Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Введение 7
Глава 2. Возмущения черных дыр и методы вычисления КН мод 19
Глава 3. КН моды черных дыр 37
Заключение 64
Список литературы 67
Введение
В линейном приближении существует два типа возмущений черной дыры: 1) непосредственно возмущения метрики, такие возмущения называются гравитационными, и 2) возмущения путем добавления полей к пространству-времени черной дыры. Если поле спина s в окрестности черной дыры слабое, мы считаем что возмущенные поля не имеют обратного действия на метрику. Для любого такого поля существует полный набор калибровочно инвариантных динамических переменных - функций Ф8 таких, что Ф8 и - можно задать произвольно в начальный момент и эволюция Ф8 полностью определяется одним волновым уравнением. Зная Ф8 мы, применяя к Ф8 дифференциальные операторы и алгебраические преобразования, можем найти все параметры исследуемого поля, и, наоборот, зная в любой калибровке параметры поля можно найти Ф8. Таким образом знание Ф8 эквивалентно знанию эволюции исследуемого поля.
В случае сферической симметрии, которой мы будем ограничены в данной работе, рассматриваемое поле разлагается на сферические гармоники характеризуемые мультипольным числом /. Мультиполя с / s не изменяются со временем, т.е. как говорят, не являются радиационными. После отделения угловых переменных, уравнения сводятся к волновому уравнению вида где V(r) - эффективный потенциал, г, - так называемая "черепашья"(радиальная) координата.
Для стационарной фоновой метрики частота и экспоненциально зависит от времени с гіА и является вообще говоря комплексной. Выберем и — ujfu — iuim, где URe определяет реальную частоту осцилляции, a ujm - скорость затухания данной моды. Для любого радиационного мультиполя и некоторых специальных значений и существуют решения уравнения (1), в которых нет входящих волн ни с горизонта ни с пространственной бесконечности. Такие решения представляют собой квазинормальные моды (КН) черных дыр, а соответствующие комплексные частоты называются собственными частотами. Если uim данной моды положительна, то такая мода затухает и амплитуда после одного колебания будет в e_2w/m//w/?e раз меньше чем начальная амплитуда. Следует заметить, что даже если все КН моды являются затухающими, это еще не гарантирует устойчивости черной дыры относительно данного возмущения, т.к. КН моды не образуют полного набора динамических переменных.
При возмущении черной дыры, "ответное" гравитационное излучение можно условно разделить на три стадии: 1) первоначальный всплеск непосредственно от источника возмущений, 2) затухающие осцилляции не зависящие от источника, т.е. собственно квазинормальный звон, 3) асимптотическое затухание на очень поздних временах - так называемые "хвосты". Амплитуда "хвостово-го"излучения много меньше амплитуды первых двух стадий.
Отметим, что черная дыра представляет собой открытую систему и её квазинормальные моды являются аналогами нормальных мод замкнутых систем. Поэтому иногда в литературе квазинормальные моды черных дыр называют также нормальными модами.
На существование КН мод впервые было указано Вишвешварой [21] при вычислении рассеяния гравитационных волн Шварцшильдовой черной дырой. Впервые квазинормальные моды для Щварцшильдовой черной дыры были вычислены в работе 22] путем приведения волнового уравнения (1) к уравнению Рикатти и его численного интегрирования. При этом сложность состояла в том, что необходимо было проводить асимптотические оценки в пределах интегрирования (на горизонте и бесконечности). В пределах этого метода, который стал называться методом Чандрасекара-Детвейлера, удалось получить только основной обертон.
