Содержание к диссертации
Введение
Глава I. ОСНОВНЫЕ ЗАКОНОМЕРНОСТИ ТЕОРИИ ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ И ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МЫШЛЕНИЯ КАК ОСНОВА ПОСТРОЕНИЯ МЕТОДИКИ ИЗУЧЕНИЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКОГО МАТЕРИАЛА В 5-6 КЛАССАХ ОСНОВНОЙ ШКОЛЫ 14
1. Основы теории мышления с позиций теории обучения математике 14
1.1. Общая характеристика мышления и его роли в математической деятельности учащихся 14
1.2. Виды мышления 17
1.3. Математическое мышление 22
1.4. Основные приемы мыслительной деятельности учащихся 27
1.5. Прием мыслительной деятельности «синтез» и синтетическая деятельность в психологии и математике 32
1.6. Прием мыслительной деятельности «анализ» и аналитическая деятельность в психологии и математике 36
1.7. Прием мыслительной деятельности «сравнение» 41
1.8. Прием мыслительной деятельности «обобщение» 47
2. Основные закономерности теории обучения математике и их взаимосвязи с элементами теории мышления и методикой изучения геометрического материала 53
2.1 Свойства и признаки предметов в психологии и математическом образовании 53
2.2. Понятия и математические понятия 60
2.3. Определение математических понятий 72
2.4. Необходимые и достаточные условия в математике 78
Глава II. РАЗРАБОТКА МЕТОДИКИ ИЗУЧЕНИЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКОГО МАТЕРИАЛА В 5-6 КЛАССАХ ОСНОВНОЙ ШКОЛЫ 86
1. Основные требования к построению методики изучения геометрического материала в 5-6 классах основной школы, основанные на использовании теории мышления и закономерностях теории обучения математике 86
1.1. Требования к процессу выявления свойств и признаков различных геометрических объектов, процессов, явлений 86
1.2. Использование анализа, синтеза, сравнения и обобщения для получения свойств и признаков геометрических объектов 89
1.3. Анализ через синтез, синтез через анализ и некоторые виды аналитических методов 100
1.4. Основные положения методики формирования математических понятий 106
1.5. Основные требования к определению математических понятий 110
1.6. Методика ознакомления учащихся с первыми представлениями о необходимых и достаточных условиях существования геометрических объектов 1 11
2. Методика выявления свойств и признаков неопределяемых геометрических понятий в 5-6 классах основной школы 117
2.1. Методика изучения раздела «Плоскости в пространстве» 117
2.2. Методика изучения разделов «Точки, прямые, аксиома прямой» и «Взаимное расположение точек и прямых» 126
2.3. Методика изучения раздела «Взаимное расположение точек и плоскостей. Аксиома плоскости» 133
3. Формирование геометрических понятий, формулировка их определений и необходимых и достаточных условий при изучении темы «Геометрические фигуры» в 5-6 классах основной школы 137
3.1. Методика изучения раздела «Отрезки. Измерение отрезков. Расстояния» 138
3.2. Методика изучения раздела «Углы, их измерение и применение» 154
4. Организация и проведение педагогического эксперимента и анализ его результатов 170
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 185
БИБЛИОГРАФИЯ 191
ПРИЛОЖЕНИЕ
- Общая характеристика мышления и его роли в математической деятельности учащихся
- Требования к процессу выявления свойств и признаков различных геометрических объектов, процессов, явлений
- Методика изучения раздела «Взаимное расположение точек и плоскостей. Аксиома плоскости»
Введение к работе
Современное российское общество находится на стадии интенсивных социально-экономических преобразований, при этом высокую научную и практическую значимость имеют педагогические инновации, направленные на развитие личности индивида и улучшение качества преподавания математики в средней общеобразовательной школе.
Развитие педагогической науки свидетельствует о том, что главным составляющим современного образования является человек, способный свободно ориентироваться в современном информационном пространстве, продолжать свое дальнейшее образование, добиваться успеха в будущей профессиональной деятельности. В условиях реорганизации образовательного процесса и межличностных отношений в обучении особую значимость приобретает проблема развития мышления личности.
Данные психологов свидетельствуют, что уровня развития мышления, необходимого для успешной учебной деятельности, достигают не более 50% семиклассников, у более 30% школьников этого возраста уровень сформированности интеллектуальных умений очень низкий. Исследования психологов и методистов показали, что весьма эффективно можно развивать мышление на более раннем этапе - в 5-6 классах, в частности, при изучении геометрического материала. На основе сформированных к этому моменту отдельных приемов мыслительной деятельности возникает возможность активного формирования мышления школьников.
Вместе с тем, вопрос об исследовании мышления, с точки зрения Л.С. Выготского, является «одним из труднейших, запутаннейших и сложнейших вопросов экспериментальной психологии» [32, 3].
Вопрос о роли математического образования в развитии мышления обсуждается достаточно давно. Хорошо известны слова М.В. Ломоносова: «Математику уже затем учить следует, что она ум в порядок приводит». Формирование и использование умений рассуждать, проводить доказательства, аргументировать высказывания проводится во всех учебных предметах. Однако бесспорно, что развитию способностей школьников анализировать данные, принимать решения и обосновывать свой выбор в наибольшей мере способствует изучение математики.
Особая роль в развитии мышления учащихся отводится изучению геометрии в средней школе. В Российской школе в этом направлении накоплен огромный положительный опыт, вместе с тем, комплексное исследование формирования мыслительной деятельности учащихся и ее взаимосвязей с изучением геометрического материала в 5-6 классах практически отсутствует. Все сказанное позволяет считать тему нашего исследования актуальной и своевременной.
В психолого-педагогической литературе особенностям развития мышления учащихся посвящены работы Д.Н. Богоявленского, А.В. Брушлинского, Л.С. Выготского, П.Я. Гальперина, В.В. Давыдова, К.А. Дункера, В.П. Зинченко, Е.Н. Кабановой-Меллер, А.Н. Леонтьева, Н.А. Менчинской, Р. Орштейна, Ж. Пиаже, С.Л. Рубинштейна, Р. Солсо, Л.Д. Столяренко, Н.Ф. Талызиной, O.K. Тихомирова, И.С. Якиманской и др.
Особенно важны для нас многочисленные работы С.Л. Рубинштейна, в которых на материале экспериментальных исследований раскрываются основные закономерности мышления (соотношение анализа и синтеза, зависимость обобщения от анализа и абстракции в процессе мышления и т.д.), освещается вопрос о соотношении мышления и знания, о роли речевой формулировки задачи в мыслительном процессе и дается психологический анализ процесса рассуждения.
В исследованиях Н.Ф. Талызиной сделан вывод о том, что уже в начальной школе при построении содержания обучения необходимо продумать всю систему логических приемов мышления, необходимых для работы с планируемыми предметными знаниями, для решения задач, предусмотренных целями обучения. Особую важность для нас представляют рассмотренные Н.Ф. Талызиной логические приемы мышления «нахождение свойств объектов» и «подведение под понятие».
Для нашего исследования очень важны работы И.С. Якиманской, в которых рассматривается понятие «пространственное мышление». Под пространственным мышлением понимается деятельность по созданию пространственных образов и оперированию ими.
Существует большое число работ, посвященных проблемам формирования и развития математического мышления. Это, например, работы Ж. Адамара, И.И. Баврина, Г. Вейля, А.Н. Колмогорова, Л.Д. Кудрявцева, В.Л. Матросова, Д. Пойя, А. Пуанкаре, Г. Фройденталя, А.Я. Хинчина и др.
А.Н. Колмогоров считает, что «геометрическое мышление» играет наибольшую роль в математике. Существенной стороной математического мышления, по его мнению, является искусство последовательного, правильно расчлененного логического рассуждения.
На необходимость «математически думать» указывает Л.Д. Кудрявцев. Он подчеркивает, что «математическое мышление не сводится, как это иногда кажется, лишь к логическим рассуждениям... необходимо обладать еще математической интуицией, фантазией и чувством гармонии, позволяющими предвидеть нужный результат прежде, чем он будет получен [104, 140].
Особое место в нашем исследовании занимают работы А.Я. Хинчина, в которых математическое мышление неразрывно связано и трактуется через такие понятия, как «правильность мышления» и «стиль мышления». Основным принципом правильности мышления, который в значительной степени обуславливает все остальное, является приучение учеников к полноценности аргументации.
В методике математики существует много работ, в которых исследовались проблемы взаимосвязей теории обучения математике и развития мыслительной деятельности учащихся. Это, например, исследования В.Г. Болтянского, Г.Х. Во-истиновой, М.Б. Воловича, В.А. Гусева, Г.Д. Глейзера, А.Б. Ильясовой, М. Клякля, Ю.М. Колягина, B.C. Копылова, И.А. Кочетковой, В.И. Крупича, В.Н. Ксеневой, А.К. Насыбулиной, В.В. Никитина, В.А. Оганесяна, И.Н. Поспелова, Н.Н. Поспелова, К.А. Рупасова, А.П. Савина, И.М. Смирновой, А.А. Столяра, Г.И. Сулкар-наевой, А.И. Фетисова, Л.М. Фридмана, В.П. Хмель, П.М. Эрдниева и др.
Научные результаты, полученные в этих работах, также способствовали проведению нашего исследования.
В.Г. Болтянский подчеркивает важность аналитической и синтетической деятельности при решении математических задач и доказательстве теорем: «Обучение математике преследует сейчас не столько цель запоминания каждой теоремы, каждого доказательства, вплоть до мельчайших, сколько овладение общими методами математики и логики. Анализ и синтез являются одними из важнейших в этом плане, и потому обучение этим приемам следует рассматривать как огромное приобретение в знаниях и культуре учащихся; затраченное время с лихвой окупится в будущем» [13, 38].
П.М. Эрдниев, Б.П. Эрдниев говорят об обобщении и умозаключениях по аналогии как о непременной составной части творческого мышления, так как «этим путем мысль человека выходит за пределы известного, пролагая путь к неизвестному... Умственное развитие учащихся, которые должны подготавливаться уже в период школьного обучения к роли творчески мыслящих активных деятелей, не может быть полноценным, если их не научат в школе специально применению приемов обобщения и аналогии» [210, 78].
Крупич В.И. пишет, что «поиск решения задач осуществляется в основном с помощью аналитико-синтетического метода, который носит целенаправленный характер, а именно: анализ задачи состоит в том, что мы предполагаем ее уже решенной и находим различные следствия (или предпосылки) этого предположения, а затем в зависимости от вида этих следствий пытаемся найти путь отыскания решения поставленной задачи». [73, 58]
Вопросы использования приемов мыслительной деятельности при решении геометрических задач рассматриваются в исследованиях А.К. Артемова, Е.С. Ветошкиной, Г.Х. Воистиновой, О.С. Гуртовой, В.А. Гусева, В.В. Кочагина, И.А. Кочетковой, В.И. Крупича, Е.В. Ларькиной, М.А.С. Ласвара, С. Мадраимова, Т.Б. Раджабова, Ю.А. Розка, Е.В. Силаева, А.В. Старшиновой, Л.Н. Фетисовой, И. Хана, О.В. Холодной, X. Эркинбаева и др.
В работах В.А. Гусева выделены основные приемы мыслительной деятельности, используемые при решении геометрических задач. На этой базе рассмотрена система исследовательских умений, составляющих процесс решения геометрических задач.
Г.Х. Воистинова выделела основные пути и методы обучения приемам мыслительной деятельности при решении геометрических задач на построение в массовой школе и классах с углубленным изучением математики.
Л.М. Фридман придавал большое значение приему мыслительной деятельности «сравнение»: «сравнивать математические объекты нужно, ибо только в сравнении мы познаем их наиболее важные свойства, изучаем их... Сравнение лежит в основе классификации объектов, в основе решения большинства задач, а измерение есть также способ сравнения [194, 85].
Н.Н. Поспелов и И.Н. Поспелов представляют развитие умений учащихся проводить обобщение в виде ступенчатого процесса: «на первой ступени обобщающей деятельности учащихся значению слов соответствует синкретический образ; вторую ступень в раскрытии значения слов образуют общие представления, определяемые совокупностью общих признаков; третьей ступенью в развитии понятийного мышления являются понятия, в которых определяющие признаки связаны системой отношений. Для перехода на высшую ступень обобщения необходимо подвергнуть глубокому анализу разные факты, выделить в них существенное, объединить их в однородные категории и группы» [141, 85].
Различные подходы к формированию и использованию основных приемов мыслительной деятельности учащихся и основных закономерностей теории обучения математике при изучении геометрического материала в 5-6 классах рассмотрены в работах Н.Ю Грачевой, В.А. Гусева, М.А. Екимовой, СВ. Кирилловой, Д.В. Клименченко, В.Н. Ксеневой, Е.О. Окуневой, Н.С. Подходовой, Т.В. Расташанской, СИ. Смирновой, Г.И. Сулкарнаевой, В.Н. Фрундина, И.С. Якиманской и др.
Н.С Подходовой разработана теоретическая и методическая концепция обучения геометрии учащихся 1 -6 классов, в которой изучение геометрии отделено от арифметики и элементов алгебры и интегрировано с учебным материалом предметов, требующих приоритетной деятельности образных компонентов мышления. Выделение основных этапов знакомства с геометрическим пространством происходит на основе психологических закономерностей развития целостной структуры перцепт (восприятие) - предпонятие (обобщенное представление) - понятие.
В.Н. Фрундиным проанализирован накопленный опыт по проблеме разумного сочетания образных, логических и интуитивных путей познания в процессе обучения и таких методов изучения действительности, как сравнение, аналогия, индукция. Разработана система дидактических материалов и методика их применения в 5-6 классах, позволяющая осуществить идею взаимосвязанного изучения свойств плоских и пространственных фигур. И.С. Якиманская подчеркивает, что «обычно лишь за геометрией признается «право» обеспечивать развитие пространственного мышления. Геометрический материал обладает огромным потенциалом для формирования у учащихся различных способов создания образов и оперирования ими» [212, 36].
Однако среди многочисленных исследований, посвященных разработке методики изучения геометрического материала в 5-6 классах основной школы практически отсутствуют комплексные исследования, в которых эта методика связывалась бы с элементами теории мышления и основными закономерностями теории обучения математике.
Все сказанное выше определяет актуальность нашего исследования.
Проблема исследования заключается в выявлении возможностей использования приемов мыслительной деятельности и основных закономерностей теории обучения математике при изучении геометрического материала в 5-6 классах основной школы, а также в разработке методики такого обучения.
Объектом исследования является процесс изучения геометрического материала в 5-6 классах основной школы в условиях дифференцированного обучения.
Предметом исследования является разработка методики изучения геометрического материала в 5-6 классах основной школы, основанная на формировании и использовании основных приемов мыслительной деятельности и фундаментальных закономерностях теории обучения математике.
Цель исследования состоит в разработке научно-обоснованной методики обучения элементам геометрии учащихся 5-6 классов основной школы на базе формирования и использования приемов мыслительной деятельности и основных закономерностей теории обучения математике.
В ходе исследования была выдвинута следующая гипотеза: целенаправленное использование приемов мыслительной деятельности и основных закономерностей теории обучения математике при изучении геометрического материала в 5-6 классах основной школы будет способствовать более успешному усвоению этого материала, а также более эффективно подготовит учащихся к изучению систематического курса геометрии 7-9 классов.
Предмет, проблема, цель и гипотеза исследования определили его задачи: 1. Проанализировать существующие психологические источники по теории мышления и определить нашу стратегию по таким вопросам, как общая характеристика мышления, виды мышления, математическое мышление, приемы мыслительной деятельности - синтез, анализ, сравнение и обобщение, синтетическая и аналитическая деятельность учащихся.
2. Вскрыть сущность и описать наш подход к изучению фундаментальных закономерностей теории обучения математике: свойства и признаки математических объектов, формирование и определение математических понятий, возможности знакомства с необходимыми и достаточными условиями существования математических объектов.
3. Изучить взаимосвязи фундаментальных понятий теории мышления с рассмотренными нами основными закономерностями теории обучения математике.
4. Сформировать стратегию построения методики изучения геометрического материала в 5-6 классах, связанную с формированием и использованием основных приемов мыслительной деятельности учащихся и закономерностей теории обучения математике
5. Разработать методику наглядного пропедевтического знакомства с процессом выявления свойств и признаков неопределяемых геометрических понятий в 5-6 классах основной школы.
6. Разработать методику выявления свойств и признаков основных геометрических фигур, формирование соответствующих понятий и их определений, а так же представлений о необходимых и достаточных условиях существования этих фигур при изучения геометрического материала в 5-6 классах основной школы.
7. Экспериментально проверить все составленные нами задачи исследования.
Теоретико-методологической базой диссертационного исследования послужили концепции мышления, принятые в отечественной и зарубежной психологии; учение о поэтапном формировании умственных действий; концепция дея-тельностного подхода в обучении; теория дифференциации и индивидуализации обучения математике; концептуальные основы обучения элементам геометрии в школе. При решении поставленных задач нами использовались следующие методы исследования:
- изучение и анализ психолого-педагогической, методической и математической литературы, а также диссертационных исследований, связанных с формированием мыслительной деятельности учащихся при обучении математике, знакомства учащихся с фундаментальными основами обучения математике, а так же с проблемами изучения геометрического материала на разных стадиях обучения геометрии;
- анализ школьных учебников и учебных пособий по изучению геометрического материала в основной школе;
- посещение и анализ уроков в школе, наблюдение за учебным процессом и деятельностью учащихся;
- изучение и анализ письменных работ учащихся, беседы и анкетирование школьников и учителей;
- педагогический эксперимент по проверке основных теоретических положений исследования и обработка данных, полученных в ходе эксперимента.
Научная новизна и теоретическая значимость проведенного исследования состоит в том, что в результате глубокого исследования большого числа психолого-педагогических, методических и математических источников выявлены наиболее приемлемые с позиций теории обучения математике трактовки фундаментальных понятий теории мышления: мышление, виды мышления, математическое мышление, приемы мыслительной деятельности синтез, анализ, сравнение и обобщение, а также синтетическая и аналитическая деятельность учащихся.
На базе накопленного человечеством представления о теории обучения математике, выделены основные закономерности этой теории, связанные с такими понятиями, как свойства и признаки математических объектов, математические понятия, процесс формирования математических понятий, определения математических понятий, необходимые и достаточные условия существования математических объектов.
Основываясь на изложенных выше теоретических положениях, разработана методика обучения элементам геометрии учащихся 5-6 классов основной школы, включающая в себя следующие два направления: 1) наглядное пропедевтическое знакомство с процессом выявления свойств и признаков неопределяемых геометрических понятий;
2) выявление свойств и признаков основных геометрических фигур, формирование соответствующих понятий и их определений, а так же представлений о необходимых и достаточных условиях существования этих фигур.
Практическая значимость исследования заключается в следующем:
- разработана и внедрена методика изучения геометрического материала в 5-6 классах основной школы, связанная с формированием и использованием приемов мыслительной деятельности учащихся и основных закономерностей теории обучения математике;
- разработана и внедрена система задач наглядного пропедевтического знакомства учащихся с процессом выявления свойств и признаков неопределяемых геометрических понятий в 5-6 классах основной школы;
- разработать и внедрена система задач, направленная на выявление свойств и признаков основных геометрических фигур, формирование соответствующих понятий и их определений, а так же представлений о необходимых и достаточных условиях существования этих фигур при изучения геометрического материала в 5-6 классах основной школы.
Обоснованность и достоверность результатов и выводов проводимого исследования обеспечиваются:
- системным и целостным подходом к исследуемой проблеме;
- использованием научных достижений в области психологии, дидактики, теории и методики обучения математике;
- широким набором различных методов исследования, соответствующих поставленным задачам;
- результатами опытно-экспериментальной работы;
- обсуждением и использованием полученных результатов и выводов с методистами и учителями математики.
На защиту выносятся следующие положения:
1. Утверждение о том, что формирование и использование основных приемов мыслительной деятельности учащихся: синтеза, анализа, сравнения и обобщения, а так же основанной на них синтетической и аналитической деятельности, способствует повышению качества усвоения геометрического материала, общему математическому развитию учащимися 5-6 классов и создает условия для их подготовки к усвоению систематического курса геометрии.
2. Необходимо обеспечить понимание основных положений теории обучения математике, таких, как выделение свойств и признаков математических объектов и работа с ними, формирование основных математических понятий, формулировка определений математических понятий, выявление и доказательство необходимых и достаточных условий, без которых нельзя говорить об обучении математике вообще и геометрии, в частности.
3. Стратегия разработки методики изучения геометрического материала в 5-6 классах основной школы, построенная на использовании теории мышления и закономерностях теории обучения математике, а так же составленная в работе система задач, обеспечивающая усвоение неопределяемых понятий геометрии, а также свойств и признаков основных геометрических фигур.
Апробация и внедрение результатов исследования проводились поэтапно в процессе проведения уроков математики в пятых классах ГОУ-СОШ № 25 ЮЗАО г. Москвы (2005-2006 уч. гг.) и в 5-6 классах МОУ школы-гимназии № 1 г. Армавира (2003-2004 уч. гг).
Основные положения диссертации, результаты педагогического эксперимента и сделанные по ним выводы получили отражение в докладах, выступлениях и отчетах по научно-исследовательской работе на заседаниях кафедры теории и методики обучения математике МПГУ и аспирантских семинарах (2005-2006 г.), а также в форме докладов и выступлений на Всероссийской научной конференции «Современные проблемы физико-математического и методического образования» (г. Уфа, 2004 г.); 2-й Российской научно-практической конференции «Математика в современном мире» (г. Калуга, 2004 г.); Международной научной конференции «57 Герценовские чтения» (г. Санкт-Петербург, 2004 г.); Международной научной конференции «58 Герценовские чтения» (г. Санкт-Петербург, 2005 г.); Третьих Колмогоровских чтениях (г. Ярославль, 2005 г.); Всероссийской научно-практической конференции «Современный урок математики: Теория и практика» (г. Н. Новгород, 2005 г.); И-й международной научной конференции «Математика. Образование. Культура» (г. Тольятти, 2005 г.); Международной научной конференции «Эвристическое обучение математике» (г. Донецк, 2005 г.).
Структура диссертации обусловлена логикой и последовательностью поставленных задач и состоит из введения, двух глав, заключения, библиографии и приложения.
