Содержание к диссертации
Введение
1 Супергравитации в 5 и 6 измерениях 14
1.1 Бозонный сектор 5D супергравитации с векторными мультиплетами 14
1.2 5D /(1)3 супергравитация 18
1.2.1 Модель 18
1.2.2 D5 - D4 редукция 19
1.3 Некоторые теории в шестимерии 24
2 Трёхмерные сг-модели 29
2.1 50(4, 4) сг-модель из Dll - Db - D3 редукции 29
2.1.1 Дуализация и скрытые симметрии 35
2.1.2 Матричное представление косета 43
2.1.3 Изометрии пространства-мишени 49
2.2 50(4,4) сг-модель из DQ — DS редукции 56
2.2.1 Дуализация и скрытые симметрии 59
2.2.2 Матричное представление косета 62
2.3 Частный случай: 50(4,3) сг-модель 65
2.3.1 Dll -D5-D3 редукция 66
2.3.2 D6 - DS редукция 77
2.3.3 Погружение 50(4,3)6 50(4,4) 79
2.4 Частный случай: G(2,2) сг-модель 79
3 Техника генерации решений 83
3.1 Общая методика 83
3.1.1 Асимптотические условия 85
3.2 D = Ъ решения с топологией горизонта SB 88
3.3 D = 5 решения с топологией горизонта S2 х S1 94
3.3.1 Чёрное кольцо с одним угловым моментом 96
3.3.2 Чёрное кольцо с двумя угловыми моментами 102
3.4 D = 5 решения с топологией горизонта сплющенной 3-сферы 110
3.4.1 От метрики Керра к метрике Рашида 112
3.4.2 Заряженная дионная чёрная дыра 114
Заключение 120
Основные обозначения и определения 123
Приложение 125
- Некоторые теории в шестимерии
- Матричное представление косета
- Частный случай: 50(4,3) сг-модель
- Чёрное кольцо с одним угловым моментом
Введение к работе
Как известно, в современной теоретической физике основным кандидатом на роль главной теории, объединяющей все известные и неизвестные взаимодействия, является мифическая М-теория [1]. Эта теория, существующая в одиннадцати измерениях, возникла после того, как теоретики поняли, что пять различных теорий суперструн связаны между собой дуальными симметриями (дуальностями). Одной из таких симметрии является Т-дуальность [2], связывающая различные струнные теории при их компактификации. Так, компактификация струны на многомерный тор связана преобразованием симметрии с ее компактификацией на другой тор, находящийся в таком же отношении к исходному, что и обратная решетка в кристалле по отношению к прямой. Например, если компактификация струнной теории типа НА осуществляется на окружность, то Т-дуальность переведёт эту теорию в теория типа ИВ, но компактифицированную на окружность обратного радиуса. Важным достижением было также и то, что струнные теории с различным количеством суперсимметрии удалось связать при их компактификации на более сложные многообразия, допускающие спинорные структуры: ориентифолды, Кз, пространства Калаби-Яу. Во всех этих случаях Т-дуальность отображает область слабой связи одной теории в область слабой связи другой и поэтому может быть проверена в рамках пертубативной теории струн. Также оказалось, что существует еще целый класс симметрии теорий, или эквивалентность различных теорий, не очевидных в их первоначальной формулировке и проявляющихся на существенно непертубативном уровне. Эти дуальности не только связывают между собой различные теории струн, но и позволяют получать предсказания в области, где струнная константа связи велика (и, следовательно, пертубативная теория неприменима), основываясь на
Введение
вычислениях, сделанных при слабой связи в дуальной теории. Примером такой существенно непертубативной симметрии является S-дуалъность, которая объединяет между собой теории с эффективными константами взаимодействия g и 1/д. 5-дуальность — обобщение известной в четырёхмерных полевых теориях электро-магнитной дуальности, которая меняет электричекое поле на магнитное, и соответственно заряженные частицы на магнитные монополи. В середине 90-х было понято, что и S-и Т-дуальности объединяются в более широкую симметрию, получившую название U-дуальности. Впервые в контексте струнных теорий она была введена в работе [3] Халлом и Таунсендом. Они предположили, что группа дуальности струнной теории типа II, компактифицированной на (-/-мерный тор, будет содержать в себя группы S- и Г-дуальностей и определяться дискретной подгруппой группы симметрии (10 — семерной максимальной супергравитации. Такие группы симметрии в максимальных супергравитациях подробно исследовались Креммером и Жюлиа [4,5].
В данной работе нас будет интересовать низкоэнергетический
предел А/-теории — 11D супергравитация (SUGRA). Актуальность её
изучения связана с тем, что многие свойства струнных теорий такие,
как дуальности и солитонные решения типа D- и р-бран, также
присутствуют и в супергравитационном пределе. Одиннадцатимерная
супергравитация имеет длинную историю. Её классическое действие
впервые было построено Креммером, Жюлиа и Шерком [6], и после
изучения компактификаций теории в низшие размерности возникла
надежда, что найдена долгожданная теория всех взаимодействий.
Однако, столкнувшись с рядом проблем (например, наличие аномалий
при квантовании или неправдоподобное значение предсказываемой
космологической постоянной), детище Креммера, Жюлиа и Шерка в
[ течение десятилетия отошло на второй план. Интерес к теории возродился
во время так называемой "второй суперструнной революции" 1995 года, когда как раз и было понято, что 11D SUGRA — это классический предел, возможно, чего-то более фундаментального.
Поскольку наблюдаемое пространство-время является единым четырёхмерным многообразием, то и М-теорию, и различные струнные теории, и 11D супергравитацию необходмо уметь сводить ("компактифицировать") к низшим размерностям. Вид
Введение
многообразия компактификации определяется требованием сохранения нужного количества суперсимметрий. Так возникает широкий класс суперсимметричных теорий (в частности супергравитаций) в различных размерностях. Одним из простейших способов получить низкоразмерную теорию — это скомпактифицировать (или размерно редуцировать) начальную модель на многомерный тор, т.е. воспользоваться идеей Калуце-Клейна [7]. Более общие редукции, например, на многообразия Калаби-Яу, проявляют схожие свойства. В результате таких манипуляций возникают теории с различным набором векторных супермультиплетов. А скаляры, входящие в мультиплеты, образуют (т.е. являются внутренними координатами) многообразия, которые, как оказывается, являются симметрическими пространствами с группами симметрии, называемыми группами [/-дуальностей (см. для обзора [4, 5, 8]). По-другому эти группы называются также группами скрытых симметрии, скрытых, потому что они явно не проявляются в высокоразмерной теории. Как было показано в [8] группы скрытых симметрии порождаются группами общекоординатных преобразований исходных нередуцированных теорий. По вполне определённым причинам интересно сфокусировать внимание на изучении пятимерных супергравитаций. Во-первых, компактификация одиннадцатимерной М-теории к пяти измерениям аналогична хорошо изученной компактификации Е& х Eg гетеротической струны к четырём измерениям, причём в обоих случаях в качестве составной частьи многообразия компактификации выступает одно и тоже пространство Калаби-Яу [9]. Во-вторых, пятимерная AdS-супергравитация играет немаловажную роль в контексте AdS/CFT соответствия. Кроме того, модные теории "мир на бране" [10,139-141] в простейшем варианте в качестве внешнего по отношению к бране пространства - "балка" — (англ. bulk) используют пятимерное (4+1) пространство. Важно также отметить, что существует такая пятимерная SUGRA, которая структурно очень напоминает одиннадцатимерную SUG-RA. Это так называемая D = 5 N = 2 минимальная супергравитация [11, 12]. В обеих теориях бозоныый лагранжиан имеет одну и туже структуру типа теории Эйнштейна-Максвелла с членом Черна-Саймонса только с разными степенями форм полей материи. В 11D SUGRA максвелловским полем является калибровочная 3-форма, а в 5D минимальной SUGRA соответственно 1-форма. Всё это говорит о том, что изучать ^/-дуальности
Введение
М-теории можно на примере более понятных теорий в пяти измерениях.
Ещё одним важным аспектом теории суперстун и М-теории, который затрагивает данная диссертационная работа, являются точные классические солитонные решения. Суперструны/М-теория допускают введение как пертубативных (обычные кванты), так и непертубативных солитонных состояний. Если первые представлены около классического предела малыми флуктуациями относительно постоянной конфигурации, то гслассичсским пределом солитона является гладкая, локализованная и топологически нетривиальная конфигурация классических полей, причем сюда входят как частицеподобные состояния типа черных дыр и монополей т'Хофта-Полякова, так и протяженные объекты. В теориях с несколькими классическими пределами солитоны и кванты могут меняться местами. Для исследования состояний непертубативных по своей природе можно отыскать нетривиальные решения классических уравнений движения низкоэнергетического приближения струнной теории. Оказывается, такие решения содержат конструкции типа р-бран [13], которые зависят только от части координат пространства-времени (координат поперечного пространства), D-браны — пространственно-временные дефекты (гиперплоскости), на которых могут оканчиваться открытые струны [14], а также их пространственноподобные аналоги — «S-браны [15,16]. Кроме того, особый интерес представляют солитонные решения в низкоэнергетическом пределе -теории, одиннадцатимерной супергравитации, к которым относятся протяженные объекты размерности 2 и 5 — М2 и Mb браны. В низших размерностях М-бранные решения могут давать новые конфигурации либо путём "сворачивания" вдоль продольных к мировому объёму координат, либо редукцией по направлениям, поперечным к мировому объёму. Первое приводит как к протяженным объектам типа фундаментальной струны, так и монопольным конструкциям типа чёрных дыр. Второе даёт более сложные конфигурации, представляющие собой пересечения М-бран [17,18].
Помимо многих других свойств классические решения важны и для разрешения давней проблемы теорий гравитаций: как микроскопически объяснить энтропию чёрной дыры, введённую ещё Хоукингом и Бекенштейном. Удивительным и очень важным в контексте вышеозвученной проблемы оказалось существование в пятимерии
Введение
решений, нарушающих теорему единственности для чёрных дыр. Первыми ласточками оказались чёрные кольца Эмпарана и Риэла [97], т.е. чёрные дыры с тороидальным горизонтом событий. Впоследствии также бьши обнаружены различные конструкции, состоящие одновременно и из колец, и из дыр [99-101, 103]. Одно из последних достижений — это открытие объектов с топологией горизонта в виде "линзового" пространства (англ. lens space) [104,105].
Одним из способов нахождения точных решений уравнений движения (супер)гравитационной теории является формулировка теории в терминах нелинейной сигма-модели [19], связанной с трёхмерной гравитацией. Такая сигма-модель строится размерной редукцией в трёхмерие лагранжиана исходной многомерной теории. Как правило, редукция осуществляется на многомерный тор и приводит после подходящих дуализаций Ходжа тензорных полей материи к трёхмерному лагранжиану, состоящему из двух слагаемых: скалярной кривизны эйнштейновской гравитации и кинетического члена для набора скалярных полей. Эта последняя часть трёхмерного лагранжиана в терминах сигма-модели играет роль линейного элемента метрики многообразия, которое будет являться пространством решений уравнений сигма-модели. Если обозначить набор скалярных полей (или потенциалов), образующих многообразие сигма-модели Mrs, через {ФА}, трёхмерное пространство-время как Мз, метрики на пространствах Л^з и Mts как hy и Qab соответственно, то говорят, что отображение Ф : .г*' є ./Из —> Ф(хг) Є М-ts является гармоническим, если функционал действия сигма-модели (определяемый с точностью до мультипликативной постоянной)
инвариантен относительно малых деформаций функций Ф, т.е. если эти потенциалы удовлетворяют уравнениям Эйлера-Лагранжа. Для техники генерации новых точных решений в многомерных обобщениях эйнштейновской гравитации представляет интерес следующее свойство сигма-модели. Действие (1) инвариантно относительно инфинитоземальных репараметризаций скалярных полей Фл
ФЛ->ФЛ + Л(Ф),
Введение
которые геометрически интерпретируются как диффеоморфизмы многообразия Mts- Если окажется так, что л есть векторы Киллинга, то они сформируют алгебру группы изометрий G, которая будет оставлять инвариантным метрику Qab многообразия Mts- В этом случае Mts будет симметрическим пространством, и его можно представить в виде фактор-пространства группы глобальных симметрии G по подгруппе изотропии. Свойством симметричности многообразия сигма-модели можно воспользоваться для смещения точки Mts, представляющей "затравочное" (англ. seed) решение многомерной теории, вдоль некоторых кривых на пространстве решений уравнений сигма-модели. Из полученных новых значений потенциалов строится затем новое решение исходной многомерной теории. Более подробно о построении точных решений на основе сигма-модельного подхода в многомерных теориях гравитации можно посмотреть в обзоре [20].
Классическим примером теории со скрытыми симметриями является четырёхмерная вакуумная эйнштейновская гравитация. С помощью размерной редукции её действия (предполагая стационарность решений) из>г=4в> = 3 можно убедиться, что многорбразие сигма-модели будет изоморфно псевдосфере 50(2,1)/50(2). Этот результат обобщается на случай D-мерной вакуумной гравитации. Группой [/-дуальностей в трёхмерии при редукции этой теории на (/-мерный тор будет SL(D — d,R), а многообразие сигма-модели, соответственно, изоморфно SL(D — с/, Ж)/SO (d). Так в пятимерии аналог вакуумной теории Эйнштейна имеет в трёхмерии группу скрытых симметрии 5L(3,R), что подробно было изучено в [55-62].
При наличии в теории гравитации не только гравитона, но и других полей, многообразие сигма-модели может быть расширено, сохранив симметрическую структуру. Так, редукция четырехмерной теории Эйнштейна-Максвелла приводит к SU(1,2) симметрии [21], действующей на четырехмерном пространстве погружения с двумя дополнительными скалярами, одним, являющимся компонентой четыре-потенциала соответствующей редуцированному измерению, вторым — следствием дуализации оставшейся трехмерной 2-формы (то есть электрический и магнитные потенциалы в случае редукции временеподобного измерения). Эта группа симметрии содержит в себе помимо нефизических калибровочных и масштабных преобразований
Введение
также симметрию 5-дуальности (переводящую магнитные решения в электрические и наоборот), электрические и магнитные преобразования Харрисона (генерируют соответствующие заряды), а также их коммутатор, порождающий преобразования типа Эйлерса.
Дальнейшая редукция четырёхмерной вакуумной гравитации в двумерие в предположении стационарности и аксиальной симметричности решений приводит к нелинейной сигма-модели, связанной с 21)-дилатонной гравитацией. Группа симметрии этой модели расширяется до бесконечномерной группы Героча [22], изоморфной аффинной 51,(2, М) группе Каца-Муди. При этом редуцированная система двумерных уравнений Эйнштейна оказывается полностью интегрируемой в том смысле, что для неё можно построить линейную спектральную задачу (пара Лакса), условием интегрируемости которой как раз и являются уравнения двумерной сигма-модели. Для таких сигма-моделей была разработана техника генераций решений на основе метода «обратной задачи рассеяния» {англ. «inverse scattering method»).
