Содержание к диссертации
Введение
1 Квантовополевая ренормгруппа в задачах стохастиче ской динамики . 8
1.1 Стандартная форма стохастических уравнений 8
1.2 КП формулировка стохастической динамики. Диаграммная техника 9
1.3 УФ-расходимости, ренормировка 11
1.4 РГ-уравнения 14
1.5 Решение РГ-уравнений 16
2 Ренормгруппа в Н-модели критической динамики, константа Кавасаки . 19
2.1 Введение 19
2.2 Упрощенная HQ - модель 21
2.3 Ренормировка и РГ-анализ HQ -модели 25
2.4 Двухпетлевой расчет в схеме MS 32
2.5 Расчет константы R 41
2.6 Поправки к скейлингу 46
3 Ренормгруппа в теории турбулентности . 52
3.1 Введение 52
3.2 Стохастическое уравнение Навье-Стокса и выбор коррелятора случайной силы 55
3.3 КП формулировка и ренормировка модели 58
3.4 Двухпетлевой расчет константы ренормировки 64
3.5 РГ-функции, неподвижная точка и поправочный индекс 71
4 Универсальные амплитуды в теории турбулентности, константа Колмогорова . 73
4.1 Универсальные амплитуды 73
4.2 Парная корреляционная функция 74
4.3 Расчет константы Колмогорова 81
4.4 с?-мерный случай 88
Заключение 91
Приложение 93
- КП формулировка стохастической динамики. Диаграммная техника
- Упрощенная HQ - модель
- Расчет константы R
- КП формулировка и ренормировка модели
Введение к работе
Эксперимент в теории критического поведения показывает, что различные физические системы могут иметь схожее критическое поведение. Это привело к появлению понятия универсальности: различные физические системы объединяются в классы универсальности с одинаковым критическим поведением. Универсальными величинами являются критические индексы - показатели в степенных законах поведения. Другим примером универсальных величин являются универсальные амплитуды. Простейшей из них является отношение амплитуд А+/А_ в законах, описывающих сингулярное поведение теплоемкости при приближении к критической точке (при т —> 0):
С(т)^±0А±\т\-а'", (1) где г - безразмерное отклонение от критической температуры Тс.
Предложенный Вильсоном в теории критического поведения метод ренормгруппы и ^-разложения позволил рассчитать критические показатели и универсальные отношения амплитуд для многих статических физических моделей вплоть до высоких порядков теории возмущения. Аналогичные расчеты в динамических задачах намного сложнее и редко когда выходили за рамки однопетлевого приближения.
Основной задачей этой работы является ренормгрупповой расчет универсальных амплитуд и критических индексов (с двухпетлевой точностью) в двух задачах стохастической динамики путем исполь- зования наиболее эффективного квантовополевого варианта ренорм-групповой техники. Этими задачами являются Н-моделъ критической динамики, описывающая эффект критического замедления в окрестности критической точки перехода жидкость-газ, и стохастическая теория развитой турбулентности.
Для модели Н ранее (1976-78гг) в двух различных работах [1, 2] были произведены двухпетлевые расчеты критических индексов и универсальной амплитуды Кавасаки. В первой работе [1] были рассчитана константа Кавасаки, а также индексы х\ = 4 — z — г] и xjj = z — d, выражающиеся через z - критическую размерность частоты, г] - статический индекс Фишера и d - размерность пространства.
Во второй работе [2] были рассчитаны отсутствующие в первой работе поправочные индексы со. Однако приведенные в этой работе выражения для РГ-функций содержат явные опечатки и не согласуются с результатами первой работы.
Несмотря на столь явные противоречия, эти работы постоянно используются при обработке экспериментальных данных, а также в других теоретических работах, имеющих отношение к ії-модели. Поэтому была поставлена задача произвести расчет этих величин при помощи современной техники (размерная регуляризация, схема MS и т.п.).
Вторая часть данной работы посвящена исследованию стохастического уравнения Навье-Стокса со случайной силой (модель Уайл-да). Одной из главных задач последовательной статистической тео- рий является обоснование знаменитого закона 5/3 для распределения энергии по размеру пульсаций
Е(к) = С'К2/3к-5/3, (2) где - скорость диссипации энергии на единицу массы. Этот закон был открыт Колмогоровым еще в 1941 году и неоднократно подтвержден экспериментально.
