Содержание к диссертации
Введение
1 Тензорный анализ на супермногообразиях 15
1.1 Алгебра и анализ с антикоммутирующими переменными . 16
1.2 Супермногообразия 24
1.3 Тензорные поля на супермногообразиях 25
1.4 Ковариантная производная 34
1.5 Тензор кривизны( 37
2 Супермногообразия Римана 39
2.1 Определение и свойства римановых супермногообразий . 40
2.2 Связность 44
2.3 Соотношения высших порядков в нормальных координатах . 47
2.3.1 Аффинные расширения тензоров 47
2.3.2 Соотношения первого порядка 51
2.3.3 Соотношения второго порядка 53
2.3.4 Соотношения третьего порядка 57
2.4 Производящие функции соотношений высших порядков в произвольных координатах 61
3 Супермногообразия Федосова 67
3.1 Определение супермногообразий Федосова 68
3.2 Симплектическая связность 75
3.3 Соотношения высших порядков в нормальных координатах . 77
3.3.1 Соотношения первого порядка 78
3.3.2 Соотношения второго порядка 80
3.3.3 Соотношения третьего порядка 83
3.4 Производящие функции соотношений высших порядков в произвольных координатах 88
Заключение 92
Литература 96
- Супермногообразия
- Ковариантная производная
- Соотношения высших порядков в нормальных координатах
- Симплектическая связность
Введение к работе
Методы дифференциальной геометрии широко используются при формулировке физических теорий, как классических, так и квантовых, призванных описать все известные в настоящее время фундаментальные взаимодействия - электромагнитные, слабые, сильные и гравитационные [1-13]. В первую очередь, отметим решающую роль этих методов в формулировке общей теории относительности Эйнштейна - классической теории гравитационных взаимодействий, где основными объектами выступают многообразия, оснащенные метрическим тензором, с помощью которого описывается гравитационное поле, и симметричной связностью, которая согласована с данным метрическим тензором. Такие многообразия носят название многообразий Римана и их свойства хорошо изучены и изложены в большинстве современных монографий по дифференциальной геометрии [5,14-21]. Электромагнитные взаимодействия описываются абелевыми векторными полями в рамках классической или квантовой электродинамики на четырехмерном пространстве-времени с индефинитной метрикой - пространстве Минковского [22-28]. Для описания слабых и сильных взаимодействий привлекаются неабелевы калибровочные поля на пространствах Минковского в рамках теорий Янга-Миллса [29-41]. Общепринятый в настоящее время подход к описанию фундаментальных взаимодействий основан на использовании концепции калибровочных полей в рамках классической механики и квантовой теории поля.
Формулировка классической механики основана на использовании симплектических многообразий, то есть многообразий, оснащенных невырожденной замкнутой дифференциальной 2-формой или, что то же самое, невырожденной скобкой Пуассона [42, 43]. Исходным в классической механике является фазовое пространство М, каждая точка которого может быть охарактеризована координатами хг = (qA,PA)-> ГД Л = 1, 2,..., п, п -число степеней свободы рассматриваемой динамической системы, a qA,pA - канонически сопряженные (относительно скобки Пуассона {F, G}) координаты и импульсы:
,„_, dF dG dGdF OF tjdG . A . u
{F'G} = WWa ~ WWa s a^W {q'Pb} = '*
ufi - постоянная матрица, обладающая свойством антисимметрии
шч = -иР\
Скобка Пуассона обладает следующими свойствами:
свойство антисимметрии: {F, G} = —{G,F};
правило Лейбница: {F, GH} = {F, G}H + {F, H}G;
3) тождество Якоби: {F, {G, Я}} + {Я, {F, G}} + {G, {Я, F}} = 0 .