Помимо чистой эйнштейновской гравитации в четырёхмерии изучались различные модели, возникающие из компактификации струнных теорий. В частности, в работах [23-26] Гальцовым, Кечкиным, Шаракиным и другими исследовались такие 4D модели как, теория Эйнштейна-Максвелла с дилатоном и аксионом (ЭМДА), дилатон-аксионная гравитация с произвольным набором абелевых полей и теория Эйнштейна-Максвелла с дилатоном (ЭМД) при произвольной константе связи. Их полная интегрируемость в двумерии была продемонстрирована в работе [27].
Ещё одним важным аспектом сигма-моделей и групп [/-дуальности является их применение к проблеме так называемого «космического бильярда» (см. обзор в [28, 29]). Явление космического бильярда заключается в том, что классическая динамика космологических масштабных факторов а*() ~ еЛ|'^ и дилатонов в D-мерной гравитации, связанной с р-формами, в окрестности пространственноподобной сингулярности может быть описана как движение фиктивного бильярдного шара в области гиперболического пространства, ограниченной гиперплоскостями. Оказалось, что такая модель полностью определяется структурой группы [/-дуальности. Например, скалярные поля hi(t) принимают значения в подалгебре Картана
Введение
алгебры /7-дуальности, стенки, от которых отражается бильярдный шар, интерпретируются как гиперплоскости, ортогональные положительным корням алгебры {/-дуальности, отражения от стенок бильярдного стола
— как отражения Вейля и т.д. Эти группы дуальностей, возникающие
как группы симметрии одномерных сигма-моделей, редуцируемых из
многомерной гравитационной теории, определяются гиперболическими
группами Каца-Муди. Было показано, что такие одномерные сигма-
модели допускают предсталение в виде пары Лакса и полностью
интегрируемы [30, 31]. Кроме того, недавно было обнаружено, что
супергравитационные уравнения, описывающие как космические
бильярды, так и широкий класс черных дыр, являются интегрируемыми
по Лиувиллю [32], что даёт новые средства для анализа черных дыр и
бильярдов в теориях супергравитаций.
Данная диссертация будет посвящена построению сигма-моделей в пятимерных и шестимерных супергравитациях с целью их последующего применения для генерации новых решений. Структурно работа организована следующим образом.
В первой главе мы дадим небольшой обзор общей D — 5,iV = 2 Эйнштейн-Максвелл супергравитационной теории (ЭМСГТ) с произвольным числом векторных мультиплетов и покажем, как из неё получается интересующий нас в этой диссертации частный случай
— пятимерная супергавитация с тремя абелевыми (7У(1)Л) векторными
полями. С помощью калуце-клейновской редукции bD = 4 будет найдено
симплектическое представление группы {/-дуальности в четырёхмерии.
Также будет уделено внимание некоторым супергравитационным моделям
в шестимерии и их связи с пятимерными теориями.
Вторая глава будет акцентирована на построение трёхмерной сигма-модели пятимерной {/(I)3 супергравитации. Будут даны матричные представления соответствующих косетов и классифицированы изометрии. Кроме того, мы рассмотрим различные частные случаи ко сета трёхмерной сигма-модели /(1)л SUGRA в контексте > существования связей между теориями супергавитации в пяти и шести измерениях
В последней, третьей главе, будет представлена техника генерации новых решений в пятимерии с различным горизонтом событий. Мы получим ряд новых чёрных дыр и чёрных колец.
Основные обозначения приведены в конце диссертации.
Введение
Основные результаты, представленные в диссертационной работе, опубликованы в следующих журнальных статьях :
Bouchareb A., Clement G., Chen С.-М., Gal'tsov D. V., Scherbluk N. G., Wolf Th. G2 generating technique for minimal 5D supergravity and black rings. - Phys. Rev. D. - 2007. - Vol. 76, no. 10. - P. 104032.
Gal'tsov D. V., Scherbluk N. G. Generating technique for [/(1)3 57J supergravity. - Phys. Rev. D. - 2008. - Vol. 78, no. 6. - P. 064033.
Gal'tsov D. V, Scherbluk N. G. Improved generating technique for D=5 supergravities and squashed Kaluza-Klein Black Holes. — Phys. Rev. D.
- 2009. - Vol. 79, no. 6. - P. 064020.
4. Gal'tsov D. V, Scherbluk N. G. Three-charge doubly rotating black ring.
- Phys. Rev. D. - 2010. - Vol. 81, no. 4. - P. 044028.
сборниках статей :
5. Gal'tsov D. V, Scherbluk N. G. Hidden symmetries of non-minimal 5D
supergravity. — сб. Современные проблемы теоретической физики —
2008. - Томск: Изд. ТГПУ - Сс. 171-186.
тезисах конференций :
Galtsov D. V, Scherbluk N. G. Hidden symmetries of five-dimensional supergravity and black rings. II Международная конференция по гравитации, космологии и астрофизике RUSGRAV-13, 23-28 июня 2008 г., РУДН, Москва, Россия. Сборник тезисов. — Москва: Изд. РУДН, 2008. - С. 74.
Gal'tsov D. V, Scherbluk N. G. Hidden symmetries in 5D supergravities and black rings. II Workshop on Black Holes in General Relativity and String Theory, Veli Losinj, Croatia, 24-30 Aug 2008: Proceedings of science. - PoS BHs,GRandStrings 2008:016.
Щерблюк H. Г. Чёрные кольца и поиск скрытых симметрии в пятимерных супергравитациях. // Конференция "Ломоносов-2009", секция "Физика". Сборник тезисов. — Москва: Физический факультет МГУ, 2009. - С. 239.
Введение
9. Гальцов Д. В., Щерблюк Н. Г. Заряженные чёрные кольца с двумя параметрами вращения. // Научная конференция "Ломоносовские чтения", секция "Физика". Сборник тезисов докладов. — Москва: Физический факультет МГУ, 2010. — С. 108.
