Введение к работе
і РОССИЙСКАЯ
Актуальность темы. библиотека
| 2000
Проблема решения уравнения Шрёдингера (УШ) не нова, но она является актуальной и по сей день, поскольку до сих пор существует множество нерешенных задач, так или иначе связанных с этим уравнением. К настоящему времени было развито много различных подходов его решения, в частности, нахождение спектра оператора Шрёдингера, то есть собственных значений энергии для разнообразных квантовомеханических систем. Однако в нерелятивистской квантовой механике, описываемой при помощи УШ, существует ограниченный класс точно решаемых задач (см., например, В.И. Фушич, А.Г. Никитин, О.Б. Заславский), таких как задача о гармоническом осцилляторе или об атоме водорода. Поэтому, наряду с исследованием алгебры уравнения Шрёдингера и отысканием таким образом точных решений, были развиты методы нахождения приближенных решений УШ и энергетического спектра. Так как в работе рассматриваются. в основном, связанные состояния, анализ которых ведется на основе квазиклассического приближения и теории возмущений, остановимся подробнее на этих двух подходах.
Теория возмущений (Релея-Шрёдингера или Вигнера-Бриллюэна). Данный подход использует либо разложение по степеням малого параметра собственных функций (СФ) и собственных значений (СЗ), либо метод приближенной диагонализации. Первое имеет место в теории возмущений (ТВ) Релея-Шрёдингера, второе — в теории Вигнера-Бриллюэна, являющейся обобщением ТВ Релея-Шрёдингера. Для реализации данного подхода необходимо знание всего спектра невозмущенной задачи и всех матричных элементов. В качестве нулевого приближения выбирается точно решаемая задача. Данным методом можно решить достаточно большое число задач, однако довольно часто приходится сталкиваться с расходящимися рядами, в частности, в задачах с "сильной связью", и значительными трудностями вычислительного характера. В настоящее время существуют модификации данного подхода, позволяющие преодолеть некоторые из указанных трудностей, в частности, обойтись без знания спектра невозмущенной задачи или получить сходящиеся ряды ТВ. Первый подход был развит П. Дж. Прайсом (1954), Я.Б. Зельдовичем (1956), Д.А. Кирж-
ницем (1958) и др. Второй подход получил развитие в работах B.C. Поликанова (1967), А.Д. Долгова, B.C. Попова (1978), Ю. Ааронова и С.К. Ау (1979), а также в последее десятилетие в работах А.В. Турби-нера, М.А. Шифмана, А.Ю. Морозова, A.M. Переломова, В.Б. Гостева, А.Р. Френкина, А.С. Вшивцева, Н.В. Норина, В.Н. Сорокина, А.В. Тата-ринцева, В.Г. Багрова, Б.Ф. Самсонова, А.В. Шаповалова, Т.К. Ребане, С. Квесне и др. Следует отметить, что вышеупомянутые авторы с успехом используют, наряду с теорией возмущений, теорию алгебр Ли, теорию специальных функции, рекуррентные соотношения и элементы функционального анализа.
Квазиклассическое приближение (метод ВКБ(Д) или метод фазового интеграла). Данный подход успешно применяется при исследовании высоковозбужденных состояний. При исследовании низколежа-щих состояний приходится учитывать высшие приближения, что, в свою очередь, связано с значительными вычислительными трудностями. Кроме того, данный метод позволяет находить связь экспоненциального (в классически запрещенной области) и осцилляторного (в классически допустимой области) решений в точках поворота на действительной оси решений. Формула связи между этими решениями была получена Г. Венцелем, X. Крамерсом, Л. Бриллюэном в 1926 г., а до этого в 1924 г. X. Джеффрисом , который, в свою очередь, опирался на работы Р. Ганса (1915) и Дж. Релея (1912). Следует отметить, что приближение ВКБ было получено намного раньше Ж. Лиувил-лем и Дж. Грином (1837). Позднее Р. Е. Лангер (1937) сделал метод ВКБ(Д) более эффективным, основываясь на равномерных по независимой переменной приближениях функции Эйри ("phase-integral" метод), а Дж. Хеддинг (1962) обобщил этот метод на комплексные переменные. ВКБ(Д)-метод без приближений с функциями Эйри ("lateral connection" метод) был предложен А. Цвааном, Г. Биркгофом, Е. Кемб-лом и В. Ферри и подробно исследован в работах М.В. Федорюка (1965), Н. Фремена и П.У. Фремена (1967), Ф. Олвера (1965) и др. Дальнейшее развитие ВКБ(Д)-метода было предложено М.А. Евграфовым, М.В. Федорюком и В.П. Масловым (1976), В. Вазовым (1960), М. Накано и Т. Нишимото, М.С. Мариновым и B.C. Поповым (1975), В.П. Масловым (1973). Так, В. Вазовым и другими учеными были разработаны различные модификации ВКБ(Д)-метода: ("central connection" метод) (1968) и ("stretching-matching" метод) (1960). А метод канонического оператора, предложенный В.П. Масловым, привел к развитию
комплексной ВКБ (1977) и теории комплексного ростка в работах В.В. Беляева, СЮ. Доброхотова (1988) и др. В последних модификациях квазиклассического подхода, в первую очередь, широко используются спектральный анализ операторов, теория псевдодифференциальных операторов и теория обобщенных функции (В.П. Маслов, Ф.А. Березин, М.А. Шубин, А. Ворос).
