенциалом , не имеет дискретного спектра. Хорошо известно, что в этом случае
Этот вид функции SKU естественно согласуется с формулой ( .2. ). Несколько старших членов ряда S совпадают со старшими членами асимптотики функции S , их число тем больше, чем больше w . Если выполняется уравнение ( .i8), то їх 1г сводится к старшему члену и не зависит от т Отсюда и из формулы (Н.2 3) , верной при произвольном достаточно большом ъ , следует, что подобными же свойствами не имеет дискретного спектра. Функции U, о , рассматриваемой как потенциал оператора Шредингера (Ч.ЪО), сопоставим коэффициент отражения а0о. Аппарат обратной задачи теории рассеяния при сделанных пред положениях позволяет восстановить потенциал U,0 по коэффи циенту т00 .Мы будем предполагать относительно u,„ , что коэффициент гв0 удовлетворяет условиям о) и flf)j характеризующим класс , и не станем выяснять, что это означает непосредственно в терминах функции и 0 Класс функций , к которому мы в итоге придём, обозначим его V , достаточно богат с интересующей нас точки зрения. Рассмотрим построенный по функции и,0 V коэффициент і оо , как старший коэффициент а0о ряда х Потребуем, чтобы ряд -ъ сводился к старшему члену. Опре Условия а) и с) выполняются в силу ),ъ),э). делим по формуле ( СІ .15) коэффициент Ъ/ и построим соответствующий ряд \л , см. теорему 4.9. Введем в рас смотрение частную сумму U ряда u,. Теорема 4.II. При достаточно больших t справедливы оценки С - произвольно. Доказательству этой теоремы, которую мы рассматриваем как основное утверждение работы, и посвящен настоящий параграф. Кратко, но несколько условно, можно сформулировать теорему следующим образом: Ряд и, является асимптотическим разложением решения 1/L При "t -» о . Конструкция ряда w- , который фигурирует в этой теореме, была частично описана в главе П,где был введен класс К и была завершена в 3, где класс К-j был ограничен уравнением ( 4.И) для коэффициента х . Эта конструкция, в принципе, позволяет вычислить все коэффициенты ряда и в терминах Ъ1 . По существу она проста, однако, технически довольно громоздка. Мы отмечали выше, что тот же ряд можно получить как формальное решение уравнения Кдф. Такие решения обсуждались в главе П,где было установлено, что они также могут быть построены в терминах я / в помощью достаточно простой рекуррентной процедуры. Из теоремы вытекает, что асимптотическое разложение решения ьс можно любое число раз дифференцировать по х . Дифференциальное уравнение для и показывает тогда, что производные от u- по "t также допускают асимптотическое разложение в ряды вида Поскольку подобные асимптотические разложения можно интегрировать по t , асимптотическое разложение и. можно дифференцировать по t . Отсюда следует, что ряд и является формальным решением уравнения Кдф. Таким образом, установлена Теорема 4.12.Ряд w , построенный как формальное решение уравнения Кдф в терминах коэффициента Плг , выраженного через а с помощью формулы Сч.о.5) является асимптотическим разложением решения и, при t -» «о ( в том смысле, который придан этому утверждению в формулировке теоремы 4.ІІ.) Дальнейшая часть параграфа посвящена доказательству теоремы 4.II.Наряду с коэффициентом % , "коэффициентом отражения налево", нам понадобиться "коэффициент отражения направо":
Формальная обратная задача рассеяния
Этим рассмотрениям можно придать индуктивный характер. Мы не станем входить в подробности. Будем считать теорему доказанной. Для произвольного формального ряда (5.л 5) решение как видно из теоремы 5.1, имеет богатый спектр особенностей. Специфика решения системы типа КдФ проявляется в том, что все указанные особенности сокращаются и на оси ъ остается единственная особая точка Ър(к) . Справа от точки "z мы будем рассматривать решение Старшие члены решений -fp и R,. имеют вид
Механизм сокращения особенностей зависит от четности Пусть А/ -четное. Тогда потребуем, чтобы сократились все особенности за исключением особенности в точке 2 = _ , которая определяется равенством Это требование налагает ряд связей на коэффициенты потенциала. Б старшем порядке у функций имеются особенности в точках 2.рм (причем часть из этих особенное-тей попадает в область г ,где определено решение -ь, а часть в область г л , где определено решение Pu) и при к -» о . Положим Тогда сингулярности в точках z пропадут. Учитывая (si ) , соотношения (5Ъ1) можно записать в виде Таким образом, мы получили 1 -л -и. уравнений для 2 п. неизвестных функций ил .С помощью уравнений (5.гг) можно Здесь функции CJHVV удовлетворяют системе алгебраических уравнении (5.) j=o Определитель матрицы системы есть определитель Бандермондаь поэтому система однозначно разрешима. Особенность при к - 0 сокращается, если положить Этим рассмотрениям можно придать индукционный характер. В итоге приходим к теореме. Теорема 5.2. При четном N требование отсутствия особенностей для функций - при ї : и функций ІЦ при Ї Ї равносильно системе уравнений вида Функции рог являются дифференциальными многочленами. При выполнении условий (s.