Введение к работе
Диссертация посвяшена исследованию некоторых теоретико-полевых и матричных моделей в рамках 1/Лт-разложения. Разложение по степеням обратного числа цветов первоначально было предложено для квантовой хромодинамики (КХД), в последние годы матричные модели и 1 /Л'-разложение для них примененялись в теории некритических струн и двумерной квантовой гравтации. В данной диссертации изучались системы, занимающие промежуточное положение между теорией поля и матричными моделями. Развитые при этом методы могут оказаться полезными и для более сложных теоретико-полевых систем; полученные результаты могут быть использованы при исследовании связи теории поля с теорией струн.
АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМЫ связана с тем, что методы l/iV-разложения и матричные модели нашли широкое применение в квантовой теории поля и теории струн. Разложение по степеням 1/Л' является, пожалуй, наиболее перспективным подходом к квантовой хромодинамике, не связанным с. теорией возмущений. В КХД -.УО'^-калибровочной теории сильных взаимодействий - эффективная константа связи растёт с. уменьшением характерной энергии, в результате чего теория возмущений непригодна для описания низкоэнергетических свойств сильного взаимодействия в рамках КХД. Отсутствие естественного малого параметра делает исследование инфракрасных свойств КХД чрезвычайно сложной задачей. В связи с этим было предложено считать малым параметром обратное число цветов - 1/Лг [1]. В SU(N)-калибровочной теории существует регулярное разложение по степеням этого параметра. Хотя реально число цветов не очень велико - N = 3, оценки показывают, что уже нулевой порядок, то есть предел N —> оо, имеет 10-15% точность.
К сожалению, КХД остаётся слишком сложной даже в многоцветовом пределе. По-видимому, для получения каких-либо количественных результатов придётся делать дополнительные упрощающие приближения. В связи с этим представляет интерес изучение более простых моделей, в которых предел Лг —> оо может быть исследован до конца. Используемые при этом методы могут оказаться полезными при решении более сложных и физически более, содержательных задач. Кроме того, общие качественные свойства, которые следует ожидать от КХД в пределе бесконечного числа цветов, должны проявляться и в упрошенных моделях. Следует отметить, что известно не так много теоретико-полевых моделей, точно решаемых в многоцветовом приближении.
Важный аспект IJN-разложения заключается в его струнной интерпретации. На качественном уровне связь l/iV-разложения с теорией струн может быть установлена в рамках теории возмущений. Правила фейнмановской диаграммной техники для калибровочных полей могут быть переформулированы таким образом, что каждая диаграмма будет иметь определённый порядок по 1/N [1]. При этом диаграммы имеют естественную топологическую классификацию, такую же, как и мировые поверхности струны, распространяющейся в четырёхмерном пространстве-времени.
Суммирование диаграмм определённой топологии служит аналогом интегрирования по координатам струны и по внутренним метрикам на мировой поверхности, а 1/Лг2 играет роль струнной константы связи. Более определённых результатов, касающихся связи многоцветовой квантовой хромодинамики с теорией струн, пока не получено.
Тем не менее, такая связь вполне последовательно разработана для нульмерных матричных моделей. Тот факт, что теорию возмущений для матричных интегралов можно рассматривать как сумму по дискретизованным случайным поверхностям, оказался чрезвычайно полезным в теории некритических струн и двумерной квантовой гравитации. В непрерывном пределе такой подход совершенно эквивалентен описанию флуктуации метрики с помощью теории поля на мировом листе, но в некоторых отношениях он оказался более удобным. Связано это с наличием хорошо разработанных методов 1/yV-разложения для матричных моделей [2]. В частности, матричные модели позволяют дать непертурбативное описание флуктуации топологии [3], что практически невозможно сделать в рамках непрерывного подхода. Таким образом, с точки зрения двумерной квантовой гравитации изучение матричных моделей мотивируется статистической интерпретацией соответствующих им диаграмм теории возмущений. Кроме того, оказалось, что в матричных моделях естественным образом возникают некоторые математические объекты, характерные для теории струн.
Интересно, что у матричных моделей есть многомерное обобщение, поддающееся анализу с помощью методов, близких к используемым при D < 1. Эта модель, предложенная Казаковым и Мигдалом [4], формулируется на решётке и описывает взаимодействие скалярного поля в присоединённом представлении SU(N) с. калибровочными полями, которые не имеют кинетического члена. Она также может представлять интерес с точки зрения теории некритических струн. Кроме того, модель Казакова-Мигдала тесно связана с решёточной КХД при конечной температуре [5]. Термодинамика КХД представляет интерес, прежде всего, в связи с описанием фазового перехода конфайимент-деконфайнмент. В рамках теории поля наличие такого перехода впервые было продемонстрировано в пределе сильной связи решёточной теории [6]. Рассмотренная в [б] модель очень близка к предложенной Казаковым и Мигдалом, и может быть подробно исследована аналогичными методами.
ЦЕЛЬЮ РАБОТЫ является:
-
Развитие методов 1/Лг-разложения для фермионных и суперсимметричных матричных моделей.
-
Исследование алгебры связей, возникающих из петлевых уравнений в решёточной калибровочной теории. Кратко обсуждается непрерывный предел.
Л. Исследование решёточных калнбровочно-пнварнантных матричных моделей в пределе N —* оо.
