Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1 Гуннелирование частицы через потенциальный барьер 19
1.1 Матрица переноса в задаче туннелирования частицы через потенциальный барьер 19
1.2 Рекуррентные соотношения для параметров туннелирования 22
1.3 Туннелирование частиц с точно заданной энергией 26
1.4 Параметры туннелирования для прямоугольных потенциальных барьеров и для 5-потенциалов 27
1.5 Фазовые времена туннелирования 29
1.5.1 Время прохождения (тунелирования) 30
1.5.2 Время отражения 32
1.6 Матрица переноса TV-барьерной структуры из одинаковых барьеров...34
1.7 Матрица переноса самоподобного фрактального потенциала, расположенного на триадном канторовом множестве 39
1.7.1 Иерархическая структура самоподобного фрактального потенциала и ее свойства 41
1.7.2 Функциональное уравнение для матрицы переноса самоподобного фрактального потенциала 43
1.7.3 Решение функционального уравнения для параметров туннелирования самоподобного фрактального потенциала 48
1.8 Электронный транспорт через самоподобный фрактальный потенциал, расположенный на обобщенном канторовом множестве 5 1
1.8.1 Самоподобный фрактальный потенциал на обобщенном канторовом множестве 52
1.8.2 Функциональные уравнения для параметров туннелирования 53
1.8.3 Результаты и выводы 58
ГЛАВА 2. Физические свойства потенциалов на канторовом множестве .
2.1 Самоподобный фрактальный потенциал на классе функций, допускающих преобразование Фурье 64
2.2. Матрица переноса потенциала в форме канторовой лестницы 70
2.2.1 Иерархическая структура канторовой лестницы. Рекуррентное соотношение для матрицы переноса
2.2.2 Условие симметрии и функциональное уравнение для матрицы переноса 73
2.2.3 Матрица переноса потенциала в форме канторовой лестницы при стремлении фрактальной размерности к единице 75
2.2.4 Решение функционального уравнения для матрицы переноса при малых отклонениях фрактальной размерности от единицы
2.2.5 Некоторые результаты и выводы 77
ГЛАВА 3. Фазовые времена прохождения электрона через самоподобный фрактальный потенциал 81
3.1 Функциональные уравнения для фазового времени туннелирования...84
3.2 Результаты и выводы 86
Заключение 90
Литература
- Параметры туннелирования для прямоугольных потенциальных барьеров и для 5-потенциалов
- Функциональное уравнение для матрицы переноса самоподобного фрактального потенциала
- Иерархическая структура канторовой лестницы. Рекуррентное соотношение для матрицы переноса
- Решение функционального уравнения для матрицы переноса при малых отклонениях фрактальной размерности от единицы
Введение к работе
1.1. Актуальность темы диссертации
Начиная с пионерских работ Бенуа Мандельброта, теория фракталов широко используется для описания физических явлений. Тем не менее, несмотря на явные успехи приложений теории фракталов, ее развитие сталкивается с принципиальными трудностями, которые возникают уже в одномерных задачах. Основная сложность состоит в отсутствии адекватного математического аппарата для решений дифференциальных и интегральных уравнений с фрактальными коэффициентами или границами. Поэтому широкое распространение получил метод изучения физических свойств предфракталов, т.е. таких объектов, когда фрактал некоторого уровня иерархии аппроксимируется кусочно-непрерывной функцией. Поскольку реальные объекты, в отличие от фрактальных, имеют наименьший структурный элемент, и этим в корне отличаются от идеальных фрактальных структур, данный подход, на первый взгляд, полностью оправдан. Однако при этом теряется такое важное свойство фракталов, как масштабная инвариантность, которая проявляется в эксперименте. Кроме того, фрактал можно понимать как предел некоторой последовательности предфракталов, а свойства предельного предфрактала естественно представляют интерес. Необходимо также отметить, что изучение фракталов предоставляет уникальную возможность выяснить связь между масштабной инвариантностью геометрических и физических свойств системы, поэтому поиск адекватных подходов, позволяющих исчерпывающим образом проанализировать физические свойства идеальных фракталов, является до сих пор актуальной задачей.