Следующим этапом в развитии методов вычисления квазинормальных мод стал метод Ливера [23]. В рамках этого метода удалось посчитать с превосходной точностью квазинормальные моды для больших обертонов (вплоть до 60). Для более высоких обертонов этот метод был модифицирован Ноллертом, которому удалось получить значения квазинормальных мод для любых обертонов и таким образом проанализировать асимптотическое поведение квазинормального спектра с большой мнимой частью [24]. Метод основан на разложении решения в ряд Фробениуса и после подстановки в волновое уравнение, получении ряда рекуррентных соотношений, которые позволяют найти коэффициенты разложения путем непрерывных делений. Метод Ливера считается наиболее точным методом вычисления квазинормальных частот, однако, он же является и одним из самых сложных методов, в особенности, если эффективный потенциал в волновом уравнении имеет громоздкий вид. Б.Машун 25], [26] предложил простую оценку значений квазинормальных мод путем инвертирования эффективного потенциала, который обычно имеет вид потенциального барьера, принимающего постоянные значения на горизонте и бесконечности, и "под-гонки"его формы к потенциалу Пешля-Теллера, точные решения для которого известны. Такой полуаналитический подход к задаче, решаемой до этого чисто численными методами, стимулировал создание более точного ВКБ-подхода к данной проблеме: в работе [10] была предложена простая ВКБ-формула первого порядка после эйконального приближения для оценки квазинормальных мод (КНМ)
Поскольку эффективный потенциал V представляет собой потенциальный барьер (Vo - его значение в максимуме), то задача нахождения КНМ сводится к задаче, аналогичной квантово-механической проблеме о рассеянии волн на пике потенциального барьера, где квадрат КН-частоты играет роль энергии. Далее уровень "постоянной энергии" (и2) разбивает всю пространство от горизонта до бесконечности на три области с двумя точками поворота (см.. рис.1). В средней области (между двумя точками поворота) мы разлагаем решение в ряд Тейлора в окрестности пика потенциального барьера и, найдя асимптотические решения во "внешних" областях, сшиваем их с внутренним решением. Вскоре формула Уилла-Шутца [10] была продолжена до третьего ВКБ-порядка [11]. Позднее было замечено, что существует математическое соответствие между ВКБ задачей нахождения КН мод и квантово-механической задачей об уровнях энергии квантового ангармонического осциллятора, и на основе этого наблюдения был предложен альтернативный чисто алгебраический метод вычисления ВКБ поправок для и2 [27].
Для низших обертонов результаты, полученные в третьем ВКБ-порядке метода Уилла-Шутца [11] совпадали с численными значениями с точностью до долей процента. Вместе с тем, ВКБ-метод представляется наиболее простым, так как позволяет легко получить КНМ по заданному эффективному потенциалу на компьютере. Осталось, однако, ряд задач, в которых точность ВКБ-формулы третьего порядка оказалась недостаточной, например, КНМ, вращающейся черной дыры Керра. Кроме того новые источники полей, в такого рода задачах, являются и источниками численных ошибок ВКБ-метода.
Возмущения черных дыр и методы вычисления КН мод
Недавно новое применение квазинормальных мод черных дыр было обнаружено в петлевой квантовой гравитации. Петлевой квантовая гравитация основана на простом подходе к каноническому квантованию общей теории относительности с помощью "переменных Аштекаря" и открытых вильсоновсхих петель, генерирующих конфигурационное пространство [60. Драйером было замечено [7], что асимптотическое значение КНМ Шварцшильдовой черной дыры вычисленное численно Ноллертом [24] имеет действительную часть которая совпадает с параметром Баббера-Иммеризи [61, 62], который необходимо положить равным 1пЗ/47г чтобы предсказать энтропию Беккенстайна-Хоукинга черной дыры в петлевой квантовой гравитации. Недавно Л.Мотл доказал аналитически, что асимптотическое значение КНМ действительно 1пЗ/4х [63]. Эти наблюдения привели к появлению ряда работ, в которых находятся асимптотические значения Райсснер-Нордстремовской, Керровской, и многомерной Шварцшильдовой черных дыр [9, 64, 65, 66]. В случае анти-де-Ситтера асимптотические значения КНМ не удавалось вычислить по той же причине, по которой оставалась нерешенной проблема малых черных дыр: метод Горовица-Хубени становился ненадежным и накапливалась численная ошибка (так называемый шум ).