Кроме вышеописанных подходов в настоящее время существует довольно большое количество их модификаций, развивающих либо один вышеупомянутых подходов, либо сочетающих в себе элементы разных подходов. Например, сочетание ТВ с вариационным методом позволило построить регулярную теорию возмущений (Турбинер, 1984), а сочетание элементов статфизики, функционального анализа и квазиклассики позволило не только детально исследовать высоковозбужденные состояния (Дж. Келлер, С. Бубинов I960; Д.В. Косыгин, А.А. Минасов, Я.Г. Синай, 1993), но и быстро получать оценки для спектра оператора Шрёдингера, соответствующего данным состояниям.
Однако, не смотря на значительное число успехов, достигнутых в области изучения УШ, остается немало нерешенных задач и неясных моментов. Например, при изучении спектра оператора Шрёдингера с использованием ВКБ-приближения, как правило, не рассматривают детально форминвариантные точные преобразования Лиувилля-Грина, переводящие исходное УШ в УШ с новым потенциалом и образующие бесконечномерную группу диффеоморфизмов, а рассматривают только нулевое приближение, дающее уравнение Рикатти. Во многих случаях указанное преобразование позволяет приводить УШ к уравнению с суммируемым потенциалом.
Рассмотрение данного преобразования, а конкретно такого нетривиального математического объекта, как производная Шварца, изучавшегося ранее, в основном, в рамках ТФКП при исследовании дробно-линейных отображений, а также в теории поверхностей при изучении локальной изомерии поверхностей постоянной кривизны (с комплексной метрикой) сфере, евклидовой плоскости и плоскости Лобачевского, позволяет построить весьма интересную композицию ВКБ и ТВ, которая до сих пор не нашла отражения в работах отечественных и зарубежных авторов. Кроме того, отдельный интерес представляют функциональные преобразования Ньютона, применяемые в теории рассеяния. Автор данного исследования попытался остановиться на теме форминвариантных и фазоэквивалентных пре-
образований, считая, что в рамках сочетания ВКБ и ТВ на базе данных преобразований можно не только преодолеть вышеупомянутые недостатки ВКБ и ТВ, но и эффективно применить построенную в результате теорию к решению различных квантовомеханических задач.
Цель и задачи исследования.
Основной целью работы является анализ и расширение сферы применимости ВКБ приближения в области определения спектра оператора Шрёдингера и фаз рассеяния за счет форминвариантных и фазо-эквивалентных преобразований, позволяющих переходить от задачи с исходным, возможно, достаточно сложным (моделируемым) потенциалом к задаче с простым (моделирующим) потенциалом, не обязательно локально близким к исходному моделируемому потенциалу, но повторяющим его глобальную структуру спектра. В качестве МП можно выбрать такой потенциал, для которого задача нахождения энергетического спектра является точно решаемой (например, кусочно-линейный потенциал). В связи с указанной целью были поставлены следующие задачи:
-
Построение и изучение форминвариантных и фазоэквивалентных преобразований уравнения Шрёдингера. Построение процедуры определения спектра моделирующего и моделируемого потенциалов, а также построение теории возмущений для указанных спектров и получение оценок остаточных членов.
-
Проверка метода на примере гармонического осциллятора и потенциалах вида \x\N.
-
Определение при помощи метода МП спектра ангармонического осциллятора, спектра двуямного (не)симметричного потенциала, а также кулоновского спектра.
-
Построение многокомпонентного обобщения метода и его применение к решению спектральной задачи для системы двух частиц с магнитным диполь-дипольным взаимодействием.
-
Построение многоканального обобщения фазоэквивалентных преобразований, установление их суперсимметричных свойств и
применение указанных преобразований к определению фаз многоканального N TV-рассеяния.
Объектом исследования в диссертационной работе является, в большей степени, спектр оператора Шрёдингера и, в меньшей степени, фазы рассеяния.
Предметом исследования в работе являются форминвариантные преобразования, а также фазоэквивалентные преобразования уравнения Шрёдингера, позволяющие решать спектральную задачу или задачу нахождения фаз рассеяния путем построения простого моделирующего потенциала, имеющего сходную глобальную структуру спектра с исходным потенциалом, но не являющегося локально близким к моделируемому потенциалу, в первом случае, и оставляющему инвариантной матрицу рассеяния, во втором случае.
Теоретическую и методологическую основу исследования составляют работы отечественных и зарубежных ученых в области теоретической и математической физики (квантовой теории), а так?ке в области ядерной физики. Кроме работ, опубликованных в ведущих международных и отечественных журналах, автор использовал монографии, учебные и справочные пособия, а также работы, находящиеся в глобальной сети "Интернет" в международной базе данных по адресу . Для проведения численных экспериментов и расчетов автор использовал такие современные языки символьных и численных вычислений как Mathematica 3.0 и Maple 4.5. Кроме того, часть вспомогательных программ для численных расчетов была написана автором с использованием таких языков программирования, как Fortran и C++.
При осуществлении исследований автор придерживался следующих принципов:
-
поиск и применение форминвариантных, фазоэквивалентных преобразований уравнения Шрёдингера;
-
построение таких МП для конкретных видов потенциалов, которые наиболее быстро и точно давали бы решение исходной спектральной задачи;
-
построение регулярного метода нахождения энергетического спектра исходного оператора Шрёдингера;
-
получение аналитических и численных оценок для получаемых приближений;
-
сопоставление предлагаемых методов с другими и выявление их преимуществ и недостатков.
Научная новизна.
Основными результатами, полученными впервые, являются следующие положения:
-
Показано, что, исходя из форминвариантных преобразований уравнения Шрёдингера, одними из которых являются преобразования Лиувилля, образующие бесконечномерную группу диффеоморфизмов, задачу отыскания спектра оператора Шрёдингера с исходным (моделируемым) потенциалом W(x,E) = Е — U(x) можно свести к задаче отыскания спектра оператора Шрёдингера с новым более простым (моделирующим) потенциалом W(y, Е) = E — U(y), не обязательно локально близким исходному потенциалу, но повторяющим его глобальную структуру спектра.
-
Исследована структура указанных форминвариантных преобразований и показано, что основной вклад в спектр моделирующего потенциала дает нулевое приближение, совпадающее с квазиклассикой. Поправки получаются по предложенной автором теории возмущений, построенной на основе теории возмущений Релея-Шрёдингера. Получены оценки остаточных членов.
-
В рамках предложенного подхода исследованы задачи отыскания энергетического спектра оператора Шрёдингера с потенциалами полиномиального вида, а так?ке даны оценки остаточных членов в нулевом и первом приближениях. Работа ММГ1 проверена на примере гармонического осциллятора и потенциалах вида \x\N. Показано, что в первом случае ММП дает точный спектр в нулевом приближении, что соответствует квазиклассике.
-
Определен методом ММП энергетический спектр ангармонического осциллятора, а также спектры оператора Шрёдингера с
(не)симметричпым двуямным потенциалом и кулоновским потенциалом. Показано, что ММП в указанных случаях дает лучшие, по сравнению с квазиклассикой, результаты.
-
Многокомпонентное обобщение ММП позволило описать процедуру нахождения спектра в случае сингулярных потенциалов, а также решить спектральную задачу для системы двух заряженных частиц с магнитным диполь-дипольным взаимодействием.
-
Исследование близких по форме многоканальных фазоэквивалент-ных и, в частном случае, суперсимметричных преобразований в теории низкоэнергетического рассеяния позволило разработать процедуру определения фаз рассеяния в случае многоканального NN- рассеяния.
Автор диссертации внес существенный личный вклад в решение поставленной задачи. Им были исследованы различные классы моделируемых и моделирующих потенциалов, была разработана и успешно апробирована процедура построения теории возмущений для энергетического спектра моделирующего потенциала. Показано, что основной вклад дает нулевое приближение. Проведено исследование структуры получаемой теории возмущений. Получен энергетический спектр и улучшенные правила квантования Бора-Зоммерфельда для (не)симметричного двуямного потенциала. Показано, что полученные п работе результаты согласуются с экспериментальными с точностью до 5% для п = 1,2,3,4..., причем точность быстро улучшается, достигая, например, 0,5% при п — 4. Проведено обобщение ММП на многокомпонентный случай, и исследована спектральная задача для системы двух заряженных частиц с магнитным диполь-дипольным взаимодействием. Кроме того, были исследованы фазоэквивалентные и, в частном случае, суперсимметричные преобразования п теории многоканального иизкоэпергетического рассеяния.
Теоретическая значимость исследования заключается в том, что полученные автором результаты вносят определенный вклад в актуальное направление изучения спектров в различных задачах квантовой механики, а также із теорию многоканального иизкоэпергетического рассеяния.
Практическая значимость исследования заключается в воз-
можности отыскания спектра оператора Шрёдингера путем построения простого моделирующего потенциала, не обязательно локально близкого исходному (моделируемому) потенциалу, но повторяющего его глобальную структуру спектра. Кроме того, модификация данного метода может быть использована при решении задач многоканального рассеяния.
Достоверность полученных результатов обеспечивается строгостью используемых автором математических методов, органически сочетающих традиционные методы математического анализа и теории групп, а также новейшие алгоритмы символьных и численных компьютерных расчетов.
Публикации.
Основные результаты диссертации опубликованы в работах автора, указанных в конце автореферата.
Апробация работы.
Результаты исследования докладывались и обсуждались на научных семинарах кафедры квантовой теории и физики высоких энергий физического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова и доложены на международной конференции аспирантов и студентов "Ломоносов-99".
Структура и объем диссертации.
Диссертация состоит из введения, трех глав и заключения, содержит 4 рисунка, 9 таблиц, а также список литературы (128 названий). Объем диссертации 108 страниц.