Уравнения движения (уравнения Гамильтона) в классической меха
нике формулируются в терминах скобки Пуассона:
где Я - гамильтониан заданной динамической системы. Вместо координат (qAiPa), в которых скобка Пуассона имеет, так называемую, каноническую форму, приведенную выше, можно использовать произвольные координаты
Xі , в которых скобка Пуассона имеет вид:
где изг^ = ufi (х) уже не постоянна и может зависеть от (х). Если при этом изг:> удовлетворяет тождествам:
дж' дх1 дх1
то построенная скобка удовлетворяет тождеству Якоби. о/-7 известна как пуассоновская структура на М. Если пуассоновская структура невырождена, то молено ввести обратную матрицу ujif
U3 LOkj = <5j, UJij = — UJji,
удовлетворяющую тождествам:
b>ij,k + Ukij + u)jkti = 0, Wjj.jfe = "д-jt"-
В свою очередь, Uij определяет замкнутую невырожденную дифференциальную 2-форму из:
из = miijdx3 Л dx\ duo = 0,
то есть симплектическую структуру на М. Таким образом, формулировка классической механики основана на использовании симплектических многообразий, (М, из) - многообразий М, оснащенных замкнутой невырожденной дифференциальной 2-формой из.
Другим важным объектом дифференциальной геометрии, используемым в современной теоретической физике, является метрическое многообразие, то есть многообразие М, оснащенное метрикой д, которая локально
ОПИСЫВаеТСЯ НеВЫрОЖДеННЫМ СИММетрИЧНЫМ ТеНЗОрОМ Qif
д = gijdx3dx\ gtj = gjt.
Формулировка общей теории относительности использует именно метрическое многообразие [44,45]. При этом уравнения Эйнштейна, являющиеся основными уравнениями данной теории, имеют вид:
R*j ~ ydijR = ~snGTy, Rij — Rikp R — glJRij, gl gkj = Sj,
где Rfk- - тензор кривизны Римана, Rij - тензор Риччи, R - тензор скалярной кривизны, G - гравитационная постоянная Ньютона, Tij - тензор энергии-импульса, и учитывается тот факт, что существует единственная симметричная связность (Г = (Г%)) (ковариаптная производная V — (Vj)), согласованная с данным метрическим тензором:
т)к = 2gl (д№ + 9kl>i ~ #**)' ^k9ij = 9ij,k - FkiQij - Fkjgu = 0.
Тензор Римана определяется из действия коммутатора ковариантных производных на тензорное поле Т1
[Vj, Vk\T = —Rmjk, Rmjk — ~~Rmkj-
и обладает рядом свойств симметрии, которые удобно формулировать в терминах тензора Rijki = дыЩы
^ijkl = ttjikli -t^ijkl ~~ -K-klij'
Итак, общая теория относительности основывается на использовании метрического многообразия (М, д), оснащенного симметричной связностью, согласованной с метрическим тензором, то есть на многообразии Римана (М,,Г).
При рассмотрении некоторых специальных вопросов в квантовой теории поля были введены более сложные многообразия, чем симплектические, а именно, так называемые, многообразия Федосова. Эти многообразия определяются как симплектические многообразия (М, са), оснащенные симметричной связностью Г, согласованной с заданной симплектической структурой, то есть (М, ш, Г)
VfcWy = Wijj — Ткішц - YkjUu = 0.
Такие многообразия использовались для формулировки квантования калибровочных теорий в рамках метода, не зависящего от того или иного выбора локальных координат [46], формулировок метода триплектическо-го квантования в произвольных координатах [47]. Однако эффективность использования этих многообразий была продемонстрирована Б.В. Федосовым в работах по деформационному квантованию [48,49]. Детальному изучению свойств таких многообразий посвящена работа [50], где, в частности, предложен и сам термин "многообразия Федосова". Для многообразий Федосова имеется целый ряд свойств, не характерных для многообразий Ри-мана. В частности, отметим, что для любого многообразия Федосова скалярная кривизна обращается в ноль, К = 0, а в нормальных координатах имеет место соотношение ujij^i = -^Rkiij, связывающее симплектическую
Структуру UJij И ТеНЗОр КРИВИЗНЫ Rklij-
Открытие суперсимметричных теорий поля [52-59] (в том числе, теории супергравитации [60-62]) ввело в современную квантовую теорию поля ряд применений дифференциальной геометрии, которые основаны на понятии супермногообразия введенного и изученного выдающимся совет-
ским математиком Феликсом Александровичем Березиным [63-66]. В этих случаях супермногообразие необходимо оснастить подходящей симплекти-ческой структурой или (и) симметричной связностью. В настоящее время четные и нечетные симплектические супермногообразия широко используются при рассмотрении многих проблем современной теоретической и математической физики [67-81]. Систематическое изучение супермногообразий и римановых супермногообразий было выполнено ДеВиттом [82]. Также большой вклад в изучение этих объектов был сделан Лейтесом [83, 84] и Роджерсом [85].