Последнее время получил распространение метод, согласно которому для описания физических процессов во фрактальных средах традиционные уравнения должны быть изменены заменой обычного дифференциала дробным дифференциалом, кратным фрактальной размерности. Основанием для этого послужило то обстоятельство, что известные дифференциальные и интегральные уравнения, используемые в математической физике, были получены, опираясь на предположение о регулярности параметров среды, в которой находится физическая система. Следовательно, при такой постановке задачи, всегда можно выделить наименьший структурный элемент, который является физически однородным, а, т.к. фрактальные объекты описываются нерегулярными функциями, «обычные» уравнения в точках фрактального множества становятся непригодными. Однако такой подход обладает тем недостатком, что фрактальная размерность не определяет однозначно геометрию фракталов, ведь фракталы одного и того же типа,
например обобщенные канторовы множества, отличающиеся числом лакун (не-канторовых отрезков), также могут иметь одну и ту же фрактальную размерность.
Существуют обобщения некоторых дифференциальных уравнений для стохастических динамических систем, характеризующихся фрактальной функцией плотности распределения вероятности. Например, в рамках фейнмановско-го подхода получено «фрактальное» уравнение Шредингера, а также выведено «фрактальное» уравнение Фоккера-Планка-Колмогорова, в предположении, что случайные траектории, по которым движутся частицы, описываются устойчивым распределением Леви. Таким образом, в данном случае определение дифференциального оператора существенно зависит от вида функции плотности распределения, характеризующей стохастический фрактальный процесс. Заметим, однако, что, например, вопрос о существовании и единственности решения «фрактального» уравнения Фоккера-Планка-Колмогорова, строго говоря, остается открытым.
Настоящая диссертация посвящена дальнейшему развитию альтернативного подхода, позволяющего точно учитывать геометрию фрактала, но при этом не требующего пересмотра основных уравнений движения. Данный подход был развит ранее для описания электронного транспорта через самоподобный фрактальный потенциал, заданный на канторовом множестве. Особенность подхода состоит в том, что решение уравнения Шредингера с фрактальным потенциалом сводится в нем к решению функционального уравнения для матрицы переноса. В настоящей диссертации рассматривается одномерная стационарная задача рассеяния нерелятивистской частицы на самоподобном фрактальном потенциале, заданном на обобщенном канторовом множестве и на фрактальном потенциале в форме канторовой лестницы, также производится расчет фазовых времен туннелирования электрона через самоподобный фрактальный потенциал. Решение ищется на основе метода матрицы переноса, который обеспечивает выполнение основных свойств одномерного уравнения Шредингера - сохранение плотности потока вероятности и непрерывность волновой функции. Производится анализ симметрии волновой функции и элементов матрицы переноса на основе интегрального уравнения Липпмана - Швингера с учетом симметрии потенциала. Решение задачи об электронном транспорте при этом сводится к решению функционального уравнения для матрицы переноса.
1.2. Цель работы
Основными задачами, решаемыми в диссертации, являются следующие:
поиск явного вида самоподобного фрактального потенциала, сосредоточенного на (обобщенном) канторовом множестве;
численный расчет параметров туннелирования самоподобного фрактального потенциала, сосредоточенного на обобщенном канторовом множестве;
расчет фазовых времен туннельного перехода нерелятивистской частицы через самоподобный фрактальный потенциал, сосредоточенный на три-адном канторовом множестве;
решение задачи туннелирования нерелятивистской частицы через фрактальный потенциал в форме канторовой лестницы.