Некоторые теории в шестимерии
В этом разделе мы проведём редукцию лагранжиана 11D супергравитации по методу Креммера и Жюлиа из D = 11 в D = 3 таким образом, чтобы в промежуточной размерности D = 5 получить лагранжиан /(1)3 супергравитации. Будем предполагать, что 11D многообразие Мп допускает существование восьми векторов Киллинга и может быть представлено в виде: где S есть Т = S1 х 51, если все векторы Киллинга асимптотически пространственноподобны, или S1 х R, если какой-либо один из них асимптотически времениподобен. Пространство Т6 х S будем параметризовать координатами z1 ..., zH. Здесь удобно различать координаты z", a = 1,...,6 на торе Т6, который соответствует редукции в пятимерие, от координат на пространстве Е, которое соответствует редукции из пятимерия в трёхмерие. Последние мы будем нумеровать старшими по алфавиту индексами p,q,r... = 7,8. Координаты трёхмерного многообразия Мз будем обозначать х1 с латинскими индексами г, j — 1,..., 3, а соответствующую ему метрику — hrj. Запишем разложение одиннадцатимерной метрики при её редукции из D — 11 в D = 3. В обозначениях [4] анзац, соответствующий редукции 2.1 50(4,4) ст-модель из D11 — D5 - D3 редукции dsn на Г6 (сектор za), выглядит следующим образом: б ds2n = eg-ddsl + J2 e2% ff(dza)2. (2.1) Далее осуществляется двухэтапная калуце-клейновская редукция пятимерной метрики dsrt на (сектор zp) ds2n = e ff [e2 (dz7 + A7 + xdz )2 + ne2 (dz8 + Л8)2} б + e2i J(d/)2 + e i (2.2) /r=i Поясним обозначения. Здесь диагональные компоненты 11D метрики, отвечающие координатам z", параметризуются дилатонами а = ( ті, ...,(76,0,0). Соответственно, дилатоны /? = (0,..., О, i, 2) обозначают диагональные компоненты, отвечающие координатам z1 . — — Вектор 9 есть сумма 9 = а + (р. А восьмимерные дилатонные векторы ТА- = (Ті) 7р) = 1,...,8 могут быть записаны через вектор s бг=(5і,...,58), 5 . = 2/((10- )(9- )), (2.3) и векторы fk fk = ( 0,0, ..,0, (Ю - фь sH ь sjt+2, . , s8), = 1,...,8, (2.4) fc-i .по формуле 7Й = -Л). (2.5) Недиагональные компоненты метрики, смешивающие zp с трёхмерными координатами х\ параметризуются трёхмерными калуце-клейновскими 1-формами Л7 и А8. Поскольку редукция осуществляется на две размерности, возникнет аксион х эт0 результат редукции вдоль координаты zs четырёхмерной 1-формы А7: А1 = A7 + xdz8 (в обозначениях [4] х — 7s)- Множитель к, — ±1 введён для различения сигнатуры: к, = 1, если z8 пространственноподобная координата, и к. — — 1, если z8 — времениподобна. 2.1 50(4,4) ст-модель из 11 - Db - D3 редукции 32 Связь модулей Xі с дилатонами а даётся формулами Xі = е2 -5 = е2 -9, Xі = e2iv = е2?4"", (2.6) Хг = е2 = е2 , №)2 = E(fr)2- (2-7) Соотношение Х1 2 3 = 1 эквивалентно 5-а = 0. Остальные комбинации дилатонов, входящие в показатели экспонент разложения (2.2), имеют вид 1 2 1 s- =- i+ 2, 2ІтФ=—-д Ри Ъ1ъ Р = -7= Р\-Ч ъ (2-8)
Чтобы переписать анзац (1.13) для 11D 3-формы потенциала Ащ в обозначениях работы [4], мы будем использовать наряду с индексами на Е р = 7,8 парные индексы u ,jj ,..., принимающие три значения ii = (12, 34,56). Отсюда для этого анзаца будем иметь А[3] = -Ап A dz A dz1 + -Aivpdz1 A dz1 A dzp. (2.9) Здесь компоненты трёхмерных 1-форм1 Ац = Aundx1, I = 1,2,3 совпадают с -компонентами 5D 1-форм А1, введённых в (1.12). Эти трёхмерные 1-формы мы также будем обозначать символами А х1) А12 = А\ АМ = А2, Ат = А\ но подразумевать, что они зависят от координат на М . Скаляры Ац р — (Ai27, As47, А 67» . 1285 ЛЗ48? A Qg) — это аксионы, возникающие в процессе редукции на Е пятимерных 1-форм. Подставляя разложения (2.2) и (2.9) в лагранжиан 11D супергравитации и используя результаты Креммера и Жюлиа, мы получаем следующий трёхмерный лагранжиан (2.10) - \ Е № " №І Р)2 - (ЭД2 + e Ccs, Кі .р Мы подразумеваем, что Aw = —АІЧ 2.1 50(4,4) ст-модель из Dll - Db - D3 редукции где матрица крр — diag(l,/c) введена для различения сигнатуры, а член Черна-Саймонса Ccs имеет вид2 Ccs = - /l vWq yydAiVv A dAkk,q A Ajf. (2.11) Поля 2-форм напряжённостей определяются формулами Т1 = dA7-dXAA\ T8 = dA\ FiV = dAi.i,-dAii 1ri! llAAq, 77т = 788 = 1, 778 =-X, Fwp = jqPdAij q. Дилатонные векторы ац , ац р, bp, 67s связаны с векторными величинами (2.3)-(2.4) через следующие соотношения а-н = fi + /f - 3s, а/,-/р = Л + Л + Л - 3 , (2Л2) Ьр = —/р, &78 — h — /? Вследствие соотношения на модули Xі : ХХХ2Х3 = 1 и связей (2.6) шестимерный вектор а в действительности является двумерным. Поэтому, объединив этот двумерный вектор с 2 -дилатоном ф, мы можем вместо восьмимерных векторов в и ф использовать четырёхмерные векторы с компонентами (о-!, о ifi., ф2) и (0,0, /?!, v?2) соответственно. Удобно также сменить базис дилатонных векторов (2.12), а именно, выбрав в качестве линейно независимых следующую четвёрку векторов (1,0,0,0), (0,1,0,0), (0,0,1,0), (0,0,0,1).
Такая смена базиса не изменит скалярные произведения, входящие в показатели экспонент лагранжиана (2.10). Однако теперь четырёхмерные версии векторов в и ф нужно заменить на один четырёхмерный вектор ф = (фі,ф2,Фз,Ф {)- Мы нашли, что его компоненты выражаются через модули Xі И дилатоны ф следующим образом ф1 = _L (_ НХ ) + - : + ) , fc = (Ш( ) - + , (2.13) Фа = 7= \ ln(X3) + -=y?i ) , 04 = - = In о V2 V л/3 "V л/2 X2 2здесь использован восьмимерный символ Леви-Чившы е." 7 frt " 2.1 SO(4, 4) (т-модель из Dll — D5 — DZ редукции Этот вектор имеет такую же норму, что и в k=l n=l а дилатонные векторы в новом базисе выглядят так: ai2 = (-1,0,0,-1), Пи -(-1,0,0.1), аГ)б = (0,-1, -1,0), am = (0,0,1.-1), Ймт = (0, 0,1,1), а5о7 = (1, -1,0, 0), Й128 = (0,1,0,-1), &48 =(0,1,0,1), Й508 = (1,0,-1,0), 67 = (-1,0,-1,0). fc = (-1,-1,0,0), 678 = (0,1,-1,0). Кроме того, в лагражиане (2.10) в показателях экспонент необходимо — — выполнить подходящую замену векторов в и ф на ф: eSrr0 _ eV&U- ? _ ev/2V ? . . . 5 = (01, 02, 03, 04), где в правых относительно — частях под ai2 и т.д. понимаются дилатонные векторы в новом базисе. Редукция в 2D ковариантной форме С целью удобства для последующего применения в технике генерации решений редукцию метрики из D = Ъ в D = 3 можно проводить по следующему анзацу, записанному в 2)-ковариантной форме: ds25 = Xpq(dzp + av){dzq + а?) - nr dsj, (2.14) где аксион х и дилатоны ь 2 заменены на 2 х 2 симметричную матрицу Аи(р = 7,8): с детерминантом det А = -г = ке - Р2. (2.16) 1 -формы оР связаны с калуце-клейновскими 1 -формами Лр как: а7 = Л7 - хЛ\ а8 = Лн.