Приставка "супер" используется со многими математическими объектами и обозначает расширение исходного понятия на случай, когда, помимо коммутирующих переменных, имеются и антикоммутирующие. Таким образом, под супермногообразием понимается расширение классического многообразия на случай, когда среди переменных встречаются антикоммутирующие величины. Исторически антикоммутирующие переменные и некоторые конструкции, которые сейчас обозначаются приставкой "супер", появились в математике за многие годы до того, как развитие суперсимметрии в физике вызвало взрыв интереса к такого рода объектам.
Изучение супермногообразий включает в себя математические идеи из геометрии, анализа, алгебры и топологии. В то время, как основная мотивация изучения этих объектов идет из физики элементарных частиц, понятия и язык супермногообразий оказались мощными инструментом при решении проблем во многих разделах теоретической физики и математики, и диапазон их применения продолжает расширяться. Одним из самых первых шагов в суперматематике было осознание Картаном того, что ал-
гебра Клиффорда может быть реализована на некоторой алгебре Грас-смана, если определение дифференцирования по генератору понимать как умножение [86] - идея, которой суждено было сыграть важнейшую роль десятилетия спустя в связи с фермионными антикоммутационными соотношениями. В своей плодотворной работе по квантовым полям Швингер [87] ввел антикоммутирующие переменные для того, чтобы расширить до фер-мионов свое рассмотрение квантовых полей, используя функции Грина и источники. Дифференциальное исчисление функций от антикоммутирую-щих переменных было введено Мартином [88], который расширил метод квантования Фейнмана с помощью функциональных интегралов для систем содержащих фермионы и, таким образом, требующим проквантовать "классический" фермион.
Современная квантовая теория калибровочных полей может быть построена в, так называемом, формализме Баталина-Вилковыского [89,90]. Данный метод, развитый Баталиным И.А. и Вилковыским Г.А., обеспечивает универсальный замкнутый подход к ковариантному квантованию, основанному на специальном виде глобальной суперсимметрии, - БРСТ-симметрии, открытой Бекки, Руэ и Стора [91,92], и, независимо, также Тютиным [93]. Основным уравнением в БВ-формализме является мастер-уравнение для действия S
(S, S) = о,
сформулированного в терминах антискобки (F, G):
(^) = ^(-^,
Jj = (_і)^„л є(о/і) = і + е. + і5
e((F, G)) = e(F) +e(G)+ 1,
где хг - локальные координаты на супермногообразии М, имеющие, так называемую, грассманову четность е(хг) = є;, которая принимает значение О для коммутирующих переменных и 1 - для антикоммутирующих. Индексами г, I обозначаются правые и левые производные по координатам. Антискобка обладает свойством обобщенной антисимметрии
(F^G) = _(_1)(^+l)(e(G)+l)(Gr>F)j
удовлетворяет тождеству Якоби:
(F, (G, Я))(-1)^+1НЄ^+1) + c3/de(F, G, Я) = О,
и является, таким образом, суперпартнером для скобки Пуассона. Следовательно, первоначальная формулировка метода квантования Баталина-Вилковыского базируется на использовании, так называемых, антисим-плектических супермногообразий [67,68,94-96], то есть супермногообразий, оснащенных антискобкой. С точки зрения дифференциальной геометрии на многообразиях, антисимплектические супермногообразия, или, что тоже самое, нечетные симплектические супермногообразия являются новыми объектами не имеющие там аналогов.
В работе используются конденсированные обозначения, предложенные Девиттом [8], а также определения и утверждения принятые в [9]. Производные по переменным хг понимаются как действующие слева и для них используются стандартные обозначения дА/дхг. Для правых производных по хг используется обозначение А^ = дгА/дхг. Ковариантные производные понимаются как действующие справа, для них используются обозначения Vf. Грассманова четность любой величины А обозначается как є(Л).
Данное диссертационное исследование посвящено систематическому изучению основных свойств супермногообразий, оснащенных всеми возможными градуированными (четными и нечетными) структурами, которые могут быть описаны с помощью симметричных и антисимметричных тензорных полей второго ранга (скобка Пуассона, антискобка, дифференциальная 2-форма, метрика), а также симметрическими связностями, согласованными с заданными структурами на супермиогообразиях. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы.
Во введении изложена важность исследований различных типов супермногообразий для формулировки современной теоретической физики, здесь же дается обоснование актуальности темы диссертационной работы, сформулированы цели научного исследования, приведена структура и содержание диссертации.
Первая глава диссертации посвящена последовательному изучению тензорного исчисления на супермногообразиях. Показано, что среди возможных типов симметрии суперматриц лишь симметрии двух типов согласованы с тензорным законом преобразований. Определение тензорных полей на супермногообразиях может быть выбрано так, что этими типами суперматриц являются симметричные и антисимметричные суперматрицы. Изучены свойства симметрии обратных тензорных полей и найдено, что для невырожденного нечетного симметричного (антисимметричного) тензорного поля обратное тензорное поле является нечетным антисимметричным (симметричным), в то время как для четного симметричного (антисимметричного) тензорного поля обратное тензорное поле обладает те-
ми же свойствами симметрии. Подробно рассмотрены скалярные структуры, которые можно ввести на супермногообразиях с помощью различных симметричных и антисимметричных тензорных полей второго ранга. Рассмотрено введение симметричной связности (ковариаптной производной) на супермногообразиях и описаны основные свойства тензора кривизны.
Во второй главе диссертации изучаются супермногообразия, оснащенные двумя структурами: градуированной метрикой и симметричной связностью, которая согласована с заданной метрической структурой, т.е. четные и нечетные супермногообразия Римана. Показано, что основные свойства и соотношения, которым удовлетворяет тензор кривизны в четном и нечетном случаях, выглядят формально одинаково. Различия проявляются на уровне свойств тензора Риччи. Что, в свою очередь, обеспечивает нетривиальность тензора скалярной кривизны в общем случае. Также изучены соотношения высших порядков между аффинными расширениями тензора кривизны, метрического тензора и симметричной связности и найдены производящие функции этих соотношений в произвольных координатах.
В третьей главе диссертации рассматриваются супермногообразия, оснащенные градуированной дифференциальной невырожденной замкнутой 2-формой (симплектической структурой) и симметричной связностью, согласованной с заданной симплектической структурой, то есть четные и нечетные супермногообразия Федосова. Показано, что четные супермногообразия Федосова совпадают с невырожденными супермногообразиями Пуассона, оснащенными симметричной связностью, а нечетные супермногообразия Федосова эквивалентны заданию, так называемых, антисим-плектических супермногообразий с симметричной связностью, то есть су-
пермногообразий, оснащенных невырожденной антискобкой и симметричной связностью, согласованной с этой структурой. Показано, что основные свойства и соотношения, которым удовлетворяет тензор кривизны в четном и нечетном случаях, выглядят формально одинаково. Тензор Риччи является симметричным для четных супермногообразий Федосова, а для нечетных - не обладает какими-либо специальными свойствами симметрии. Тензор скалярной кривизны для четных супермногообразий Федосова тождественно равен нулю, а для нечетных супермногообразий Федосова, в общем случае, отличен от нуля. Изучены соотношения высших порядков между аффинными расширениями тензора кривизны, тензора симплек-тической структуры и симметричной связности и найдены производящие функции этих соотношений в произвольных координатах.
В заключении сформулированы основные результаты, полученные в ходе диссертационной работы.