-іб) решения - и Hj обладают асимптотическим характером соответственно при г 2: + t 2 и 2: "a С о) , а коэффициенты решений -fp(?is и ft , - гладкие функции в соответствующих областях. В старшем порядке соотношения (5.ъь) имеют вид (5-ЪЪ) . Перейдем к рассмотрению случая нечетного А/ . Потребуем сокращения особенностей во всех точках за исключением -точки Ч.ь , которая определяется равенством где - -полуось, на которой функции V;p отличны от нуля. Для того, чтобы других особых точек, кроме z , не было, в старшем порядке следует положить j = o г= 2m Учитывая (5.24), соотношения (5.) можно записать в виде Таким образом, мы получим 2 ч - Z уравнений для 1 неизвестных функций Ъ/\т . С помощью (5.3 9) можно выразить все функции OJ":m через я«/оум и roJiy . Особенность при к -» О у функций У и t сокращается также, как и случае четного Л/ , при выполнении (5.Ъ5) . Рассматривая сокращение особенностей в следующих порядках,приходим к теореме. Теорема 5.3. При нечетном А/ требование отсутствия осо-бенностей для функций .f я при 2. ъ р и функций (г й при г Z р равносильно системе уравнений вида Функции Г -pjf являются дифференциальными многочленами. При выполнении условий {5.Чо) решения А и К. обладают асимптотическим характером соответственно при г 2« + 1 и г г - t 5 о » а коэффициенты решений -гладкие функции в соответствующих областях. В старшем порядке при р = 1
Гипотеза о поведении решения системы типа КдФ при больших временах
Замечание. Обоснование асимптотичности формальных решений уравнения (5. і в) можно провести, используя систему интег-ральнЕХ уравнений, аналогичную системе (2.30) для уравнения Шредингера. Итерационные ряды для этой системы будут сходиться и при комплексных значениях параметра к . Таким образом, можно показать, что решения Хр существуют для любых значений параметра к е С \ І .Следовательно, набор потенциалов і Ц,: J бессолитонный.
Задача Коши для системы типа КдФ возникает, если дополнить систему начальными данными вида В соответствии с формулой (5.9) коэффициент отражения "ї-е (к, t) , отвечающий точному решению \ \] системы типа КдФ, равен где 1 (к) -коэффициент отражения, отвечающий набору потенциалов Г и, . Сравнивая это соотношение с коэффици-ентом tp для потенциалов { Л » ш получим, что для решения системы типа КдФ ряд (5.5г) должен свестись к старшему члену. Следовательно, 1п = 0 , р/О . (5.5 ) Это условие приводит к ряду соотношений для коэффициентов потенциала. Мы не будем повторять выкладки, проделанные для уравнения КдФ в главе 1У . Результат можно сформулировать в виде следующих теорем. Теорема 5.5. При четном /V соотношения {5.54) совместно с условием сокращения сингулярностеи позволяют с помощью элементарных явных рекуррентных формул выразить все коэффициенты І Р Л через V0M) УЛ = і, г ,..., и-4. Теорема 5.6. При нечетном А/ соотношения (5.5 у) совместно с условием сокращения сингулярностеи позволяют с помощью элементарных явных рекуррентных формул выразить все коэффициенты р иа Через Ъ/0Уп, И 1 /1т , г =1,г,..., Ч. Равенство Хе = Те (5.55) позволяет найти функции 1 / , А и D по заданным функциям а0 . Вычислению этих функций и будет посвящен настоящий параграф. р Пусть коэффициенты 100(кJ-бесконечно дифференцируемые, финитные функции, равные нулю в окрестности нуля. Из (5.Э) Е не меняется. Следовательно, неизменной остается функция & te V -С другой стороны выражение J3 е Vg , как видно из формулы (5. Н Ч-) , при изменении знака к. меняется. Таким образом, соотношение (5.5 ) является противоречивым. С помощью выбора функции В можно добиться выполнения (5.51) только на одной из полуосей к о , или к о Противоречие связано с тем, что исходный анзатц (5.51) не является формальным решением системы типа КдФ, см. 3. Устранить это противоречие удается только в частном случае с помощью сужения множества начальных данных задачи Коши. Пусть начальные данные такош, что соответствующие коэффициенты отражения назад а0 равны нулю при к е Rj , где R -одна из полуосей параметра к . Положим на полуоси Rf, где а отлично от нуля , На другой полуоси соотношение (S.Sl) будет эквивалентно равенству 14/ ( ) =0, к 6 R . (5.60) Это условие означает, что при к є Kg соответствующая резонансная точка 2g сокращается. Перейдем к исследованию соотношения (5.5%) . При четном Д/ (5."52) и (5.58) образуют систему для функций it/"; m. Используя С 5. ъ Z) , выразим все функции Через ЪГ0 т Здесь Cj ЛІ удовлетворяют системе алгебраических уравнений , Приравняем модули выражении, стоящих справа и слева в соотношении (5.5 8) Следовательно, Отсюда, в частности, можно получить явное выражение для О ВЛ ) = Еа(1-т (к)1г). (5.62 Здесь К есть функция "Z г sin (гле/и.) Кроме того, учитывая (5. ) и (5.33) , получим из соотноше ния (5. б і ) р Зная \iv/0g\ , можно найти Ь (г,к): Далее с помощью формул (5.25) и (5.63) вычислим.функции Перепишем (5.58) в виде Как видно из предыдущих построений,в правой части этого равенства стоит известное выражение. Таким образом, мы нашли \Д/( .Из (5". V5) следует.