1.3. Научная новизна и практическая ценность работы
В работе получены следующие результаты:
на классе функций, допускающих преобразование Фурье, найдено одно из решений функционального уравнения, определяющего самоподобный фрактальный потенциал, заданный на канторовом множестве;
Получено функциональное уравнение для матрицы переноса, описывающей туннелирование электрона через фрактальный потенциал в форме канторовой лестницы;
Получены аналитические выражения для параметров туннелирования электрона через потенциал в форме канторовой лестницы, фрактальная размерность которого близка к единице.
Произведен анализ фазовых времен туннельного перехода электрона через самоподобный фрактальных потенциал.
1.4. Апробация материалов диссертационной работы
Материалы, вошедшие в диссертацию, докладывались на:
семинарах кафедр теоретической физики и квантовой теории поля Томского государственного университета;
четвертой международной конференции по математическому моделированию (МГТУ «Станкин» г. Москва. 27.06-1.07 2000)
III всероссийском семинаре "Моделирование неравновесных систем -2000" (Красноярск, 20-22 октября 2000 г);
международной конференции "Математические модели и методы их исследования" (Красноярск, 16-21 августа 2001 г.);
конференции молодых ученых «Мезомеханика '98» (Томск, 1-3 декабря 1998)
1.5. Публикации
Материалы, изложенные в диссертации, опубликованы в 5 работах: 4 статьи и 1 сборник трудов конференции. Список публикаций представлен в конце автореферата [1-5].
1.6. Структура и объем работы
Параметры туннелирования для прямоугольных потенциальных барьеров и для 5-потенциалов
Рассмотрим отрезок [а, Р]. Пусть на этом отрезке требуется найти непрерывное общее решение уравнения Предположим, что со(х) и и(х) всюду положительны. Функция и(х) неоднозначно определяет соответствующий коэффициент уравнения. Если на некоторой области гладкости функцию и(х) умножить на произвольный постоянный множитель, то коэффициент перед первой производной в уравнении (1.1) не изменится. Однако изменятся условия сшивания функции Ч- х) на границах областей. Запись уравнения (1.1) оправдана тем, что для (х) из класса непрерывных функций условия сшивания в терминах функции и(х) формулируются однозначно.
Метод матрицы переноса [107] концептуально основывается на сшивании решения уравнения (1.1) на границах так называемых "внебарьерных" областей. Пусть со(х) = Wj(x) 0, и(х) = щ(х) 0, v(x) = v(x), если хе(й(, bt), иначе со(х) = со0, и{х) - Uo, v(x) = 0. Здесь COJ(X), Wj(x), vs(x) некоторые гладкие в интервале [ап bt) функции; со0 и Uo - положительные константы; j = 1,...,N ; а а, bx ... aN bN (3. Используя терминологию задачи туннелирования, далее для удобства интервалы (а ,6 ),где j = \,...,N будем называть барьерными областями, т.к. на этих отрезках функция v(x) принимает ненулевые значения, а остальные интервалы - внебарьерными областями (внебарьерные области соответствуют отрезкам, на которых v(x) = 0). Во внебарьеных областях уравнение (1.1) совпадает по форме с одномерным уравнением Шредингера с нулевым потенциалом. Пусть общее решение в области {Ьм,а имеет вид
С физической точки зрения, решение (1.2) соответствует волновой функции свободной частицы (плоская волна). Условие непрерывности решения на отрезке [а, (3] накладывает требование, чтобы в граничных точках области эти решения должны быть сшиты с общими решениями в барьерных областях. Линейность условий сшивания позволяет сделать вывод о том, что неизвестные константы А п, соответствующие разным внебарьерным областям, связаны линейными соотношениями. Запишем эти соотношения в виде
Определение: матрица Y{ij], связывающая общие решения уравнения (1.1) во внебарьерных областях ( ,_,,а.) и (& ,я ) - матрица переноса (МП); y /;/ = l,...,7V. Заметим, что внебарьерная область, т.е. отрезок (&;Ч,а ), на котором функция v(x) = 0, может быть сколь угодно малой - определение МП остается в силе и в случае, когда длина внебарьерной области равна нулю. Если МП YVJ) "переносит" решение через п барьерных областей (n = j-i + \), будем употреблять выражение "и-барьерная МП". Нуль-барьерная МП, соответствующая потенциалу конечной высоты, заданному в точке, равна единичной матрице.