Супермногообразия
Методы дифференциальной геометрии широко используются при формулировке физических теорий, как классических, так и квантовых, призванных описать все известные в настоящее время фундаментальные взаимодействия - электромагнитные, слабые, сильные и гравитационные [1-13]. В первую очередь, отметим решающую роль этих методов в формулировке общей теории относительности Эйнштейна - классической теории гравитационных взаимодействий, где основными объектами выступают многообразия, оснащенные метрическим тензором, с помощью которого описывается гравитационное поле, и симметричной связностью, которая согласована с данным метрическим тензором. Такие многообразия носят название многообразий Римана и их свойства хорошо изучены и изложены в большинстве современных монографий по дифференциальной геометрии [5,14-21]. Электромагнитные взаимодействия описываются абелевыми векторными полями в рамках классической или квантовой электродинамики на четырехмерном пространстве-времени с индефинитной метрикой - пространстве Минковского [22-28]. Для описания слабых и сильных взаимодействий привлекаются неабелевы калибровочные поля на пространствах Минковского в рамках теорий Янга-Миллса [29-41]. Общепринятый в настоящее время подход к описанию фундаментальных взаимодействий основан на использовании концепции калибровочных полей в рамках классической механики и квантовой теории поля. Итак, общая теория относительности основывается на использовании метрического многообразия (М, д), оснащенного симметричной связностью, согласованной с метрическим тензором, то есть на многообразии Римана (М,,Г). При рассмотрении некоторых специальных вопросов в квантовой теории поля были введены более сложные многообразия, чем симплектические, а именно, так называемые, многообразия Федосова. Эти многообразия определяются как симплектические многообразия (М, са), оснащенные симметричной связностью Г, согласованной с заданной симплектической структурой, то есть (М, ш, Г) VfcWy = Wijj — Ткішц - YkjUu = 0.
Такие многообразия использовались для формулировки квантования калибровочных теорий в рамках метода, не зависящего от того или иного выбора локальных координат [46], формулировок метода триплектическо-го квантования в произвольных координатах [47]. Однако эффективность использования этих многообразий была продемонстрирована Б.В. Федосовым в работах по деформационному квантованию [48,49]. Детальному изучению свойств таких многообразий посвящена работа [50], где, в частности, предложен и сам термин "многообразия Федосова". Для многообразий Федосова имеется целый ряд свойств, не характерных для многообразий Ри-мана. В частности, отметим, что для любого многообразия Федосова скалярная кривизна обращается в ноль, К = 0, а в нормальных координатах имеет место соотношение, связывающее симплектическую
Открытие суперсимметричных теорий поля [52-59] (в том числе, теории супергравитации [60-62]) ввело в современную квантовую теорию поля ряд применений дифференциальной геометрии, которые основаны на понятии супермногообразия введенного и изученного выдающимся советским математиком Феликсом Александровичем Березиным [63-66]. В этих случаях супермногообразие необходимо оснастить подходящей симплекти-ческой структурой или (и) симметричной связностью. В настоящее время четные и нечетные симплектические супермногообразия широко используются при рассмотрении многих проблем современной теоретической и математической физики [67-81]. Систематическое изучение супермногообразий и римановых супермногообразий было выполнено ДеВиттом [82]. Также большой вклад в изучение этих объектов был сделан Лейтесом [83, 84] и Роджерсом [85].
Приставка "супер" используется со многими математическими объектами и обозначает расширение исходного понятия на случай, когда, помимо коммутирующих переменных, имеются и антикоммутирующие. Таким образом, под супермногообразием понимается расширение классического многообразия на случай, когда среди переменных встречаются антикоммутирующие величины. Исторически антикоммутирующие переменные и некоторые конструкции, которые сейчас обозначаются приставкой "супер", появились в математике за многие годы до того, как развитие суперсимметрии в физике вызвало взрыв интереса к такого рода объектам.
Ковариантная производная
Изучение супермногообразий включает в себя математические идеи из геометрии, анализа, алгебры и топологии. В то время, как основная мотивация изучения этих объектов идет из физики элементарных частиц, понятия и язык супермногообразий оказались мощными инструментом при решении проблем во многих разделах теоретической физики и математики, и диапазон их применения продолжает расширяться. Одним из самых первых шагов в суперматематике было осознание Картаном того, что алгебра Клиффорда может быть реализована на некоторой алгебре Грас-смана, если определение дифференцирования по генератору понимать как умножение [86] - идея, которой суждено было сыграть важнейшую роль десятилетия спустя в связи с фермионными антикоммутационными соотношениями. В своей плодотворной работе по квантовым полям Швингер [87] ввел антикоммутирующие переменные для того, чтобы расширить до фер-мионов свое рассмотрение квантовых полей, используя функции Грина и источники. Дифференциальное исчисление функций от антикоммутирую-щих переменных было введено Мартином [88], который расширил метод квантования Фейнмана с помощью функциональных интегралов для систем содержащих фермионы и, таким образом, требующим проквантовать "классический" фермион.
