Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Туннельная ионизация в эллиптически поляризованном поле 12
1.1 Приближение Келдыша 12
1.2. Распределение по импульсам 15
1.3. Угловые распределения 2 О
1.4. Энергетический спектр 23
1.5. Статический предел в спектрально-угловом распределении 24
ГЛАВА 2. Волновой пакет фотоэлектрона в процессе туннельной ионизации 29
2.1. Волновая функция ионизованного электрона в координатном представлении 30
2.2. Волновой пакет в линейно поляризованном поле 34
2.3. Случай эллиптической поляризации 38
ГЛАВА 3. Туннельный предел в теории перерассеяния 40
3.1 Амплитуда перерассеяния в туннельном режиме 40
3.2. Спектрально-угловое распределение 43
3.3. Интерференционная структура спектра 47
3.4. Угловые распределения 48
3.5. Атомный потенциал и форма спектра 50
3.6. Полная вероятность перерассеяния 52
3.7. Трехступенчатая модель ионизации 52
Заключение 55
Рисунки 56
Список литературы 67
- Статический предел в спектрально-угловом распределении
- Волновая функция ионизованного электрона в координатном представлении
- Амплитуда перерассеяния в туннельном режиме
- Атомный потенциал и форма спектра
Введение к работе
Диссертация посвящена теоретическому исследованию процессов надпороговой ионизации и перерассеяния в сильном низкочастотном лазерном поле. Актуальность направления исследований связана с достигнутым в последнее время существенным прогрессом в технике эксперимента, позволившим более детально изучить спектры и угловые распределения фотоэлектронов и приведшим к открытию ряда новых физических эффектов, непосредственно связанных с процессом надпороговой ионизации.
Само явление надпороговой ионизации состоит в том, что при взаимодействии сильного электромагнитного излучения с атомами (или другими квантовыми системами - ионами, молекулами, кластерами) наблюдаются ионизованные электроны, поглотившие большее число фотонов, чем это необходимо для выхода в континуум. Эффект надпороговой многофотонной ионизации атомов впервые наблюдался в 1979г. [1] и стал широко доступен для экспериментального исследования с появлением лазеров, создающих когерентные электромагнитные поля интенсивностью свыше
10 Вт/см . В настоящее время число экспериментальных работ, посвященных изучению надпороговой ионизации, очень велико (см. литературу, цитируемую в обзорах [2,3]).
Начало теоретических исследований явления надпороговой ионизации, относится к середине 60-х годов. Так, в работе [4] впервые был предложен метод расчета вероятности ионизации электрона, связанного в потенциале нулевого радиуса действия, полем сильной линейно поляризованной лазерной волны с поглощением произвольного (над порогом ионизации) числа фотонов. Там же впервые было показано, что характер процесса надпороговой ионизации определяется величиной параметра адиабатичности у - уЩсо IF, где / -потенциал ионизации системы, со - частота, a F - напряженность электрического поля. Область у »1 называется областью слабого поля (или высоких частот). Другое название этого случая - многофотонный режим ионизации. При этом вероятность ионизации с поглощением п фотонов пропорциональна интенсивности поля в степени п, а число представленных в спектре надпороговых пиков невелико. В обратном случае сильного поля {у «і) осуществляется туннельный режим ионизации. При этом вероятность процесса пропорциональна туннельной экспоненте ехр {-2(21)312 /3fJ, а в спектре присутствует большое число надпороговых пиков сравнимой высоты.
Появление работы [4] стимулировало дальнейшие теоретические исследования, посвященные всестороннему изучению процесса надпороговой ионизации. В работах [5-9] результаты, полученные в [4], были обобщены на случаи произвольной поляризации и интенсивности (в том числе релятивистской) лазерной волны. Там же исследована надпороговая ионизация из произвольного состояния в короткодействующем потенциале, а в низкочастотном пределе и из состояния в кулоновом поле. Таким образом, в работах [4-9] заложен теоретический фундамент для описания надпороговой ионизации атомов в сильных лазерных полях. В более поздних работах [10,11] по сути те же, что и в [4-9] результаты были получены в рамках 5 - матричного подхода. Наконец, в [12] найдены простые аналитические выражения для полной вероятности ионизации произвольного атома полем сильной лазерной волны.
Основное физическое приближение, на котором базируются полученные в [4-12] результаты состоит в том, что конечное состояние электрона аппроксимируется плоской волковской волной [13,14], то есть, предполагается, что влиянием атомного поля на состояние электрона в континууме можно пренебречь. Именно это общее для работ [4-12] приближение позволяет рассматривать изложенный в них подход к описанию надпороговой ионизации как единый. В современной литературе модель фотоионизации, основанную на аппроксимации конечного состояния электрона плоской волковской волной, принято называть моделью Келдыша. Ниже мы также будем придерживаться этого термина.
Подробный анализ условий применимости модели Келдыша приведен в монографиях [15,16] и показывает, что она обеспечивает адекватное описание спектров надпороговой ионизации атомов именно в туннельном пределе. При переходе к многофотонному {у »і) режиму вступают в игру резонансные явления, начинает сказываться и влияние дальнодействующего поля атомного остова на движение электрона в континууме. Эти факторы, не учитываемые моделью Келдыша, существенно влияют на форму спектра и угловых распределений фотоэлектронов [17,18].
Результаты работ [4-9] первоначально использовались для описания экспериментальных данных, относящихся к полной вероятности ионизации в многофотонном режиме (параметр адиабатичности ^ = 20-50). Более детальные характеристики - спектрально-угловые распределения фотоэлектронов - долгое время оставались недоступными для экспериментального исследования из-за недостаточно высокой интенсивности лазерных импульсов. По той же причине вплоть до начала 90-х годов исследования надпороговой ионизации ограничивались многофотонным режимом. Как уже отмечалось, в такой ситуации применимость модели Келдыша к описанию спектрально-угловых распределений фотоэлектронов по крайней мере сомнительна. Таким образом, в течение длительного времени после появления пионерских работ [4-9] дальнейшее развитие заложенного в них подхода не представлялось актуальной задачей.
Ситуация существенно изменилась в последнее десятилетие благодаря прогрессу в лазерной технике, сделавшему возможным получение коротких (длительностью до десятков фемтосекунд) мощных (с интенсивностью
10-10 Вт/см ) лазерных импульсов и обеспечившему возможность детектирования очень слабых потоков частиц. В результате фронт экспериментальных исследований надпороговой ионизации расширился по крайней мере в двух направлениях.
Во-первых, исследования перешли в область туннельного режима ионизации, причем стали доступными для детального исследования спектрально-угловые, угловые и энергетические распределения фотоэлектронов. Таким образом, возникла насущная потребность в более подробном теоретическом исследовании распределений фотоэлектронов в туннельном режиме. При этом выяснилось, что полученные ранее результаты не всегда пригодны для анализа экспериментальных данных. Так, замкнутое аналитическое выражение для импульсного распределения фотоэлектронов в эллиптически поляризованном лазерном поле, полученное в [7], не обеспечивает переход к пределу циркулярной поляризации. Не изучались проинтегрированные по энергиям угловые распределения при произвольном значении эллиптичности. Между тем, потребность в подобных формулах обусловлена тем, что угловое распределение (в отличие от импульсного) легко доступно для экспериментального измерения [19]. Выражения для спектрально-угловых распределений фотоэлектронов в поле с произвольной эллиптической поляризацией найдены в работах [20,21] в виде бесконечных сумм произведений функций Бесселя. Однако, выражения такого типа плохо приспособлены для вычисления в туннельном режиме, когда большое число членов ряда имеют сравнимую величину. Численные же расчеты крайне затрудняют выявление качественных закономерностей в поведении спектров в зависимости от параметров поля и атома. Изложенные обстоятельства объясняют необходимость получения замкнутых аналитических выражений для спектрально-угловых и угловых распределений фотоэлектронов в туннельном режиме, применимых при произвольной поляризации поля, что и является одной из целей настоящей диссертации.
Во-вторых, с продвижением эксперимента в диапазон интенсивностей
10 -10 Вт/см стали доступны для детального исследования сопровождающие надпороговую ионизацию эффекты, обусловленные взаимодействием электрона с атомным остатком: генерация высоких гармоник лазерного излучения, перерассеяние на родительском ионе, многоэлектронная ионизация [22]. Эти эффекты не рассматривались в основополагающих работах [4-12], их теоретическое исследование началось сравнительно недавно и в настоящий момент еще далеко от завершения. Часть диссертации посвящена исследованию спектрально-угловых распределений фотоэлектронов, перерассеянных родительским ионом.
Само явление перерассеяния состоит в том, что первоначально ионизованный электрон, находясь в сильном лазерном поле, взаимодействует с родительским ионом, поглощая большое число квантов волны накачки и приобретая значительную энергию. Вклад таких электронов в спектры надпороговой ионизации наблюдается в виде протяженного плато, граница которого соответствует энергии \QUp {Uр - г1 F214тсо2 - средняя колебательная энергия в линейно поляризованном лазерном поле с амплитудной напряженностью F и частотой со), что составляет при интенсивности лазера
10 -10 Вт/см десятки и сотни электрон-вольт.
Впервые плато перерассеяния наблюдалось в опытах [23,24], выполненных в многофотонном режиме. Объяснение физической природы эффекта и оценка протяженности высокоэнергетического плато были первоначально даны на основе анализа классической кинематики электрона в сильном лазерном поле [25]. В настоящее время разработан последовательный квантово-механическии подход к расчету спектра перерассеяния в случае, когда атом моделируется потенциалом нулевого радиуса [26]. Применимость модели ограничена тем, что в ней исключены из рассмотрения эффекты, связанные с влиянием кулонова поля атомного остова на процесс рассеяния электронов. Анализ экспериментальных данных показывает, однако, что это влияние весьма существенно [27-29]. Другой недостаток результатов работы [26] состоит в том, что конечное выражение для амплитуды перерассеяния имеет вид двукратного интеграла, который приходится вычислять с использованием ЭВМ. Это обстоятельство существенно затрудняет исследование зависимости эффекта от параметров поля и атома. Поэтому представляется важным получить простое аналитическое описание спектров перерассеяния. В работе [30] теория перерассеяния была развита в аналитическом виде, причем с учетом многократного взаимодействия ионизованного электрона с родительским ионом. Однако, полученные результаты применимы только в глубоком многофотонном режиме (у»\), когда число квантов лазерного поля, поглощаемых электроном в каждом элементарном акте взаимодействия, невелико, так что наиболее интересная область параметра адиабатичности -туннельный предел - осталась незатронутой. В [31] вероятность перерассеяния найдена методом Ландау-Дыхне [32]. Однако, авторам удалось выполнить вычисления только с экспоненциальной точностью, что недостаточно для адекватного описания основных особенностей эффекта перерассеяния.
Для описания перерассеяния широко используется также феноменологическая трехступенчатая модель фотоионизации [25,27-29], идейно близкая к известной двухступенчатой модели прямой надпороговой ионизации [33]. Попытки (во многом успешные) применить этот подход к описанию спектра и углового распределения перерассеяния иногда приводят к результатам, находящимся в противоречии с данными эксперимента и численными расчетами, выполненными в рамках последовательного квантово- механического подхода [26]. Причина расхождений между полу классическими и квантовыми расчетами оставалась неясной до появления работ, включенных в настоящую диссертацию. Не был также понятен физический механизм интерференции в спектрах перерассеяния, отсутствовали простые аналитические формулы для спектрально-угловых распределений фотоэлектронов перерассеяния, оставались неизвестными буквенные параметры, по которым эффект перерассеяния мал в сравнении с прямой надпороговой ионизацией. В настоящей диссертации изложено решение перечисленных выше проблем.
Основные сведения, относящиеся к процессу надпороговой ионизации атомов, подробно изложены в монографиях [15,16,34,35] и цитируемой там литературе, а также в обзоре [36]. Вопросы, связанные с динамикой волновых пакетов фотоэлектронов в поле сильного лазерного излучения также разобраны [15,16]. Обобщенная модель Келдыша в приложении к описанию процесса перерассеяния подробно изложена в [26,37,38]. Результаты экспериментов по измерению спектрально-угловых распределений фотоэлектронов перерассеяния в туннельном режиме содержатся в работах [27-29], а также в обзоре [22].
Кратко остановимся на содержании диссертации. Результаты, изложенные в ней, опубликованы в работах [39-47]. Сама диссертация состоит из трех глав. Первая глава посвящена исследованию спектрально-угловых распределений фотоэлектронов в сильном низкочастотном эллиптически поляризованном лазерном поле. Во второй главе рассмотрена пространственно-временная динамика волнового пакета фотоэлектрона, возникающего в процессе туннелирования в переменном электрическом поле. В третьей главе излагается теория перерассеяния фотоэлектронов родительским ионом в туннельном режиме.
В первой главе в рамках модели Келдыша вычисляется амплитуда перехода электрона под действием поля эллиптически поляризованной лазерной волны из основного состояния в потенциале нулевого радиуса в состояние континуума. Для вычисления временного интеграла, определяющего амплитуду перехода, используется метод, основанный на разложении -фазы вблизи нуля второй ее производной [48]. Найдено приближенное решение уравнения для стационарной точки, хорошо аппроксимирующее точное решение при всех значениях эллиптичности. С использованием этого приближенного решения получаются замкнутые аналитические выражения для спектрально-угловых, угловых и энергетических распределений фотоэлектронов. Найденные выражения исследованы как функции эллиптичности поля . Подробно рассматривается эффект вытягивания углового распределения в направлении, поперечном максимальному электрическому полю, возникающий при промежуточных значениях эллиптичности. Приводится сравнение представленных расчетов угловых распределений с экспериментальными данными [19], демонстрирующее качественное согласие. Далее излагается формулировка статического предела в спектрально-угловом распределении и выводится распределение по скоростям электронов в момент ионизации. Дается обоснование феноменологической двухступенчатой модели фотоионизации [33] и адиабатического подхода к вычислению полной вероятности ионизации в низкочастотном эллиптически поляризованном лазерном поле [6].
Во второй главе рассчитывается пространственно-временная структура электронного волнового пакета в процессе туннелирования в низкочастотном лазерном поле. Получено удобное интегральное представление для зависящей от времени амплитуды прямой надпороговой ионизации, позволяющее вычислить координатную волновую функцию в замкнутом аналитическом виде. Подробно рассмотрена эволюция волнового пакета в процессе его выхода из-под потенциального барьера и последующее движение в лазерном поле. Найдено характерное время формирования пакета, поперечная и продольная ширина в момент выхода, скорость расплывания. Подробно исследуется наиболее интересный случай линейной поляризации поля. Приводятся оценки ширины и дрейфовой скорости волнового пакета в эллиптически поляризованном поле.
Третья глава посвящена квантовой теории перерассеяния фотоэлектронов родительским ионом в туннельном режиме. Излагается итерационная процедура вычисления амплитуды фотоионизации, основанная на разложении по взаимодействию фотоэлектрона с родительским ионом в конечном состоянии. Нулевой член ряда представляет собой амплитуду прямой надпороговой ионизации. Следующий член описывает вклад в спектры от однократного перерассеяния. С использованием интегрального представления для амплитуды прямой ионизации, полученного во второй главе, амплитуда перерассеяния вычисляется в замкнутом аналитическом виде. Для расчета амплитуды перерассеяния вблизи классической границы спектра применяется метод перевала, обобщенный на случай, когда квадратичное разложение фазы подынтегральной функции вблизи перевальной точки оказывается недостаточным и приводит к сингулярности.
Приведен подробный анализ спектрально-углового распределения. В частности, исследована интерференционная структура в спектрах и угловых распределениях, выделена зависимость сечения перерассеяния от параметров атома, определено поведение вероятности вблизи классической границы спектра. Сравнение с результатами экспериментов [27-29] показывает, что предложенная теория не только качественно, но и количественно описывает всю совокупность экспериментальных данных, относящихся к перерассеянию на реальных атомах.
Полученные спектрально-угловые распределения преобразуются к новым переменным, используемым в трехступенчатой полуклассической модели фотоионизации. На основе сравнения квантовых и полуклассических результатов делаются выводы о границах применимости трехступенчатой модели.
Кратко сформулируем основные положения, выносимые на защиту по результатам, полученным в диссертации.
Результаты расчетов импульсного распределения фотоэлектронов в сильном низкочастотном эллиптически поляризованном лазерном поле, обеспечивающие предельный переход к случаю циркулярной поляризации.
Аналитические выражения для углового распределения и спектра фотоэлектронов в сильном эллиптически поляризованном лазерном поле.
Распределение фотоэлектронов по скоростям в момент ионизации сильным эллиптически поляризованным лазерным полем.
Результаты расчета пространственно-временной структуры волнового пакета фотоэлектрона в сильном линейно поляризованном лазерным поле.
Аналитические выражения для импульсного распределения фотоэлектронов перерассеяния, рассчитанные с учетом интерференционных эффектов.
В диссертации всюду используется атомная система единиц (те ~h = ~e = \). Для описания электрона с каноническим импульсом р в поле лазерного излучения выбраны волковские волновые функции [13,14] в калибровке векторного потенциала: -^5^,/)= ехр< ipr-i ) if 1 - V где =(?) = — p + —A{t)\ - зависящая от времени кинетическая энергия у 2\ с ) электрона. Само лазерное поле описывается в дипольном приближении, а векторный потенциал задается в виде:
2(t) = —{cos(a)t),^sm((ot),0}
В диссертации повсеместно используется понятие пондеромоторного потенциала - средней колебательной энергии электрона в поле электромагнитной волны с напряженностью F и частотой со: l(*)) F2 ( 2\
2Ґ Асо1
Во избежание путаницы между величинами, описывающими прямую надпороговую ионизацию и перерассеяние, будем снабжать первые индексом "dir" (direct ionization), а вторые - индексом "г" (rescattering).
Статический предел в спектрально-угловом распределении
Начиная с работ [33,52,53] для анализа спектров надпороговой ионизации широко применяется основанная на идеологии туннелирования феноменологическая двухступенчатая модель ионизации, основные положения которой можно сформулировать следующим образом.
Процесс ионизации и детектирования электрона рассматривается как состоящий из двух этапов. На первом этапе в некоторый момент времени t0 происходит мгновенный переход электрона из связанного состояния в континуум. Вероятность такого перехода равна вероятности ионизации атома статическим полем Wstat[F(to)], величина которого суть модуль напряженности лазерного поля в момент ионизации: F(/0) = Fysin й#о+ cos о момент выхода в континуум электрон имеет скорость равную нулю: v(/0) = 0. На втором этапе рассчитывается классическая траектория электрона в лазерном поле. Получающаяся при этом асимптотическая (устанавливающаяся по выходе электрона за пределы лазерного фокуса или по выключении самого поля) скорость электрона определяет импульс, с которым тот попадает в детектор. В случае коротких лазерных импульсов, когда канонический импульс электрона р является интегралом движения, связь между импульсом электрона на бесконечности и его начальной скоростью имеет вид: р = v(/0)- A(t0)f с, что с учетом условия v(t0) = 0 дает: Распределение фотоэлектронов по наблюдаемым величинам р получается суммированием по оптическому периоду вкладов всех моментов t0 с весом Wstat[F(to)] при учете (1.28). В работе [54] двухступенчатая модель была усовершенствована путем введения узкого изотропного распределения по начальным скоростям фотоэлектронов с максимумом при v(/0) = О. В случае линейной и циркулярной поляризации было показано, что полученное в рамках изложенной процедуры импульсное распределение электронов мало отличается от рассчитанного в рамках модели Келдыша [52]. Однако, нерешенным оставался вопрос о том, в какой мере результаты двухступенчатой модели (с распределением по скоростям или без него) соответствуют более строгим квантовым расчетам. В данном разделе устанавливается соответствие между результатами, полученными выше в рамках последовательного квантово-механического подхода и двухступенчатой моделью ионизации. Обратимся к импульсному распределению, записанному в форме (1.14). Здесь tо (р) - вещественная величина, имеющая смысл момента времени, вблизи которого, происходит квантовый переход в состояние р. Распределение по моментам ионизации г0 в духе двухступенчатой модели можно получить, переходя в (1.14) к новым переменньм. Для этого введем скорость электрона в момент ионизации: В новых переменных VO V(/Q)} уравнение (1.13) записывается в виде: Перейдем в пространстве скоростей в систему координат, вращающуюся вокруг направления распространения волны (ось z) синхронно с вектором полевого импульса pp(t). Единичные вектора новой системы координат в плоскости поляризации направлены вдоль мгновенного электрического поля F(t0) и по нормали к нему. Условие (1.30) означает равенство нулю проекции мгновенной скорости на направление электрического поля: Две другие компоненты скорости произвольны и могут быть выбраны в качестве независимых переменных. Вычисляя якобиан перехода от переменных \px,Py,Pzf к новым переменным {v„,vz,/0} при условии (1.31), получим из (1.14): Здесь d v = dvndvz - элемент площади в плоскости перпендикулярной мгновенному электрическому полю F(t0). Если электрон мгновенно рождается в момент времени t0 с начальной скоростью v1_=nvn+ezv,, то его последующее движение в поле короткого лазерного импульса задается выражением: По выключении лазерного импульса при t — оо A{t)-+ 0 и из (1.33) получаем значение импульса, с которым детектируется электрон: Распределение (1.32), дополненное условием (1.34) эквивалентно результату (1.14) и отличается только выбором независимых переменных. С другой стороны, оно допускает ясную интерпретацию в терминах двухступенчатой модели: это распределение электронов по моментам ионизации и по скоростям в момент ионизации. После интегрирования (1.32) по скоростям получим распределение по моментам ионизации: которое в точности совпадает с отнесенной к оптическому периоду вероятностью ионизации в единицу времени из потенциала нулевого радиуса постоянным электрическим полем напряженностью F(/0). Распределения (1.32) и (1.35) зависят от эллиптичности только через величину поля F(t0). Интеграл по периоду от (1.35) дает вероятность ионизации в единицу времени переменным низкочастотным эллиптически поляризованным полем:
Результат, в точности совпадающий с (1.36), впервые был получен в работе [6] на основе адиабатического подхода к описанию ионизации в низкочастотном поле. Таким образом, мы показали, что основная формула адиабатической модели фотоионизации (1.36) напрямую и без каких-либо дополнительных упрощений следует из модели Келдыша при условии у«1. Более того, предшествующий результат (1.32) демонстрирует, что переход к статическому пределу в теории надпороговой ионизации может быть реализован на стадии импульсного распределения.
Волновая функция ионизованного электрона в координатном представлении
Анализ полученных результатов начнем с рассмотрения интерференционной картины в спектрально-угловом распределении.
На рис. 9 показан энергетический спектр электронов вдоль направления поля, рассчитанный согласно (3.11) и (3.14). Как и в [26,37], размеры интерференционных всплесков увеличивается при приближении к границе плато так, что самым широким и высоким является последний максимум, за которым распределение затухает в классически недоступную область.
Изменение интенсивности лазера меняет количество всплесков в пределах плато. Вычисления показывают, что функция s+_ [s/Up,9 = 0) монотонно убывает по закону близкому к линейному от значения 5+_(2,0) = 1,33 до нуля при e — \0U. Отсюда следует, что в пределах плато имеется примерно zFIA интерференционных максимумов, ширина которых As « 8& на большей части плато не зависит от интенсивности. Иной характерный масштаб получается из (3.14), (3.14) для нескольких интерференционных максимумов, примыкающих к классической границе. Так, расстояние между наибольшим максимумом в конце спектра и предшествующим провалом равно Ає 4Upncoin. В оценках других размеров интерференционной картины в этой части спектра изменится только численный коэффициент. Снижение интенсивности лазера уменьшает не только количество всплесков, но и глубину модуляции интерференционной картины (см. кривую 1 на рис.9). Причина в том, что при большой величине отношения FalF из-за туннельной экспоненты сильнее отличаются друг от друга интерферирующие амплитуды. Рельефная интерференционная структура сохраняется только в конце плато, где величины w_ и v+ всегда сближаются. Приведенные оценки параметров интерференционной структуры спектра находятся в количественном согласии с результатами модельных численных расчетов [26,37,67,68]. 3.4. Угловые распределения. Наличие классической границы %(#) в спектре приводит к существованию таковой и в угловом распределении, вычисленном при фиксированной конечной энергии. Как следствие, угловое распределение резко обрывается при в = вс\ (є) (здесь всі (є) есть функция, обратная по отношению к єсі(в)) [25]. Внутри классически разрешенных углов распределения обладают ярко выраженной интерференционной структурой. Серия диаграмм направленности, представленная на рис.10 демонстрирует эволюцию углового распределения с изменением конечной энергии фотоэлектрона. Когда конечная энергия электрона близка к абсолютному максимуму в lOUp, распределение вытянуто вдоль направления поляризации (первые две кривые на рис.10). С уменьшением энергии в распределении возникает первый интерференционный провал (кривые 3,4), постепенно достигающий нуля. Одновременно растет угол всі(є), ограничивающий раствор конуса, в который эффективно вылетают перерассеянные электроны. Пока число интерференционных всплесков невелико (на рис.10 такой ситуации отвечают кривые 1-6), угловое распределение описывается формулой (3.14) и определяется в основном функцией Эйри. В области в 30", є 8Up при условии z2/3 7.7 ее аргумент хорошо аппроксимируется выражением х(е,в) = z2FnY(s,e) 0.\3zln(є/Up-10 + 7.867) (3.16) которое позволяет легко находить в явном виде положение характерных точек и критические значения энергии, определяющие качественное изменение формы углового распределения. В частности, предсказываемое (3.16) при zF=146 положение большого бокового максимума 9mdX\pUp)=\7.5" и 0тах(8/ )=27" не сильно отличается от результатов численного расчета 0гааД9СГ )=20 и 0m{ U,)=3O [37]. С уменьшением є ниже Шр конус рассеяния расширяется, и растет количество интерференционных всплесков. В этих угловых диаграммах распределение (3.14) описывает большой крайний максимум и его ближайшую окрестность. Остальную часть распределения следует рассчитывать по формуле (3.11). В окрестности в = 0,п всплески ниже, чем вблизи предельного угла и, соответственно, усредняя распределение по интерференционным колебаниям (фактически отбрасывая последнее слагаемое в (3.11)), получим гладкое угловое распределение с минимумом в направлении поля. Для энергий вблизи Ш отношение высоты этого минимума к высоте главного бокового максимума, оцененное с помощью (3.14) и (3.16), оказывается равным «z U3[45]. Отсюда следует, что минимум в усредненном угловом распределении при 9 = 0, и выглядит как глубокий провал при z}/3 »1 и как небольшое понижение при z)/3 порядка единицы. Угловое распределение перерассеянных электронов с глубоким провалом вдоль направления поля впервые было предсказано в рамках трехступенчатой модели [25]. При этом был сделан вывод, что модель недооценивает перерассеяние на углы, близкие к 0,л. Однако, как показано в разделе 3.7., трехступенчатая модель адекватно описывает именно эту область углов, но неприменима в окрестности большого бокового максимума и, следовательно, не может корректно предсказать его высоту.
В измеренных в туннельном режиме угловых распределениях на плато [28] провал не виден. Причиной этого является неоднородность лазерного излучения. В поле с огибающей F\r,t) вклад пространственно - временной точки в измеряемую плотность импульсного распределения пропорционален \v{s,9,F{r,t))d3rdt,r e M{S,9,F) определено в (3.11) или (3.14). Последовательно интегрируя это выражение по отдельным переменным, можно проследить, как наложение распределений, соответствующих разным интенсивностям лазерного поля, усредняет и смазывает интерференционную картину. Особенно легко это сделать в случае гауссова профиля поля в пространстве и времени, когда результат п - кратного интегрирования (1 п 4) имеет вид (Ає 0))„ J u" \v{s,9,F{u))du (3.17) и F0 - пиковое поле в фокусированном лазерном импульсе. Следует подчеркнуть, что в интеграле (3.17) энергия электрона є фиксирована, а безразмерная комбинация elUp(u), присутствующая в импульсном распределении, зависит от переменной интегрирования. На рис.11 показана эволюция углового распределения электронов с e = lUp{0) при
последовательных усреднениях. Последняя диаграмма свидетельствует о том, что при стандартных для современного эксперимента параметрах поля и атома, полное усреднение по объему фокуса и по времени полностью замазывает и интерференционную картину, и ожидаемый минимум углового распределения вдоль направления поляризации. Эта диаграмма качественно согласуется с результатами измерений [28]. В условиях современного эксперимента оказывается возможным уменьшить размерность усреднения [69], что позволяет, по крайней мере в принципе, наблюдать интерференционную картину в угловом распределении. Однако и в этом случае наблюдение интерференции возможно только вблизи классических границ спектра, где интерференционные осцилляции становятся более плавными.
Амплитуда перерассеяния в туннельном режиме
Момент времени г3 (кривая 2 на рис.6) расположен вне области формирования пакета, но относится к тому же полупериоду, на котором пакет формируется. Здесь инжекция электронов в континуум уже прекратилась, что привело к исчезновению узкого пика. Формирование пакета практически закончилось, и он начинает движение в электрическом поле. Кривые 1 и 2 на рис.7 изображают профиль пакета в моменты времени, когда его центр впервые достигает наибольшего удаления от атома и при первом возврате к атому, соответственно. Из-за сильного расплывания абсолютные значения электронной плотности в момент возврата существенно меньше, чем в период формирования пакета, а его ширина существенно превосходит как атомный размер, так и ширину потенциального барьера.