4. Применение методов 1 /iV-разложения для описания фазового перехода конфайимент-деконфайнмент в модели неабелевого кулоновского газа и в решёточной
калибровочной теории в пределе сильной связи.
НАУЧНАЯ НОВИЗНА диссертационной работы заключается в следующем:
1. В диссертации развиты методы решения нового класса матричных моделей
- фермионных и суперсимметричных. Статистическая сумма фермионной модели
определяется как интеграл по матрицам, элементы которых представляют собой не
зависимые грассмановы переменные. Такие интегралы не сводятся к собственным
значениям, поскольку такое понятие не определено для фермионных матриц. Тем не
менее, фермионные матричные модели можно точно решить в пределе N —* оо с помо
щью петлевых уравнений. В диссертации найдено решение фермионной одноматрич-
ной модели для произвольного потенциала взаимодействия; для фермионной двух-
матричной модели задача сведена к алгебраическому уравнению. Предложен метод
решения суперсимметричных матричных моделей, использующий, кроме, уравнений
Швянгера-Дайсона, также тождества Уорда. Такие модели определяются интегра
лом как по бозонным, так и по фермионным матрицам, которые связаны преобразо
ваниями суперсимметрии. Планарные диаграммы для суперсимметричных моделей
имеют статистическую интерпретацию в терминах ветвящихся полимеров. Исследо
вано критическое поведение для супермсимметричных моделей, найдены новые типы
:кейлинговых режимов. Изучены также суперсимметричные двухматричные модели.
-
Уравнения Швингера-Дайсона в решёточной калибровочной теории переписаны з виде связей, наложенных на производящий функционал для вильсоновских петель. Изучена алгебра, которую образуют эти связи. Такая конструкция обобщает известное построение алгебры Вирасоро в матричных моделях. Показано, что рассматри-їаемая алгебра генерирует замены образующих пространства петель на решётке. Тогтроены объекты, обобщающие конформные поля целого спина для данной алге->ры.
-
Изучались решёточные калибровочно-инвариантные теории, близкие к модели Сазакова-Мпгдала. Для фермионной решёточной модели выведены петлевые уравне-1ия, которые сводятся к нелинейным интегральным уравнениям на локальные корректоры. Для гауссовой модели решение получено в явном виде. Для откалиброванного лавного киралыгаго поля найдены уравнения седловой точки, полностью определяющие динамику при больших Л'. Этот результат используется затем для исследования >азового перехода конфайнмент-деконфайнмент в решёточной калибровочной теории
пределе сильной связи.
4. Подробно исследован методами l/iV-разложения фазовый переход конфайн-
ент-деконфайнмент для ряда моделей. Изучались: решёточная калибровочная те
рпя в пределе сильной связи [б]; одномерная модель неабелевого кулоиовского газа,
которой сводится двумерная КХЛ с тяжёлыми полями материи в присоединённом редставлении; многомерный неабелевый кулоновский газ на решётке. Для всех рас-матриваемых моделей построена фазовая диаграмма. Показано, что во всех случаях меетгя переход конфайнмент-деконфайнмент первого рода. Для многомерного не-
абелевого кулоновского газа найдена также линия фазового перехода третьего рода в фазе деконфайнмента.
ПРАКТИЧЕСКАЯ И НАУЧНАЯ ЦЕННОСТЬ диссертации заключается в том, что:
-
Рассмотренный в диссертации подход к статистике ветвящихся полимеров, основанный на суперсимметричной матричной модели, во многих отношениях более удобен, чем использовавшиеся ранее комбинаторные, методы. Кроме того, суперсимметричные матричные модели, по-видимому, могут быть использованы для непертурбативного описания двумерной квантовой супергравитации.
-
Рассмотренная в диссертации алгебра связей для решёточных калибровочных теорий является прямым обобщением алгебры Вирасоро, аналогичным образом возникающей в матричных моделях. Связь между матричными моделями и теорией струн хорошо изучена, поэтому полеченные результаты представляют интерес с точки зрения теории струны, возникающей в КХД.
-
Развитые в диссертации методы І/Л^-разложения для решёточных матричных моделей могут оказаться полезными при изучении более сложных теоретико-полевых систем.
-
Подробно исследованные в диссертации калибровочные теории при конечной температуре служат примерами точно решаемых моделей, в которых имеется фазовый переход конфайнмент-деконфайнмент.
АПРОБАЦИЯ ДИССЕРТАЦИИ И ПУБЛИКАЦИИ. Основные результаты диссертации докладывались на семинарах отдела квантовой теории поля Математического Института им. В.А.Стеклова РАН; на IV международной конференции по математической физике, теории струн и квантовой гравитации (Рахов, 1994); на V международной конференции по математической физике, теории струн и квантовой гравитации (Алушта, 1994); на X международной конференции "Адроны-94" (Ужгород, 1994) и на международном рабочем совещании "Струны в квантовой теории поля п случайные поверхности" (Москва, 199С).
По материалам диссертации опубликовано 9 работ, список которых приведен в конце автореферата.
СТРУКТУРА И ОБЪЕМ ДИССЕРТАЦИИ. Диссертация состоит из введения, четырёх глав, заключения, трёх приложений и списка литературы, содержащего 157 наименований. Общий объем 108 страниц.