Современная квантовая теория калибровочных полей может быть построена в, так называемом, формализме Баталина-Вилковыского [89,90]. Данный метод, развитый Баталиным И.А. и Вилковыским Г.А., обеспечивает универсальный замкнутый подход к ковариантному квантованию, основанному на специальном виде глобальной суперсимметрии, - БРСТ-симметрии, открытой Бекки, Руэ и Стора [91,92], и, независимо, также Тютиным [93]. Основным уравнением в БВ-формализме является мастер-уравнение для действия S (S, S) = о, сформулированного в терминах антискобки (F, G): ( ) = (- , Jj = (_і) „л є(о/і) = і + е. + і5 e((F, G)) = e(F) +e(G)+ 1, где хг - локальные координаты на супермногообразии М, имеющие, так называемую, грассманову четность е(хг) = є;, которая принимает значение О для коммутирующих переменных и 1 - для антикоммутирующих. Индексами г, I обозначаются правые и левые производные по координатам. Антискобка обладает свойством обобщенной антисимметрии (F G) = _(_1)( +l)(e(G)+l)(Gr F)j удовлетворяет тождеству Якоби: (F, (G, Я))(-1) +1НЄ +1) + c3/de(F, G, Я) = О, и является, таким образом, суперпартнером для скобки Пуассона. Следовательно, первоначальная формулировка метода квантования Баталина-Вилковыского базируется на использовании, так называемых, антисим-плектических супермногообразий [67,68,94-96], то есть супермногообразий, оснащенных антискобкой. С точки зрения дифференциальной геометрии на многообразиях, антисимплектические супермногообразия, или, что тоже самое, нечетные симплектические супермногообразия являются новыми объектами не имеющие там аналогов.
В работе используются конденсированные обозначения, предложенные Девиттом [8], а также определения и утверждения принятые в [9]. Производные по переменным хг понимаются как действующие слева и для них используются стандартные обозначения дА/дхг. Для правых производных по хг используется обозначение А = дгА/дхг. Ковариантные производные понимаются как действующие справа, для них используются обозначения Vf. Грассманова четность любой величины А обозначается как є(Л). Данное диссертационное исследование посвящено систематическому изучению основных свойств супермногообразий, оснащенных всеми возможными градуированными (четными и нечетными) структурами, которые могут быть описаны с помощью симметричных и антисимметричных тензорных полей второго ранга (скобка Пуассона, антискобка, дифференциальная 2-форма, метрика), а также симметрическими связностями, согласованными с заданными структурами на супермиогообразиях. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы.
Во введении изложена важность исследований различных типов супермногообразий для формулировки современной теоретической физики, здесь же дается обоснование актуальности темы диссертационной работы, сформулированы цели научного исследования, приведена структура и содержание диссертации.
Соотношения высших порядков в нормальных координатах
Первая глава диссертации посвящена последовательному изучению тензорного исчисления на супермногообразиях. Показано, что среди возможных типов симметрии суперматриц лишь симметрии двух типов согласованы с тензорным законом преобразований. Определение тензорных полей на супермногообразиях может быть выбрано так, что этими типами суперматриц являются симметричные и антисимметричные суперматрицы. Изучены свойства симметрии обратных тензорных полей и найдено, что для невырожденного нечетного симметричного (антисимметричного) тензорного поля обратное тензорное поле является нечетным антисимметричным (симметричным), в то время как для четного симметричного (антисимметричного) тензорного поля обратное тензорное поле обладает теми же свойствами симметрии. Подробно рассмотрены скалярные структуры, которые можно ввести на супермногообразиях с помощью различных симметричных и антисимметричных тензорных полей второго ранга. Рассмотрено введение симметричной связности (ковариаптной производной) на супермногообразиях и описаны основные свойства тензора кривизны.
Во второй главе диссертации изучаются супермногообразия, оснащенные двумя структурами: градуированной метрикой и симметричной связностью, которая согласована с заданной метрической структурой, т.е. четные и нечетные супермногообразия Римана. Показано, что основные свойства и соотношения, которым удовлетворяет тензор кривизны в четном и нечетном случаях, выглядят формально одинаково. Различия проявляются на уровне свойств тензора Риччи. Что, в свою очередь, обеспечивает нетривиальность тензора скалярной кривизны в общем случае. Также изучены соотношения высших порядков между аффинными расширениями тензора кривизны, метрического тензора и симметричной связности и найдены производящие функции этих соотношений в произвольных координатах.