Константы /4 oJj и А[ \+1) определяют волновую функцию (1.2) в крайних областях рассматриваемого отрезка. Если к уравнению (1.1) добавить граничные условия в точках х = а и х = $, и, учитывая, что константы А и A N+I) связаны матрицей переноса Y (см. соотношение (1.3)), то все четыре константы можно определить. Неизвестные константы для любой внебарьерной области могут быть вычислены по формуле
Из соотношения (1.3) нетрудно установить, что МП «-барьерной структуры представляет собой произведение МП каждой структуры. Другими словами, для МП справедливо рекуррентное соотношение Следовательно, зная МП каждой из подструктур сложной структуры (например, однобарьерные МП), мы можем вычислить МП всей структуры как МП с заданным числом индексов числом индексов (YllN)).
Важно отметить, что соотношения (1.15) - (1.18) справедливы и для произвольного вида функций со(х), и(х) и v(x), а не только для уравнений с кусочно-постоянными коэффициентами. Вывод рекуррентных соотношений (1.15) - (1.18) опирается лишь на тот факт, что однобарьерные МП представимы в виде (1.8) - (1.10) и данное представление не зависит ни от числа барьеров на рассматриваемом участке пространства, ни от вида функций со(х), и(х) и v(x) на нем. Уместно также отметить, что т.к. каждую из барьерных областей можно рассматривать как сложную систему барьерных подобластей, разделение МП на однобарьерные и многобарьерные становится условным. Более подробную информацию по описанному методу матрицы переноса можно найти в работах [107, 109].
Важным преимуществом, выделяющим описанный метод матрицы переноса среди других (см. например [112 - 115]), является тот факт, что в рамках данного метода получены рекуррентные соотношения непосредственно для вещественных параметров туннелирования, т.е. для физически наблюдаемых характеристик барьера. В работе [107] (см. также [109]) можно также найти обобщение приведенного метода МП на случай произвольной зависимости эффективной массы частицы от пространственной координаты.
Здесь d=6 — а, а и b - координаты левой и правой границ барьера соответственно. Соотношения (1.19) и (1.20) позволяют определить физический смысл коэффициентов Т, J и F. Поскольку отношение квадрата амплитуды прошедшей волны к квадрату амплитуды падающей волны - это коэффициент прохождения, а отношение квадрата амплитуды отраженной волны к квадрату амплитуды падающей волны - это коэффициент отражения, то очевидно, что Т - это коэффициент прохождения, а R - это коэффициент отражения. Причем всегда выполняется условие Т + R = 1. Соответственно, параметры J и F представляют собой фазы прошедшей и отраженной волн.
Функциональное уравнение для матрицы переноса самоподобного фрактального потенциала
Развитый в [102, 105] формализм позволяет получить функциональные уравнения для параметров туннелирования СФП, не нарушая связи, которое налагается рекуррентным соотношением для МП соседних уровней СФП. Как и в частном случае, когда носителем потенциала является триадное канторово множество [102], эти уравнения имеют три различных семейства решений. Наличие трех семейств решений позволяют сделать вывод о существовании трех разных типов СФП. Два из них, характеризуемые фрактальной асимптотикой параметров туннелирования в длинноволновой области (1.84), можно связать с СФП-барьерами и СФП-ямами различной мощности. Эти потенциалы отличны от нуля во всех точках КМ. Принципиальная разница свойств барьерных и внебарьерных областей для данных решений состоит в том, что при малых значениях волнового числа вклад в "фазовый путь" электрона внебарьерных областей пренебрежимо мал (накопление фазы происходит преимущественно в точках КМ). Третий тип решения (с асимптотикой (1.85)) соответствует СФП, который отличен от нуля лишь на концах канторовых отрезков (барьерных областей, см. 2.1). Во внутренних точках КМ СФП равен нулю, как и во внебарьерных областях. Именно поэтому для решения второго типа в длинноволновой области (ф) ф, т.е. фазовый путь, набегаемый де-бройлевской волной в точках КМ, сравним с фазовым путем во внебарьерных областях.