Метод РГ позволил успешно объяснить показатель 5/3. Однако вычисления безразмерной амплитуды С'К, предпринятые в нескольких работах методом РГ, неожиданно дали сильно различающиеся между собой результаты (все эти расчеты были произведены в одно-петлевом приближении).
Рассмотрев упомянутые выше работы, мы выяснили, что подобные различия обусловлены тем, что авторы пытались вычислять е-разложение константы Колмогорова, тогда как эта величина не является универсальной и ^-разложение для нее не может быть определено однозначно. Поэтому константа Колмогорова не может быть вычислена при помощи теории возмущения непосредственно, а должна быть выражена через какую-нибудь универсальную величину.
Ниже кратко поясняется структура работы.
Обзор состояния исследований по теме диссертации приводится в основном тексте.
КП формулировка стохастической динамики. Диаграммная техника
Согласно [3] любая стохастическая задача (3) полностью эквивалентна квантовополевой модели с удвоенным числом полей ф = Lp ip и функционалом действия Эквивалентность означает, что функции Грина стохастической задачи — это обычные функции Грина квантовополевой модели (4). В общем случае функционал U в правой части (3) содержит линейную по (/? часть Lip с некоторой операцией L и нелинейный вклад n(tp): Тогда для (4), учитывая (5), получим: Квадратичные по полям вклады составляют свободное действие 5о(0), а вклад нелинейности tp n(ip) = У(ф) - взаимодействие. Роль линий в диаграммах играют элементы матрицы А = К х затравочных корреляторов. Матрица К находится путем симметризации квадратичных вкладов действия (6): Функция Аі2 является функцией отклика на внешнюю силу и обладает свойством запаздывания, вытекающим из естественного требования причинности: решение ір уравнения (3) в момент времени t не может зависеть от значения силы в будущие моменты времени. Таким образом, транспонированная величина A2i = A 2 будет опережающей, а симметричный коррелятор Ац = А содержит оба — запаздывающий и опережающий вклады. Взаимодействию в (6) соответствует вершина с одним полем tp и двумя или более полями ср. Поле ip может сворачиваться в диаграммах только с полем р, в силу равенства Л22 = 0.
Исходя из вида пропагаторов и вершин модели типа (4) вытекает простое следствие: Любая 1-неприводимая диаграмма с внешними линиями только поля р дает нулевой вклад из-за присутствия в ней замкнутого цикла запаздывающих функций Ai2 В моделях, в которых диаграммы вычисляются без УФ-обрезания Л, а расходимости проявляются в форме полюсов по параметру є, определяющему отклонение от логарифмичности, устраняющая УФ-расходимости процедура мультипликативной ренормировки состоит в следующем. Исходное действие S((f ) объявляется неренормирован-ным, его параметры ео — затравочным. Они считаются подлежащими определению функциями новых ренормированных параметров е. Новым ренормированным действием считается функционал 5д( / ) = S(Z f,(j)) с также подлежащими определению константами ренормировки полей Z(f). В общей теории ренормировки [3] различают неренормированное (S), ренормированное (SR) И базовое (SR) действие. Последнее получается из S заменой параметров их ренормированными аналогами. УФ-расходимости устраняются добавкой к базовому действию SB всех необходимых контрчленов ASj которые находятся по правилам, описанным ниже. Если полученное таким путем ренормиро-ванное действие 5д( / ) = 5в( / ) + A(0) можно воспроизвести при помощи переопределения полей и параметров в исходном неренор-мированном действии 3(ф), то модель является мультипликативно-ренормируемой. Вид необходимых контрчленов определяется по каноническим размерностям 1-неприводимых функций Грина базовой теории с действием SB- Модели типа (4) являются двухмасштабными, т.е. любой величине F (поля, параметры, ...) можно сопоставить [3] две независимые канонические размерности — импульсную dF и частотную dF, определив их из естественных условий нормировки dfc = — dk = 1, d% = d% = 0, d1 = dk = 0, d = — df = 1 и требования безразмерное (импульсной и частотной) каждого слагаемого действия. По dkF и dF можно затем вывести суммарную (полную) каноническую размерность dp.
Определение этой величины зависит от модели; например, если в действие входит комбинация dt + const х Л, то следует положить dp = dkF + 2 fp, т.е. со ос к2 по суммарной размерности. Канонические размерности произвольной 1-неприводимой функции Грина Г = (ф... 0)і_н для (f-мерной задачи определяются соотношениями размерности dr в логарифмической теории, т.е. при є — 0, есть формальный индекс УФ-расходимости 5 = dr(e = 0). Поверхностные расходимости, для устранения которых требуются контрчлены, могут присутствовать только в тех функциях Г, для которых 6 — целое неотрицательное число [3]. При анализе расходимостей нужно также учитывать следующие дополнительные соображения: 1) для любой динамической модели типа (4) все 1-неприводимые функции Грина только основных полей /? обращаются в нуль (ввиду наличия замкнутых циклов запаздывающих линий) и поэтому не порождают контрчлены; 2) если по каким-либо причинам из всех диаграмм данной функции Грина выделяется наружу в виде множителей некоторое число внешних импульсов или частот, реальный индекс расходимости 5 оказывается меньше 6 на соответствующее число единиц; 3) иногда формально разрешенные по размерности расходимости от сутствуют в силу требования симметрии, например галилеевой инвариантности модели; 4) ввиду обязательной локальности всех контрчленов нелокальные вклады действия (если они есть) никогда не ренормируются, т.е. одинаковы в SB{4 ) И в 5д ( / ).
Упрощенная HQ - модель
Модель Н [1, 2, 4] описывает критическую динамику системы полей tp — {ф(х),Уі(х), х = ,х}, где ф - поле "параметра порядка", a V{ - поперечное (diVi = 0) векторное поле скорости среды. (В работах [1, 2, 4] вместо поля v используется пропорциональная ему величина j. Но эквивалентная j переменная v проще по смыслу и более удобна при обсуждении галилеевой инвариантности.) Модель задается следующим статическим функционалом действия для не зависящих от времени t полей /?(х): (здесь подразумевается интегрирование по d-мерному аргументу полей х, а запись (32) соответствует равновесному статическому распределению expSst((f) без минуса в показателе). Динамическая Н-модель определяется следующей системой стохастических уравнений: (35) где Р1- в (34) - поперечный проектор по векторным индексам поля v и Величины %,(#) в (33)-(35) - случайные источники ("шумы") с гауссовым распределением, заданным корреляторами (35) и условием (% (#)} = 0, %,(ж) в уравнениях (33) и (34) - любые их конкретные реализации. Статическое действие (32) считается неренормированным, входящие в него параметры - затравочными, Ао и г/о в (33)-(35) - затравочные коэффициенты теплопроводности и вязкости. Все затравочные параметры отмечаются индексом "О", теми же буквами без такого индекса обозначаются их ренормированные аналоги (коэффициент а в (32) ренормироваться не будет).
По общему правилу, изложенному в разделе 1.2, стохастическая задача (33)-(35) эквивалентна квантовополевой модели с удвоенным числом полей ф = р, ip = ф, v, ф , v (vf - также поперечное векторное поле) и функционалом действия (интеграл по ж = і, х и нужные суммирования по векторным индексам подразумеваются). Если выполнить в (37) растяжение v — av вспомогательного поля v и ввести обозначение получим следующее выражение для неренормированного динамического действия: параметр #20 имеет смысл затравочного заряда межмодового взаимодействия, а дю в (32) - затравочный статический заряд (в обозначениях [1] v = g0j, v = g0j\ a = g 2, g20 = дЦХ щ). В инфракрасной (ИК) асимптотике относительная существенность различных вкладов в функционале (39) определяется значениями "суммарных размерностей" dF числовых коэффициентов, входящих в (39). Для произвольной величины F (поля или параметра) значение dF определяется соотношением где dpudp- импульсная и частотная канонические размерности данной величины F [9], dL0 - суммарная размерность частоты, которая определяется по виду линеаризованных стохастических уравнений при Т = Тс (т.е. го = 0 в (32)). В нашем случае в линейную часть уравнения (33) входит комбинация dt + const д4, а в уравнении (34) - другая комбинация dt + const д2. Поэтому определение суммарной размерности частоты du в данном случае неоднозначно и зависит от выбора асимптотического режима при к — 0: либо ш к4, либо же и к2. В такой ситуации выбор режима фактически является просто одним из элементов точной постановки асимптотической задачи. Во всех работах, посвященных Л-модели, исследуется режим со к , соответствующий полноценной динамике для поля параметра порядка 0, что означает выбор du — 4 в соотношении (40). В таком режиме вклад v dtv в (39) является в действительности ИК-несущественным и может быть отброшен. В этом можно убедиться по данным таблицы, в которой приведены канонические размерности всех полей и параметров (в том числе и ренормированных, которые будут определены позднее) модели (39).