Общая характеристика мышления и его роли в математической деятельности учащихся
Приведем известное высказывание одного из крупнейших философов и математиков - Р. Декарта: «Я мыслю, значит, я существую». Российский психолог O.K. Тихомиров трактует данное высказывание следующим образом: «Если оставить в стороне философский смысл формулы и рассматривать ее лишь в конкретно-психологическом плане, то становится очевидным, что эта формула явно выдвигает мышление на первый план в психической жизни человека, считая мышление признаком существования человека: ничто, по мнению автора, так убедительно не доказывает существования человека как акт мышления» [187, 7].
Как сказал Р. Орштейн: «Мышление, определяемое широко, это почти вся психология; определяемое узко, - оно, кажется, не имеет к ней никакого отношения» [220, 18]. Ребер А., чтобы найти золотую середину, предлагает рассматривать этот термин как «...обозначающий, в наиболее общем смысле, любую скрытую когнитивную или мысленную манипуляцию идеями, образами, символами, словами, суждениями, воспоминаниями, понятиями, образами восприятия, убеждениями или намерениями. Короче говоря, этот термин используется таким образом, что он охватывает все мысленные действия, связанные с формированием понятий, решением задач, интеллектуальным функционированием, творчеством, сложным научением, памятью, символической обработкой информации, воображением и т.д. Немногие термины в психологии имеют такую широкую сеть и охватывают такой обширный массив коннотаций и способов употребления» [17, 468]. В наших исследованиях данной проблемы мы широко опирались (и будем опираться) на работы известного российского психолога С.Л.Рубинштейна. Вот что он писал о мышлении: «Мышление - это движение мысли, раскрывающее связь, которая ведет от отдельного к общему и от общего к отдельному. Мышление - это опосредованное - основанное на раскрытии связей, отношений, опосредовании - и обобщенное познание объективной реальности...» [153, 310].
При всем уважении к памяти С.Л. Рубинштейна, все же, достаточно трудно воспринимать, а тем более пользоваться данной трактовкой, особенно первой ее частью, т.к. автор начинает с того, что «мышление - это движение мысли». Если бы мы знали, что такое «мысль» и «ее движение». Что же касается второй части цитаты С.Л. Рубинштейна, то она помогает нам сформировать представление о взаимосвязях мыслительной и математической деятельности.
В другой книге С.Л. Рубинштейна «Основы общей психологии» дается более подробное описание мыслительного процесса, которое нам кажется очень удачным и отражающим, в том числе и сущность математической деятельности: «Всякий мыслительный процесс является по своему внутреннему строению действием или актом деятельности, направленным на разрешение определенной задачи. Задача эта заключает в себе цель для мыслительной деятельности индивида, соотнесенную с условиями, которыми она задана. Направляясь на ту или иную цель, на решение определенной задачи, всякий реальный мыслительный акт субъекта исходит из тех или иных мотивов. Начальным моментом мыслительного процесса обычно является проблемная ситуация» [155, 321].
Приведенная цитата, конечно, не является определением понятия «мышления», но важно, что она характеризует его как некоторую деятельность или некоторую операцию, а во-вторых, в ней описана общая стратегия всего мыслительного процесса, в которой на первое место ставится проблемная ситуация. Если с этой позиции посмотреть на школьное математическое образование и, в частности, на обучение геометрии, то следует отметить, что в действующих учебниках по геометрии преобладает «командный стиль» изучения материала, который не может в достаточной степени активизировать мыслительную деятельность учащихся. В учебниках по геометрии В.А. Гусева [49], [50], [51], по которым мы проводим эксперимент, проблемность и проблемные ситуации поставлены во главу угла: они в они в явном виде фигурируют в теоретической части учебника и выделены специальным знаком.
Рассмотрим толкование понятия «мышление» крупнейшим российским психологом - А.Н. Леонтьевым: «Мышление - это психические процессы отражения объективной реальности, составляющие высшую ступень человеческого познания. Мышление дает знание о существенных свойствах, связях и отношениях объективной реальности, осуществляет в процессе познания переход от «явления к сущности». В отличие от ощущения и восприятия, т.е. процессов непосредственно-чувственного отражения, мышление дает непрямое, сложно опосредованное отражение действительности» [109, 79].
Трактовка А.Н. Леонтьева также достаточно сложна и, по-видимому, математику не обязательно разбираться во всех тонкостях, которые встречаются внутри этого толкования. Для нас в данном высказывании крупнейшего психолога наиболее важным является то, что мышление сводится к получению знаний «о существенных свойствах, связях и отношениях объективной реальности».
По поводу значения мыслительной деятельности и самого процесса мышления по отношению к обучению математике в книге «Методика преподавания математики в средней школе» написано: «Одной из основных задач современного школьного обучения является развитие мышления учащихся. Специфика предмета математики такова, что ее изучение сильно влияет на развитие мышления школьников, которое тесно связано с формированием приемов мышления в процессе их учебной деятельности...
К сожалению, в настоящее время не выявилось единого подхода к трактовке понятия мышления, к объяснению тех механизмов, которые им управляют» [124, 60].
Далее в указанной книге утверждается, что «... прочное усвоение математических знаний невозможно без целенаправленного развития мышления. Поэтому развитие мышления учащихся - одна из основных задач современного школьного обучения» [124, 63].
Требования к процессу выявления свойств и признаков различных геометрических объектов, процессов, явлений
В этом параграфе мы приступаем к разработке путей построения методики изучения геометрического материала в 5-6 классах, основанной на использовании основных приемов мыслительной деятельности и закономерностях теории обучения математике.
Перед нами стоит сложная задача. Мы должны объединить 3 очень серьезных и важных аспекта:
I. Материал, связанный с мышлением вообще, а главное - с трактовкой и возможностью использования основных приемов мыслительной деятельности: анализа, синтеза, сравнения и обобщения.
П. Использование чрезвычайно важных для теории обучения математике вопросов, таких как свойства, признаки, понятия, процесс формирования математических понятий, определения математических понятий, необходимые и достаточные условия.
III. Основные положения методики изучения геометрического материала на пропедевтическом уровне в 5-6 классах.
Соединить указанные аспекты воедино, поставив во главу угла изучение геометрического материала в 5-6 классах, непростая задача. В нашей работе мы не раз ставили вопрос «с чего начинать?». Вот и сейчас мы должны понять, с чего следует начать построение нашей методики и как должен строиться весь этот учебный процесс.
1.1. Первым направлением построения нашей методики являются требования к процессу выявления свойств и признаков различных геометрических объектов, процессов, явлений. Особенностью процесса выявления свойств и признаков геометрических объектов является то обстоятельство, что этот процесс пронизывает изучение всего курса геометрии: от пропедевтического изучения в 5-6 классах до любого этапа
систематического изучения геометрии в 7-11 классах. Мы выделяем три этапа деятельности по выделению свойств и признаков геометрических объектов:
а) непосредственное выделение свойств предметов на наглядном пропедевтическом уровне;
б) выделение общих и отличительных свойств объектов;
в) выделение существенных свойств объектов, то есть признаков этих объектов.
Все начинается с выделения свойств и признаков геометрических объектов на наглядном пропедевтическом уровне при изучении геометрического материала в 5-6 классах. Казалось бы, выполнение указанных выше трех пунктов не очень сложное дело, но практика изучения геометрического материала в 5-6 классах, а так же анализ многочисленных учебников, задачников и пособий по геометрии для этого возраста, показывает, что система соответствующих задач, отрабатывающих указанные три направления, практически отсутствует. В различных работах и статьях приводятся разрозненные примеры, однако целостной методики нет, а система задач в этом направлении носит случайный характер.
Не зря Н.Ф. Талызина говорила выше о том, что ученики в младшей школе могут назвать 1-2 свойства некоторого объекта, и что эту деятельность необходимо развивать. Однако в реальном математическом образовании эта деятельность практически не осуществляется.
Возникает очень сложная задача, связанная с пониманием механизмов выявления свойств и признаков геометрических объектов. Конечно, нас выручает тезис о том, что на первых этапах мы выделяем свойства объектов на основе наших ощущений, наблюдений, опыта и т. д. При этом, мы пока не знаем, какие из выделенных свойств мы сможем назвать признаками объектов. С другой стороны, очевидно, что на этом этапе появляется возможность использования приемов мыслительной деятельности (синтеза, анализа, сравнения и обобщения). С позиций обучения геометрии здесь, безусловно, присутствует синтетическая и аналитическая деятельность, смысл использования которой на данном этапе также нуждается в уточнении и проработке.
Если при выполнении пунктов а)-б) в основном помогает наша интуиция, то осуществление направления в) является более сложным процессом, так как в данном случае мы уже непосредственно работаем с определениями, теоремами и доказательствами.
Мы неоднократно указывали на то, что свойство воспринимается и в психологии и в теории обучения математике одинаково, а признак в теории обучения математике - понятие очень серьезное, оно связано с необходимыми и достаточными условиями. Во многих работах по психологии термин «признак» рассматривают как синоним термина «свойство», что сильно затрудняет понимание связанного с этим материала.
Методика изучения раздела «Взаимное расположение точек и плоскостей. Аксиома плоскости»
Наш опыт позволяет судить, что некоторые преподаватели математики отождествляют восходящий анализ с другими формами аналитического метода и полагают, что он не является методом доказательства, что он лишь позволяет найти план доказательства, после чего необходимо дать синтетическое доказательство. Однако такая точка зрения неверна: любое доказательство, проведенное методом восходящего анализа, можно, обратив его, заменить синтетическим доказательством. При этом синтетическое рассуждение, подготовленное восходящим анализом, не будет казаться искусственным.
Нисходящей анализ имеет две разновидности: несовершенный анализ и метод доказательства от противного.
При решении задач методом несовершенного анализа за исходное берется заключение задачи. Преобразование заключения происходит путем отыскания необходимых признаков справедливости его в предположении, что заключение задачи (теоремы) верно, т. е. несовершенный анализ сводится к отысканию следствий, вытекающих из предположения справедливости заключения, что приводит к получению верных следствий. Если же на самом деле заключение задачи (теоремы) неверно, то несовершенный анализ приводит к ложному следствию, то есть можно сделать вывод, о том, что доказываемое ложно.
Методом «доказательства от противного» является разновидность нисходящего анализа, при которой решение задачи происходит путем получения необходимых условий справедливости положения, противоречащего заключению теоремы (задачи).
При решении задач алгебраическим методом необходимо выполнить следующие действия: изучить условие задачи, выбрать основную неизвестную величину и ввести ее обозначение, выразить другие неизвестные через выбранную неизвестную и данные в условии задачи величины, составить уравнение (или систему уравнений) и решить его (ее).
Таким образом, алгебраический метод решения задачи - это такая форма аналитического метода, при которой связи между искомыми и данными величинами устанавливаются с помощью уравнений или систем уравнений (реже неравенств).
Рассмотрим основные требования к оформлению решений задач.
- В существующей методике решения геометрических задач, особенно в учебниках и задачниках для средних школ, отсутствуют два наиболее важных атрибута задачи: «что дано» и «что требуется доказать». Без них невозможно «аккуратно» и грамотно провести решение. Поэтому мы постоянно будем требовать, чтобы они присутствовали.
- Мы постоянно обращаем внимание на то, что самым большим недостатком готовых решений является отсутствие общей стратегии доказательства (план доказательства, поиск плана доказательства). Мы уверены в том, что если нет такого плана доказательства (решения), то проводить доказательство (решение) просто невозможно.
Таким образом, наша методика осуществления решения задач, в первую очередь, связана с тем, что мы пытаемся очень кратко определить план (стратегию) доказательства (решения). Еще раз отметим, что этого нет в полной мере ни в одном из рассмотренных нами учебников.
- Так сложилось, что в существующих учебных пособиях для учащихся решения (доказательства) представляют собой некий рассказ, в котором очень трудно увидеть последовательность шагов решения, мотивацию этих шагов и, безусловно, аргументацию выполнения решения.
Таким образом, кратко можно выделить следующие требования к оформлению решения задач: а) четкое выделение условия и заключения; б) мотивация всех нестандартных шагов проводимого рассуждения; в) аргументация всех выводов, полученных внутри каждого шага рассуждения.
В 2 первой главы мы рассматривали различные трактовки терминов «понятие» «математическое понятие», «классификация математических понятий». Сформулируем наши предложения по разработке методики введения и формирования основных геометрических понятий в 5-6 классах основной школы.
Рассмотренные в 1 источники трактуют термин «понятие» примерно одинаково. При этом важно отметить, что понятие - это «форма научного и обыденного мышления» [151, 173]; «одна из логических форм мышления» [144, 87]; «Специфическим содержанием мышления является понятие» [154, 328]; Таким образом, понятие и его образование - это сложный психологический процесс.
Важным является тот факт, что процесс формирования понятий практически во всех источниках сводится к работе со свойствами и признаками изучаемых объектов. Вот почему именно взаимосвязь выявления свойств и признаков математических объектов и формирования понятий будет в единстве разрабатываться в нашей методике изучения геометрического материала.
Перечислим основные требования к процессу формирования математических понятий:
- Появление любого нового понятия должно быть мотивировано и аргументировано, ученик должен испытывать интерес к его выявлению. Необходимо подчеркивать важность изучения понятия, побуждать школьников к целенаправленной и активной деятельности, возбуждать интерес к изучению понятия. Приведем один из возможных примеров.
При изучении геометрического материала в 5-6 классах мы довольно рано знакомим учащихся с понятием скрещивающихся прямых. При этом, мы не спешим давать определение скрещивающихся прямых, нам очень важно сформировать это понятие у учащихся. Существуют различные способы мотивировать необходимость изучения этого понятия. Можно привести следующий пример, который связан с возможностями использования образного мышления.
Похожие диссертации на Методика изучения геометрического материала в 5-6 классах, основанная на использовании приемов мыслительной деятельности и закономерностей теории обучения математике