Заметим, что параметры туннелирования предельного СФП (а — N + 0) совпадают с параметрами туннелирования 5-потенциала той же мощности. В общем же случае параметры туннелирования СФП соседних уровней, помимо рекуррентного соотношения, связаны масштабным преобразованием (1.79). Наглядно масштабная инвариантность СФП проявляется в длинно- и коротковолновой областях. Причем в длинноволновой области МИ проявляется только для первых двух типов решений, в виде нетривиальной степенной зависимости параметров туннелирования от параметра ф, где показателем степени является фрактальная размерность. В коротковолновой области МИ проявляется в том, что огибающая коэффициента отражения убывает как R ф х для всех семейств решений.
Зависимость параметров туннелирования от волнового числа при различных значениях параметров N и а показана на на рисунках 1 - 3 : рис. 1 показвает зависимость величины 1п(Л(ф)/Г(ф)) от 1п(ф) для СФП-ямы, рис. 2 для СФП-барьера с асимптотикой (1.84), а рис. 3 - для СФП-барьера с асимптотикой (1.85).
Параметры туннелирования как функции от ф для второго типа решения; N=2, а=3 - сплошная линия; N=4, а=9 - пустой круг. Z-=50A
Заметим, что для первого семейства решений СФП могут иметь одинаковую фрактальную размерность, но различные значения N и а (разную лакунарность). Прозрачность таких СФП на всей шкале энергий также различна (см. рис. 1 и рис. 2). Это означает, что фрактальная размерность не несет в себе исчерпывающей информации о физических свойствах СФП: число внебарьерных областей (лакун), разделяющих СФП одного и того же уровня, также влияет на физические свойства фрактала.
Следует обратить внимание на следующий факт - поскольку матрица рассеяния любого кусочно-гладкого потенциала аналитическая в длинноволновой области, т.е. зависит от целых степеней волнового числа к, мы приходим к выводу о невозможности, по крайней мере для первых двух решений, аппроксимировать соответствующие СФП предфракталами (регулярными функциями). Поскольку в настоящем параграфе показано (см. также [102, 105]), что в пределе а — N + 0 фрактальный потенциал ведет себя как 8-потенциал, а не как прямоугольный барьер, сделаем небольшое замечание относительно исследований задачи туннелирования через фрактальные структуры, основанные на уравнениях с фрактальными производными. Одно из требований, которому должны удовлетворять модельные уравнения в таких подходах, состоит в том, что при стремлении фрактальной размерности к целочисленной размерности пространства, в котором пристекает физический процесс, модельное уравнение должно совпадать с его традиционным аналогом, а сам фрактал вырождается в структуру с Евклидовой геометрией. Однако, как показано выше, свойства предельного СФП принципиально отличаются от свойств прямоугольного потенциального барьера. Кроме того, решение задачи туннелирования электрона через СФП, предложенное в работах [102, 105], получено на основе обычного одномерного уравнения Шредингера. В заключение данного параграфа необходимо отметить, что полученные результаты находятся в качественном согласии с результатами работы [90] в коротковолновой области.
Иерархическая структура канторовой лестницы. Рекуррентное соотношение для матрицы переноса
Заметим, что в пределе у -»0 (s — 1) решение функционального уравнения (2.27) находится элементарно. Действительно, в этом случае D(E) = I, где / - единичная матрица, и, следовательно, Z0(E) = I, а
YQ(E;0,L) = Г0(). То есть, в этом пределе МКЛ представляет собою безотражательный фрактальный потенциал (R0-0), для которого фазовый путь JQ, проходимый дебройлевской волной в области барьера, равен нулю. Фактически при s-\ МКЛ рассеивает как точечный потенциал, равный по величине -Д, и, как следствие, фаза F0 для него также равна нулю (что характерно для симметричных потенциалов).