По данным таблицы видно, что в логарифмической теории (є = 0) коэффициент а в (39) имеет отрицательную суммарную размерность da = —2, тогда как для всех других коэффициентов в (39) dF — 0. Это и означает, что вклад —av dtv в (39) является ИК-несущественным по сравнению с прочими, т.е. дает лишь поправки к скейлингу и при анализе ведущих критических сингулярностей может быть отброшен. Динамическую модель (39) с а = 0 для краткости будем называть "Яо-моделыо". Будем рассматривать ренормировку в схеме минимальных вычитаний (MS). Она осуществляется применением стандартной ренорми-ровочной R-операции схемы MS к диаграммам базовой теории (см. п. 1.3). Подставив в (39) явное выражение для производной Н (36) действия (32) и выполнив указанную выше замену параметров, для динамического базового действия і7-модели получим: где дів = giji с і = 1,2- базовые заряды, /І - ренормировочная масса, г, Л, а и git2 - ренормированные параметры. Их канонические размерности приведены в таблице. В слагаемом у ірдНф от производной (36) статического базового действия (32) остается лишь вклад д2ф в Нф ввиду поперечности поля v . На языке функционала действия ренормировка осуществляется добавлением всех нужных для устранения УФ-расходимостей (полюсов по є в функциях Грина) контрчленов к базовому действию (41). Вклад —av dtv в (41) понимается при этом как вставка ИК-несущественного составного оператора. Контрчлены строятся в форме рядов по а, линейные по а контрчлены соответствуют ренормировке v dtv — [v dtv]R данного составного оператора. Таким образом, полное выражение для ренормированного действия і -модели выглядит следующим образом: где SR (ф) - вклады нулевого порядка по a, [v dtv]R - ренормирован-ный составной оператор, многоточие - поправки порядка а2 и выше от контрчленов диаграмм со вставками двух или более таких операторов. В действительности важно лишь первое слагаемое в (42), т.е. ре-нормированное действие і о-модели, поскольку все кратные а, а2, ... поправки в функциях Грина являются ИК-несущественными (п.2.2). Но
Расчет константы R
Для статического индекса и\ в (77) численное значение при d — 3 известно по данным пятипетлевых вычислений с использованием процедуры борелевского суммирования: о;і = 0,81 ± 0,04 [12]. Универсальную константу Кавасаки R в терминах Яо-модели (43) можно определить как предельное значение в ИК-асимптотике г — 0 следующей канонически и критически безразмерной величины : в которой Гк - ренормированные функции отклика (72) (для T ,v имеется в виду скалярный коэффициент при поперечном проекторе), а = (т) - корреляционная длина. Она определяется соотношением где Г = — [Dft} - обратный ренормированный статический коррелятор (фгр) с точностью до знака. Однопетлевой вклад в Г определяется одной диаграммой типа Т,д из (60). Согласно соотношениям (45), функции (72) не ренормируются (т.е. для них ZF = Z Z i — ZVZV — 1), поэтому каждая из них и их произведение удовлетворяют однородному РГ-уравнению (49) с 7F = 0. То же самое справедливо и для величины (83), поскольку константы ренормировки в частном сокращаются и следовательно, сокращаются и для всей функции (82). На функциях, зависящих только от указанных в (82) аргументов, РГ-оператор (50) принимает вид РРГ = — (2 + jT)Vs + J2Pgdg а из РГ-уравнения Vpr${s,g) — 0 следует, что в ИК-асимптотике s = т//і2 — 0 функция Ф(в,д) стремится к конечному пределу Ф(1,д ).
Этот предел и есть, по определению, константа Кавасаки: Соотношения (83) и (84) являются рабочими формулами для расчета константы R. Поясним кратко сам расчет. Поскольку из функции F ,v в (72) выносится множитель д , переходящий в (84) в известную из (76) только с одной поправкой величину д } — (1б7г2гі2 )_1 , в коэффициентах при этом множителе достаточно ограничиваться тоже только одной поправкой, т.е. однопетлевым приближением. С такой точностью для функций (72) имеем: с константами Z в однопетлевом приближении и Si и Щ из (64). Последнее слагаемое в (85) с и\ и q из (66) - вклад диаграммы ТА ИЗ (60), ренормированной в стандартной схеме MS. Учет констант Z в (85),(86) эквивалентен вычитанию полюсных по є вкладов из выражений (64), что дает с нужной точностью: с «2 и g из (66) и известными из (67) коэффициентами. Однопетлевой расчет 2 по формуле (83) в схеме MS дает: Отсюда для множителя d 2 — 2_є в (82) с нужной точностью имеем: Подставляя в (82) выражения (85),(86) и (89), с учетом (66) и (87) получаем: (В произведении величин (85) и (89) вклады с щ взаимно сокращаются). Полагая в (90) s = T/JJ,2 — 1, iz = w и подставляя конкретные значения коэффициентов из (67), согласно определению (84) получаем: С = - (1) - постоянная Эйлера. В соотношение (91) нужно подставить известную из (76) величину 2 в двухпетлевом приближении для общего множителя и в однопетлевом - внутри фигурной скобки в (91). Для приведения к форме записи [1] нужно выделить из (91) определенный в (30) множитель К д. С нашей точностью Kd = (8тг2)-1 [1 + є (a + 1)/2] с а из (92), откуда с учетом и2 = 12є/19 + ... имеем: (вклад с а сокращается). Окончательный ответ получается подстановкой в (93) двухпетлевого выражения (76) для 2 , что дает: (1/54 - вклад г\ из (76)). Подстановка в (94) численного значения В из (79) приводит к конечному результату для R [8]: В заключение приведем определение "эффективных коэффициентов" теплопроводности (Ае/) и вязкости (f]ef) в HQ -модели, поскольку это важные физические характеристики системы и именно через них обычно определяется константа R (соотношение (2.15) в [1]): где а - параметр из (39) и (41), х-ф статическая восприимчивость простой ф -модели, а под T ,v понимается скалярный множитель -коэффициент при поперечном проекторе по индексам.
Определение Xef в (96) эквивалентно приближенному представле нию Т1}, і іш е/{т)к2Хф (r) в области малых (сравнительно с т) к и си. Для получения соотношения (96) для 7е/ необходимо учесть линейные по а поправки к ІУо-модели в (42). Они дадут, во-первых, добавку гаси к ее функции T ,v, во-вторых, кратные ак2 поправки к Г , которыми можно пренебречь как ИК-несущественными. Выражение iauo+T ,v при малых (сравнительно с т и си) волновых векторах к приближенно заменяется на а [геи — k2r)ef (т, си)], что и приводит к определению (96). Подчеркнем, что в соотношения (96) входят ренормированные функции До-модели с а — 0. Ее функция T ,v, в отличие от Тф,ф, не содержит вклада типа геи и кратна к2 . Это и позволяет определить величину 7е/ при и ф 0, что неестественно для Xef. Величины (96) имеют определенные критические размерности, которые легко найти из следующих соображений: ренормированные функции отклика (фф ) HQ-МОДЄЛИ в , х - представлении имеют размерности Аф + Аф , к этому добавляется —d — Аш при переходе к си, к -представлению и общий знак минус при переходе к 1-неприводимым функциям типа (72).
Поэтому для критических размерностей AF = A[F] величин (72) получаем : Отсюда с учетом соотношений (53),(55) и Д[х / ] = 1 2 Для статической восприимчивости находим критические размерности величин (мы привели также традиционные обозначения [1]). Поэтому в критическом режиме с точностью до несущественных множителей где ос т_г/ с 1/v = Ат - корреляционная длина, / - некоторая скей-линговая функция от критически безразмерного аргумента, переходящая в константу при и = 0. Соотношения (98),(99) согласуются с формулами (2.7) и (2.8) работы [1]. Поправки к скейлингу в .