Содержание к диссертации
Введение
Глава 1 Контракции и разделение переменных, на двумерной сфере и гипер болоидах 19
1 Системы координат и интегралы движения на S2 19
1.1 Системы координат на S2 19
1.2 Системы координат на двумерном гиперболоиде Н2 23
1.3 Системы координат на евклидовой плоскости Е2 26
1.4 Системы координат в псевдо-евклидовом пространстве Eiti 28
2 Контракции алгебр и групп Ли 30
2.1 Контракции от so(3) к е(2) 30
2.2 Контракции от группы SO(3) к группе Е{2) 31
2.3 Контракции от so(2,1) к е(2) 32
2.4 Контракции от so(2,l) к е(1,1) 32
3 Контракции систем координат 33
3.1 Контракции систем координат на S2 33
3.2 Контракции систем координат от Яг к Ег 36
3.3 Контракции от систем координат на Н2 к E\ti 40
4 Контракции базисных функций на S2 и Н2 40
4.1 Контракции сферического базиса на S2 40
4.2 Контракции эллиптического базиса на S2 44
4.3 Контракции псевдо-сферического базиса на Н2 49
4.4 Контракции эквидистантного базиса на Н2 50
Глава 2 Контракции и разделение переменных на трехмерной сфере 53
1 Системы координат на 5з и Ез 53
1.1 Эллиптические системы координат 54
1.2 Эллипсоидальная система координат 58
1.3 Системы координат в Евклидовом пространстве Ез G1
2 Контракция алгебры SO(3), систем координат и интегралов движения 64
2.1 Контракция алгебры so(3) 64
2.2 Контракции подгрушювых систем координат и базисов 64
2.3 Контракции в межбазисных разложениях 67
2.4 Контракции в эллиптических системах координат 71
2.5 Контракции эллипсоидальной системы координат 72
3 Эллиптические базисы 73
3.1 Разложение эллиптического базиса по цилиндрическому 73
3.2 Разложение эллиптического базиса по сферическому 76
3.3 Переход к гиперсферическому и цилиндрическому 79
4 Эллипсоидальный базис 81
4.1 Решение волнового уравнения Ламэ 81
4.2 Эллипсоидальные волновые функции 84
Глава 3 Контракции и разделение переменных на N - мерной сфере 87
1 Разделение переменных в N - мерных однородных пространствах 87
1.1 Подгрупповне системы координат на SN и метод деревьев 88
1.2 Гиперсферические волновые функции иа^п 90
1.3 Подгрупповые координаты на Еп и кластерные диаграммы 92
2 Контракции алгебры Ли, систем координат и собственных функций 9G
2.1 Контракции подгрупповых систем координат. Графический метод 9G
2.2 Контракции волновых функций 98
3 Межбазисные разложения и контракции 101
3.1 Переходы между гиперсферическими функциями 101
3.2 Контракции в межбазисных разложениях 10G
Глава 4 Суперинтегрируемость в комплексном пространстве Е^с 117
1 Сунеринтегрируемые системы В *2С 117
1.1 Невырожденные потенциалы 120
1.2 Квадратичная алгебра 128
2 СуперИНТСГрируеМЫе СИСТеМЫ В i?2 132
2.1 Обобщенный круговой осциллятор 132
2.2 Потенциал Холта 136
2.3 Обобщенный кулоновский потенциал 137
2.4 Потенциал Винтернитца-Смородинского 140
3 Межбазисные разложения 142
3.1 Вычисление матрицы перехода 142
3.2 Связь с коэффициентами Клебша-Гордана группы SU(l, 1) 143
Глава 5 Суперинтегрируемые системы на комплексной сфере S2C 146
1 Суперинтегрируемость на комплексной сфере Бгс 146
1.1 Суперинтегрируемые потенциалы па Бгс 147
1.2 Системы координат на комплексной сфере 52,с 151
1.3 Квантовая сунериптгерируемость и квадратичная алгебра 152
2 Кулон-осцилляториая дуальность 154
2.1 Преобразование Леви-Чивиты на и Я2 154
2.2 Решение комплексного уравнения Шредингера 158
3 Суперинтегрируемость на 5г 163
3.1 Сингулярный осциллятор 163
3.2 Сингулярный кулоновский потенциал 165
4 Суперинтегрируемые системы на #2 167
Глава 6 Многомерные суперинтегрируемые системы 184
1 Трехмерные суперинтегрируемые системы 184
1.1 Сингулярный изотропный осциллятор 185
1.2 Анизотропный осциллятор 192
1.3 Сингулярный кулоновский потенциал 194
2 N-мерные суперинтегрируемые системы 198
2.1 Декартовый и гиперсферический базисы 198
2.2 Связь между декартовым и гиперсфериеским базисом 201
2.3 Дерево перехода и правила соответствия 203
3 Кулоновская проблема на 5з 204
3.1 Обобщенное преобразование Кустанхеймо-Штифеля 205
3.2 Кулон-осцилляторная дуальность 207
3.3 Эллиптический базис 209
4 Кулон-осцилляторная аналогия на сфере и гиперболоидах 213
4.1 Кулон-осцилляторная связь на Sn . 213
4.2 Кулон-осциляториая связь на n-мерном двухполосіюм гиперболоиде 216 Ф
4.3 Кулон-осщгляторная связь на гс-мерном однополосном гиперболоиде 219
Заключение 223
Приложение 224
Литература 227