Матричное представление косета
Чтобы воспользоваться изометриями пространства-мишени для генерации новых решений уравнений движения исходной супергравитационной теории, необходимо выбрать представление для косетного пространства Л4. В качестве такого представления косета тг(Фл) Є М удобно использовать матричное представление 7 : тг — (-п) = V,где V — это верхнетреугольная матрица. Руководствуясь этим, мы выберем такое матричное представление 7 алгебры so(4,4), в котором общий элемент есть 8x8 блочная матрица: где блоки А, В, С — это 4x4 матрицы, причём В. С антисимметричны относительно побочной диагонали: В = —В2\ С = —С1. Символ Т в выражениях вида А1 означает антитранспонирование или транспонирование относительно побочной диагонали. Далее будем подразумевать, что генераторы Н и E±k находятся в этом матричном представлении 7- Конкретный вид матриц каждого генератора можно найти в приложении В.1. Здесь же отметим, что в этом представлении матрицы генераторов, соответствующих отрицательным корням, являются транспонированием матриц положительных генераторов: EL/,. = (Е .)т. Кроме того, будем иметь в виду, что для матриц выполняются следующие условия нормировки: Тг(Я/,Hj) = 28tj, iJ = l,...A, Тг(Д.,_,) = 2. (2.40) Вернёмся теперь к построению косетной матрицы V. Под действием глобальных преобразований из группы симметрии G она преобразуется по закону V -» V = Н(Ф)Уд, д Є 50(4,4), h є Я. (2.41) Здесь правое действие д сопровождается левым компенсационным действием некоторого элемента h из группы изотропии Н. Такая "компенсация" необходима для того, чтобы после действия группы G матрица V оставалась в верхнетреугольной калибровке. Метрика пространства-мишени, инвариантная относительно преобразований 2.1 50(4,4) сг-модель из D11 — D5 - D i редукции (2.41), записывается в терминах V с помощью матричного тока jv = dVV l по следующей формуле dl2 = TT(JJ) + TriJ KJvK-1). (2.42) Диагональная и инволютивная матрица К, зависящая от к, необходима, чтобы воспроизвести правильную сигнатуру линейного элемента пространства-мишени. Матрицу V мы будем строить на основе разложения Ивасавы [54], (приложение А.2.3). Таким образом, чтобы отфакторизовать алгебру по её подалгебре изотропии5, мы представим матрицу V как экспоненцирование подалгебры Бореля В (или, эквивалентно, максимально разрешимой алгебры, см. приложение А.2.4) алгебры Ли группы SO (4,4)
Существует множество способов организовать такое экспоненцирование. Самый простой — это экспоненцировать сумму произведений генераторов В со скалярными потенциалами. Можно также, используя формулу Бэйкера-Хаусдорфа, строить матрицу V в виде произведения экспонент от некторых комбинаций генераторов. Выбор конкретной реализации — это вопрос удобства, каким набором потенциалов мы хотим параметризовать ко сет. Нас будет интересовать представление, которе приведёт к потенциалам, возникающим в трёхмерном действии нелинейной сигма-модели. Имеем V = VHVE+ = VnVxV VnVp. (2.43) Если мы организуем матрицы V#, Vx, V$, Vn, Vp в виде следующих экспонент: VX = є УФ = ег Е/, (2.44) Vn = ew-ne, VP = e" p\ 5 которая совпадёт с максимально компактной подалгеброй в случае к = 1. 2.1 S0(4,4) cr-модель из Dll - D5 - D3 редукции 45 то получим на основе коммутаторов (2.36) и (2.38), что матричный ток 1 -форм Jy раскладывается по генераторам подалгебры Бореля В как Jv = сіф . н + e u% + J2 Sl+Q-S (dv1 - xdu1) Zx 2 і (2.45) + J2 e + d Wi + ]T) e +3 GpQp + J2 e r? ipI Отсюда, учитывая условия нормировки (2.40), видно, что этот ток, будучи подставленным в формулу (2.42), воспроизведёт метрику пространства-мишени (2.30), если в матричном представлении 7 матрица К примет вид К = diag(«, к, 1,1,1,1,/с,/с). (2.46) Косетная матрица Л4 Для представления косетного пространства можно ввести другую матрицу М, определяемую формулой М = a(V_1)V, (2.47) где инволюции о в матричном представлении 7 определяется следующим образом а : V -» a(V) = K{V l)TK. Матрица М при действии на неё группы G уже не требует компенсационных преобразований из подгруппы изотропии М-+М = а(д)Мд = КдтМд, (2.48) при условии инвариантности матрицы К относительно подгруппы Н: 1ъ(Ф)тКк(Ф) = К. (2.49) Удобно ввести вместо М матрицу М, отличающуюся от первой матрицы множителем К: М = КМ (2.50) 2.1 0(4,4) (т-модель из D11 - Db - D3 редукции 46 и с законом преобразования М -± М = дтМд. (2.51) В дальнейшем мы будем работать именно с этой матрицей. Метрика пространства-мишени с помощью Л4 принимает простой по сравнению с (2.42) вид dl2 = -\тх((1М(1М [). (2.52)
Выполняя экспоненцирование (2.44), мы получим матрицу V в блочном виде: v=(of)- S= f где S и R — это 4x4 матрицы, которые мы здесь не приводим в виду их громоздкости. Здесь и далее под символ" в применении к матрице будем понимать антитранспонирование обратной матрицы. А используя определение (2.50), находим, что косетную 8x8 матрицу М можно представить симметричной блочной 2x2 матрицей: M={&VV + S-VQ ) (2-53) Заметим, что все вычисления с матрицами проводились с использованием компьютерной техники, в частности пакета символьных вычислений «Maple». Матрица V определяется как V = ST8S, где = diag(K, к, 1,1), и в явном виде есть _ _ / ФТЛФ, ФГЛФ \ v - V ФГЛФ, ФГЛФ + ) (2 54) где компоненты даются следующими матрицами Ф = I 0 1 О I , Л = — 0 -Лтт Лтя I , Ф = I - 1 -и1 Матрица Q есть Q = S lRu совпадает со своим антитранспонированием с обратным знаком: Q — —QT, поэтому в её явной форме мы запишем 2.1 50(4,4) cr-модель из D11 - D5 - D3 редукции 47 только верхние относительно побочной диагонали элементы Q = / ці + u i ui - игці + (ulWi - u3w3), шн - у2ц-і + (г-лШі - vhu-s) 0 \ -v2 -Цз + ш3 О -и2 О V о ) (2.55) В вышенаписанных формулах была введена новая переменная ш/ = EUKVJUK. Легко проверить (используя, например, «Maple»), что детерминант матрицы М равен единице. Кроме того, для неё выполняется соотношение М = М, (2.56) что позволяет легко построить обратную матрицу Мгх — Л4Т. Наконец, подставляя (2.53) в выражение для линейного элемента пространства-мишени (2.52), убеждаемся, что матрица М. действительно является представлением многообразия сигма-модели с метрикой (2.30). Алгебра группы изотропии Построим теперь генераторы группы изотропии Н. Чтобы их найти, определим инволютивный автоморфизм (2.32) в матричном представлении 7 следующим образом а : Ек - а(Ек) = -KEj.K, а2 = Id. Комбинации 50(4,4) генераторов, инвариантные относительно автоморфизма а, принадлежат алгебре изотропии Ч = so (4) ф so (4) или Ч = so(2,2) ф so(2,2) в зависимости от знака к. Это следует из того, что, если некоторый элемент і) принадлежит алгебре изотропии Ц є Ч, то выполняется равенство ЬТК = -Klh которое есть следствие (2.49). Легко видеть, что комбинации вида Ек + а(Ек) инвариантны относительно действия а. Поэтому набор генераторов {Ек 4- j{Ek)} образует алгебру изотропии Ч = span {Ек + а(Ек)}
Частный случай: 50(4,3) сг-модель
В предыдущих разделах мы построили трёхмерную сигма-модель с 50(4,4) группой изометрий. Ей соответствуют две разные супергравитационные теории: в пяти измерениях — супергравитация с двумя векторными мультиплетами, а в шестимерии — супергравитация с дилатоном и полем 3-формы. В принципе, метод компактификации супергравитационной теории на тор является мощным средством, позволяющим извлекать полезные группы {/-дуальности. Однако, частные случаи, а именно, теории, содержащиеся в более общих теориях, можно исследовать иначе. Заметим, что мы изучали вопрос, какая группы симметрии и соответстующее симметрическое многообразие сигма-модели существуют у конкретно взятой супергравитации. Однако правомерно рассмотреть и обратное: соответствует ли данному симметрическому пространству с некоторой простой или полупростой группой симметрии Ли какая-либо супергравитация. Этот вопрос подробно исследовался Креммером, Жюлиа, Кейрентьесом и другими. Придуманная ими процедура получила название оксидация (англ. oxidation) [51, 63, 64]. Интересным аспектом оксидации оказалась её неоднозначность: в высших размерностях могут возникать различные "ветви" теорий, ведущие к одной и той же теории в низших размерностях. Основываясь на идеях Креммера и других, мы покажем на примере теорий с 50(4,4) группой [/-дуальности в трёхмерии, как из связей между группами Ли возникает связь между различными трёхмерными сигма-моделями. Нас будет интересовать прежде всего, какой супергравитационной теории BD = 6HD — 6 будет соответствовать трёхмерная сигма-модель с изометриями из подгруппы SO{7) группы SO{8). Рассмотрим сначала 3-D сигма-модель, возникающую из DUDS — D3 редукции 11-мерной супергравитации. Как мы выяснили, она параметризуется набором модулей Х1,Х2,Х , возникающих при редукции из D — 11 в D = 5 на тор Т6, и скалярами, из которых \1щ,шр принадлежат к гравитационному сектору, а ф , /// — к электро-магнитному. Кроме того, эта сигма-модель имеет группу симметрии, являющуюся некомпактной вещественной формой группы SO(8). В теории групп показано, что между алгебрами so(8) (D \ система) и so(7) (В% система) существует простая связь на языке корневых систем. Она заключается в следующем. Чтобы получить алгебру Ли so(7) из алгебры so(8), необходимо отождествить два из четырёх простых корней so(8) (Рис. 2.1).