Таким образом, будучи задана в интервале ненулевой ширины, КЛ отражает как обычная потенциальная ступенька, расположенная в точке. Это необычное свойство КЛ согласуется с выявленным в [102, 105] свойством СФП, где было показано, что в пределе при 5 —»1 СФП отражает как обычный 5-потенциал. Так что в этом смысле никакого противоречия нет: также как 5-потенциал является производной от "ступеньки", СФП является (в обобщенном смысле) производной от КЛ [120]. Поэтому этот результат для КЛ следовало ожидать.
Решение функционального уравнения для матрицы переноса при малых отклонениях фрактальной размерности от единицы Итак, мы показали, что при у=0 все три параметра туннелирования МКЛ равны нулю. Это дает основание полагать, что при малых значениях у эти параметры будут также малы. Опуская индекс "0" в обозначениях для параметров туннелирования МКЛ нулевого уровня, это условие запишем в виде
Предельные значения вспомогательных функций находились с помощью рекуррентных соотношений (2.32) численно. Здесь важно заметить, что условия (2.29) ограничивают область вычислений как со стороны больших, так и со стороны малых значений энергии.
Результаты численных расчетов параметров туннелирования для МКЛ при Д=1 eV и L-50A приведены на рисунках 7-9. Как видно, во всей расчетной области энергии коэффициент отражения (рис.7) тем больше, чем шире ступеньки, лежащие между сегментами, где расположены точки канторова множества. Фаза J (рис. 8) монотонно убывает с ростом энергии. Следовательно, фазовое время туннелирования в этой области энергии отрицательно. Аналогичное поведение фазового времени туннелирования наблюдается при прохождении частицы через самоподобный фрактальный потенциал [127]. Как и следовало ожидать, при у О МКЛ уже не является симметричным барьером - фаза F (рис. 9) для нее отлична от нуля. Это также означает, что фазовое время отражения в данном случае зависит от направления движения падающей волны. Итак, результаты данной работы еще раз свидетельствуют о том, что
Явление туннелирования является из одним проявлений квантово-механических свойств физических систем. Естественно, что вопрос определения характерных времен туннелирования является важным как с практической, так и с теоретической точек зрения. Однако, несмотря на то, что проблема нахождения времени туннельного перехода появилась почти также давно, как и сама квантовая механика, она еще ждет своего решения.
В работе [128] предпринята очередная попытка физического осмысления некоторых экспериментальных данных об аномально высокой (сверхсветовой) скорости фазы пакета локализованных волн. Действительно, возникновение, например, отрицательных фазовых времен туннелирования, высоких [129] или отрицательных [130] скоростей прохождения максимума волнового пакета, требует ответа на вопрос о выполнении принципа причинности и сохранении числа частиц. Так, например, в работе [128] утверждается, что время туннельного перехода не может являться универсальной характеристикой барьера и начальной энергии частицы, поскольку существенно зависит от способа определения. Существует мнение (см. там же), что для волновых пакетов, ширина которых сравнима с шириной потенциального барьера, принципиально нельзя дать точного определения времени туннельного перехода. На настоящий момент большинство работ, посвященных определению времени туннельного перехода, можно разбить на три класса. В первый класс можно отнести модели, рассматривающие движение квантовой частицы, как движение волнового пакета (см. [117, 118, 131] и ссылки к ним). Основные трудности, с которыми сталкивается исследователь при описании туннельного перехода методами пакетного анализа, заключаются в отсутствии на данный момент корректной физической интерпретации отрицательных времен прохождения (отражения), получающихся при сопоставлении координате частицы среднего значения оператора координаты. Для преодоления указанной проблемы в работах [131] предлагается разделять в ансамбле падающих частиц под-ансамбли частиц, которые пройдут сквозь барьер и которые отразятся. Однако данный подход еще требует дальнейшего развития.