Я-модели (39) определяются, во-первых, найденными выше поправочными индексами ш (77), во-вторых, влиянием ИК-несущественной добавки —av dtv в неренормированном функционале (39). В работе [2] связанный с этой поправкой параметр трактуется как добавочный заряд w с w — 0 (в обозначениях (39) для затравочных параметров WQ = а\ д2о), со своей /9-функцией /3W и соответствующим поправочным индексом ww, для которого в [2] приводится значение Такой подход в действительности некорректен, так как в данной ситуации речь идет о поправках от "возмущения системы"ИК несущественным по размерности неренормированным локальным составным оператором, который может смешиваться при ренормировке с другими операторами. В общем случае к оператору v dtv = Fi могут примешиваться любые другие разрешенные по симметрии локальные составные операторы F , к = 2, 3,... с тем же или меньшим значением размерности dp = dp (є = 0) (для оператора F\ имеем dF = 10 согласно данным таблицы в п.2.2). Каждый конкретный оператор входит в некоторую конечную замкнутую систему операторов F = {Fi}, смешивающихся при ренормировке только между собой, т.е. fc где Fi - неренормированные, a [Fi]R - ренормированные операторы, Q - матрица смешивания. Определенными критическими размерностями обладают не сами ренормированные операторы [Fi]R , а те их линейные комбинации ("базисные операторы")
КП формулировка и ренормировка модели
Стохастическая проблема (107), (108) эквивалентна (см. п.1.2) кван-товополевой модели с удвоенным количеством поперечных векторных полей ф = {(/?,(/? } и действием где Df - коррелятор случайной силы (108), необходимые интегрирования по х — {, х} и суммирования по векторным значкам подразумеваются. Модели (116) соответствует стандартная диаграммная техника с затравочными пропагаторами импульсно-частотном (w-k) представлении или в t-k представлении; общий множитель -Pij(k) в (117), (118) подразумевается. Взаимодействие в (116) соответствует тройной вершине — Lp ((pd)(p — (p iVijsipjips/2 С ВерШИННЫМ МНОЖИТелеМ Vijs — i(kj5is + ksSij), где k - импульс, втекающий в вершину через поле ср . Роль константы связи (параметра разложения в обычной теории возмущения) играет go = Для модели с накачкой (115) неренормированное и базовое действия имеют вид нелокальный вклад записан символически, нужные суммирования по индексам поперечных векторных полей и интегрирования по х = t, х подразумеваются, \і в (120) - ренормировочная масса, ео = {Уо? ?о} затравочные, а е = {у, д} - соответствующие ренормированные параметры. Канонические размерности полей и параметров модели для произвольной размерности пространства d приведены в таблице.
По этим размерностям из (10) находим 6 = dp = i + 2 — n — (с?— 1)пу,/, где П(р и П(р — количество соответствующих полей в Г. Из вида вершины теории (119) следует, что на каждую внешнюю линию ір в диаграммах обязательно выделяется символ д. Отсюда следует, что реальный индекс расходимости 5 = 5 — п — d -\- 2 — п — dn i. По виду индексов заключаем, что при d 2 поверхностные расходимости есть лишь в 1-неприводимых функциях ((//(/?) (6 = 2, 6 — 1) и (ip ipip) (6 = 1, 6 = 0), а в соответствующих контрчленах обязательно есть символ д. Поэтому первая функция порождает только контрчлен ip Acp без добавки (p dttp той же размерности, а вторая, при учете поперечности полей, порождает кратный вершине (115) контрчлен tpf((pd)ip. В действительности последний контрчлен отсут ствует вследствие галилеевой инвариантности модели (120), которая требует, чтобы операции dt и ( рд) входили в контрчлен только в виде ковариантной производной V = dt + ( рд). Поэтому из отсутствия контрчлена p dt p следует отсутствие контрчлена (p ( pd)ip. При d — 2 появляется новая поверхностная расходимость в функции ( V) ( = 2, 5 = 0), порождающая локальный контрчлен tp Д р . Двухпетлевой расчет с учетом этого контрчлена произведен в работе [33]. Рассматривая задачу (112) при d 2, достаточно ограничиться введением единственного контрчлена (р Дц?. Добавляя его к (120), получаем ренормированное действие [34, 35] (121) где Zv — полностью безразмерная константа ренормировки, зависящая от единственного безразмерного параметра g (зависимость от d и г подразумевается). Ренормированное действие (121) получается из неренормированного (119) стандартной процедурой мультипликативной ренормировки: Связь между Zg и Zv в (122) следует из отсутствия ренормировки нелокального вклада коррелятора случайной силы в (121).
Явный вид Zv зависит от выбора схемы вычитаний. Назначение контрчлена — сокращение полюсов по в диаграммах, поэтому коэффициент при контрчлене обязан содержать такие полюсы. Но его конечная часть может выбираться произвольно, ее фиксация и есть выбор схемы вычитаний. Наиболее удобной для расчетов является схема минимальных вычитаний (MS) [3], в которой контрчлены содержат только полюсы по є и никаких конечных вкладов. Таким образом, в схеме MS при ренормировке из расходящихся выражений вычитаются только полюсы по є без изменения конечных вкладов, а константы ренормировки Z имеют вид:
