Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Теоретические предпосылки внедрения прикладной направленности стохастики в школьный курс математики 16
1. Исторический обзор введения стохастики в школьный курс математики 16
1.1. Роль и место стохастики в современном школьном образовании 16
1.2. История обучения элементам комбинаторики, теории вероятностей и статистики в дореволюционной и советской средней школах 25
1.3. Преподавание стохастики на современном этапе 49
1 .4. Информационное обеспечение линии «Анализ данных» 62
2. Реализация прикладной направленности обучения математике в средней школе России 68
2.1. Сущность «прикладной направленности» школьного курса математики 68
2.2. Математическое моделирование как универсальный метод решения прикладных стохастических задач 77
2.2.1. Понятие «прикладная задача» 77
2.2.2. Процесс построения математической модели 88
3. Конструирование содержания стохастики в школьном курсе математики 103
Выводы по первой главе 122
Глава 2. Методика обучения стохастике, реализующая прикладную направленность в старших классах средней школы 125
1. Методические особенности построения элективного курса «Случайность вокруг нас» 125
2. Методические рекомендации к темам элективного курса «Случайность вокруг нас» 134
2.1 Исторический очерк развития стохастики 134
2.2 Основы комбинаторики 135
2.3 События и вероятность 141
2.4 Независимые повторные испытания 150
2.5 Понятие случайной величины 153
2.6 Статистические характеристики 159
2.7 Статистические гипотезы 164
3. Основные результаты опытно-экспериментальной работы . 167
Выводы по второй главе 182
Заключение 184
Библиография 187
Приложения 212
- Роль и место стохастики в современном школьном образовании
- Процесс построения математической модели
- Методические особенности построения элективного курса «Случайность вокруг нас»
Введение к работе
Актуальность исследования. Согласно федеральному компоненту базисного учебного плана, примерным учебным планам для средней школы и государственному образовательному стандарту начального общего, среднего общего и среднего (полного) общего образования по математике, утверждённому в 2004 году, нововведением для курса математики является включение в программы содержательной линии «Анализ данных», предполагающей изучение элементов комбинаторики, теории вероятностей и математической статистики'.
В конце 80-х - начале 90-х гг. XX века проводилось международное исследование по сравнительной оценке математической подготовки учащихся. В нём принимали участие представители 20-ти стран, среди которых и бывший Советский Союз. По теме «Анализ данных, статистика, вероятность» все страны, кроме двух (Словения и Португалия), показали результаты лучше, чем у нас. Аналогичные результаты были получены и в 2003 году, когда проводилось международное исследование (PISA-2003) уровня математической грамотности 15-летних учащихся [135]. Включение вероятностно-статистических вопросов в тест свидетельствует о той важности, которую придают этому материалу в других странах, а полученные по некоторым странам достаточно высокие результаты показывают, что его изучению уделяется значительное внимание [51, С. 175]. Например, по сравнению с требованиями по математике, предъявляемыми к абитуриентам российских вузов, тест на поступление в Оксфордский университет предполагает наличие у поступающих знаний по комбинаторике и элементарной теории вероятностей [55, С.72-74].
Однако дело не только в том, что европейские или американские школьники знакомятся с элементами стохастики (комбинаторики, теории вероятностей и математической статистики) и одним из приоритетных направлений модернизации российского образования является интеграция в международ-
ную систему, а скорее в том, что вероятностно-статистические методы уже сегодня широко используются самыми различными областями знаний (рис. 1). Изучение стохастики способствует развитию личности, совершенствованию коммуникативных способностей, умений ориентироваться в общественных процессах. Школьники получают знания, которые помогают воспринимать и анализировать статистические сведения, встречающиеся в современных средствах массовой информации, дают возможность на их основе делать выводы и принимать решения в самых разнообразных жизненных ситуациях.
Психология
Химия
Социология Экономика
Согласно действующему стандарту,
Биология стохастическая линия пронизывает со-
медицина держание математического материала на
Лингвистика
Сельское хозяйство
Техника
Экология УРОВНЯХ ОСНОВНОЙ И Средней (ПОЛНОЙ)
Рис.1
школ. Изучение комбинаторики, теории Астрономия вероятностей и статистики начинается с 5 класса и заканчивается в 11 классе [181].
В настоящий момент практика обучения на старшей ступени школы элементам стохастики носит накопительный характер (здесь не имеется в виду опыт дореволюционной школы), вопрос создания конкретной теории и методики преподавания новой содержательной линии в классах различных профилей пока остаётся открытым, хотя оживление в проведении подобного рода исследований в последние десятилетия имеет место (работы В.В. Афанасьева, Е.А. Бунимовича, Г.С. Евдокимовой, Д.В. Маневича, А. Плоцки, С.А. Самсоновой, В.Д. Селютина и др.).
Различные аспекты математического образования в условиях его модернизации рассматривались в исследованиях В.Г. Болтянского, Г.Д. Глейзера, В.А. Гусева, Г.В. Дорофеева, Ю.А. Дробышева, И.В. Дробышевой, Ю.М. Колягина, Л.Д. Кудрявцева, А.А. Кузнецова, Г.Л. Луканкина, В.Л. Матросова, Н.И. Мерлиной, Н.Г. Подаевой, Н.Х. Розова, В.А. Садовни-
чего, И.М. Смирновой, М.В. Ткачёвой, Н.Е. Фёдоровой, М.И. Шабунина, И.Ф. Шарыгина и др. Многие учёные (Ф.С. Авдеев, Т.К. Авдеева, Ю.М. Колягин, В.П. Кузовлев, В.В. Орлов, Т.С. Полякова, О.А. Саввина, О.В. Тарасова и др.) обращают внимание на то, что очередное реформирование математического образования должно опираться на исторический опыт.
Несмотря на явные достижения, полученные отечественной методической мыслью, надо признать наличие ряда проблем в современном преподавании математики в школе. Одной из таких проблем является слабое отражение прикладной направленности при изучении её многих разделов. Это влечёт упущение возможности формирования практических умений учащихся, связанных с решением познавательных задач, раскрывающих связь с жизнью, с другими школьными предметами естественнонаучного и гуманитарного циклов.
Знакомство учащихся с элементами стохастики открывает широкие возможности для иллюстрации значимости математики в решении прикладных задач. Владение азами комбинаторики, теории вероятностей и математической статистики позволяет на содержательных (как в математическом, так и прикладном отношениях) примерах изучать различные процессы, показывать известную универсальность математических методов, демонстрировать основные этапы решения прикладных задач средствами стохастики. В целом знакомство учащихся с элементами стохастики усиливает прикладную направленность курса математики в профильных классах.
Таким образом, можно с уверенностью сказать, что в настоящее время обострились противоречия между:
фактическим введением стохастической линии в школьный курс математики и недостаточной разработанностью теории и методики её преподавания в старших классах;
высоким прикладным потенциалом стохастики и недостаточным его использованием в школьном обучении;
- необходимостью реализации прикладной направленности обучения
стохастике в старшей школе и ограниченностью времени, отводимого на её
изучение действующим учебным планом.
Сложившиеся обстоятельства в преподавании математики обусловили актуальность темы исследования, позволили определить проблему, сформулировать цель, объект и предмет.
Проблема исследования состоит в поиске оптимальной теории и методики обучения стохастике старшеклассников.
Цель исследования состоит в выявлении сущности прикладной направленности обучения стохастике и разработке на этой основе учебно-методического обеспечения обучения стохастике старшеклассников.
Объект исследования: обучение математике в старших классах средней школы.
Предмет исследования: пути реализации прикладной направленности обучения стохастике в старших классах средней школы.
Гипотеза исследования состоит в том, что реализация прикладной направленности обучения стохастике в старших классах средней школы окажется эффективной, если:
содержание стохастического материала будет представлено на трёх уровнях: базовом, профильном, элективном;
методика обучения стохастике будет опираться на исторический опыт и многогранные связи стохастики и реальной действительности (в том числе на межпредметные связи);
набор стохастических задач, изучаемых в школе, будет расширен и представлен во всём их многообразии;
содержание методического обеспечения стохастической линии будет дополнено «Содержательным тезаурусом»;
- в обучении стохастике будут использоваться адаптированные для
старшеклассников электронные средства прикладного и иллюстративного
назначения.
Задачи исследования:
провести ретроспективный анализ преподавания стохастики в школьном курсе математики;
выявить возможности и пути реализации прикладной направленности обучения стохастике;
определить содержание стохастического материала, изучаемого на профильном и элективном уровнях;
разработать учебно-методический комплекс (УМК) по стохастике и экспериментально проверить его педагогическую эффективность.
Методологическую основу исследования составляют: философские положения о всеобщей связи, целостности и причинной обусловленности явлений, диалектической взаимосвязи случайного и необходимого, синергети-ческий подход; теория содержания образования (Ю.К. Бабанский, В.В. Краевский, B.C. Леднев, И.Я. Лернер и др.); теория дифференцированного обучения математике (В.А. Гусев, Г.В. Дорофеев, Ю.М. Колягин, Г.Л. Луканкин, Т.С. Полякова, И.М. Смирнова и др.); концепция прикладной, направленности обучения математике (Н.А. Терешин, В.В. Фирсов, И.М. Шапиро и др.).
В исследовании использованы следующие методы:
изучение, анализ, систематизация философской, психолого-педагогической, методической, исторической литературы, педагогических первоисточников и периодики, учебных программ, учебников и учебных пособий, диссертаций по проблеме исследования;
анализ и оценка опыта преподавания элементов стохастики в средних учебных заведениях России в ретроспективном плане;
- анкетирование и тестирование учащихся 10-11 классов, интервьюиро
вание учителей, студентов вузов;
- статистическая обработка и анализ результатов опытно-
экспериментальной работы.
Основные этапы исследования. Исследование началось в 2002 году и велось поэтапно в соответствии с логикой его развития.
На первом этапе (2002-2003 гг.) изучалась психолого-педагогическая, методическая, а также специальная литература по проблеме исследования; определялись объект и предмет исследования; проводился констатирующий эксперимент; разрабатывались теоретические основы реализации прикладной направленности обучения стохастике в старших классах средней школы.
На втором этапе (2003-2004 гг.) был разработан УМК элективного курса «Случайность вокруг нас»; осуществлялись поиск методики построения учебных занятий, отбор методов и приёмов преподавания, проведение отдельных пробных занятий.
На третьем этапе (2004-2006 гг.) проводилась опытно-экспериментальная работа по реализации прикладной направленности обучения стохастике в старших классах средней школы в соответствии с разработанной методикой; выполнялись анализ, систематизация и обобщение результатов' опытно-экспериментальной работы, проверка и уточнение выводов, оформление результатов исследования.
Научная новизна. На основе изучения обширного круга источников впервые:
реконструирована историческая картина обучения элементам стохастики в отечественных средних учебных заведениях;
определены требования, предъявляемые к прикладным стохастическим задачам, пути реализации прикладной направленности обучения стохастике, содержание стохастического материала, изучаемого на профильном и элективном уровнях;
сконструированы прикладные стохастические задачи с новой фабулой;
введён в рассмотрение «Содержательный тезаурус»;
разработан УМК элективного курса «Случайность вокруг нас» для 10-11 классов.