В третьей главе диссертации рассматриваются супермногообразия, оснащенные градуированной дифференциальной невырожденной замкнутой 2-формой (симплектической структурой) и симметричной связностью, согласованной с заданной симплектической структурой, то есть четные и нечетные супермногообразия Федосова. Показано, что четные супермногообразия Федосова совпадают с невырожденными супермногообразиями Пуассона, оснащенными симметричной связностью, а нечетные супермногообразия Федосова эквивалентны заданию, так называемых, антисим-плектических супермногообразий с симметричной связностью, то есть супермногообразий, оснащенных невырожденной антискобкой и симметричной связностью, согласованной с этой структурой. Показано, что основные свойства и соотношения, которым удовлетворяет тензор кривизны в четном и нечетном случаях, выглядят формально одинаково. Тензор Риччи является симметричным для четных супермногообразий Федосова, а для нечетных - не обладает какими-либо специальными свойствами симметрии. Тензор скалярной кривизны для четных супермногообразий Федосова тождественно равен нулю, а для нечетных супермногообразий Федосова, в общем случае, отличен от нуля. Изучены соотношения высших порядков между аффинными расширениями тензора кривизны, тензора симплек-тической структуры и симметричной связности и найдены производящие функции этих соотношений в произвольных координатах.
Методы дифференциальной геометрии широко используются для решения задач в различных областях науки. Бурное развитие теоретической физики и механики XX века привело к пониманию фундаментальной роли геометрических представлений в этих науках. Геометрические методы являются основой математического аппарата таких разделов физики как теория относительности, классическая и квантовая механики, классическая и квантовая теории поля, теория струн и суперструн, механика сплошных сред, электродинамика.
Симплектическая связность
Изучение свойств геометрических объектов на достаточно больших расстояниях точек друг от друга привело к фундаментальному понятию многообразия, широко используемого в различных разделах физики. Так, например, формулировка классической механики включает симплектиче-ские многообразия. Открытие суперсимметричных теорий поля (в том числе и теорий супергравитации) ввело в современную квантовую теорию поля ряд применений дифференциальной геометрии, основанных на понятии супермногообразий.
Важная идея геометрии - это идея использования криволинейных систем координат, приведшая, впоследствии, к тензорному анализу [20,97-101], который является идеальным инструментом для решения задач теоретической физики, поскольку он имеет дело с объектами и свойствами, не зависящими от выбора координатной системы.
Развитие современной квантовой физики, в первую очередь физики элементарных частиц в рамках квантовой теории поля, привело к необходимости рассматривать функции, зависящие от переменных, являющихся антикоммутирующими, и возникла необходимость дифференцирования и интегрирования таких функций. Таким образом, встала проблема разработки нового раздела математики, получившего, впоследствии, название суперматематики. Определяющий вклад в развитие суперматематики внес выдающийся советский математик Феликс Александрович Березин.
В данном параграфе представлены основные идеи и элементарные конструкции алгебры и анализа с антикоммутирующими переменными. В частности, рассматриваются конкретные примеры алгебр, элементы которых не коммутируют между собой (алгебра Грассмана, алгебра Березина), вводятся понятия производной и интеграла по антикоммутирующим переменным. Напомним ряд основных определений. Пусть А-алгебра и В С А -некоторое множество ее элементов. Обозначим через А(В) совокупность всех возможных многочленов от элементов В: f Є А(В), если / = 2 XJ fiu-,ikah-aik, (Li) fc 0 i\...ik где щ Є В, fiu...,ik К, .ff-множество чисел, на которые допускается умножение элементов А. Очевидно, что А(В) является подалгеброй А, она называется подалгеброй, порожденной множеством В. Ясно, что А(В) со 17 держится в любой подалгебре, содержащей В. В случае, если А(В) = А, множество В называется системой образующих алгебры А или порождающим множеством. Перейдем к рассмотрению антикоммутирующих величин, которые естественным образом вводятся в рамках математической конструкции, называемой грассмановой алгеброй.