В последнее время интенсивно развиваются модели с "большими дополнительными измерениями ", в которых минимальная масса черных дыр может быть меньше планковской и порядка ТЭВ [67]. Такие черные мини-дыры могут быть созданы в ближайшем будущем в процессах соударения частиц в ускорителях и в экспериментах с космическими лучами. Оценки показывают, что такие многомерные черные дыры описываются вакуумными уравнениями Эйнштейна. Черные дыры могут быть "прикреплены" к бране или, если притяжение браны мало, могут покинуть брану и путешествовать в объемлющем пространстве. Все это мотивировало активное изучение общих свойств многомерных ЧД, включая их излучение. Так в работе Кардоса и Лемуша были рассмотрены скалярные КНМ многомерной черной дыры Шварцшильда [68], которая описывается метрикой Тангерлини. В этой работе, однако, с помощью метода Уилла-Шутца 3-го ВКБ порядка были вычислены основные обертона (n = 0) сферически-симметричных (I = 0) мод. К сожалению метод Уилла-Шутца в 3-м порядке дает значительную ошибку (порядка 10 процентов) для нулевого мультиполя (т.к при этом / = гг) и эта ошибка растет с увеличением размерности пространства-времени. Поэтому оказалось, что предложенные в работе 68] данные не описывают истинное поведение КН-спектра многомерных черных дыр [14]. На этом пути мы выбрали, во-первых, продолжение известной ВКБ-формулы третьего порядка до 6-го порядка, что значительно увеличило точность, и во-вторых, ограничились рассмотрением мультиполеи с I 0. В работе 69] были вычислены скалярные КН моды для некотор ых значений мультипольного числа I и азимутального числа т вращающейся 5-мерной черной дыры с помощью метода Ливера.
Наблюдение черных дыр в оптическом, рентгеновском и гамма диапазонах не дают прямой информации об области вблизи горизонта, т.к. излучение образуется вдали от горизонта. Изучение областей близких к горизонту можно было бы провести обнаружив гравитационные волны от черных дыр.
Один из наиболее многообещающих источников гравитационных волн, которые надеются обнаружить с помощью нового поколения гравитационных детекторов - это астрофизические компактные двойные объекты типа черная дыра-черная дыра (ЧД/ЧД). Эволюция системы ЧД/ЧД условно можно разделить на три стадии: сближение, слияние и конечная стадия. На стадии сближения используется анализ постньютоновских разложений и качественно картина не отличается от например системы двух нейтронных звезд. Информацию о слиянии и конечной стадии несет гравитационное излучение. В конечной стадии две черные дыры образуют новую черную дыру которая находится в возбужденном состоянии. Далее возбуждения затухают, а в испускаемых при этом гравитационных волнах доминируют КН моды которые несут информацию о сильно нелинейной крупномаштабной динамике кривизны пространства-времени. Обнаружив квазинормальные моды можно было бы проверить уравнения Эйнштейна.
В настоящее время начали функционировать ряд гравитационно-волновых детекторов: LIGO (Laser Interferometer Gravitational-wave Observatory), VIRGO, GEO600. Детектор LIGO состоит из двух вакуумных установок с 4-х километровыми ортогональными плечами. Гравитационная волна изменяет относительную длину плеч, которая может быть измерена по сдвигу фазы между двумя лазерными пучками в двух плечах. Ожидаемая точность измерений разности между длинами плеч 5L 10 16 см. реализована в детекторе в диапазоне частот 40-120 Гц. В 2008 г. планируется запуск космического лазерного интерферометра LISA (Laser Interferometer Space Antenna) частота которого Ю-4 — 1 Гц. с предполагаемой чувствительностью в этом диапазоне в 107 раз выше чем чувствительность LIGO, VIRGO в диапазоне 40-120 Гц. Детектор LISA позволит регистрировать гравитационные волны, испущенные двойными системами ЧД/ЧД с полной массой в интервале 103- 108 масс Солнца (так называемые массивные и сверхмассивные черные дыры), удаленные на расстояния, соответствующие значениям красного смещения г 3000. Поскольку массивные и сверхмассивные черные дыры не могут образовываться столь рано .(пока они являются первичными), то LISA позволит наблюдать практически все сливающиеся массивные и сверхмассивные двойные черные дыры в видимой Вселенной.
Эффективность гравитационных детекторов сильно понижается на высоких частотах из за статистики подсчета фотонов ("дробовой шум") и на низких частотах из за сейсмических шумов. Фактически сейчас гравитационным детекторам не хватает одного порядка чувствительности, чтобы обнаружить гравитационные волны, поэтому ряд детекторов стали работать по поиску совпадений всплесков в сигнале, т.е. коррелировать свои показания (см. например недавний обзор [701).
КН моды черных дыр
Несмотря на то что большие черные дыры, которые мы наблюдаем сейчас не могут иметь большой электрический заряд, квазинормальное поведение таких объектов представляет значительный интерес, обусловленный не только потребностями ADS/CFT соответствия и петлевой квантовой гравитации но и наблюдательной астрофизики: дело в том, что черная дыра Райсснера-Нордстрема имеет два горизонта - внутренний и внешний, а быстро вращающаяся черная дыра также обладает двумя горизонтами и есть надежда, что изучение спектра черной дыры Райсснера-Нордстрема подскажет какие-то свойства быстро вращающейся черной дыры.
Возмущение заряженных черных дыр имеет ряд особенностей. Во-первых при наличии только гравитационных возмущений наряду с гравитационными волнами возникают также и электромагнитные и наоборот, т.е. каждая мода сопровождается излучением как электромагнитного так и гравитационного излучения. Далее, мнимая часть КН мод растет с ростом заряда Q вплоть до некоторого максимума и затем резко спадает при приближении к Qejrt, экстремальному значению заряда.
Здесь мы рассматривали спад заряженного скалярного поля, которое описывается уравнением (18) с эффективным потенциалом (23). В отличие от случая остальных полей (включая нейтральное скалярное поле) эффективный потенциал зависит от и. Это несколько усложняет непосредственное применение ВКБ формулы, поскольку приходится численно решать систему уравнений Q(fmaz) —Он (75). Кроме того мы ограничены небольшими значениями заряда поля є и "массы поля"// с тем чтобы ВКБ метод был применим, т.е. чтобы и2 « Vmax. В этом случае задача представляет собой туннелирование около пика потенциального барьера.
Прежде всего рассмотрим спад безмассового скалярного поля в окрестности черной дыры Райсснера-Нордстрема. Как видно из таблицы 2. и рисунков 2 и 3 действительная часть и монотонно возрастает с ростом Q в то время как мнимая часть возрастает до некоторого максимального значения и затем спадает вплоть до экстремального значения заряда черной дыры. Такая за-исимость повторяет поведение нейтрального скалярного поля. Чем больше заряд поля е, тем больше действительная и мнимая части и, т.е. "заряженные"моды имеют большую частоту осцилляции и быстрее затухают, а значит на поздних временах квазинормального звона доминируют нейтральные моды. Отметим, что на асимптотически поздних временах (t — оо), наоборот доминируют заряженные возмущения [12], [39]. Это связано с тем, что в то время как асимптотическое поведение нейтральных возмущений обусловлено отношением "черепашьей" координаты г, к координате г, т.е. эффектом кривизны пространства-времени черной дыры, затухание заряженных возмущений - эффект не связанный с кривизной. В асимптотическом поведении заряженных возмущений доминирует эффект обратного рассеяния от электромагнитного потенциала на большом расстоянии от черной дыры [12], [39].
Удивительно, что при приближении к экстремальному пределу мнимая часть и для нейтральных и заряженных возмущений неразличимы в пределах предполагаемой точности метода Уилла-Шутца третьего порядка который использовался при их вычислении. Это однако еще не гарантирует их совпадения, которое было бы трудно объяснить.
Отметим, что скалярные моды нулевой мультипольности можно вычислить по предложенной ВКБ формуле Уилла-Шутца только с значительной ошибкой. Так например для черной дыры Шварцшильда эта ошибка может достигать 10 процентов в третьем ВКБ порядке [28] и до 4 процентов в шестом [14]. Это не дает оснований надеяться на разумную точность в случае заряженного скалярного поля. Важно однако, что структура КН спектра высших мультиполей качественно не отличается от нулевого мультиполя.
Наличие массового члена в уравнении для нейтрального скалярного поля, приводит к росту действительной части и и к увеличению скорости затухания
(см. рис. 4 и 5), т.е. "массивные" моды имеют большую частоту затухания и затухают медленнее безмассовых.
Спад массивного заряженного скалярного поля с точки зрения его характеристического спектра представляет собой, естественно, наложения эффектов от массы /t и от "сопряженного"заряда е: действительная часть и монотонно растет с увеличением зарядов е и Q, мнимая часть увеличивается с ростом с.
Похожие диссертации на Некоторые аспекты квазинормальных мод черных дыр