Ко второму классу подходов, определяющих времена туннельного перехода, можно отнести модели, которые задают оператор времени [132 -134]. В таких подходах время прохождения определяется как среднее значение введенного оператора. Однако следует отметить, что при таком подходе либо оператор времени не является эрмитовым оператором [132, 133], либо дисперсия не являются определенной [134], что представляет серьезную трудность для физической интерпретации среднего значения оператора времени. Дальнейшее развитие методов этого класса можно проследить на примере работы [135], где время туннельного перехода рассматривается как случайная величина и для ее определения производится расчет функции плотности вероятности времени туннелирования безотносительно к виду оператора времени. В подходе [135], в отличие от работ других авторов (см., например, [116]), функция плотности вероятности положительно определена и время туннельного перехода имеет вполне
Решение функционального уравнения для матрицы переноса при малых отклонениях фрактальной размерности от единицы
Явление туннелирования является из одним проявлений квантово-механических свойств физических систем. Естественно, что вопрос определения характерных времен туннелирования является важным как с практической, так и с теоретической точек зрения. Однако, несмотря на то, что проблема нахождения времени туннельного перехода появилась почти также давно, как и сама квантовая механика, она еще ждет своего решения.
В работе [128] предпринята очередная попытка физического осмысления некоторых экспериментальных данных об аномально высокой (сверхсветовой) скорости фазы пакета локализованных волн. Действительно, возникновение, например, отрицательных фазовых времен туннелирования, высоких [129] или отрицательных [130] скоростей прохождения максимума волнового пакета, требует ответа на вопрос о выполнении принципа причинности и сохранении числа частиц. Так, например, в работе [128] утверждается, что время туннельного перехода не может являться универсальной характеристикой барьера и начальной энергии частицы, поскольку существенно зависит от способа определения. Существует мнение (см. там же), что для волновых пакетов, ширина которых сравнима с шириной потенциального барьера, принципиально нельзя дать точного определения времени туннельного перехода. На настоящий момент большинство работ, посвященных определению времени туннельного перехода, можно разбить на три класса. В первый класс можно отнести модели, рассматривающие движение квантовой частицы, как движение волнового пакета (см. [117, 118, 131] и ссылки к ним). Основные трудности, с которыми сталкивается исследователь при описании туннельного перехода методами пакетного анализа, заключаются в отсутствии на данный момент корректной физической интерпретации отрицательных времен прохождения (отражения), получающихся при сопоставлении координате частицы среднего значения оператора координаты. Для преодоления указанной проблемы в работах [131] предлагается разделять в ансамбле падающих частиц под-ансамбли частиц, которые пройдут сквозь барьер и которые отразятся. Однако данный подход еще требует дальнейшего развития.
Ко второму классу подходов, определяющих времена туннельного перехода, можно отнести модели, которые задают оператор времени [132 -134]. В таких подходах время прохождения определяется как среднее значение введенного оператора. Однако следует отметить, что при таком подходе либо оператор времени не является эрмитовым оператором [132, 133], либо дисперсия не являются определенной [134], что представляет серьезную трудность для физической интерпретации среднего значения оператора времени. Дальнейшее развитие методов этого класса можно проследить на примере работы [135], где время туннельного перехода рассматривается как случайная величина и для ее определения производится расчет функции плотности вероятности времени туннелирования безотносительно к виду оператора времени. В подходе [135], в отличие от работ других авторов (см., например, [116]), функция плотности вероятности положительно определена и время туннельного перехода имеет вполне определенное положительное значение, однако, данный подход также не может описать экспериментально наблюдаемое [136] появление пика волнового пакета справа от барьера в то время, пока пик падающей волны остается слева.