Перейдем теперь к рассмотрению аналитических результатов, описывающих эволюцию пакета. В принципе, для вычисления интеграла (2.9) можно воспользоваться методом перевала, поскольку фаза подынтегрального выражения велика (она имеет порядок Zp -F2/co3 »1). Следует, однако, учесть два обстоятельства, усложняющие вычисления: 1) когда текущий момент времени лежит внутри интервала формирования пакета, вклад концевой точки в интеграл (2.9) является определяющим и 2) при этих же условиях вторая производная фазы в (2.9) мала, и интеграл сходится за счет высших членов в разложении фазы. Таким образом, при /-я72гу ос гх: Выражение (2.15) описывает узкий пик на рис.5 и 6, причем "первый множитель в (2.15) ответственен за изменение высоты пика со временем. Профиль пика описывается интегральным множителем в (2.15), который может быть выражен через функции Эйри [50]. Максимум этой функции расположен в точке x0(t) = I/F(t), а его ширина определяется малым масштабом l = XQ(FIFa)2n «XQ, так что по обе стороны от максимума интеграл (2.15) может быть заменен асимптотическими выражениями [50]. При ЛГ-Л:0 0 профиль пакета изрезан частыми осцилляциями, характерными для функции Эйри отрицательного аргумента, а его огибающая спадает по закону (х-х0) 1/2. Осциллирующая структура пакета возникает как результат интерференции волн (2.13), инжектированных в континуум в различные моменты времени. Характерный масштаб интерференционной структуры есть Ах = / = х0 (FI Fa) . Интерференционный вид профиля волнового пакета в момент выхода из-под потенциального барьера отмечался в работе [56]. В подбарьерную область электронная плотность спадает как Iі /(х - XQ)2 . Более простые аналитические выражения для (2.9) могут быть получены на временах, лежащих далеко за пределами интервала формирования пакета. При этом вклад концевой точки в интеграл пренебрежимо мал, и можно воспользоваться обычным методом перевала. Волновая функция выглядит, как трехмерный гауссов волновой пакет, сформировавшийся мгновенно при at = л 12: задается выражением (2.10), а продольный фактор х(х,ср) представляет собой одномерный гауссов волновой пакет для свободной частицы: центр которой движется вдоль классической траектории в линейно поляризованном лазерном поле: Продольная ширина волнового пакета (2.17) растет со временем как: где vx =pF 3F/Fa - скорость продольного расплывания, a &x=\/vx имеет смысл начальной ширины в продольном направлении. Скорость расплывания в продольном направлении больше, чем в поперечном в Ну раз. Отметим, что#выражения (2.16) - (2.19) применимы только при условии р-л/2»сотх, и не описывают пакет на начальной стадии эволюции. В частности, в процессе формирования продольный размер волнового пакета никогда не бывает равным Ах, а существенно превышает эту величину. Парциальный волновой пакет, формирующийся на соседнем полупериоде, когда электрическое поле направлено в противоположную сторону, представляет собой зеркальное отражение пакета (2.16) относительно плоскости (у, z). Каждый из парциальных пакетов имеет равную нулю дрейфовую скорость, но осциллирует вдоль направления действия электрического поля, одновременно расплываясь как свободный. Таким образом, вклад в волновую функцию от всех волновых пакетов за исключением находящегося в стадии формирования последнего, можно представить в виде: где парциальный пакет 8х\ {r,t) задается выражениями (2.16)-(2.19), в которых произведена замена л- / 2 - ттп 12 . Каждый из парциальных пакетов в (2.20) имеет норму, равную вероятности ионизации за полпериода, однако, их вклад в формирование электронной плотности в месте расположения атома различен. Для нескольких «новых» пакетов, сформировавшихся на последних по времени оптических периодах, продольная ширина (2.19) меньше амплитуды.
Атомный потенциал и форма спектра
Выражение (3.5) отличается от (2.5) множителем C(F), описывающим влияние формы атомного потенциала на вероятность прямой ионизации [9,66]. При ионизации из ямы нулевого радиуса C(F) = l,a C{F) = 24lFaIF дает правильный статический предел для случая кулонова поля. Таким образом, полученные нами результаты будут пригодны для описания перерассеяния на реальных атомах. После подстановки (3.4), (3.5) в (3.1) амплитуда перерассеяния принимает вид пятикратного интеграла, который вычисляется следующим образом. Поскольку функция Szm\k,t) быстро убывает при kL (F/Fa)U2yl2I, в аргументе атомного потенциала можно пренебречь кх, полагая q = р-к « p-k(t0), где вектор k{tQ) имеет единственную проекцию kx(tQ) = -pFcoscot(). После такого упрощения интеграл по kL становится гауссовым, и его вычисление приводит к появлению в знаменателе подынтегральной функции комплексной поперечной ширины расплывающегося волнового пакета (см. ниже (3.6)). В остающемся двукратном интеграле изменяем порядок интегрирования и переходим к безразмерным временам р0 - at0 и cpx -cotv Легко проверить, что подынтегральная функция внешнего интеграла в бесконечных пределах по переменной р0 обладает необходимым свойством периодичности, обеспечивающей правильную форму закона сохранения энергии при ионизации. С учетом описанных выше преобразований амплитуда В 1 в (3.3) принимает вид