Рассмотрим, как при этом изменяются связи между остальными корнями. Базисные корневые векторы алгебры so(8) мы будем обозначать как еі, ёЬ, ёз, ё\. Тогда остальные векторы ёЬ,... ё\ч легко найти из В первых двух строках можно распознать соотношения в системе корней алгебры soil). Это означает, что из корней (2.104), определённых на четырёхмерном линейном пространстве У4, можно образовать такие их комбинации, которые будут образовывать систему корней в некотором трёхмерном подпространстве У3 С V\ Нетрудно заметить, что в качестве Уз можно выбрать линейное пространство, образованное векторами из V4 с проекциями на первые три координатные оси. Поэтому, чтобы построить систему корней в V-z, среди векторов (2.104) нужно найти комбинации, у которых четвёртая компонента будет равна нулю. Например, полусумма (ei + 6) = (0.0,1,0) будет как раз таким вектором. Обозначая векторы, образующие систему корней в Уз, как «i,... , ад, будем иметь для них следующие выражения через векторы Єї, .... eg «т = -Леї + е2), а2 = ёз, аз = е4, а4 = -(е5 + е6), а5 = ею, а б = -( + eg), a-j = ё 7, ( = Є4, &9 — ё\2 Они будут удовлетворять следующим соотношениям: 3 ( = У 5i, »5 = С?2 + Из, СКб = «1 + аз, 1=1 (2.105) oV = 5i + UG, as = c?i 4- oV ад = ( + 5Ц. Таким образом, мы видим, что корни d\... ад формируют корневую систему алгебры so(7) [53]. Отбрасывая в координатном представлении этих векторов четвёртую компоненту (равную нулю) и предполагая, что норма базисных корней этой системы есть 2jai2 = сТ2j2 = 5з2, выберем три базисных корня so(7) в следующем виде a i = (0,0,1), a2 = (1,-1,0), a3 = (0,1,-1). (2.106) Остальные можно получить из корневых соотношений (2.105): а4 = (1,0,0), а5 = (1,0, -1), а6 = (0,1,0), (2.107) а7 = (0,1,1), а8 = (1, 0,1), а9 = (1,1,0). Продемонстрируем теперь, как из этого можно извлечь связи, накладываемые на 5D супергравитацию с тремя абелевыми полями. Мы помним, что матрица косета М трёхмерной сигма-модели строилась путем экспоненцирования борелевской подалгебры, где показатель каждой экспоненты содержал произведение генератора на координату пространства-мишени. Это означает, что каждому потенциалу соответствует свой положительный корневой вектор алгебры Ли системы D\. Поэтому логика приводит нас к тому, что отождествление двух базисных векторов при получении В$ из D должно сопровождаться соответствующим отождествлением потенциалов пространства-мишени. И, конечно, это приведёт к тому, что появятся связи, накладываемые на пятимерные поля материи, и первоначальная теория "схлопнется" в другую супергравитационную модель. Отождествление трёх векторов еі н Є2, е8 г ёЬ, сг, f ее даст отождествление соответствующих им скаляров, относящихся к электро-магнитному сектору: 1 2 _ Ч 1 2 и1 М) ґп л поч U = Т/9 JT /il=M2 771" (2.108) В пятимерии поэтому возникнет условие на электро-магнитные 1 -формы А1 и А2 А1 = А2 = =. (2.109) V2 Далее, заметим, что соотношениям (2.105) удовлетворяют трёхмерные векторы, образованные из первых трёх компонент векторов (2.104). Это говорит о том, что четвёртая компонента ф± вектора из скаляров ф будет равна нулю, что автоматически приводит к отождествлению модулей Xі иХ2 ,ф4 = 0 Х1=Х2 = Х0, Х = Хц2. (2.110) Посмотрим, во что переходит лагранжиан 5D супергравитации с тремя абелевыми полями при условиях (2.109)-(2.110). Переобозначим сначала 1-форму А3: А3 = А и модуль XQ: ЫХо = —4?. Теперь можно воспользоваться условиями (2.109)-(2.110) и получить из (1.15) следующий лагранжиан 1 1 - 1 _±2. 2.3 Частный случай: 50(4,3) сг-модель где F = dA и Т = dA. Этот лагранжиан описывает пятимерную супергравитацию с двумя векторными полями. Уравнения движения для 1-форм потенциалов А, Л и дилатона ip, выводимые из него, совпадают с уравнениями движения полей материи, выводимыми из лагранжиана a = R l- -dip A dcp - -et%F л F - -е Я Л #. (2.112) i J Последний моделирует ту же супергравитацию, но с полями материи, описываемыми 1-формой А и 2-формой С, с соответсвующими напряженностями полей F и Я F = dA, H = C-FAA. Эквивалентность двух лагранжианов основана на том, что 3-форму Я можно дуализировать в пятимерии к 2-форме Т через уравнения движения для 2-формы С d(e% H) = 0- Я = -e -kF. (2.113) Поскольку 3-форма Я зависит также от поля А, то для того, чтобы уравнения движения для А остались неизменными после дуализации, в лагранжиане возникнут добавки черн-саймонского вида F A F А Л и F А Т А Л. Как мы видели в первой главе, лагранжиан (2.112) выводится из шестимерной супергравитации с самодуальной 3-формой через калуце-клейновскую редукцию из D — 6 в D = 5. Поэтому пятимерные решения уравнений движения в теории с лагранжианом (2.111) могут быть интерпретированы, как шестимерные решения супергравитации с самодуальной 3-формой. Для поиска этих новых пятимерных или шестимерных решений мы, следуя идеологии данной работы, должны построить трёхмерную сигма-модель и найти матричное представление соответствующего пространства-мишени. Сделать это будет нетрудно, поскольку мы знаем, что сигма-модель будет обладать группой изометрий, являющейся некоторой вещественной некомпактной формой SO(7). Кроме того, нам известно, как потенциалы 3D сигма-модели с группой симметрии 50(4,4) сводятся к соответствующим потенциалам неизвестной сигма-модели. Определим сначала, как изменятся после 2.3