Наконец, третий класс объединяет модели, которые для определения времени прохождения частицы используют достаточно идеалистические представления о детекторе, приборе, подготовляющем частицы в начальном состоянии и «квантовых часах» в рамках «упрощенного мысленного эксперимента» (см. [137]).
Все вышеперечисленное указывает на то, что, как уже отмечалось выше, вопрос об определении времени туннельного перехода в общем случае до сих пор остается открытым. Однако, развитие формализма, позволяющего дать точное определение временных характеристик времени туннельного перехода, не является целью настоящей работы. Следуя [110], будем использовать общепринятое определение фазовых времен туннелирования для широких в х-пространстве волновых пакетов (1.26), (1.27).
Вопрос об описании динамики частиц в средах с фрактальной геометрией важен как с практической, так и с теоретической точек зрения. Фундаментальное решение этого вопроса актуально по двум причинам. Во-первых, точный учет геометрии идеальных фрактальных структур является серьезной математической проблемой. Во-вторых, при квантовом описании (а именно так, строго говоря, и нужно делать, поскольку фракталы имеют структурные элементы, размеры которых заведомо меньше де-бройлевской длины волны движущейся частицы) движения частиц во фрактальных средах неясно как правильно определять время прохождения частицей того или иного квантово-размерного участка. Лишь в частном случае, когда речь идет о частицах, состояние которых описывается волновыми пакетами, достаточно узкими (строго говоря, бесконечно узкими) в -пространстве, считается, что их время туннелирования описывается так называемыми "фазовыми временами туннелирования" (ФВТ) - фазовым временем прохождения и фазовым временем отражения.
В данной параграфе представлены расчеты ФВТ, т, для электрона, проходящего через самоподобный фрактальный потенциал (СФП), заданный на канторовом множестве (КМ). В работе [102] был предложен точный метод вычисления параметров туннелирования частицы через СФП. Детальный анализ зависимости коэффициента прохождения частицы от волнового числа выявил ряд необычных свойств электронного транспорта через СФП (см. 1.7). Однако эти данные недостаточны для понимания динамики исследуемого процесса. В этом случае недостающую информацию может дать анализ ФВТ СФП.
Как показано в [102], (вещественные) параметры туннелирования СФП, сосредоточенного на триадном КМ, удовлетворяют системе функциональных уравнений (1.63), (1.64). Напомним, что, как показано в [102] (см. 1.7), вблизи точки А:=0 решения уравнений (1.63), (1.64) могут быть найдены в виде разложений как по целым, так и по нецелым степеням к. Исследуемая система уравнений имеет три семейства решений. Два из них определяются с точностью до константы и характеризуются фрактальной размерностью 1у=1п(2)/1п(а) (1.65), а третье решение соответствует разложению по целым степеням к и определяется однозначно (1.67). Параметры туннелирования являются пределом (1.72) от вспомогательных функций (1.70), (1.71).
Поведение ФВТ на всей оси ф показано на рис.10 - 12. Зависимость ФВТ от ф для удобства представлена в виде экспоненциальной функции от т (заметим, что в показателе экспоненты под т понимается безразмерная величина, равная отношению времени прохождения (отражения) на одну фс). Ширина СФП во всех случаях равна L=50 А.
Заметим, что для СФП-ям ФВТ отрицательно при всех значениях к. Для предельного СФП, когда фрактальная размерность равна единице (в этом случае суммарная ширина межбарьерных областей по-прежнему равна ширине всего фрактала, но расстояние между СФП одного и того же уровня в иерархии СФП равно нулю), ФВТ совпадает с ФВТ для 5-потенциала той же мощности (см. рис. 10 - 12). Отметим, что "закон сохранения числа частиц" при этом выполняется. Необычность ситуации заключается в том, что вероятность найти частицу в точках канторова множества, где де-бройлевская волна набирает весь свой фазовый путь (см. [102, 105]), равна нулю, поскольку это множество меры нуль.