- Системы координат на евклидовой плоскости Е2
- Контракции базисных функций на S2 и Н2
- Контракция алгебры SO(3), систем координат и интегралов движения
- Эллипсоидальный базис
Введение к работе
<L&Q$ -_K И еі&\
Актуальность темы
Истоком для исследований суперинтегрирумых систем на пространствах постоянной кривизны послужила теория квантовых систем со скрытой симметрией, идеи и методы которой родились при изучении поведения частиц в кулоновом и осциллятор-ном полях, а затем получили свое развитие в квантовой теории поля (Н.Н.Боголюбов, Д.В.Ширков) и теории поля с фундаментальной длиной (В.Г.Кадышевский), физике элементарных частиц (И.Т.Тодоров), теории лазеров (Р.Дикке), модели оболочек (Дж.Эллиот), коллективной модели ядер (В.Баргман, М.Мошинский) и суперсимметричной квантовой механике (Е.Виттен).
Суперинтегрируемые системы представляют собой подкласс интегрируемых систем, когда число D функционально независимых интегралов движения равно D — IN — 1 (или D = 2N — 2 для минимально суперинтегрирумых систем), где N - число степеней свободы системы. В трехмерном евклидовом пространстве к наиболее известным и хорошо изученным системам такого типа относятся: движение частицы в кеплеровском поле и гармонически осциллятор. Наличие максимального числа интегралов движения для этих двух систем приводит ко многим интересным свойствам как замкнутость траекторий для финитного движения (теорема Бертрана), полное разделение переменных в нескольких системах координат в уравнения Гамильтона-Якоби и Шредингера, "случайное вырождение" энергетического спектра, и наконец, существование так называемой группы динамической симметрии.
Первый систематический поиск суперинтегрируемых систем в двух и трехмерном плоском пространстве был предпринят в работах Смородинского и Винтернитца с соавторами (1965) и затем продолжен Евансом (1990). Схема классификации суперинтегрируемых систем основана на известной теореме Бертрана-Дарбу, согласно которой, в двумерном евклидовом пространстве дополнительный к энергии квадратичный интеграл движения существует, тогда и только тогда, когда потенциал допускает разделение переменных в эллиптической системе координат или в одной из ее вырожденных форм. Как оказалось, многие суперинтегрируемые системы (исключая чисто кулоновский и осциляторный потенциалы в плоском пространстве), обладающие квадратичными интегралами движения, не описываются динамической группой симметрии, а генерируют алгебраическую структуру, которую можно рассматривать как нелинейное расширение алгебры Ли (в классической механике алгебры Пуассона), а именно квадратичную алгебру (впервые такие алгебры были введены в работах Склянина). В настоящее время стало понятным, что концепция суперинтегрируемости является более общим понятием чем наличие максимальной
уОС. НАЦИОНАЛЬНАЯ \
1 БИБЛИОТЕКА
03 Щ^лктУО/А
группы симметрии или разделение переменных в уравнении Гамильтона-Якоби и
Шредингера. Отсюда сразу возникают несколько вопросов: всегда ли суперинте
грируемость ассоцируется с мульти-разделением то есть разделением переменных
во многих системах координат? Всегда ли суперинтегрируемые системы генери
руют квадратичную алгебру симметрии? Существует ли единая процедура поиска
суперинтегрируемых потенциалов в пространствах постоянной кривизны, которая
обеспечивает их полную классификацию? В этом контексте необходимо исследовать
связь между ортогональными системами координат, определенных на пространствах
постоянной кривизны и в плоском пространстве и обязанных при помощи контракций і
их групп изометрии.
Исследования суперинтегрируемых систем является актуальным по следующим причинам. Во-первых, полная классификация суперинтегрируемых систем на пространствах как положительной, так и отрицательной постоянной кривизны, существенно расширяет класс интегрирумых систем, которые образуют базис для построения современных физических теорий и моделей: квантовой теории поля с фундаментальной массой и электромагнитной длиной, космологии и квантовой гравитации, теории (супер)струн, уравнений Янга-Милса-Хиггса в (2+1) - мерном пространсве де-Ситтера и анти-де-Ситтера, в теории кваркониев и квантовых точек и квантовой оптики. Во-вторых, большинство специальных функций математической физики, которые так часто применяются, что даже затабулированы, возникают именно при изучении суперинтегрируемых систем.
Цель и задачи работы формулируются следующим образом:
-
Исследование поведения ортогональных систем координат (допускающих полное разделение переменных в уравнении Гельмгольца), определенных на однородных пространствах, полного набора коммутирующих операторов, соответствующих собственных значений и собственных функций, а также межбазисных разложений при контракциях их групп изометрии.
-
Классификация и поиск новых суперинтегрируемых систем на двумерной комплексной сфере Sic, включающей реальную сферу и двухполосый гиперболоид, и в двумерном комплексном евклидовом пространстве Eici включающем реальное евклидово пространство и пространство Минковского.
-
Развитие методов квантования суперинтегрируемых систем на пространствах постоянной кривизны во всех системах координат допускающих разделение переменных. Исследование межбазисных переходов в многомерных суперинтегрируемых системах.
4. Обобщение на случай пространств постоянной кривизны известных из евклидовой геометрии преобразований дуальности Леви-Чивиты и Кустанхеймо-Штифеля.
Научная новизна и практическая ценность работы
В диссертации представлен новый аспект теории контракций групп и алгебр Ли: а именно связь между ортогональными системами координат (допускающих полное разделение переменных в уравнении Гельмгольца), определенных на пространствах постоянной кривизны и в плоском пространстве и связанных при помощи контракций их групп изометрии. В рамках метода Иноню-Вигнера введена концепция аналитических контракций, когда параметр контракции - радиус сферы R - встраивается в инфинитиземальные операторы и полный набор коммутирующих операторов, а не только в структурные константы. Используя данный метод удается проследить контракции при R — со на всех уровнях: алгебры Ли, представленной векторными полями, оператора Лапласа-Бельтрами, операторов второго порядка в обертывающей алгебре, характеризующих системы координат, в самих системах координат допускающих разделение переменных, в обычных дифференциальных уравнениях, в собственных значениях инвариантных операторов, а также в коэффициентах перекрытия и межбазисных разложениях.
Впервые введены "кластерные диаграммы" определяющие правило записи под-групповых систем координат, полного набора коммутирующих операторов, их собственных значений и решений уравнения Гельмгольца на En Развит графический метод перехода от формализма "деревьев" Виленкина-Кузнецова-Смородинского на Sn к "кластерам" на Ец при контракции группы SO(N + 1) к группе E(N). Получены новые асимптотические формулы для D-функций Вигнера, коэффициентов Клебша-Гордана и Рака.
Для уравнения Гельмгольца на трехмерной сфере впервые исследованы переходы между эллиптическими и более простыми - гиперсферическим и цилиндрическим базисами, которые устанавливают дополнительные, ранее неизвестные, связи между специальными функциями; построен эллипсоидальный базис и определено условие квантования эллипсоидальных констант разделения.
Предложен новый метод классификации невырожденных суперинтегрирумых систем второго рода на двухмерной комплексной плоскости Еж- Требование, что система допускает два интеграла движения второго порядка приводит к необходимости разрешения пары многопараметрических уравнений в частных производных второго порядка, что представляет объективно трудную математическую задачу. Вместо этого предлагается сначала найти все решения так называемых условий интегриру-
емости, которые носят линейный характер и, далее пользуясь этой подсказкой, уже преступить к разрешению самой системы уравнений в частных производных. В рамках предложенной схемы удается наиболее полным образом проклассифицировать невырожденные суперинтегрируемые потенциалы, допускающие наряду с энергией пару независимых интегралов движения второго порядка.
При классификации суперинтегрированных систем второго рода на двумерной комплексной сфере 5гс в диссертации приводится немного видоизмененный метод существенно опирающийся на факте разделения перменных в одной из систем координат и в идейном плане перекликающийся с известным подходом Бертрана-Дарбу. В таком подходе требование наличия дополнительного интеграла движения приводит к некоему функциональному уравнению, решение которого определяет явный вид суперинтегрируемого потенциала.
Впервые проведен полный анализ всех известных суперинтегрируемых систем в двухмерном и трехмерном плоском пространстве, на двухмерной сфере и двухмерном гиперболоиде. В качестве единого подхода к квантованию таких потенциалов выбран метод Нивена, адаптированный как на многие точно решаемые случаи, когда в качестве собственных функций выступают классические полиномы, так и для случаев, когда решение не может быть записано в замкнутой форме. Показано, что все специальные функции возникающие в результате разделения переменных обладают определенными свойствами, которые описываются нулями самих функций. Сформулирован диаграммный метод построения матрицы перехода от гиперсферического базиса многомерного сингулярного осциллятора к декартовому.
Впервые представлена серия небиективных преобразований, обобщающих в случае пространства постоянной кривизны хорошо известные для евклидового пространства преобразования дуальности типа Леви-Чивиты и Кустанхеймо-Штифеля.
Апробация работы. Результаты, представленные в диссертации, докладывались на семинарах в Лаборатории теоретической физики им. Н.Н.Боголюбова Объединенного института ядерных исследований (Дубна), в Институте физики высоких энергий (Протвино), в Ереванском университете (Ереван), в Центре физических исследований (Куэрнавака) и Институте прикладной математики Национального университета Мексики (Мехико), в Центре математических исследований Монреальского университета, в Институте ядерной физики (Лион, Франция), в Люблинском университете им. Марии Складовской-Кюри (Люблин, Польша), в Университете г. Гамильтона (Новая Зеландия), а также на Международных коллоквиумах по теоретико-групповым методам в физике (Гозлар 1996, Дубна 2000, Париж 2002), на симпозиуме
по квантовым теориям и симметриям (Гозлар 1999, Краков 2001), на международных конференциях по методам симметрии в физике (Дубна 1993, 1995, 1997, Ереван 2001), на международных совещаниях по классическим и квантовым интегрируемым системам (Дубна 1994, 1996, Ереван 1998, Куэрнавака 2002), международное совещание по физике (Монтеродуни, 1995), Барутовская мемориальная конференция "Теория групп в физики" (Эдерне, 1995), Симпозиум по приложению теории Ли в физике, (Клаусталь, 1997), Международная конференция по квантовым группам, деформациям и контракциям (Стамбул, 1997), Вигнеровский симпозиум (Стамбул 1999), Всероссийский семинар "Классические и квантовые интегрируемые системы" (Протвино, 2001), конференция по математическим результатам в квантовой механике (Таско, 2001), рабочее совещание по суперинтегрируемости в классических и квантовых системых (Монреаль, 2002).
Публикации. По материалам исследований, представленных в диссертации, опубликовано 25 работ.
Структура И объем диссертации. Диссертация состоит из введения, 6 глав, заключения, приложения и списка литературы. Она содержит 240 страниц текста, 17 таблиц, 9 рисунков и список литературы из 220 наименований.
Системы координат на евклидовой плоскости Е2
Рассмотрим базис алгебры Ли е(2) в виде Собственные функции оператора Лапласа А = р\+р\ удовлетворяют системе уравнений где / оператор второго порядка Используя преобразования из группы Е(2) и линейную комбинацию с оператором Д, можно привести / к одному из следующих операторов Цве первые формы соответсвуют подгрупповым системам координат. Декартовой системе координат (х,у) соответсвует оператор 1с- Оператор Is соответсвует полярной системе координат (г 0, 0 0 2п) раболические системы координат соответсвущих операторам 1р и 1р , и отличающиеся только заменой рг —» р2 Связь между координатами (и, v) ь- (її, и) определяется вращением на угол п/4 в пространстве парболичсских переменных (и, v). Оператор 1Е соответствует эллиптической системе координат (ei щ е2 и2): Положив приходим к обычной записи эллиптической системы координат Группой изометрии двумерного псевдо-евклидового пространства E\ti (расстояние на плоскости Eiti определяется формулой t2 — х2) выступает группа Е(1,1). Стандартный базис для алгебры е(1,1) имеет вид Собственные функции оператора Лапласа Д = (Р — Рх2) удовлетворяют уравнениям где fi это константа разделения, а С это оператор второго порядка в обертывающей алгебре е(1,1) В псевдо-евклидовом пространтсве E\ti существуют ровно десять ортогональных систем координат допускающих полное разделение переменных в уравнении Гельмгольца [86]. Все эти системы координат вместе с операторами С приведны в Таблице Ut. 2.1 Контракции от so(3) к е(2) В качестве параметра контракции используем кривизну сферы R l. Чтобы провести предельный переход при контракциях в явном виде, введем на сфере неоднородные или Бельтрамиевы координаты В параметризации (2.58) метрический тензор определяется как Зи = + г2 /Я? а оператору Лаласа-Бельтрами соответствет выражение приходим к коммутационным соотношениям и тем самым алгебра so( 3) в пределе R — со контрактирует в Евклидову алгебру е(2). Наряду с этим, операторы тт переходят в обычные операторы момента р , = d/dxlL ([і = 1,2) для евклидова пространства, а оператор Лапласа-Бельтрами (2.60) для группы SO(3) переходит в оператор Лапласа Предельный переход при контракциях можно проследить также в самом уравнении Гельмгольца (1.2). Легко заметить, что при больших значениях радиуса R и орбитального момента kR, (к - это константа) уравнение (1.2) переходит в уравнение Гельмгольца Для конечных значений момента , уравнение (1.2) преобразуется в уравнение Лапласа
Перепишем преобразование (1.8) в явном виде и перейдем согласно (2.58) к неоднородным координатам (xi, ). Замечая, что при больших R (углы а и 7 задают вращение вокруг старой и новой оси z и только углом /? определяется вращение вокруг оси у) Таким образом углы Эйлера (а,(3,-у), задающие произвольное вращение системы координат преобразуются при контракции в параметры (а1,а2), определяющие сдвиги относительно осей 2:1,2:2 и вращение на угол ф вокруг оси перпендикулярной плоскости Е2. 2.3 Контракции от so(2,1) к е(2) Как и в предыдущем пункте, введем неоднородные координаты на гиперболоиде 112 положив и далее выразим генераторы группы 50(2,1) через переменные (х1,х2) Переписав коммутационные соотношения алгебры so(2,1) через операторы (7Гі,7Г2, L3) получаем, что в пределе Я — оо алгебра so(2,l) коптрактирует в алгебру е(2). Операторы 7ГМ переходят в рм = д/дх а оператор Лапласа-Бельтрами для группы 50(2,1) переходит в оператор Лапласа для группы Е(2) Соответственно уравнение Гсльмгольца (1.27) на /72 в пределе Я —f оо и pR переходит в уравнение Гсльмгольца па двумерной плоскости (2.64) и (2.65). Определим неоднородные координаты на гиперболоиде 772 согласно и перепишем генераторы группы 50(2,1) в виде Коммутаторы алгебры 5о(2,1) в новых переменных (2.72) подчиняются соотношениям Легко показать также, что в случае выбора параметров а.\ = аз, соответствующая сферическая система координат (1.6) также переходит в пределе R — со в декартовую систему координат на плоскости Е2. 3. Переход между эллиптическими координатами на 5г и Е2 Выберем интеграл движения X в эквивалентной форме и учитывая (3.76), при R2 а3 — со приходим к эллиптической системе на /?2 [в форме (1.51)]. 4. Переход от эллиптических координат на S2 к декартовым на Е2. Рассмотрим систему координат (1.16) в которой заменим порядок параметров а,і, а именно 1. Переход от псевдо-сферических координат на 7/2 к полярным на Е2. Перейдем в формуле (1.29) к неоднородным координатам согласно (2.68) и положим tanhr г JR. Тогда в пределе R — оо, т — О, получаем и соответственно 2. Переход от эквидистантных координат на //2 к декартовым на .С2. Перепишем эквидистантную систему (1.29) в неоднородных координатах (2.68) В пределе R — оо и ті, Т2 — 0 мы имеем так что (1,2:2) контрактируют в декартовые координаты, и и переидем к новым переменным Qi = «і + («і — «2) sinh2 , Q2 = а2 + (ai — а2) cos2 77, тогда легко видеть как в пределе Я2 (—з) — со эллиптическая система (1.16) коп-трактирует в (1.51), то есть эллиптическую систему на Е2. Соответственно имеем ХЕ = М2 + К2 -+LI + D2pl 1Е. Иг 5. Переход от эллиптических координат на П2 к декартовым на Е2. Выберем параметры эллиптической системы (1.30) в виде а,\ — а2 = а2 — а3 = а и определим новые переменные 6,2 согласно формулам
Контракции базисных функций на S2 и Н2
Рассмотрим сферическую систему координат (1.6) с углами (0 ,ф ). Опустим штрихи и представим предварительно сферическую функцию Угт{0,ф) в виде [187] У Свойство четности сферической функции Y\m относительно инверсии 0 — 7г — 0 приводит в пределе R — со в формуле (4.102) к функциям cos А а; и sinA x вместо обычной экспоненты ехр г (А;1а; + Аг2т/) соответствующей решению уравнения Гельмгольца в декартовой системе координат. Отметим также, что наличие фактора Jp в формуле (4.102) связано с контракцией символа кронекера в дельта-функцию 1. Рассмотрим предел R — со в межбазисном разложении (1.13) связывающем две сферические функции от углов (в, р) и (0 ,(р ). Для проведения соответствующего предельного перехода в разложении (1.13) необходимо знать асимптотическое поведение "малой" (/-функции Вигпера при больших R. С другой стороны хорошо известное выражение (1.10) для (/-функции Вигпера от угла 7г/2 непригодно для построения такого перехода когда сразу два квантовых числа (, т) порядка R. Более удобным с этой точки зрения является представление d- функции Вигпера через гипергеометрические ряды 3 2 от единичного аргумента. где Ti(x) и Ui(x) есть полиномы Чсбышева первого и второго рода и заменив в формуле (4.103) экспоненту на соответствующие полиномы Чебышева после интегрирования по переменной а, приходим к искомому представлению для d- функции Вигнера Мы готовы теперь проследить предельный переход II — оо в самом межбазисном разложении (1.13). Умножая предварительно разложение (1.13) на (—1) 2 и учитывая асимптотические выражения для сферических функции (4.100) и (4.102), и также формулу (4.105) для (/-функции Вигнера, приходим окончательно к выражению {0 = 02, тп = т2) В случае 0 = 0 последние две формулы эквивалениты известным формулам в теории функции Бесселя [192], а именно разложению плоской волны по цилиндрическим функциям и обратно. 2. В этом пункте исследуем предельный переход при R — со в более общем разложении (1.9). Пользуясь соотношением (2.66) определяющим поведением углов Эйлера при R — со и формулой (1.10) для D-функции Вигисра, приходим при і kR к известному асимптотическому выражению Нам остается выяснить поведение сферической функции от углов 0 и ip . Для этого заметим, что согласно формуле (1.12) при 0 0 и /3 и следовательно поведение сферической функции У(0 , р ) определяется формулой (4.100). Переходя теперь к пределу R — со в разложении (1.9) (предварительно умножив с обеих сторон па фактор (Я)-1/2), используя предельные соотношения для сферических функций от аргументов [0 , р ) и (0,ір), а также формулу (4.109), приходим вместо (1.9) к разложению Таким образом формула (1.9) определяющая теорему сложения для сферических функций при контракции R — оо воспроизводит известную теорему сложения Графа для функций Бссселя [192]. 4.2.1.
Решение уравнения Ламэ. Рассмотрим уравнение Гельмгольца (1.2) на сфере 5 2. После разделения переменных в эллиптических координатах (1.16) приходим к двум идентичным обыкновенным дифференциальным уравнениям Уравнение (4.110) представляет собой уравнение Ламэ записанное в алгебраической форме. Это уравнение относится к уравнению типу Фукса с четырьмя регулярными особенностями в точках (ai, а2, а3 и со) [101, 188, 189, 193, 194]. Общее решение уравнения Ламэ может быть записано в виде разложения вокруг одной из особых точек ак как где и к может быть выбрано равным 1,2, или 3. Подставляя теперь разложение (4.112) в уравнение (4.110), приходим к трехчленным рекуррентным соотношениям для коэффициентов разложения Ьк: где Решение уравнения (4.110) записанное в виде разложения (4.112) представляет собой функции Ламэ. Поскольку мы интересуемся представлениями группы 50(3), то ряд в формуле (4.112) должен обрываться, то есть представлять собой полипом порядка N. Пусть для некоторого положительного числа N. Необходимым условием для этого является формула В результате приходим к секулярному уравнению на собственные значения Л, то есть эллиптической константы разделения, которые определяются из требования равенства пулю детерминанта однородной системы линейных уравнений (4.113) на {Ь0, Ьі, , бдг}-Поскольку квантовые числа N и I должны быть целыми числами, то из уравнения (4.115) получаем, что а и должны иметь одинаковую четность. Таким образом полиномиальное решение уравнение Ламэ имеет вид где A l это нормировочная константа. Квантовые числа р, q нумерующие полиномы Ламэ Ф принимают значения ±1 и идентифицируют представления группы D2. Для каждого значения /, квантовые числа (р, q) и Л нумеруют (2+1) различных состояний. Поскольку заданное представление (р, q) для группы D2 может фигурировать более одного раза при редукции представления SO(3) соответствующего заданному , мы сталкиваемся "проблемой перепутанных состояний", решаемой с помощью квантовых чисел Л, то есть собственными значениями оператора X в (1.2). Разложение которое используется для полиномов Ламэ в (4.116) такое как и в уравнении (4.112), но суммирование по t проходит от t = 0 до t = N: 4.2.2. Переход от эллиптического базиса на 5г к декартовому на Е2. Выберем эллиптические координаты па S2 как записано в уравнении (1.16), но расположим константы а,- в последовательности а\ а3 аг, как в уравнении (3.78). Выпишем далее эллиптические функции представленные в формуле (4.116) в виде полиномов Ламэ Коэффициенты of (j = 1,2) удовлетворяют рекуррентным соотношениям (4.118) где N = (/ — а)/2. Переходя в полиномах Ламэ (4.119) к координатам i и 2, введенных ранее в уравнении (3.80) (для а = аз — а.\ = а2 — аз), получаем
Контракция алгебры SO(3), систем координат и интегралов движения
Как и в предыдущей главе положим R 1 в качестве параметра контракции и перейдем от координат объемлющего пространства Е\ к неоднородным координатам на 5з Таким образом в пределе R — со коммутационные соотношения (1.2) для алгебры .so(4) контрактируют в коммутационные соотношения (1.25) для Евклидовой алгебры е(3), а оператор 7Г; переходит в обычный оператор импульса р,- = д/дхі. Легко видеть также, что оператор Лапласа-Бельтрами на 5з при контракции переходит в оператор Лапласа в Евклидовом пространстве а уравнение Гсльмгольца при контракции R — со и L kR переходит в соответсвующее уравнение Гсльмгольца па Е$. имеет вид 1 , где квантовые числа mit2 — 0,±1,±2,... при фиксированных значениях L изменяются в интервале — L mi + т-і , а число (L — [т.х — тгі2І) принимает только четные значения. Положим при R -» со и используем асимптотические формулы для гипергеометрических рядов 2- \ и гамма-функций (4.97)-(4.98) В результате получаем межбазисных разложениях 1. Контракции коэффициентов Клебша-Гордана. Разложение между гиперсферическим и цилиндрическим базисами (2.32) и (2.38), соответствующих подгрупповым цепочкам 50(4) D 50(3) Э 5(2) и 50(4) Э 50(2) 50(2), определяется с помощью коэффициентов Клебша-Гордана Са.Ь группы SU(2) [67]: Таким образом разложение (2.44) переходит при контракции в разложение между цилиндрическим и сферическим базисами уравнения Гельмгольца. 2. Контракции коэффициентов Рака. Рассмотрим разложение между гииерсфери-ческими волновыми функциями (2.32) и (2.38) где принято обозначение cos ф = р/к. Устремим теперь R — оо в обеих частях разложения (2.47). Учитывая асимптотическую формулу для коэффициентов Рака (2.48) и гиперсферических волновых функций (2.32) и (2.38), приходим в результате к разложению между цилиндрическим и сферическим базисами уравнения Гельмгольца ), (2.49) Верхняя линия с левой стороны формулы соответствует суммированию по / = m, \т\ + 2, т +4,... а нижняя соответственно но / = т + 1, т + 3,.... Разложение (2.49) может быть приведено к виду (2.47) с помощю подстановки к\ — к cos ф —ї к3, х\ = г cos 02 — з5 ф-їтг/2-фіі0 2- тг/2- 0 2. 3. Контракции коэффициентов Клебша-Гордана когда три параметра стре мятся к бесконечности. Рассмотрим разложение между гиперсферическими и ци линдрическими волновыми функциями (2.38) и (2.42). Как и в пункте 2.3.1 даное раз ложение соответствует переходу от одной схемы сложения моментов к другой, то есть осуществляет связь между подгрунповыми цепочками 50(4) Э 50(3) Э 5(2) и 50(4) Э 50(2) 50(2). Поэтому в качестве коэффициентов разложения вновь выступают коэф фициентами Клебша-Гордона группы 5/(2). Выпишем это разложение в явном виде где штрих над суммой означает что (L — \т\ — п) всегда четно. При контракции в разложении (2.50) (см. формулу (2.52)) вовлекаются сразу три квантовых числа L, I и гп и формула (2.45) выражающая коэффициенты Клебша-Гордана через гипергеометрические ряды з- г непригодна для исследования такого предельного перехода. Вместо этого 1±Н)Ї L-I (/-m)i( +H-M) L+lm воспользуемся следующим интегральным представлением представляющей полиномы
Якоби (или Гегеибауэра) в виде двух гипергеомстрических рядов 2 1 для четных и нечетных п соответственно. После интегрирования по углу ф, получаем представление коэффициентов Клебша-Гордагга в виде гипергсоліетрического ряда 4 з (от единичного аргумента): для четных и нечетных (L — ) соответственно, a cos ф = (р2 — к2)/{к2 — к2). Переходя теперь к пределу ІІ - со в (2.50) и учитывая асимптотические формулы (2.43), (2.40) и (2.53) окончательно получаем - Щ + к2 Таким образом межбазисное разложение (2.50) при контракции переходит в разложение между декартовым и цилиндрически базисом уравнения Гельмгольца на Ез Переход между сферо-коническими системами координат на 5з и Е3. Предельный переход R — оо в случае сферо-конических координат аналогичен переходу в сферических координатах. Действительно, положив х r/R и переходя к неоднородным координатам легко проследить контракцию от сферо-конической системы координат на 5з к сферо-конической системе на Ез (см. Таблицу 2.3). Переход от сплюснутых эллиптических координат на S3 к сплюснутым сфероидальными координатам на Ез Выбирем оператор Хі в виде Положим в эллиптической системе координат /22/(аз — «2) = d2/(a2 — «і), и перейдем к новым переменным (—1 г] 1, 0). Тогда в пределе R2 а3 — легко показать что сплюснутая эллиптическая система координат на 5з (см. Таблицу 2.1) преобразуется при контракции в сплюснутую сфероидальную систему координат (см. Таблицу 2.3) на Ез- Соответственно для интегралов движения Переход от вытянутых эллиптических координат на 5з к вытянутой сфероидальной системе координат на Ез- Положим и определим новые переменные (—1 т/ 1, 1). Используя теперь в пределе R2 аз — со формулы (2.56) и (2.57) получаем предельный переход от вытянутой элиптической системы координат на 5з (см. Таблицу 2.1) к вытянутой сфероидальной системе на Ез (см. Таблицу 2.3) и также
Эллипсоидальный базис
Определим квантовые числа /о и т2 которые в пределе а — 0 и а — -оо, и при фиксированном q характеризуют гиперсферический и цилиндрический базисы. Пользуясь фактом независимости числа q от параметра эллиптической системы а и далее выражениями для волновых функций (2.32) и (3.82,3.83), получаем Исследуем каждый предел по отдельности. 1. Переход к гиперсферическому базису. Предел а —ї 0 в разложении (3.86) может быть проанализирован используя рекуррентные соотношения (3.89). Сокращая все члены зависящие явно от параметра а получаем Рассмотрим теперь разложение (3.65). Устремляя a — 0 в формуле (3.73) приходим к трехчленному рекуррентному соотношению для коэффициентов Клебша-Гордона группы SU(2)[№](Tqm=Tvin) гГаким образом формула (3.65) преобразуется в хорошо известное разложение гиперсферического базиса но цилиндрическому [67] Выписанные выше соотношения по форме совпадают с соответствующими трехчленными рекуррентными соотношениями для коэффициентов Клебша-Гордона [187]. Таким образом в пределе а — со получаем ііт ,(в) = (-1) С7ЙЙі/Іа. Соответсвешю формула (3.86) переходит в разложение представляющее собой обратное разложение для (3.97). 4 Эллипсоидальный базис 4.1 Решение волнового уравнения Ламэ Перейдем в уравнении Гельмголыда (1.3) к эллипсоидальной системе координат (1.18). После подстановки и введения эллипсоидальных констант разделения Ai, Аг приходим к трем идентичным дифференциальных уравнения где Р(р) = (р — а\){р — «г)(я — аз)(р — сц)- Уравнение (4.100) называется обощенпым уравнением Ламэ и относится к классу уравнений типа Фукса [199] с пятью особыми точками {ai, а2, аз, а , со}; причем («і, а2, с&з, а ) являются элементарными особенностями с показателями (0,1/2), а точка на бесконечности является регулярной. Каждое из уравнений (4.100) содержит кроме гипермомента L также две константы разделения Ai,A2 зависящих в общем случае от четырех размерных параметров аІ5 а2, аз, а. А или кі,к2,кз определяющих особые точки данного уравнения. Поэтому в отличии от стандартной одномерной спектральной задачи вся сложность заключается в одновременном вычислении спектра эллипсоидальных констант разделения Аі,А2. Построим решения обобщенного уравнения Ламэ. Ищем эллипсоидальную волновую функцию ф(р) в виде разложения в ряд вокруг одной из особых точек а2 (отметим что выбор именно особой точки а2 связан с соображениями удобства) Рассмотрим полиноминальные решения эллипсоидального уравнения (4.100). Пусть при каком-то целом N все коэффициенты четырехчленного рекуррентного соотношения (4.102) начиная с Ьлг+і равны нулю, то есть Тогда из рекуррентного соотношения (4.102) при подстановке і = N + 2 и условия b/v ф 0, В результате полиноминалыюе решение уравнения (4.100) запишется в виде где bt подчиняется следующему четырехчленному рекуррентному соотношению і Нам остается решить вопрос собственных значений констант Х,ц. Выпишем четырехчленное рекуррентное соотношение (4.106) в виде системы однородных уравнений: Как видно из формулы (4.107) полученная однородная система является переопределённой, поскольку число уравнений N + 2 больше числа неизвестных N + 1, и соответствующая матрица является прямоугольной. В общем случае относительно однородной системы уравнений такого типа известно, что необходимым и достаточным условием существования нетривиального решения является равенство нулю всех определителей порядка (JV + 1) [200].
Однако (см. приложение) для системы уравнений типа (4.107) достаточно потребовать равенство нулю двух детерминантов которые получаются из системы (4.107) вычеркиванием последней и предпоследней строки. Пусть теперь 71, 72 7з - целые числа равные числу нулей эллипсоидальной волновой функции (4.101) в интервалах (констант разделения {Л, }. В результате получаем что при фиксированном N существует (iV+l)(iV+2)/2 пар различных значений {Л,//} а в качестве эллипсоидальной волновой функции в зависимости от четности гипермомепта L выступают следующие шестнадцать обобщенных полиномов Ламэ: L = 2N + 4 В соответствии со сказанным в предыдущем пункте эллипсоидальный базис разбивается па щестпаддать классов:
