Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Теоретические основы построения факультативного курса нестандартной теории предела 15
1. Развивающее обучение как фактор совершенствования школьного обучения математике 15
2. ЛРС, УДЕ и ОУДЕ - дидактические приёмы факультативного курса Н-теории предела 20
3. Концептуальные положения Н-анализа 28
Выводы по первой главе 35
Глава 2. Основы факультативного курса Н-анализа 37
1. Множества 38
1. Понятие множества. Подмножества 38
2. Операции надмножествами 39
2.1. Объединение множеств 39
2.2. Пересечение множеств 42
2.3. Разность множеств 44
3. ОУДЕ натри операции надмножествами 45
4. Числовые множества 48
4.1. Множество натуральных чисел 48
4.2. Множество целых чисел 50
4.3. Множество рациональных чисел 52
4.4. Множество действительных чисел 53
4.5. Множество комплексных чисел 59
4.6. ОУДЕ на множестве комплексных чисел 66
2. Функция
1. Понятие функции 69
2. Понятие сложной и обратной функций 72
3. Классификация функций 73
4. Построение графиков функций 74
5. Числовые последовательности 79
3. Нестандартная теория предела
1. Некоторые фундаментальные понятия 82
2. Предел абстрактного множества 85
3. Нестандартное определение предела графика и функции 86
4. Предельный переход и арифметические операции в универсуме 87
5. Первый замечательный предел 90
6. Бесконечно малые и их свойства 91
7. Сравнение бесконечно малых 93
8. Основные теоремы о бесконечно малых 96
9. Бесконечно большие величины 100
10. Сходимость монотонных последовательностей 103
11. Основные свойства сходящихся последовательностей 104
12. ОУДЕ по пределу последовательностей 107
13. Число е 109
14. Второй замечательный предел 112
15. Нижний и верхний пределы последовательности. Подпоследовательность 116
16. Односторонние пределы 120
17. УДЕ и ОУДЕ на нахождение предела 122
Выводы по второй главе 128
Глава 3. Организация и проведение эксперимента по определению эффективности применённой методики 131
Выводы по третьей главе 142
Заключение 143
Приложение 1. Логико-речевая символика 146
Приложение 2. Учебно-методическое пособие «ЛРС и ОУДЕ - новый ди
дактический инструмент обучения математике» 147
Литература 157
- Развивающее обучение как фактор совершенствования школьного обучения математике
- Множества
- Организация и проведение эксперимента по определению эффективности применённой методики
Введение к работе
Актуальность темы. Роль математических знаний в общем образовании говека трудно переоценить. Формирование мышления, точности мысли и ре-развитие интеллекта, как известно, даёт математическое образование. Оче-шо, что вооружение учащихся знаниями математики всегда было, есть и бу-: одной из основных задач общеобразовательной школы.
Становление личности происходит в основном в школьном возрасте, Задача олы - развивать мышление ребёнка, творческую фантазию, навыки само-іятельной работы в процессе его учебно-познавательной деятельности. Уче-к в школе должен научиться самостоятельно творить и приобрести устойчи-е навыки самообразования. Учебно-познавательная деятельность школьника :ит развивающий характер только в том случае, если она несёт в себе эле-нты субъективной новизны как способа деятельности, так и результата, учение любому школьному предмету должно опираться на активную инди-туальную работу каждого учащегося, должно содействовать развитшо его знавательных возможностей. Развитие в процессе обучения - одна из глав-х задач школы.
Развитие ребёнка это не только и не столько приобретение новых знаний, к отмечал один из ведущих отечественных психологов А.А. Смирнов, мственное развитие немыслимо без самостоятельности мышления». Из выбываний этого психолога следует, что умственное развитие характеризует-не умением выполнять алгоритмические действия, а эвристической, творче->й способностью, проявляющейся в решении новых задач, в нахождении но-х путей решения.
В настоящее время продолжаются поиски новых путей дальнейшего со-эшенствования развивающего обучения математике. Учителю дано право на состоятельный выбор организационных форм и дидактических приёмов учения, способствующих решению задач общего образования подрастающе-поколения.
Традиционный для пашей страны школьный урок и вузовская лекция не поняли своей актуальности и остаются доминирующими среди других форм учения. При этом в исследованиях Зотова Ю.Б., Махмутова М.И., Опищука \., Яковлева Н.М. и др., наряду с дальнейшим развитием педагогических ей корифеев педагогической науки Коменского Я.А., Герберта И.Ф., Ушин-эго К.Д., Лернера И.Я., Блонского П.П., Скаткина М.Н., Щукиной Г.И. и др., чётливо просматривается тенденция установления вариативности урока в рме урока-семинара, урока-дискуссии, интегрированного урока, урока-срепления изученного материала на базе укрупнённых дидактических единиц ЦЕ) Эрдниева П.М.
Среди дополнительных форм обучения математике в учебном плане ере; ней школы особое значение имеют факультативные занятия по математике. Н таких занятиях учитель имеет право выйти за рамки школьной программы, мс жет применить нестандартные методики, апробировать новые дидактически приёмы изучения материала. Востребованность факультативных курсов мат< матики в школе достаточно велика. Многие ученики понимают необходимое! овладения математическими знаниями, серьёзно интересуются этой трудно дисциплиной и её приложениями.
Факультативные занятия по математике позволяют создать условия да творческого развития учащихся, дают возможность не допустить задержек развитии особо даровитых школьников, максимально индивидуализирован обучение. Учение на факультативе основывается не на принуждении школьш ков, а на их увлечении математикой, жажде познания.
Проблеме развития личности в процессе обучения математике посвящен исследования Воловича М.Б., Глейзера Г.Д., Гусева В.А., Дорофеева Г.В., Ку, рявцева Л.Д., Луканкина Г.Л., Монахова В.М., Мордковича А.Г., Фридмаї Л.М., Эрдниева П.М. и др. Передовой опыт учителей-новаторов Карпа А.Г Окунева А.А., Рыжика В.И., Шаталова В.Ф., Щетинина М.П. и др. - стал болі востребованным для творчески работающих учителей-математиков, рац№ нально использующих закрепленное в Законе РФ «Об образовании» и в устав; школ право на самостоятельный выбор учителем форм обучения, в результа чего существенно обогатился арсенал методических приемов построения и р гулярного проведения хороших уроков по математике. Такими дидактическ ми находками являются теоретико-множественные технологии Х.Ш. Шихали ва, УДЕ П.М. Эрдниева, обобщенные УДЕ, или ОУДЕ В.В. Тульчия в школ ном курсе математики.
Как известно, содержание школьного курса математики постоянно диск тируется, пересматривается, корректируется. Незатихающие споры идут включении в школьный общеобразовательный курс тех или иных вопросов м тематического анализа.
На наш взгляд, исключение из школьного курса вопросов анализа привед к обеднению не только математической, но и общекультурной подготов: школьника. Учащиеся практически будут лишены возможности освоения бої тейшего аналитического аппарата, оказывающего огромное влияние на разв тие мышления, творческих способностей и общей культуры. Проблемы уевс ния вопросов анализа в школе, конечно же, существуют. Но решение этих пр блем необходимо искать не в изъятии вопросов анализа из школьной програ мы, а в поиске новых работоспособных и эффективных средств обучения.
Одним из таких средств, на наш взгляд, является осуществление процесс формирования математических понятий на основе наглядных, геометризир ванных образов. Именно такой подход заложен в новую модель нестандартне
лиза (Н-анализа), предложенную В.В. Тульчием, и на основе которой мы работали свой факультативный курс по нестандартной теории предела, рмирование новых математических понятий, с одной стороны, направляется уитивными представлениями учащихся и, с другой стороны, достаточно ого обосновывается формально-логическими средствами, что позволяет )рмировать целостное представление раскрываемого содержания и его >снования.
сим образом, возникшее в школе противоречие между потребностями воо-кения учащихся современными знаниями в области математического анали-и фактическим состояние учебного процесса по математике — обусловили уалыгасть разработки проблемы диссертации.
Объектом исследования является учебная деятельность учащихся 10-11 іссов в процессе изучения элементов математического анализа.
Предметом исследования служит процесс формирования знаний, умений и іьїков старшеклассников при обучении математике.
Цель исследования - разработка содержания факультативного курса естандартиая теория предела» и методики его изучения, исходя из целей вивающего обучения математике.
В ходе исследования нами была выдвинута следующая гипотеза: если раз-іотать факультативный курс теории предела с включением идей нестандартно анализа (Н-анализа), то усвоение фундаментальных теоретических полоний математического анализа происходит более доступно и наглядно, что >собствует повышению качества обучения и развитию мышлению обучаю-хся.
Для достижения поставленной в исследовании цели и проверки гипотезы гребовалось решить следующие задачи, связанные с процессом обучения ма-іатике: 1) выделить из курса Н-анализа вопросы, предлагаемые для изучения ольникам; 2) разработать методику изложения Н-анализа; 3) определить со->жание самостоятельной работы учащихся в процессе изучения вопросов Н-шиза; 4) разработать дидактические материалы, обеспечивающие процесс рмирования устойчивых знаний, умений и навыков у старшеклассников; 5) лериментально проверить эффективность разработанной методики.
Общие методы исследования. В процессе исследования применялись :и Н-анализа, предложенные Тульчием В.В., метод укрупнения дидактиче-іх единиц, разработанный Эрднисвым П.М., развитие этого метода в виде )бщённых укрупнённых дидактических единиц и широко использовалась ико-речевая символика (ЛРС), разработанная Тульчием В.И. и Тульчи-В.В.
Реализация сформулированных выше целей и дидактических задач осущі ствлялась поэтапно:
На первом этапе был составлен квазиоптимальный вариант логикі речевой символики (JIPC), способствующий компактификации записей мат матических текстов в ходе практических занятий, разработано содержание ф культативного курса «Нестандартный математический анализ», разработаї методика изложения этого курса, составлена система задач, определены соде] жание и формы самостоятельной работы учащихся в процессе изучения мат риала.
На втором этапе проводился эксперимент с целью проверки эффекта ности усвоения вопросов Н-анализа учащимися и внедрении ОУДЕ и ЛРС учебный процесс изучения математики.
На третьем этапе, наряду с продолжением внедрения ОУДЕ и ЛРС школах и вузах Армавира, проводилась большая работа по созданию учебн методического пособия по ним для студентов и учащихся школ с углублении изучением математики.
Научная новизна. В диссертации впервые применены идеи Н-анализа д: разработки эффективной методики преподавания разделов высшей математ ки, изучаемых в общеобразовательной школе. Как эффективный дидактич ский инструмент построения системы уроков используется метод укрупнен: единиц, который успешно применяется рядом творчески работающих учителі математики для проведения занятий в младшем и среднем звене школы. Наи этот метод применён для изучения разделов математического анализа.
Практическая значимость результатов диссертационной работы об словлена возможностью их использования для:
дальнейшего совершенствования учебного процесса по математике в н зах и школах с повышенным уровнем преподавания математики;
более углубленной подготовки студентов-математиков в университетах педвузах;
непрерывного повышения методического уровня учителей математи: через систему повышения квалификации в институтах усовершенствован учителей;
-аналогичного нестандартного подхода к решению проблем дидакти высшей и средней школы в области таких математических дисциплин к алгебра, геометрия, прикладная математика, информатика и др.
На защиту выносятся:
. Н-дидактика теории предела, позволяющая снизить интеллектуальный барьер между школой и вузом в области изучения математического анализа.
. Дидактика регулярного и фронтального использования ЛРС и ОУДЕ как па стадии обучения, так и при самоконтроле и аттестационном контроле обучающихся.
Достоверность и обоснованность обеспечивается
опорой на теорию развития личности, психологию развития мышления;
опорой на передовые образовательные идеи, а именно, опыт использования УДЕ, успешно апробированный многолетней практикой учителей-новаторов;
итогами проведённого эксперимента.
Систематизированные результаты основных диссертационных исследова-ий отражены в готовящемся к публикации учебно-методическом пособии ЛРС и ОУДЕ - новый дидактический инструмент обучения математике»
Внедрение результатов диссертационного исследования проводилось в рмавирском государственном педагогичском институте со студентами 1-2 урсов физико-математического факультета, в муниципальной общеобразова-;льной средней школе № 7 г. Армавира с учащимися 10-11 классов.
На курсах повышения квалификации учителей-математиков при Армавиром межрегиональном ИУУ освещались как основные дидактические положе-ия, так и методика проведения итоговых уроков с использованием ЛРС и 'УДЕ.
Апробация материалов исследования осуществлялась и путем их обсуж-зния:
на межрегиональной научной конференции "Развитие личности в образовательных системах южно-российского региона" Южное отделение РАО, (Пятигорск 1998 г.);
на VI и VII Международной конференциях "Циклы природы и общества",
секция "Циклы в педагогике", проводимой РАН, РАЕН, Министерством общего и профессионального образования РФ, Ставропольским университетом (1998,1999 гг.);
- на I Международной конференции "Циклы", проводимой РАН, РАЕН,
Министерством общего и профессионального образования РФ, Ставро
польским технологическим университетом (1999 г.);
- на научной конференции «Развитие непрерывного педагогического обра зования в новых социально-экономических условиях на Кубани» в Арма вирском государственном педагогическом институте (1998, 1999 гг.)
По проблемам диссертационной работы автором опубликовано и депони ровано 11 научно-методических работ.
Структура диссертации отражает концепцию, содержание и примері внедрения результатов исследований в школе и вузе.
Диссертация состоит из введения, 3-х глав, приложения и библиографии содержащей 125 наименоваїшй научно-методических первоисточников. Обьсі диссертации 164 стр^ включающих 45 рисунков и 6 таблиц.
Развивающее обучение как фактор совершенствования школьного обучения математике
Развитие общества на современном этапе требует от школы вывести на первый план в учебно-воспитательном процессе личность ученика. Необходимо вооружить выпускника школы умениями саморазвития и самопознания, воспитать стремление к поиску своего места в жизни и в обществе. Целью современного образования является всестороннее развитие личности, формирование навыков социальной адаптации и обеспечение умений эффективного самообразования [6]. Как отмечают известные психологи Б.М. Бим-Бад и А.В. Петровский: образованную личность характеризует богатство потребностей личности, её направленность на более полную самореализацию в сферах труда, познания, общения; ясность и чёткость понятий, которыми оперирует человек; умение обнаруживать нерешённые проблемы; ставить вопросы и выдвигать гипотезы; широта и гибкость мышления; умение видеть альтернативное решение проблем; преодолевать сложившиеся стереотипы; способность предвидеть развитие событий на основе тщательного анализа развития различных тенденций; высокая работоспособность.
Такая постановка целей образования требует и в математике на первый план вынести цели развития личности ученика. По мнению многих крупных учёных, обращающих внимание и на школьную математику, (В .И. Арнольд, Л.Д. Кудрявцев, М.М. Постников и др.) математическое образование должно строиться таким образом, чтобы ученики могли видеть практическую направленность учебного материала, необходимо обращать внимание на мотивацию обучения, его эвристическую направленность. Содержание образования должно формировать способность учащихся мыслить, думать, понимать окружающий мир.
Саморазвитие человека происходит благодаря его активной деятельности. Самое главное в обучении - как ученик воспринимает материал, насколько он может построить самостоятельную мыслительную работу. Известный русский педагог и психолог П.Ф. Каптерев [49] отмечал, что искусство воспитателя заключается в том, чтобы создать наиболее благоприятные условия для работы ученика, при которых происходит естественный ход развития личности, не подавляется саморазвитие и предоставляется надлежащий простор самостоятельности учащихся. В этом заключается непременное условие развития и укрепления способностей школьника. Использование в школьном обучении методов и приёмов самообразования способствует активной творческой деятельности учащихся, без чего о развивающем характере школьного обучения в полном смысле говорить невозможно.
Развивающее обучение — необходимый и важнейший элемент современного педагогического процесса. В дидактике математики развитие ребёнка подразумевает в первую очередь интенсивное умственное развитие, развитие самостоятельности мышления. Именно эти качества в конечном итоге являются определяющими характеристиками интеллекта.
Проблемами умственного развития занимались многие известные педагоги и психологи. Нам наиболее близки позиции М.А. Данилова [31], относящего к признакам умственного развития стремление выхода за пределы известного, накопление приёмов умственного развития, повышения уровня самостоятельно выполняемых мыслительных операций. При этом он выделяет ряд характерных черт умственного развития, среди которых: 1) пытливость; 2) наблюдательность; 3) дисциплинированность; 4) хорошая память; 5) гибкость; 6) самостоятельность; 7) самокритичность.
Существует проблема соотношения развития и обучения. Многочисленные эксперименты показывают, что успешность обучения зависит от развитости мышления. Но, очевидно, что это влияние взаимное, и обучение также влияет на развитие интеллекта, расширяет возможности развития, ускоряет его. При этом именно обучению принадлежит ведущая роль в умственном развитии школьников.
Множества
Изучение материала начинается с повторения ряда первичных (неопределяемых) понятий в науках. Одним из таких понятий и является понятие множества. Учащиеся вспоминают, что под множеством понимают совокупность, собрание, коллекцию, ансамбль и т.п. каких-либо объектов, предметов, собранных, объединенных по какому-либо признаку, и что для обозначения множества используется стандартный способ - большие латинские буквы, а для числовых множеств, как правило, можно указать характеристическое свойство, согласно которому объекты объединяются в множество. Например, А = їх: х1 -1= О J есть множество всех корней уравнения х2 - 1 = 0.
Далее учащиеся вспоминают понятия конечного множества, пустого множества, бесконечного множества, подмножества, универсального множества (универсума)
Для закрепления этого материала учащимися решаются УДЕ, примеры которых приведены ниже.
УДЕ№1.
Прямая задача.
Дано: Множество A = {x:xeN-4 x +3}, где N - множество натуральных чисел.
Найти: список элементов JC, заданных характеристическими свойствами.
Решение: так как множество натуральных чисел начинается с единицы, то решением будет А = {1,2,3}
Обратная задача.
Дано: Множество В = {5,6,7,8}
Найти: характеристическое свойство. Решение: В = {х: х є N, 5 д: 8}
УДЕ № 2.
Прямая задача.
Дано: Множество А = {1,2}
( Найти: Все подмножества множества А.
Решение: 0, {1}, {2}, {1,2}
Обратная задача.
Дано: Все двухэлементные подмножества множества А: {5,6}, {5,7}, {6,7}
Найти: Множество А.
Решение: Включаем в А каждый из элементов, входящих в подмножества:
Л = {5,6,7}
2. Операции над множествами
На втором занятии учащиеся повторяют знания об «алгебре множеств» и показывают, как с помощью определённых операций можно производить новые множества. Тот факт, что алгебраические методы могут быть применены к нечисловым объектам, каковыми в общем случае являются множества, даёт возможность учителю продемонстрировать большую общность идей алгебры.
В ходе аудиторных занятий с учащимися были подробно изучены операции объединения, пересечения и разности множеств. Рассмотрим эти операции.
2.1. Объединение множеств
Определение. Объединением или суммой множеств A is. В называется множество С всех элементов, содержащихся хотя бы в одном из множеств А или В.
Это же определение можно записать в символической форме, используя принятые в математике условные обозначения:
Организация и проведение эксперимента по определению эффективности применённой методики
С целью определения уровня усвоения учащимися предложенной нестан дартной теории анализа, эффективности применённой методики, влияния раз работанного материала на развитие мышления школьников, нами проводился эксперимент в муниципальной общеобразовательной средней школе № 7 г. Армавира в течении 1997-1998 учебного года. В этой школе формируются профильные 10 и11 классы, учащиеся которых определились с выбором буду щей профессии и проходят, обучение, сочетая общеобразовательную подготов ку с пропедевтикой обучения по выбранной специальности. Для проведения to эксперимента нами были выбраны 4 класса, имеющих профиль «технологии предпринимательства». Учащиеся этих классов после окончания школы планировали поступление в Армавирский государственный педагогический институт на соответствующий факультет. Общее количество школьников в этих классах составило 107 человек.
В качестве контрольных классов мы выбрали два десятых класса муниципальной гимназии № 1 и два одиннадцатых класса МСОШ № 10 г. Армавира. Общее количество учащихся в контрольных классах составило 123 человек.
На первом этапе мы проводили констатирующий эксперимент с целью определения различия развития мышления учащихся экспериментальных и контрольных классов. Школьникам было предложено ответить на вопросы теста. Вопросы теста подготовлены по сборнику Т.Н. Мираковой «Развивающие задачи на уроках математики в V-VIII классах» [80], по учебнику «Математика 8» О.П. Эрдниева, П.М. Эрдниева, часть составлена нами самостоятельно.
Тест№ 1.
1. Заглавными буквами выделены три слова. Подумайте, как связаны пер
вые два из них и укажите в списке а) - г) четвёртое слово, которое так же
связано с третьим:
УМЕНЬШАЕМОЕ -РАЗНОСТЬ, МНОЖИТЕЛЬ -?
а) сумма, б) вычитаемое, в) произведение, г) умножение.
2. Даны 4 члена последовательности: 4, 7, 10, 13, ... . Определите какой формулой будет задаваться п член последовательности.
3. Какие целые числа при зачеркивании последней цифры уменьшаются в целое число раз?
4. Начало отсчёта на координатной прямой перенесли в точку М(т), т отрицательное число. Как изменились при этом координаты всех точек этой прямой?
