Содержание к диссертации
стр.
ВВЕДЕНИЕ 4
ГЛАВА I. ШОГОЬ'ЕРНЫЕ ТЕОРИЙ ПОЛЯ ТИПА КАЛУВД - КЛЕЙНА .. 9
I.I. Единые теории гравитации и электромагнетизма.
Первоначальный вариант 5-мерной теории 9
1.2. Обобщение теории Калуцы-Клейна на случай пе
ременной компоненты Q55 19
1.3. Дальнейшее развитие теории Калуцы-Клейна .... 24
1.4. Обобщение теории Калуцы-Клейна на неабелевы
калибровочные поля 27
1.5. Спиноры в многомерных теориях поля 30
ГЛАВА 2. ПЯТИМЕРНАЯ ТЕОРШ ГРАВИТАЦИИ, ЗЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ
И СКАЛЯРНОГО ПОЛЯ ' 33
2.1. Основные принципы построения 5-мерной теории ... 33
2.2. Эффективный 4-мерный лагранжиан. Уравнения поля . . 36
2.3. Уравнения движения заряженных частиц в пяти
мерной теории 40
2.4. Некоторые точные решения 5-мерной теории поля . . 42
2.5. Решение уравнений 5-мерной теории с условием
квазицилиндричности по 5-ой координате 47
ГЛАВА 3. ШЕСТИМЕРНАЯ ТЕОРШ ГРАВЙТАЦШ, ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗ
МА И СКАЛЯРНОГО ПОЛЯ 52
3.1. "Минимальное" обобщение 5-мерной теории 52
3.2. 6-мерная теория поля и двухпотенциальное
описание электродинамики 55
3.3. Уравнения геодезических в б-мерной теории .... 58
3.4. Массы и заряды скалярных волновых функций .... 62
ГЛАВА 4. АЛГЕБРЫ ШШЮРДА И СПИНОРЫ 69
стр. 4.1. Основные свойства, матричные представления и
классификация алгебр Клиффорда 69
4.2. Скалярные произведения спиноров и группы
автоморфизмов скалярного произведения 75
4.3. Представления вещественного и комплексного типа . 84
4.4. Представления кватернионного типа 93
4.5. Условие Майорана 100
ГЖВА 5. УРАВНЕНИЕ ДИРАКА В ШОГОМЕРШХ ТЕОРИЯХ ПОЛЯ . . НО
5.1. Уравнение Дирака в пространствах произвольной
размерности НО
5.2. Операции зарядового сопряжения и инверсии осей
в пространстве спиноров 116
5.3. Уравнение Дирака в 5-мерной теории поля 121
5.4. Уравнение Дирака в 6-мерной теории поля 131
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 138
ЛИТЕРАТУРА 142
Введение к работе
После создания общей теории относительности (ОТО) были предложены различные теории объединения гравитации и электромагнетизма, среди которых отметим теории Вейля /I/, Картана /2/, Эйнштейна /З/. В этих теориях обобщалась геометрия 4-мерного пространства - времени. Возникавшие при этом дополнительные геометрические характеристики сопоставлялись электромагнитному полю. Хорошо известно, что эти теории не решили проблемы объединения гравитации и электромагнетизма, однако сформулированные в них идеи оказали большое влияние на дальнейшее развитие физики, а предложенный математический аппарат нашел широкое применение в различных областях математики и физики.
По другому пути пошел Т.Калуца /4/, предложивший в 1921 году перейти для описания гравитации и электромагнетизма к 5-мерному риманову многообразию, на метрические свойства которого наложены некоторые ограничения. Ццея Калуцы вызвала широкий интерес, достаточно сказать, что в середине 20-х годов к ней обратились Клейн /5/, Мандель /6,7/, Эйнштейн /8/, Де Бройль /9/, В.А.Фок /10/ и другие, придавшие точный математический смысл предположениям Калуцы и значительно развившие его теорию. Отметим, что именно идея Калуцы привела Клейна и Фока к уравнению, известному теперь как уравнение Клейна-Фока. Дальнейшим развитием теории Калуцы-Клейна (КК) занимались Эйнштейн /II/, Бергман /12/, Паули /13,14/, Йордан /15/, Ю.Б.Румер /16/, Лихнерович /17/, Тоннела /18,19/ и многие другие исследователи.
К классическим результатам этого направления следует отнести получение уравнений Эйнштейна-Максвелла из 5-мерных уравнений Эйнштейна и уравнений движения заряженных частиц в искривленном пространстве-времени из 5-мерных уравнений геодезических.
После экспериментального подтверждения единой теории электро- слабых взаимодействий широкое внимание привлекла теория калибровочных полей, введенных впервые Янгом и Миллсом. Одновременно в 60-х, начале 70-х годов теория КК была обобщена на неабелевы калибровочные поля /20,21,22/. Вскоре стало ясно, что теория типа Калуцы-Клейна является геометризованной теорией калибровочных полей, трактуемых на современном математическом языке как связность в расслоенном пространстве, структурой которого обладает многомерное пространство-время Калуцы-Клейна. интерес к теории КК особенно возрос после того, как было показано, что интенсивно развивавшаяся в конце 60-х, начале 70-х годов теория струн /23/, первоначально созданная для объяснения феноменологии сильных взаимодействий, наиболее естественно и непротиворечиво формулируется в пространстве-времени десяти измерений, а расширенные суперсимметричные теории Янга-Миллса и расширенные теории супергравитации удобнее всего получать размерной редукцией минимальных теорий,формулируемых как теории типа КК в пространстве-времени размерности больше четырех /24,25,31/.