Теоретическая значимость исследования заключается в том, что в нём:
доказана целесообразность включения стохастической линии в курс математики старших классов средней школы;
уточнена сущность понятия «прикладная направленность обучения стохастике» в средней школе;
предложен комплекс путей реализации прикладной направленности обучения стохастике;
определены требования, предъявляемые к прикладным стохастическим задачам;
обоснована необходимость дополнения совокупности принципов отбора стохастического материала новыми компонентами (принципом гуманизации и гуманитаризации, принципом репрезентативности, принципом ёмкости);
выявлен развивающий потенциал стохастики (в развитии качеств мышления, познавательного интереса).
Практическая значимость исследования заключается в том, что:
предложенная идея отбора содержания стохастического материала для профильного и элективного уровней будет полезна при составлении программ и учебных пособий как основного, так и элективного курсов стохастики;
разработанный УМК «Случайность вокруг нас» может быть использован для преподавания элективных и обязательных курсов в школах, гимназиях, лицеях;
введённый в рассмотрение «Содержательный тезаурус» элективного курса будет способствовать более чёткой координации деятельности учителя при подготовке к очередному занятию;
сконструированные прикладные стохастические задачи будут полезны при составлении задачников и учебных пособий как в средней, так и высшей школе;
составленная программа курса по выбору «Элементы стохастики в школьном курсе математики» для студентов физико-математических факультетов вузов будет способствовать теоретическому и практическому усвоению методики обучения школьников элементам стохастики с учётом прикладной направленности;
результаты исследования могут быть востребованы при проведении занятий на физико-математических факультетах педагогических вузов, а также в системе повышения квалификации педагогических кадров.
Достоверность научных результатов исследования обеспечивается: использованием фундаментальных современных положений педагогики, теории и методики обучения математике и психологии; проверкой разработанной методики в ходе опытно-экспериментальной работы, а также репрезентативностью выборки её участников; применением методов математической статистики для обработки результатов эксперимента.
Апробация результатов исследования осуществлялась на международной конференции «58 Герценовские чтения» (РГПУ им. А.И. Герцена), на международной конференции «59 Герценовские чтения» (РГПУ им. А.И. Герцена), 3-й Международной научно-практической конференции «Фундаментальные и прикладные исследования в системе образования» (ТГУ им. Г.Р. Державина), на международной научно-практической конференции «Информатизация образования - 2005» (ЕГУ им. И.А. Бунина), на 2-ой международной научно-практической Интернет-конференции «Проблемы государства, права, культуры и образования в современном мире» (ТГУ
им. Г.Р. Державина), на международной научно-практической конференции «Дни науки - 2005» (г. Днепропетровск, Украина), на международной научно-практической конференции «Качество науки - качество жизни» (ТГТУ); на 2-й Российской научно-практической конференции «Математика в современном мире» (КГПУ им. К.Э. Циолковского), на всероссийской научно-практической конференции «Актуальные проблемы науки в России» (КИИУТ); на Всероссийском научно-практическом семинаре «Актуальные вопросы подготовки специалиста в контексте современных преобразований» (ОГУ); на 3-м Всероссийском научно-методическом симпозиуме «Информатизация сельской школы» (Анапский филиал МГОПУ им. М.А. Шолохова); на фестивале педагогических идей «Открытый урок, 2004/2005» (г. Москва); на научно-практических конференциях профессорско-преподавательского состава, аспирантов и студентов (ЕГУ им. И.А. Бунина, 2002-2006 гг.), в творческой группе «Актуальные проблемы методики преподавания школьного курса математики» методического объединения учителей математики г. Ельца.
Внедрение выдвинутых в диссертации положений, методических рекомендаций осуществлялось в ходе опытно-экспериментальной работы, которая проводилась в 10-11 классах средней общеобразовательной школы № 3 им. майора милиции А. Коврижных г. Липецка, лицея № 5 г. Ельца, МОУ СОШ № 15 г. Ельца, МОУ СОШ № 95 г. Ельца, школы-гимназии № 97 г. Ельца, МОУ СОШ с. Становое (Липецкая область), на сельскохозяйственном факультете ЕГУ им. И.А. Бунина, в Орловском государственном университете.
На защиту выносятся:
1. Ретроспективный анализ введения элементов стохастики в школьный курс математики, охватывающий период с 1804 г. по настоящее время, в результате которого установлено: первоначально в школьное обучение вошла статистическая составляющая (представленная описательной ста-
тистикой в гимназических курсах), затем - комбинаторная (которая оставалась стабильной на протяжении длительного времени во всех типах средних учебных заведений России) и уже впоследствии - вероятностная (причём только в программы коммерческих училищ).
До революции реализация прикладной направленности обучения стохастике неоднократно подвергалась определённой трансформации. Первоначально прикладная направленность в обучении теории вероятностей стояла во главе угла (что иллюстрируют первые публикации на русском языке), затем стали выделяться только теоретические аспекты этой дисциплины (учебник В.Я. Буняковского и др.). В проектах программ советского периода и в современном стандарте указаны лишь чисто теоретические понятия и факты стохастики.
Уже до революции была высказана идея об объединении элементов комбинаторики, описательной статистики и теории вероятностей в единый предмет «политическая арифметика». Сегодня эта идея получила новую жизнь, но в своеобразной модификации: современные исследователи называют симбиоз этих разделов «стохастикой». Таким образом, не только удобство, заключающееся в ёмкости этого термина (в отличие от громоздкого перечисления разделов), но и повторение истории в определённой степени оправдывают включение наименования «стохастика» в современный методико-математический оборот.
Анализ указал на существенную трудность, возникшую в результате введения стохастической составляющей в школьное обучение, - несбалансированное отражение её прикладного потенциала. Содержание материала было отвлечено от реальной жизни, поэтому многие учителя были за его изъятие из школьной программы.
2. Пути реализации прикладной направленности обучения стохастике, которые состоят в следующем:
- включение в основной курс стохастики прикладных задач;
- обучение математическому моделированию реальных жизненных си
туаций;
4* - использование адаптированных для старшеклассников электронных
средств прикладного и иллюстративного назначения.
Каждый из этих приёмов вносит неповторимый вклад в реализацию прикладной направленности обучения стохастике, поэтому не может рассматриваться изолированно. Только их комплексное внедрение позволит достичь желаемого результата на современном этапе.
3. Концептуальные предпосылки отбора содержания стохастическо-
* го материала:
Стохастический материал целесообразно представить на трёх уровнях: базовом, профильном и элективном. Цементирующими звеном его отбора выступает прикладная направленность, поэтому уже на базовом уровне необходимо выявить всевозможные связи стохастики с другими областями знаний.
Базовый уровень представлен «ядром» (перечень стохастических поня
тий и фактов без включения прикладных вопросов определяется стандар-
' том).
Разнообразие содержательно-методического обеспечения курса стохас
тики для различных профилей (т.е. на профильном уровне) достигается раз
личием методических подходов, степенью иллюстративности, абстрактности
и т.п. В физико-математическом, социально-экономическом, техническом,
технологическом, агротехнологическом, физико-химическом, химико-
биологическом, биолого-географическом, оборонно-спортивном профилях к
«ядру» целесообразно добавить такие стохастические темы, как: бином Нью
тона; полная вероятность и формула Байеса в физике (медицине), независи
мые повторные испытания в демографии (экологии), виды случайных вели-
V чин в баллистике (сельском хозяйстве); статистические гипотезы в генетике
(аналитической химии, медицине, социологии), элементы теории корреляции
и регрессионного анализа в экономике (анатомии, психологии, технике, эмбриологии) и др. Небольшие коррективы следует внести и в классы социально-гуманитарного, филологического, художественно-эстетического профилей, например, добавив к «ядру» такую тему, как «Статистические гипотезы в лингвистике (археологии и др.)».
Дополняет и расширяет базовый и профильный уровни следующий уровень отбора стохастического материала - элективный. Вариативность материала на профильном и элективном уровнях достигается через реализацию прикладной направленности обучения стохастике (рассмотрение прикладных задач, приближенных к будущей профессиональной деятельности и пр.).
