Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Интеграция математических, психолого-педагогических и методических знаний в обучении решению и конструированию задач 13
1.1. Обзор литературы по вопросам обучения решению и конструированию задач 13
1.2. Особенности подготовки преподавателя математики в классическом университете. Практикум по решению задач как один из элементов в системе подготовки 19
1.3. Задачи с параметрами - их роль в формировании исследовательских умений и навыков 29
1.4. Подготовка будущих преподавателей математики к исследовательской деятельности 39
Глава 2. Задача как объект исследования и средство формирования творческих способностей студентов 72
2.1. Задача как объект изучения: определение и структура задачи 72
2.2. Функции задач в обучении 82
2.3. Задача как объект творчества 102
2.4. Задача как объект изучения: сложность и трудность задачи 108
2.5. Метод экспертных оценок определения трудности задачи 133
Глава 3. Методические аспекты обучения решению и конструированию задач с параметрами 143
3.1. Решение и конструирование квадратных уравнений и неравенств 144
3.2. Решение конструирование уравнений, сводящихся к квадратным, заменой переменной 160
3.3. Решение и конструирование уравнений, сводящихся к квадратным в результате равносильных преобразований 168
3.4. Решение и конструирование уравнений и неравенств с модулем... 179
3.5. Опытно-экспериментальная работа и модель интеграции математических, психолого-педагогических и методических знаний и умений для отдельных тем Практикума 195
Заключение 204
Список использованной литературы 207
Приложение 229
- Обзор литературы по вопросам обучения решению и конструированию задач
- Задача как объект изучения: определение и структура задачи
- Решение и конструирование квадратных уравнений и неравенств
Введение к работе
Актуальность исследования. Гуманистическая парадигма образования, обращенная к личности ученика и ставящая в качестве приоритетной цели формирование гражданина с высокими интеллектуальными, нравственными и физическими качествами, привела к созданию образовательных учреждений разного типа: гимназий, лицеев, колледжей, профильных специализированных классов в общеобразовательной школе. Каждый ученик имеет возможность сделать выбор, согласно своим способностям и интересам. В связи с этим возникла объективная необходимость в подготовке преподавателей, владеющих умениями и навыками исследовательской работы и способных решать вопросы профильного образования.
Проблемы математического образования и подготовки преподавателей математики всегда были в центре внимания педагогического сообщества. Различные стороны системы подготовки отражены в работах В.В. Афанасьева, В.Г\ Болтянского, П.Я. Виленкина, Г.Д. Глейзера, Я.И. Груде-нова, В.А. Гусева, Г.В. Дорофеева, О.Б. Епишевой, Ю.М. Колягина, В.И. Крупича, Г.Л. Луканкина, Е.И. Ляшенко, Н.В. Метельского, В.И. Мишина, В.М. Монахова, И.А. Новик, В.А. Оганесяна, Е.С. Петровой, Т.С. Поляковой, Г.И. Саранцева, З.И. Слепкань, Е.И. Смирнова, Н.Л. Стефановой, А.А. Столяра, Н.А. Терешина, Ю.Ф. Фоминых, Л.М. Фридмана, Г.Г. Хамова, Р.С. Черкасова, А.В. Ястребова и др.
Важным этапом в исследовании этой проблемы была разработанная А.Г. Мордковичем концепция профессионально-педагогической направленности обучения применительно к подготовке учителей математики в педагогических вузах.
В значительно меньшей степени исследованы проблемы подготовки преподавателя математики в классических университетах. Естественно, основные положения системы подготовки имеют общий характер и, в то же время, подготовка преподавателя математики в классическом универ-
ситете имеет свои особенности. Подготовка, соответствующая квалификации преподавателя математики, осуществляется в форме профессионального дополнительного образования, которое реализуется параллельно с основной образовательной программой и частично встроено в нее. Различные аспекты дополнительного образования изучены в работах ТА. Вороновой, Г.А. Засобиной, Л.С. Казарина, В.А. Кузнецовой, Н.И. Мерлиной, Н.Р. Сенаторовой, B.C. Сенашенко и др.
Среди исследований последних лет отметим работу О.А. Иванова "Теоретические основы построения системы специальной математической и методической подготовки преподавателей профильных школ", где сформулирован принцип интегративности обучения, который понимается как единство фундаментальных знаний в области математики, психологии, педагогики и методики преподавания математики, единство знаний элементарной и высшей математики. Сформулированный принцип требует своего дальнейшего развития и конкретизации. Данное исследование рассматривает вопросы формирования исследовательских умений и навыков у студентов - будущих преподавателей математики при работе с задачами на основе реализации принципа интегративности.
Важнейшим элементом системы профессиональной подготовки преподавателя математики является обучение решению задач, которое осуществляется в рамках специального курса, так называемого Практикума, входящего в блок специальных дисциплин.
Возникло противоречие: с одной стороны, современная школа нуждается в учителе, владеющем навыками исследовательской работы с задачами и знанием психолого-педагогических и методических основ обучения их решению. С другой стороны, в практике обучения решению задач преобладают традиционные формы, которые не обеспечивают в должной степени формирование этих навыков. Психолого-педагогические и методические знания и умения не образуют единства с предметными знаниями, т. к.
в учебном плане Практикум по решению задач и дисциплины психолого-педагогического цикла разнесены во времени. Однако речь должна идти не о синхронизации преподавания этих дисциплин, а о конкретной реализации принципа интегративности в той части системы специальной подготовки, которая связана с обучением решению задач.
Данное противоречие определило проблему исследования - каковы педагогические условия, обеспечивающие формирование умений и навыков исследовательской работы с задачами и целостность профессиональной подготовки, состоящей в формировании взаимообусловленных предметных, психолого-педагогических и методических знаний и умений, необходимых учителю при работе с задачами.
Цель исследования - обосновать и экспериментально проверить возможность формирования исследовательских умений и навыков при работе с задачами за счет реализации принципа интегративности.
Объект исследования - процесс обучения студентов - математиков классического университета решению и конструированию задач при подготовке их к педагогической деятельности.
Предмет исследования - педагогические условия, обеспечивающие формирование умений и навыков исследовательской деятельности в процессе обучения решению и конструированию задач на основе интефации предметных, психолого-педагогических и методических знаний и умений.
Гипотеза исследования состоит в том, что существует принципиальная возможность повышения эффективности подготовки преподавателя математики за счет интеграции математических, психолого-педагогических и методических знаний и умений не только на уровне содержания обучения решению задач, но и на уровне видов деятельности. Конструирование задач рассматривается как основное средство, обеспечивающее интеграцию профессиональных знаний и умений.
Исходя из цели и гипотезы исследования, были поставлены следующие задачи:
провести анализ системы подготовки преподавателя математики в классическом университете в форме дополнительного профессионального образования в вузе;
выделить виды учебной деятельности, определяющие возможные направления включения первичных психолого-педагогических и методических знаний и умений в процесс обучения решению задач, которые в единстве с предметными составляют основу исследовательских умений и навыков работы с задачами;
сформулировать критерии оценки качества задач с параметрами и обосновать возможность и методическую целесообразность их использования при обучении решению и конструированию;
проанализировать исследования по оценке сложности и трудности задач в обучении и разработать соответствующие критерии для задач с параметрами;
разработать методику формирования исследовательских умений и навыков будущего педагога на основе обучения решению и конструированию задач;
осуществить экспериментальную проверку эффективности предлагаемой методики на примере задач с параметрами.
Теоретико-методологической основой исследования явились: диалектика как общий метод познания, заключающийся в целостном и всестороннем рассмотрении явлений и процессов в их развитии, взаимодействии и взаимообусловленности; теория личностно-деятельностного подхода, основы которого были заложены работами Л.С. Выготского, А.Н. Леонтьева, С.Л. Рубинштейна, теории высшего педагогического образования (О.А. Иванов, А.Г. Мордкович, В.А. Кузнецова, В.Д. Шадриков, 3.0. Шварцман); теории учебных задач (Г.А. Балл, Ю.М. Колягин, В.И. Крупич, Л-М.
Фридман); теории развития творческих способностей личности (Д.Б. Богоявленская, Я.А. Пономарев).
Методы исследования. Для решения поставленных в исследовании задач и проверки выдвину гой гипотезы были использованы методы теоретического и эмпирического характера с учетом специфики этапов исследования: анализ психологической, педагогической, методической, учебной литературы по проблеме исследования; анализ собственной педагогической деятельности; моделирование; включенное наблюдение, анкетирование, анализ письменных работ студентов; опытно-экспериментальная работа; математические методы обработки результатов эксперимента.
База исследования. Основной базой исследования является Ярославский государственный университет им. П.Г. Демидова.
Организация исследования. В соответствии с выдвинутой гипотезой и задачами исследования теоретическая и опытно-экспериментальная работа проводилась в три этапа.
На первом этапе (1990 - 1996гг.) изучалось состояние исследуемой проблемы в практике подготовки преподавателей математики в классических университетах и в педагогических вузах, проводилось изучение и анализ психолого-педагогической и методической литературы. На этом этапе определилась исходная структура работы, была сформулирована гипотеза исследования и разработан план эксперимента.
На втором этапе (1997-1999 гг.) определялись педагогические условия, обеспечивающие интеграцию математических, психолого-педагогических и методических знаний и умений в процессе обучения решению задач, выявлялась сущность понятия "конструирование задачи". Был выбран и апробирован метод экспертных оценок для определения относительной трудности задач. На этом этапе была проведена опытно- экспериментальная работа.
На третьем этапе (2000-2001гг.) были проанализированы и обобщены результаты, полученные в ходе теоретического и экспериментального исследования; оформлялась диссертационная работа.
Обоснованность и достоверность результатов исследования
обеспечивается всесторонним анализом проблемы при определении исходных теоретико-методологических позиций, адекватных целям, предмету и задачам исследования; длительным включенным наблюдением; сочетанием теоретического анализа и практической деятельности по исследуемой проблеме; результатами экспериментальной проверки основных положений диссертации; базой исследования.
Теоретическая значимость и научная новизна исследования, состоит в том, что
обоснована целесообразность применения комплекса математических, психолого-педагогических и методических знаний и умений для формирования исследовательских умений и навыков будущего преподавателя математики на основе использования задач с параметрами;
конкретизированы обучающие, развивающие и воспитывающие функции задач с параметрами при подготовке преподавателей;
учебная математическая задача рассматривается не только как средство обучения, объект изучения, но и как объект творческой деятельности, характеристики которой поставлены в соответствие типам творчества, последние, в свою очередь, соответствуют уровням интеллектуальной активности;
впервые для определения относительной трудности задач использован математически обоснованный метод экспертных оценок.
Практическая значимость исследования состоит в том, что разработано подробное содержание одной из ведущих тем практикума, реализуемое на основе применения комплекса математических, психолого-педагогических и методических знаний. Предложенная методика обучения
решению и конструированию задач может быть использована при подготовке учителей не только в классических университетах, но и в других педагогических вузах. Материалы и результаты исследования, относящиеся к применению метода экспертных оценок для определения относительной трудности задач, могут быть основой специального курса по изучению вопросов измерений в дидактике. На защиту выносятся:
- конкретная модель интеграции математических, психолого-
педагогических и методических знаний и умений и ее реализация на прак
тикуме по решению задач для темы "Уравнения и неравенства с парамет
рами". На основе этих знаний и умений формируются исследовательские
умения, необходимые преподавателю при работе с задачами;
положение о конструировании задач как средстве интеграции математических, психолого-педагогических и методических знаний и умений. Конструирование задачи рассматривается как творческий процесс, значимость которого определяется его развивающим эффектом;
способ определения относительной трудности задач, основанный на методе экспертных оценок.
Апробация и внедрение результатов исследования. Основные положения и результаты исследования обсуждались на XXVII Всероссийском семинаре преподавателей математики университетов и педвузов "Подготовка будущего учителя к работе в классах с углубленным изучением математики" (Калуга, 1998), на V областной научно-методической конференции "Актуальные проблемы совершенствования подготовки специалистов в вузе (Ярославль, 1999), на 53 Гсрценовских чтениях "Методические аспекты реализации гуманитарного потенциала математического образования" (Санкт-Петербург, 2000), на Всероссийской конференции "Проблемы педагогического образования в классических университетах" (Ярославль, 2000), на XX Всероссийском семинаре преподавателей мате-
матики университетов и педагогических вузов "Формирование духовной культуры личности в процессе обучения математике в школе и вузе" (Вологда, 2001), на 54 Герценовских чтениях "Проблемы теории и практики обучения математике" (Санкт- Петербург, 2001), на VI областной научно-методической конференции "Актуальные проблемы совершенствования подготовки специалистов в вузе" (Ярославль, 2001), на семинарах в Ярославском государственном университете им. П.Г. Демидова и Ярославском педагогическом университете им, К.Д. Ушинского.
По теме диссертации имеется 28 публикаций.
Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка ис полью вам ной литературы, приложения.
Во введении обоснована актуальность темы исследования; поставлена проблема, сформулированы цель, задачи и гипотеза исследования; обозначены его объект и предмет; раскрыты научная новизна и практическая значимость работы; определены методологическая основа и методы исследования; сформулированы основные положения, выносимые на защиту; перечислены этапы исследования.
В первой главе "Интеграция математических, психолого-педагогических и методических знаний в обучении решению и конструированию задач" сделан обзор литературы по вопросам обучения решению и конструированию задач, рассмотрены особенности подготовки преподавателя математики в классическом университете, обоснован выбор задач с параметрами и определены критерии оценки их качества для достижения целей обучения, выделены комплекс взаимообусловленных математических, психолого-педагогических, методических знаний и умений и виды учебной деятельности, определяющие направления их формирования.
Во второй главе "Задача как объект исследования и средство формирования творческих способностей студентов" конструирование задач рассматривается как творческий процесс, эффективность которого зависит
от знания "устройства" задачи и владения приемами эвристической деятельности. Задача анализируется как система, в которой выделяются функциональные и структурные свойства. Функциональные свойства задач уточнены и конкретизированы для задач с параметрами и с учетом характеристик обучаемых-будущих преподавателей математики. Структурные свойства задач рассматриваются с точки зрения их использования для оценки сложности задач, как одной из компонент трудности. Для определения относительной трудности задач предлагается использовать метод экспертных оценок.
В третьей главе "Методические аспекты обучения решению и конструированию задач с параметрами" раскрывается содержание деятельности студентов и описываются формы организации обучения решению и конструированию задач с параметрами, обеспечивающие единство математических, психолого-педагогических, методических знаний и умений. Даны описание опытно-экспериментальной работы, которая была направлена на проверку выдвинутой гипотезы исследования, результаты ее статистической обработки. Приводится общая модель интеграции математических, психолого-педагогических и методических знаний и умений для отдельных тем практикума по решению задач.
В заключении даны выводы проведенного исследования, определены направления дальнейшей разработки поставленной проблемы.
Обзор литературы по вопросам обучения решению и конструированию задач
Решение задач - это важнейший вид учебной деятельности обучающихся математике. В процессе решения задач усваивается математическая теория, развивается мыслительная деятельность, формируется личность учащегося. Многочисленные исследования касаются различных сторон этого сложного явления. Психолого-педагогические аспекты решения математических задач исследованы в работах Г.А Балла, JT.J1. Гуровой, В.В. Давыдова, Е.И. Машбица, A.M. Сохора, Л.М Фридмана, А.Ф. Эсаулова и др. Л.Л. Гуровой принадлежит определение понятия "задача", вошедшее в Психологический словарь [165].
Различные аспекты обучения решению математических задач рассматривают в своих работах В.Г. Болтянский, A.M. Гольдман, П.И. Горн-штейн, В.А. Гусев, Г.Ф. Дорофеев, О.А. Иванов, Е.С. Канин, Ю.М. Калягин, В.И. Крупич, А.Г. Мордкович, А.А. Окунев, Н.Х. Розов, Н.М. Рога-новский, А.А. РЫБКИН, В.И. Рыжик, Г.И. Саранцев, А.А. Столяр, И.Я. Цу-карь, И.Ф. Шарыгин, 10.Ф. Фоминых, П.М. Эрдниев и др.
Наиболее полно проблема использования задач в обучении исследована Ю.М. Колягиным [] 10], в работах которого задача рассматривается как система взаимодействия человека и задачной ситуации, выделена че-тырехкомпонентная структура задачи, ставшая основой классификации задач, раскрыта сущность функций задач в обучении, которые соответствуют основным составляющим образования: обучению, развитию и воспитанию.
Выделив понятие "упражнение" из понятия "задача" Г.И. Саранцев определяет его "как многоаспектное явление обучения математике, обладающее следующими основными признаками: 1) быть носителем действий, адекватных содержанию обучения математике; 2) являться средством целенаправленного формирования знаний, умений и навыков; 3) быть способом организации и управления учебно-познавательной деятельностью учащихся; 4) являться одной из форм реализации методов обучения; 5) служить средством связи теории с практикой" [175, с. 17].
Соотношение понятий "задача" и "проблемная ситуация" проанализировано в работах A.M. Матюшкина [135] и М.И. Махмутова [136].
Содержание эвристической деятельности при решении математических задач было раскрыто Д. Пойа в книгах "Математика и правдоподобные рассуждения" [160] и "Математическое открытие" [161]. Эти книги сыграли большую роль в понимании природы математического творчества. Их появление, считает И.М. Яглом, ""истинные математики" вполне могли рассматривать как недопустимый акт, раскрывающий непосвященным "кухню" их работы, которая не должна быть доступна неспециалисту" [213, с.7]. Книги "Как решить задачу" Д. Пойа [159], "Как научиться решать задачи" Л.М. Фридмана и Е.Н. Турецкого [194], "Учись решать задачи" Ю.М. Колягина и В.Л. Оганесяна [113], "Поиск решения" М.Б. Балк и Г.Д. Балк [11], написанные 20 - 30 лет назад и не потерявшие актуальности, обращены непосредственно к ученикам. В этих книгах излагается сущность общего подхода к решению школьных математических задач, приемы эвристической деятельности по поиску и анализу их решения. Наиболее полно значение и содержание эвристической деятельности раскрыто В.Н. Соколовым в книге "Педагогическая эвристика" [182], изданной в последнее время.
За последние 10-15 лет появился ряд пособий для учащихся, в которых не только в краткой форме приводится необходимая для решения задач теория (формулы, формулировки теорем), и демонстрируются образцы решения задач, но и излагаются общие подходы к их решению. Это, в первую очередь, книги И.Ф. Шарыгина и В.И. Голубева "Факультативный курс по математике: решение задач" [205,206]. Среди многочисленных пособий по математике для абитуриентов выделим книгу "Математика для поступающих в серьезные вузы" О.Ю. Черкасова и А.Г. Якушева [201].
В настоящее время отмечается активизация исследований, связанных с давно известными теориями. В частности, речь идет о концепции УДЕ. П.М. Эрдниев и Б.М. Эрдниев в книге "Укрупнение дидактических единиц в математике" пишут: понятие УДЕ вбирает в себя следующие взаимосвязанные "подходы к обучению: 1) совместное и одновременное изучение взаимосвязанных действий, операций, функций; 2) обеспечение единства процессов решения и составления задач; 3) рассмотрение во взаимопереходах определенных и неопределенных заданий; 4) обращение структуры упражнений, что создает условия для прогивопоставления исходного и преобразованного знаний; 5) выявление сложной природы математического знания, достижение системности знания; 6) реализация принципа дополнительности в системе упражнений (понимание достигается в результате межкодовых переходов между образным и логическим в мышлении, между его сознательным и подсознательным компонентами)" [210, с. 7]. Концепция УДЕ стала теоретической основой введения и использования понятия "пучок задач", [98, с.55-60]. С позиций концепции УДЕ рассматриваются и хорошо известные методы решения задач, выводя их на новый уровень использования - для конструирования новых задач [143].
Отметим два важнейших направления работы учителя с задачами: объединение задач в группы и поиск различных способов решения одной задачи. Эти направления отражены в многочисленных публикациях.
Задача как объект изучения: определение и структура задачи
В психологии задача трактуется как совокупность цели субъекта и
условий, в которых она должна быть достигнута. Более узкое значение понятия задача отражает неразрывную связь процесса решения задачи с мышлением. В психологических и дидактических исследованиях наиболее часто используют определение задачи, данное Л.Л. Гуровой в работе "Психологический анализ решения задач" [71, с.12]. Это определение практически дословно приводится в "Психологическом словаре": "Обычно под задачей понимают объект мыслительной деятельности, содержащий требование некоторого практического преобразования или ответа на теоретический вопрос посредством поиска условий, выявляющих отношения между известными и неизвестными элементами проблемной ситуации, связанными общими законами и категориями "[165, с. 110].
В этом определении следует выделить два существенных положения, на которых необходимо остановиться более подробно. Первое связано с пониманием задачи как объекта мыслительной деятельности. Второе связано с анализом соотношения понятий "проблемная ситуация" и "задача".
Решение задачи есть мыслительная деятельность, содержание которой составляют сравнение, анализ и синтез, абстрагирование, обобщение и конкретизация. Сравнение - это сопоставление объектов изучения с целью нахождения сходства (выделения общих свойств) и различия (выделения особенных свойств каждого из сравниваемых объектов) между ними. Эта операция лежит в основе всех других мыслительных операций, Хорошо известно, что одной из эффективных форм работы с задачей при обучении их решению является сравнительный анализ различных способов решения задачи Анализ - это изучение предмета (явления, процесса), свойств или отношений между предметами, основанное на расчленении (реальном или мысленном) предмета на составные части. Процедурой, обратной анализу, является синтез. Синтез состоит в том, что знание о предмете (явлении или процессе) получается путем соединения его частей в единое целое. Анализ и синтез практически неотделимы друг от друга, они сопутствуют друг другу, дополняют друг друга. Например, разбиение задачи на подзадачи является ее анализом, а соединение найденных решений подзадач является синтезом. Другая форма использования анализа и синтеза при решении задач состоит в следующем: анализ - это рассуждение от того, что надо найти или доказать, к тому, что дано, а синтез - это рассуждение, идущее от данных задачи к искомым. Анализ и синтез как мыслительные операции являются содержанием соответствующих методов решения задач. Поиск решения задачи осуществляется с помощью аналитико-синтетического метода, в котором можно выделить последовательность этапов: анализ задачи состоит в том, что предполагается, что задача решена; выводятся из этого различные следствия; синтез состоит в том, что, сопоставляя полученные следствия, пытаются найти способ решения задачи. Различаются две формы анализа: нисходящий и восходящий. При нисходящем анализе, исходя из предположения об истинности доказываемого предположения, получают систему следствий, необходимых для существования доказываемого утверждения. Нисходящий анализ требует синтеза - обратного хода рассуждения. При восходящем анализе доказывается, что известные, данные в условии соотношения являются достаточными для доказываемого предложения. Восходящий анализ содержит в себе и синтез. В сущности, восходящий анализ сводится к выяснению двух вопросов: что требуется найти и что для этого достаточно знать?
Абстрагирование - это мысленное и превращение в самостоятельный объект изучения отдельных свойств, сторон или состояния предмета. Все математические понятия как раз и представляют собой абстрактные объекты. Способность к абстракции позволяет человеку мысленно ориентироваться на такое свойство, устойчивое выделение которого, служит условием решения соответствующей задачи. Абстрагирование лежит в основе обобщения, существующего в двух различных формах: эмпирическое обобщение и научно-теоретическое обобщение. Эмпирическое обобщение - это мысленное выделение общих свойств (инвариантов) в объектах и объединение этих объектов в группы на основе выделенных инвариантов. Научно-теоретическое обобщение - это мысленное выделение в объекте или нескольких объектах в результате анализа их существенных свойств в виде общего понятия для целого класса объектов. Эмпирическому обобщению соответствует движение мысли от частного к общему, теоретическому обобщению - движение от общего к частному. "Обобщение — это, вероятно, самый легкий и самый очевидный путь расширения математических знаний" [18], с 84]. Конкретизация также выступает в двух формах: как мысленный переход от общего к единичному, частному и как восхождение от абстрактно- общего к конкретно-частному путем выделения различных свойств и признаков этого абстрактно-общего (обогащение абстрактно-общего конкретным содержанием).
A.M. Матюшкин в работе "Проблемные ситуации в мышлении и обучении" изложил свой подход к решению проблемы соотношения понятий "проблемная ситуация" и "задача". Считая их различными, А.М Матюшкин рассматривает задачи как "способ знакового предъявления задания одним человеком другому (или самому себе), включающий указания на цель и условия ее достижения" [135, с.30]. Цель действия составляет искомое, выраженное вопросом. В понятие задачи не включается субъект действия. Задача рассматривается как сформулированное в словесной или знаковой форме отношение между условиями (условием) и искомым. Б свою очередь, "проблемная ситуация характеризует прежде всего определенное психологическое состояние субъекта (учащегося), возникающее в процессе выполнения такого задания, которое требует открытия (усвоения) новых знаний о предмете, способе или условиях выполнения заданий" [135, с.32]. В структуре проблемной ситуации выделяются следующие компоненты: познавательная потребность, побуждающая человека решать поставленную задачу; неизвестное отношение, способ или условие действия; интеллектуальные возможности человека в анализе условий задания и усвоения открываемого в нем нового знания. Неизвестное является главным элементом проблемной ситуации. Если задача прежде всего характеризуется степенью сложности, то проблемная ситуация - степенью трудности подлежащего усвоению неизвестного. A.M. Матюшкин выделил три основных типа проблемных ситуаций в соответствии с местом неизвестного в ней: неизвестное совпадает с целью (предметом) действия; неизвестное совпадает со способом действия; неизвестное совпадает с условиями выполнения действия [135, с. 37- 46].
Решение и конструирование квадратных уравнений и неравенств
Рассмотрим квадратный трехчлен с параметром а: функции параметра а. Сформулируем первый основной тип задач:
Для каждого значения параметра а найти все решения квадратного уравнения Р\{а)х + р2(а)х + р3(а) = О или квадратного неравенства
Замечание. Если в условии не оговорено, что уравнение или неравенство квадратное, необходимо рассматривать отдельно те значения параметра а, при которых рх (а) = О.
Сформулируем некоторые наиболее распространенные варианты задач второго основного типа.
При каких значениях параметра а квадратное уравнение
-не имеет корней;
-имеет два равных корня;
-имеет два различных корня
При каких значениях параметра а. квадратное уравнение имеет корни равные по абсолютной величине и противоположные по знаку.
При каких значениях параметра а сумма (сумма квадратов, сумма кубов) корней х{,х2 квадратного уравнения принимает наибольшее (наименьшее) значение.
При каких значениях параметра а корни х[ух2 квадратного уравнения удовлетворяют некоторому уравнению или неравенству, например, .__! 4- - При каких значениях параметра а корни х,, х2 квадратного уравнения удовлетворяют условию (а - данное число)
Эти задачи назовем задачами исследования расположения корней квадратного трехчлена относительно данного числа а. Частный случай а = О, как правило, рассматривается отдельно.
При каких значениях параметра а корни хь х2 квадратного уравнения
-положительны;
-отрицательны;
-разных знаков;
-разных знаков, но положительный корень меньше (больше) абсолютной величины отрицательного корня.
При каких значениях параметра а корни хх,х2 квадратного уравнения удовлетворяют условию {a, {і - данные числа)
Эти задачи называются задачами исследования расположения корней квадратного трехчлена относительно данных чисел а и /?.
При каких значениях параметра а квадратное неравенство имеет решение заданного вида, например: любое действительное число
Обучение решению и конструированию задач этого вида состоит из нескольких этапов.
На первом этапе решаются "готовые" задачи. Задачи выбираются так, чтобы актуализировать знания и умения студентов по решению задач с параметрами. И, хотя на занятиях в школе, на факультативных занятиях, при подготовке к поступлению в университет решению таких задач уделяют достаточно много внимания, эти знания, как правило, бессистемны. Ставится цель - организовать эти знания, сформировать систему взаимосвязанных знаний, образующих внутренне упорядоченную структуру. В ходе решения предложенных задач выясняются пробелы в знаниях, уточняются навыки, корректируются технические детали, связанные с оформлением решения. Перед студентами ставится задача систематизировать задачи, т,е. самостоятельно построить описанную выше структуру.