Частный случай: 50(4.3) сг-модель отождествления потенциалов разложения пятимерных полей и метрики. Поскольку ограничения накладываются только на электро-магнитньти сектор и модули, нам достаточно изменить разложения (2.17) пятимерных абелевых 1-форм. В данном случае они примут вид (координаты редукции у(1 0 1\ « , 4, ) A{z\x ) = A{xl) + uadz\ A{z\,xl) = A{xl) + vadz", (2.114) где мы определили аксионы иа,va а = 0,1, относящиеся к формам Аи А соответственно. Разложение метрики (2.14) не изменится, однако теперь индексы а,Ь,.. пробегают значения 0,1. Воспользовавшись условиями (2.110) и (2.108), можно легко получить из метрики (2.31) выражение для линейного элемента метрики пространства-мишени исследуемой в данном разделе сигма-модели dl2 = Ucp2 + ітг (А- АА- А) + \r-2dr2 - \T-lVT\-lV (2.115) где метрика G(43, a, ft = 1,2 есть G = diag(e2 e-4 , два 2-столбца ip%, с индексом a — 0,1, нумерующим компоненты столбца, и индексом а — 1,2 — порядковым номером столбца, определяются как ФІ = {щ,щ), w2 = (v0)vi) и, наконец, 1-формы Га и Va, происходящие от соответствующих 1-форм Gj,V7 и V$, даются выражениями Гі = y/2Gi — V2G2 = djjLQ + -{vidua - u0du\ + uidvo - vodui), Г2 = V2G3 dfii + -(uiduo — uodtti) и Vo = duo — uodfio — Vod/ii + -voiiodui О 1 9 + -(wgdui — uouidvo — riuoduo — VQiiiduo),
Чёрное кольцо с одним угловым моментом
Чтобы вращающееся кольцо было сбалансированным, необходима замкнутость орбит векторов Киллинга д/дф и д/дф в точках пространственной бесконечности ж = -1 и г/ = -1. Соответствующие этим точкам конические сингулярности в плоскостях ф и ф, как показано в [97], убираются подходящим выбором диапазона изменения углов ф и 4 G4-1) 1 + Ещё одну коническую сингулярность нужно убрать в точке х = 1. Здесь возникает две возможности. Если мы требуем, чтобы координаты х, ф принадлежали 2-сфере S2 (что эквивалентно замкнутости орбиты д/дф в х = 1), а координата ф — окружности S1, то параметр Л нужно фиксировать так Х = 1Т7г- (3-26) Тогда конфигурация (3.25) будет описывать чёрное кольцо с радиусом R и одним фиксированным параметром Л, отвечающим за скорость вращения кольца вдоль ф. Если мы потребуем, чтобы х,ф,ф параметризовали 3-сферу б 3 при фиксированных t,y, то тогда Л нужно положить равным Л = 1. В этом случае орбита вектора д/дф не будет замкнутой и решение (3.25) перейдёт в сферическую чёрную дыру Майерса-Перри (3.13) с одним параметром вращения. Далее будем полагать, что Л фиксирована соотношением (3.26). В этом разделе нашей целью будет зарядить нейтральное кольцо (3.25) тремя зарядами относительно 1-форм потенциалов А1. Предположим, что размерная редукция выполняется относительно координат z8 = tnz = ф, Тогда из метрики можно извлечь следующие переменные сигма-модели _ &GrF _ Fx . _ R2FyGx , X77-Fx(x-yr 78 A88 "v T =W = a7 = 0, a8 = Я\/Л (І+уУІф, w7 = 0, w8 = RV\U(1+X), -ф1 = 0 = //./ 3.3 D = 5 решения с топологией горизонта S2 х S1 99 Решая уравнения (2.61), получим для ненулевых компонент матрицы Л/": М11 = -Л/ 88 = R G},F dib + Д2(1 + Л)(1 - иу + 2і/) ДО, (х- - у)2 ДГ22 = _д/-77 = Ai?2Gy(l + Ж) (ж-у)(1 + у) Л/"17 = -Л/"28 = Ял/ЛІ І + 7/)rf , д/-зз = -M66 = -R2G?{Fu JFx)di (х - у)1 - R2 (y2v\ + у{у - А) - 2//А - 2 / - 1W, и і = _л/-82 = Д3 MGg / 2 _ _ 2\ (я - у)2(1 + у) Vv JW На пространственной бесконечности ж —) — 1, у -» — 1 метрика (3.25) ведёт себя в терминах потенциалов как \ -л.- -}\тг 2Д2(1+ )(1+ )(1 +Л) Л77 - Ъ« = Inn Г = - г-5 , А88 -)--1 г-»оо [X — У У и остальные равны нулю, а линейный элемент выражается через ds\ = —dt2 + is, где ds4 даётся (3.24). Такая асимптотика соответствует метрике в форме (3.7).
Следовательно, её будут сохранять генераторы Zj + {Zi)T. Поэтому, чтобы зарядить кольцо, мы совершим преобразования М = дМд, ЛҐ=дЛГд-\ где д даётся матрицей (3.19). Затем после преобразований, извлекаем из матриц М1 и Л/" переменные сигма-модели. Имеем для гравитационного сектора А 78 = -D SRV (1 + х) А88 = -D 2 ; 3.3 D — 5 решения с топологией горизонта S2 х 5 1 100 T = D-1 T, XІ - DJ 4 = -%r Mi + )2 w8 Д 1+-Т)(Е " Д Е a7 = 0, a8 = ca8. Для электро-магнитного: .(/ D/ F, / SJCJCK{DJ + DK) г— М/ = 2 D Дч/Лг/(1 + ж), / J #; ,7 SJCJCRF, 4 = - (1 + y),i J K В вышеприведённых формулах использовались следующие обозначения I I I bv Окончательно решение можно представить как одиннадцатимерную трубку, скрученную по координатам {zv}z2), (z3,z4), (z5,z6) на шестимерный тор и имеющую в пятимерном сечении (t, х, у, ф, ф) чёрное кольцо: dsn-D { — + — + — j+ fe6, (3.27) где ds% записан в форме (3.14) + + #Л}; (з,8) 3.3 D = 5 решения с топологией горизонта S х 6" 101 О = sRV\v{l + х)(1ф + cRV\is(l + y)dij). Одиннадцатимерная конфигурация (3.27) является источником поля с 3-формой потенциала Ащ = А1 Л dzl Л ск2 + А2 Л 3 Л dz4 + А Л с/г5 Л cte6, (3.29) где 1 -формы выражаются как 1 A1 = T—{\cIsi{x-y)-R (cIY,5IJKsjSK{l + x)F1 Dlty J K + sIY,SIJKcjcK(l + y)F:rchli)y (3.30) J A Решение (3.27),(3.29) было получено действием комбинаций S- и Т-дуальностей Эльванг и Эмпараном в статье [129]. Поскольку 0!ф ф 0, зарялсенное кольцо получило второе вращение вокруг ф. Требование замкнутости орбиты вектора д/дф означает, что 0!ф в точках х = ±1 должна обращаться в ноль: Ц,;(±1) = 0. Как видно, в данном случае 0 ,(1) ф 0. Возникает коническая сингулярность, называемая струной Дирака-Мизнера. Аналогичная сингулярность возникает в решениях типа монополя Дирака и удаляется с помощью подходящего выбора двух координатных карт, покрывающих окрестность сингулярной точки. Как было показано в [129], подобным способом струну Дирака-Мизнера можно устранить и для решения (3.27). Однако при этом на временную координату t накладываются условия периодичности, что с неизбежностью приводит к существованию замкнутых времениподобных кривых даже за горизонтом событий. Заметим, что паталогия решения исчезает при занулении какого-либо из параметров а/. Рассмотрим теперь, как пятимерное сечение решения (3.27), (3.29) переходит в решение шестимерной самодуальной супергравитации. Мы помним, что переход осуществляется отождествлением модулей Xі = X2 = e-vo и векторных полей A1 = A2 = =, А3 = Л (штрихи у полей опускаем). Тогда 6D метрику можно представить в виде анзаца ds\ = e2 ds\ + e 6ntp(dx6 + Afjdx»)2, (3.31) где a = \-щ, а индексы пробегают значения (і, и = 1,..., 5. Легко понять, что отождествление полей соответствует приравниванию двух параметров 3.3 D = 5 решения с топологией горизонта S2 х S1 102 а.\ = «2- Поэтому дальше мы будем использовать следующие зарядовые константы 1 1 с1 = СІ = -(1 + Со), Si = 5І = -(СО -1), Сз=С, 5з = 5. Шестимерная метрика, следовательно, запишется следующим образом dsi = -—2 + П ) + _{ 6 + —(c5A(:i-- (3.32) 1 її О - F;; =-CJR\/A (1 + x)d t - Fx—- -sRs/X (l + y)di/ V {x -y)2l Fx J Gx Gy J где функции D и E определяются как D = D3 = c2- s2K E = A = 1 = i(l + со + Ли(cu - 1)). F 7 У Вращательная 1-форма Q есть П = 0;,# + П фс1ф, П ф = дл/А (1 + г/)с(1 + со), fi; = ІД /Л (1 + .т)(с0 - 1)5. 6D конфигурация (3.32) будет заряжена относительно 1-формы потенциала А A - txix-y t-sFyRVJ il+x -cF il+yW), (3.33) 2Егу У. ) из которой можно построить самодуальную 3-форму G: G = е4 5 F + F Л (.4,, + da;6), F = dA. 3.3.2 Чёрное кольцо с двумя угловыми моментами В начале раздела 3.3 упоминалось, что было обнаружено множество заряженных кольцевых конфигураций, однако, заметим, кроме решения Хоскиссона [137], ни одно из таких решений не обладало двумя 3.3 D = 5 решения с топологией горизонта S2 х S1 103 независимыми угловыми моментами. Найти новое решение из такого класса интересная, но технически трудная задача. В текущем разделе мы построим из решения Померанского и Сенькова [112] пятимерное трижды заряженное кольцо с двумя параметрами вращения.
Своё решение, представляющее нейтральное пятимерное кольцо с двумя независимыми угловыми моментами, Померанский и Сеньков получили методом решения обратной задачи рассеяния. Метрику этого кольца можно записать в следующем виде [112]: ds" Н{у,х) dy2 я(у ж) +о)2- 4#2 Н (ж, у) Н(у,х) dx F{v \dv2+ 2к2Н(х,у) Н(у,х) (X - y)2(L - 1/)2 G(x) G{y)\ (3.34) где координаты (t,x,y, fi,ii ) имеют область определения в интервалах -СО t +СО,—1 X 1,—СО у —1,0 (ф,Ф) 27Г. Масса кольца связана с параметром к, а скорости вращения вокруг ц) и ф соответственно с параметрами и и Л. Вращательная 1-форма Q = Qtpd%o + 0, ф в явном виде записывается как 2кХу/(1 + и)2 - Л2 П = + (3.35) Н{у,а (1 — x2)y Jvdip 1 + У 1-Л + І/ [1 + Л - v + х2уи(1 - А - v) + 2/лт(1 - 2/)] #]. Функции G,H,J,F есть (здесь мы используем обозначения из [112], параметр Л не следует путать с матрицей Хр!!): G{x) = (l-x2){l + \x + vx2), Н(х,у) = l + \2-v2 + 2\p(l x2)y + 2x\(l-y2v2)+x2y2v(l-\2-v2), 2к (1-х2)(1-у2)\у/ї J(x,y) = 1+XZ -v1 + 2{x + y)\v {x-y){l-uf - xijv(l - A2 - v2) 3.3 D — 5 решения с топологией горизонта S2 х 5"1 104 ОЬ2 г / F{x v) = (х - ті - vf iG{x){1 - y2)([{1 -vf -Л2](1+v) + 2/Л(1 - Л2 + 2//- З//2)) + (?(?/) [2Л2 + x\[(l - vf + A2] + ar[(l - //)2 - A2](l + 1/)+ :c3A(l - A2 - ЗЇ/2 + 2 3) - x\l - v)v(-l + A2 + 2)]}. Регулярность чёрного кольца требует выполнения неравенств 0 v 1, 2v А 1 +гл Масса и угловые моменты могут быть непосредственно извлечены из асимптотического разложения метрики: ЗА?2тгА 4к?тг\у/йу/(1 + У)2 - А2 G6(l-A + i/) " С5(1-//)2(1-А + 2/с3тгА(1 + А - 6i/ + ХУ + 2) /(1 + У)2 - А2 ci_ G,{l-y)2(l-\ + y)2 где Gr, — это 5D постоянная Ньютона. Представленное решение свободно от конических сингулярностей и дираковских струн. Метрика (3.34) зависит только от двух координат х,у и поэтому обладает тремя коммутирующими симметриями Киллинга ди дф, дгі,. При выборе координат редукции zs = t и z ф решение имеет асимптотику в форме (3.7). Как мы уже неоднократно упоминали, существуют только три генератора, сохраняющих эту асимптотику, каждый из которых генерирует электрический заряд. При выборе z7 в виде линейной комбинации угловых переменных ф, ф можно получить более богатый выбор изометрий и, следовательно, снабдить решение большим числом зарядов. Однако уравнения дуализации, которые требуется решить на начальном этапе построения нового решения, столь усложняются, что возникают большие технические трудности в получении их аналитических решений. Здесь мы ограничимся выбором z — ф. В этом случае инвариантная трёхмерная метрика будем равна: oh2 птахах - (1_і/)2(я._ї/)2 F{y х) (JUL _ LV одсы nv X)\G{x) G(y)J (х-у)2 d(p 3.3 D = 5 решения с топологией горизонта S2 х S1 105 Запишем потенциалы пространства-мишени вместе с калуце-клейновскими 1-формами, соответствующими редукции из D = 5 в D = 3: 88 = Г — Н{у, х) Н(х,у) F(y,x) н(х,уу а _ Hij x) _ F(y,х) Н(у,х) 2 Н{х,у) Н(у,х) Н(х,у) " F{y,xy — ТГГ \ Цп л77 — ГГ, Г ТТ-, С",/, Блочные матрицы Т7, Q, формирующие ко сетную матрицу Л4, будут равны Р = Л 0 0 V = 0 о л-1 А = т -10 0 0 — Xj7 Л78 0 Л78 — А ( 0 LO7 Ш8 0 \ 2 = 0 0 0 -W8 0 0 0 -ы7 0 0 0 0 / \ Ф = diag(l, 1,1), а столбец Ф равен нулю. Нам также нужно найти входящие в матрицу Л4 дуализованные величины шр. Как будет видно далее, из двух скаляров Ш7 и Ш8 в преобразованные переменные сигма-модели будет входить только ш&. Его значение даётся решением уравнения дуализации %Vp, T\pqh mhjr\dmal-dna%) Vh +ікдь чья p — 8 компонента может быть в явном виде представлена как (предполагая, что ё ху — 1, и обозначая детерминант 3D метрики — h = det hij): дхш8 = ту/КН Н,м(\78дуа7ф + Ase oJ), dyus = y/hh h x(\ndxal + А88а,а). Вычисления дают: U)g = — П ?