4. УМК элективного курса «Случайность вокруг нас» для учащихся 10-11 классов, включающий: содержательный тезаурус; основное содержание учебного материала; методические рекомендации к темам курса; приложения и библиографический список.
Структура и объём работы. Диссертация состоит из введения, двух глав, заключения, списка литературы (228 наименований), 6 приложений; иллюстрирована 3 схемами, 10 таблицами и 12 рисунками.
Роль и место стохастики в современном школьном образовании
XXI век ознаменовался рядом реформ, касающихся как модернизации системы образования в целом, так и математического образования в частности. Коренным новообразованием в школьной математике является включение содержательного компонента - стохастики.
Термин «стохастика» (от греческого атохаатіС - умеющий угадывать, вероятный, случайный) начал получать у нас в стране распространение в конце 80-х - начале 90-х годов XX века, причём трактуемый в начале как «соединение элементов теории вероятностей и математической статистики» [144], а позднее как обобщённое название разделов математической науки, изучающих случайные явления, и охватывающий: комбинаторику, теорию вероятностей, математическую статистику, теорию случайных процессов [171].
В сферу интересов современной личности входит умение адаптироваться к новым условиям жизни: добывать и пользоваться разного рода информацией, анализировать ситуацию, критически оценивать и находить пути выхода из сложившихся ситуаций, адекватно изменять организацию своей деятельности, уметь владеть средствами коммуникаций. В этом отношении не используемый пока ещё потенциал стохастики велик как ни у какого другого раздела математики. Изучение элементов комбинаторики, теории вероятностей и статистики способствует развитию личности, совершенствованию коммуникативных способностей, умений ориентироваться в общественных процессах и явлениях. Школьники получают знания и умения, которые помогают им воспринимать и осмысленно анализировать статистические сведения, встречающиеся в современных средствах массовой информации, дают возможность на их основе делать выводы и принимать решения в распространенных ситуациях.
Знакомство с элементами стохастики способствует формированию у школьников особого мышления, которое позволяет применять приёмы строго логического мышления в ситуациях неоднозначности и неопределенности. Представление о взаимосвязи случайного и необходимого, о статистических и динамических закономерностях является обязательным и необходимым элементом общего образования современного человека [173].
Концепции классического детерминизма, охватившие естествознание вплоть до XIX в., в XX веке начали быстро разрушаться. На смену им пришла синергетика. Качественные представления учёных XVIII столетия о молекулярном строении материи завоёвывали себе сторонников среди химиков и физиков. Эти идеи постепенно получали количественную формулировку и в итоге в трудах Больцмана и ряда других учёных оформились в стройную теорию - кинетическую теорию материи. Экспериментальные исследования подтвердили не только качественную правильность развиваемых физических воззрений, что изменило взгляды на природу вещей, но и количественное совпадение теории с опытом. В прошлом столетии появились новые применения идей, принципов и положений кинетической теории, позволившие осознать и объяснить многочисленные явления природы.
Вместе с концепциями кинетической теории в физику начал проникать новый математический аппарат - стохастика. Изучающиеся в школе физические законы - Бойля-Мариотта, Гей-Люссака, Паскаля и другие - получили новую трактовку. К моменту их переоценки выяснилось, что при малых плотностях газа они уже перестают быть верными, и им на смену приходят иные закономерности - закономерности случайных явлений. С течением времени физики подошли к мысли, что в природе вообще нет законов в том детерминистическом понимании, которое систематически внушают и прививают школьные учебники и вся система школьного обучения. В современном естествознании стал общепризнанным подход, согласно которому все явления природы носят статистический характер и её законы могут получить достаточно полную и точную формулировку только в терминах стохастики. В результате статистическая физика сделалась основой всей современной физики. Её роль возросла вместе с развитием идей атомистического и субатомистического строения материи. Статистический подход к физическим явлениям позволяет детально и целостно изучать их особенности.
В настоящий момент ни один физик не может представить себе, что возможно подойти к физическим явлениям с точки зрения только классического детерминизма. А ведь следует признать, что именно к такому взгляду на природу вещей приучает школа с I по XI классы. Позднее выпускникам школы приходится переучиваться, и если у физиков этот процесс переучивания происходит легко и быстро, то этого нельзя сказать о представителях других специальностей.
Процесс построения математической модели
Потребность в использовании практических материалов при обучении стохастике определяется тем, что возникновение, формирование и развитие основных стохастических понятий имеют своим источником чисто человеческие ощущения и восприятия.
Понятия, созданные современной математикой, подчас кажутся весьма далёкими от реального мира. Но именно с их помощью людям удалось постичь тайны строения атомного ядра, познать ход химических реакций, рассчитать движение космических кораблей, создать весь тот мир техники, на котором основано современное производство. Одним из основных методов познания природы является опыт, эксперимент. С помощью экспериментов были установлены многие законы природы (закон сохранения вещества и энергии, периодическая система элементов Д.И. Менделеева и т.д.). Однако не всегда целесообразно проводить эксперимент. Одним из наиболее плодотворных методов математического познания действительности является метод построения математических моделей изучаемых реальных объектов или объектов, уже описанных в других областях знаний, с целью их более глубокого изучения и решения всех возникающих в этих реальных ситуациях задач с помощью математического аппарата [28].
Как отмечал А.Н. Колмогоров, «за последние десятилетия существенно изменились требования к математике со стороны практики с точки зрения тех потребностей в ней, которые испытывает современная наука, производство, экономика. Наука, производство и экономика нуждаются в людях, умеющих строить математические модели различных процессов и явлений на всевозможных уровнях. Именно это умение можно рассматривать как тот общий навык, который учащиеся должны вынести из изучения курса математики в средней школе. Если будущим токарям, экономистам, агрономам не придётся, вероятно, решать квадратные уравнения, проводить циркулем и линейкой касательные к окружности, использовать комплексные числа, то строить те или иные математические модели им, несомненно, придётся» [29, С.215].
А вот мнение современного математика: «... главная цель изучения математики наиболее широкими слоями учащихся ... состоит в том, чтобы математику можно было применять ... Таким образом, надо изучать то, что нужно, и так, как это нужно для возможности применения математики ... Связь математики с её приложениями осуществляется с помощью математической модели ... Схематически взятое приложение математики сводится к выбору (построению) математической модели, её исследованию (решению математической задачи) и содержательному истолкованию результата этого исследования» [125].
Таким образом, осуществление прикладной направленности школьного курса математики (в частности, стохастики) теснейшим образом связано с применением математического моделирования. Это было отмечено также Б.В. Гнеденко, С.Л. Соболевым, А.Н. Тихоновым и др. С.Л. Соболев по этому поводу писал: «Практическая направленность курса математики в наше время означает прежде всего то, что учащихся надо познакомить с соотношениями между явлениями реального или проектируемого мира и его математическими моделями. Школьников нужно практически научить строить математические модели для встречающихся жизненных явлений» [178, С. 15].
Через понятие математической модели раскрывается двойная связь математики с реальным миром. С одной стороны, математика служит практике по изучению и освоению объектов окружающего реального мира, с другой -сама жизнь, практика способствуют дальнейшему развитию математики.
Если в какой-нибудь области знаний вне математики возникает задача, которую пытаются решить математическими методами, то, прежде всего, ведётся поиск методов для перевода этой задачи в математическую, т.е. для построения её математической модели [184].
Развитие у учащихся правильных представлений о характере отражения стохастикой явлений и процессов реального мира, роли математического моделирования в научном познании и в практике имеет большое значение для формирования мировоззрения учащихся.
Однако, как показывает практика, при решении задач с практическим содержанием школьникам довольно сложно уяснить отношения между величинами в них, установить зависимость между данными и искомыми.