Здесь фаза определена соотношением a A_L = Fal{2.IF{(po)) - поперечная ширина электронного волнового пакета в момент ионизации [42]. 3.2. Спектрально-угловое распределение. Поскольку фаза (3.7) пропорциональна большому параметру zF = AUр I со »1, двукратный интеграл (3.6) можно вычислить методом перевала. Условия стационарности 3SI дср0 =0, dS I дсрх =0 приводят к уравнениям: Решением системы (3.8), (3.9) является точка { р0 {є,9), р{ {є,в)), положение которой зависит от конечной энергии электрона є-р112 и угла вылета в, отсчитываемого от направления поля. В зависимости от (є,в) решения могут быть как комплексными, так и вещественными. Последние представляют первостепенный интерес, поскольку их вклад не содержит дополнительной экспоненциальной малости по сравнению с присутствующей под знаком интеграла туннельной экспонентой. Именно по этой причине в энергетическом спектре возникает плато. Неявные функциональные соотношения между четырьмя вещественными параметрами, определяемые уравнениями (3.8), (3.9), подробно изучены в трехступенчатой модели перерассеяния [25]. Эти результаты, переформулированные должным образом, используются нами для нахождения стационарных точек. В терминах трехступенчатой модели уравнение (3.8) гласит, что ионизованный электрон, покинувший атом в момент времени р0 с нулевой начальной скоростью и движущийся после этого в лазерном поле, в момент времени рх возвращается к началу координат. В момент возврата электрон испытывает упругое рассеяние в соответствии с законом сохранения энергии (3.9). Преобразования { р0, р1)- { р0-27Г,(р{+27т) и ( р0,(р1,в) -( р0+7Г,д)1+7Г,л в) не меняют вид уравнений, и поэтому анализ решений достаточно провести на одном полупериоде лазерного поля, например, О р0 я . Для моментов ионизации в промежутке 0 ср0 я: / 2 возвраты невозможны, а для п12 ср я, в зависимости от значения р0 возможны от одного до нескольких (вплоть до бесконечного числа) возвратов. Вклад от более поздних возвратов быстро убывает из-за поперечного расплывания волнового пакета, и в дальнейшем мы будем принимать во внимание только первый возврат. Для электронов, ионизованных в промежутке времени к 12 (р0 к и имеющих конечную энергию p2/2 2Up, направления вылета заключены в пределах к 12 в п. При этом мгновенная скорость электрона, фигурирующая в законе сохранения энергии (3.9), поворачивается на угол я72 90 ж, т.е. электрон рассеивается назад по отношению к направлению скорости, которую он имел непосредственно перед актом рассеяния. Углы в и в0 связаны соотношением [25] Перерассеяние в интервал 0 в к 12 происходит на смежном полупериоде с противоположным направлением поля. Энергия перерассеянного электрона, рассматриваемая как функция от момента ионизации, имеет на отрезке тс 12 (рй п изолированный максимум (см. рис. 8). Высота максимума г = ес1 (в) - суть верхняя граница спектра, предсказываемая полуклассической моделью для электронов перерассеянных под углом 0. Из существования максимума у функции є - є{(рй,в) следует, что необходимая для вычисления амплитуды (3.6) обратная функция р0 = р0{є,в) двузначна. Иными словами, на каждом оптическом периоде имеется два момента времени р0_ и # 0+ (см. рис.8), соответствующие перерассеянию в направлении в с энергией є. Согласно уравнению (3.8) им соответствуют моменты возврата рх_ и /pl+. Для вычисления амплитуды перерассеяния методом перевала нужно разложить фазу в (3.7) в ряд Тейлора около каждой из точек ( р0_, рх_) и {(р0+, рх+), вычислить двумерный гауссов интеграл и просуммировать результаты. Суммирование вкладов указанных стационарных точек порождает интерференцию в амплитуде перерассеяния [43]. dWr = [w_ +w+- 2yjw_w+ sin zFs+_]d p (3.11) Вклад отдельной стационарной точки имеет вид (индексы ± опущены) В (3.11), (3.12) введены обозначения: s = S/zF, где фаза S определена формулой (3.7) без малого слагаемого IcpQ; s+_= s+-s_ - разность приведенных фаз в стационарных точках; &\( Р\, Ро) = А±+{ Р\- Ро) /{о)А±) - квадрат поперечной ширины волнового пакета ионизованного электрона в момент возврата [42]; D = s00sn - ()2 - детерминант матрицы вторых производных фазы по pQ и рх в точке разложения (здесь и ниже частные производные приведенной фазы s по моментам времени ра и рх обозначаются: dsld pu = sQ, д2sIдсрйд(рх = sQX и т.д). Знак D различен для двух ветвей стационарных точек, поэтому интерференционное слагаемое в (3.11) содержит синус, а не косинус разности фаз. Процедура суммирования вкладов независимых стационарных точек не применима, если конечное состояние {є,в) находится вблизи классической границы. Из рис.8 видно, что при є- єСІ{в) точки ра_ и /?0+ приближаются с разных сторон к точке (р0т{0), в которой достигается максимум функции є = є{ р0,в), и их нельзя считать изолированньми.