Основные этапы развития теории КК проанализированы в первой главе, имеющей, в основном, обзорный характер. Рассмотрены различные варианты обобщения первоначальной схемы Калуцы-Клейна, предлагавшиеся разными авторами, обсуждены основные физические следствия этих вариантов теории, выявлены их недостатки.
Как показано Ю.С.Владимировым /26/, можно получить различные варианты 5-мерной теории, задавая разными способами конформное соответствие между 4-метриками, непосредственно получающимися при 4+1 расщеплении исходного 5-мерного риманова многообразия, и 4--метриками физического пространства-времени. При этом наибольшее соответствие зфавнений 5-мерной теории стандартным достигается при использовании конформно-киллинговых 5-мерных многообразий, когда имеется пространственно-подобный конформный вектор Киллинга ^д , - б - удовлетворяющий уравнению
О - -ь ^ ~ &. Q ь
В этом варианте 5-мерной теории условие независимости от 5-й координаты (условие цилиндричности Калуцы) заменяется условием ква-зицилиндричности, когда от X зависит только конформный фактор.
Переход от 5-мерной теории к 4-мерной основан, во-первых, на процедуре 1+4 - расщепления (введение структуры расслоения) и, во-вторых, на специальном способе исключения (усреднения) из получающихся уравнений 5-й координаты (переход к эффективному лагранжиану). Получению эффективного лагранжиана, уравнений поля и уравнений движения посвящены первые три параграфа 2-й главы.
В 5-мерной теории 15 уравнений Эйнштейна сводятся к системе 4-мерных уравнений типа Эйнштейна-Максвелла-Клейна-Фока, описывающей взаимодействующие гравитационное, электромагнитное и скалярное поля. Поэтому значительный интерес представляет получение и исследование точных решений 5-мерных уравнений Эйнштейна. Интересный метод генерирования электровакуумных решений уравнений Эйнштейна из вакуумных решений с помощью 5-мерной теории поля был предложен А.А.Рослым /27/. Метод Рослого можно применить к скаляр-но-вакуумным решениям уравнений Эйнштейна, что позволит получить новый класс решений с электромагнитным и скалярным полями.
В рамках 4-мерной ОТО Ныоменоы и другими /28/ был развит метод, называемый часто "методом выхода в комплексную плоскость", позволяющий из сферически-симметричных стационарных решений получать решения типа Керра. Этим методом было получено, например, решение Керра-Ньюмена. Представляется интересным использовать этот метод для получения решения типа Керра 5-мерных уравнений Эйнштейна, используя известное сферически-симметричное решение Крамера /29/. Эти вопросы рассматриваются в двух последних параграфах
2-й главы.
Характерной и нежелательной особенностью 5-мерной теории поля является жесткая связь между зарядом Cj , гравитационной постоянной К и массой покоя заряженной частицы вида: Уп- ~\=^, причем масса и заряд возникают у скалярных полей за счет их зависимости от пятой координаты эс . Подобная связь между массами и зарядами характерна для всех теорий типа КК, включая и обобщение на неабелевы калибровочные поля. Так, Фьюджи показал /30/, что при достаточно общих предположениях, делающихся обычно в теориях типа КК, после перехода к четырехмерной теории между массами и зарядами полей возникает указанное соотношение, причем, если С} ра- -5 вно заряду электрона, то Yft ~Ю г. - очень большая масса по сравнению с массами реальных элементарных частиц. Массы скалярных полей в 5-мерной теории связаны с пространственно-подобной пятой компонентой 5-мерного импульса. Поэтому, если ввести временно- подобное шестое измерение, появляется возможность перенормировать значения масс до масс покоя любой элементарной частицы. Обсуждению возможностей и основных физических следствий б-мерной теории гравитации, электромагнетизма и электрически заряженной материи посвящена глава 3. В ней, в частности, рассмотрены уравнения поля и уравнения движения заряженных частиц, обсуждена связь между шестимерным подходом и двухпотенциальным описанием электромагнитного поля /108/.
Введение заряженного скалярного поля является лишь первым шагом в описании материи в рамках теории типа КК. Следующим необходимым этапом является рассмотрение ферми-полей, описываемых спинорными волновыми функциями. Для введения спиноров в многомерном пространстве V необходимо рассмотреть матричное представление алгебры Клиффорда и его тип в зависимости от размерности \<Ъ = р + С] и сигнатуры р-<] пространства V .
Для записи лагранжиана спинорного поля необходимо рассмотреть скалярное произведение в пространствах спиноров различного типа. Представляет интерес изучение возможности наложения на спиноры условий Майорана, псевдо-Майорана и Вейля, описание перехода от ква-тернионнозначных спиноров к комплексным. Эти вопросы рассматривав ются в 4-й главе.
Для задания динамики спинорных полей необходимо обобщить уравнение Дирака на пространства V ' произвольной размерности и сигнатуры. Чтобы описать заряженные фермионы в 5-мерной и 6--мерной теории гравитации нужно произвести размерную редукцию уравнения Дирака в 5- и б-мерном многообразии к 4-мерному пространству-времени. Рассмотрению и обсуждению этих вопросов посвящена 5-я, заключительная глава.