Методические особенности построения элективного курса «Случайность вокруг нас»
Школа с момента её возникновения была ориентирована на достижение личностных результатов - формирование определённых качеств личности, её ценностей, духовных потребностей. Эта тенденция сохраняется и сейчас, но происходят существенные изменения в её содержании. Среди возможных личностных качеств, имеющих важное значение для развития личности в условиях быстро меняющегося общества, центральную позицию занимает способность к выбору. В связи с этим одним из наиболее важных и существенных образовательных результатов необходимо считать формирование у учащихся опыта правильного и ответственного выбора. В условиях средней школы такой опыт может быть сформирован, к примеру, при выборе образовательных программ.
В то же время средняя школа всегда была нацелена на достижение определённых предметных результатов - усвоение учащимися знаний и умений по математике, химии, биологии, физике, литературе, истории и другим дисциплинам. Отношение к таким результатам существенно меняется - их перестают рассматривать как самоцель, так как предметные результаты являются либо базой для последующего профессионального образования выпускника, либо основой для общекультурной компетентности личности, которая проявляется в способности самостоятельного и верного решения аксиологических, коммуникативных, познавательных и практических проблем. Способность к решению возникших проблем основывается, прежде всего, на освоении способов деятельности, применимых за рамками учебного предмета. Поэтому в настоящее время в качестве важных образовательных результатов рассматриваются метапредметные (или «надпредметные») результаты.
В связи с этим под новым качеством школьного образования необходимо понимать формирование у школьников опыта выбора, развитие у них способности к самостоятельному решению личностно и социально значимых проблем, достижение учащимися уровня познавательной самостоятельности, соответствующего их личностному потенциалу [91].
Пути достижения нового качества школьного образования в Концепции модернизации определены [83]: переход на новые образовательные стандарты, организация профильного обучения в старшей школе... Предполагается, что новые стандарты будут способствовать формированию современных целей образования, профильное обучение даст учащимся опыт самостоятельного выбора...
В связи с этим перед школой встала проблема разработки элективных курсов. В проекте Федерального базисного учебного плана отмечается, что, в отличие от факультативных курсов, элективные курсы представляют собой обязательные курсы по выбору учащихся из компонента образовательного учреждения. Эти курсы связаны, прежде всего, с удовлетворением индивидуальных образовательных интересов, потребностей и склонностей каждого школьника. Именно они по существу и являются важнейшим средством построения индивидуальных образовательных программ, так как в наибольшей степени связаны с выбором каждым школьником содержания образования в зависимости от его интересов, способностей, последующих жизненных планов. Элективные курсы как бы «компенсируют» во многом достаточно ограниченные возможности базовых и профильных курсов в удовлетворении разнообразных образовательных потребностей старшеклассников [88].
По назначению выделяют несколько типов элективных курсов [88, С.38; 134]:
- курсы, являющиеся «надстройкой» профильного курса (примером могут служить курсы, в которых углубленно изучаются отдельные разделы основного курса, не входящие в обязательную программу предмета «Математика»: «Комбинаторика», «Элементы теории вероятностей», «Элементы теории множеств);
- элективы, обеспечивающие создание межпредметных связей и дающие возможность изучать смежные учебные предметы на профильном уровне (примером таких элективных курсов может служить курс «Математическая статистика» для школьников, выбравших экономический профиль);
- курсы, помогающие школьнику, обучающемуся в профильном классе, где один из учебных предметов изучается на базовом уровне, подготовиться к сдаче единого государственного экзамена (ЕГЭ) по этому предмету на повышенном уровне;
- элективные курсы, ориентированные на приобретение школьниками образовательных результатов для успешного продвижения на рынке труда (примером подобных курсов может служить курс «Делопроизводство»);
- элективы, носящие «внепредметный» или «надпредметный» характер (примером подобного курса может служить электив типа «Основы рационального питания»).
