Соотношение интуиции и логики в процессе обучения математике в средней школе Маликов Турсынбек Сабирович

Содержание к диссертации

Введение

Глава I. Теоретические предпосылки исследования соотношения логики и интуиции в обучении математике 16

1.1. Дидактическое значение интуиции и логических требований в обучении математике 16

1.2. Анализ исследований соотношения логики и интуиции в математике 39

1.2.1. Решение проблемы непротиворечивости математики различными ее научными школами 39

1.2.2. Пуанкаре о значении интуиции в математике и ее познании 56

Глава 2. Теоретические основы исследования соотношения логики и интуиции в обучении математике .64

2.1. Соотношение логики и интуиции в теории познания 64

2.2. Соотношение логики и интуиции в дидактике 81

2.3. Соотношение логики и интуиции в процессе преподавания математики 91

2.4. О выборе между технологиями и интуицией в процессе преподавания математики 103

Глава 3. Методические рекомендации по определению интуитивного и логического компонентов в процессе обучения математике 121

3.1. Интуитивный и логический компоненты в процессе формирования представлений о математических понятиях 121

3.2. Интуиция и логика в процессе формирования умений доказывать математические предложения 134

3.3. О строгости изложения учебного материала в школьном курсе математики 164

3.3.1. О мотивации доказательств «очевидных» фактов школьного курса геометрии 164

3.3.2. О мотивации интуитивно ясных утверждений школьного курса алгебры и начала анализа 173

3.4. Значение интуиции в понимании сущности математики 184

3.5. Интуиция учащихся как иммунитет, защищающий от методических ошибок авторов учебников и учителей 201

3.6. Некоторые обобщения опыта создания школьных учебников по математике 205

3.7. Материалы по истории математики как средство проблемного обучения 212

3.8. Некоторые моменты эвристического обучения в вузе 219

3.9. Экспериментальная проверка гипотезы исследования 227

Заключение 239

• Дидактическое значение интуиции и логических требований в обучении математике
• Соотношение логики и интуиции в теории познания
• Интуитивный и логический компоненты в процессе формирования представлений о математических понятиях

Введение к работе

Новые приоритеты в определении человеческих ценностей, гуманистические цели воспитания, оценка учащегося как субъекта учебно-воспитательного процесса, ориентация воспитания и обучения на личность учащегося и другие концептуальные изменения в теории воспитания, естественно, не могут не повлиять, как на содержание учебных предметов, так и на методику их преподавания. Эти преобразования оказывают воздействие в особенности на постановку преподавания математики в школе вследствие того, что этот предмет имеет большое значение как логическая основа для изучения других дисциплин и содержит мощный потенциал для реализации принципа гуманитарно ориентированного обучения.

С другой стороны, усиливающаяся интенсивность научных исследований предъявляет все возрастающие требования к уровню математической подготовки современного специалиста и требует отражения в процессе обучения современных достижений математики, что приводит к увеличению объема учебной информации и усилению абстрактных и обобщающих идей в курсе школьной математики. Но возможности учащихся в усвоении новых знаний и в овладении новыми умениями и навыками имеют, как известно, определенные пределы, обусловленные психологическими, возрастными и другими факторами. Это противоречие между возможностями учащихся и теми требованиями, которые предъявляются к ним, может быть разрешено посредством усиления дидактических исследований, которые направлены на повышение эффективности обучения.

Эффективность же обучения математике вследствие ее дедуктивной природы во многом зависит от правильного выбора уровня логической строгости изложения учебного материала, от определения оптимального соотношения интуитивных и логических рассуждений в познавательной деятельности учащихся. Вообще проблема выбора между интуицией и логикой в процессе обучения математике относится к одной из специфических в ее преподавании: ведь именно обращением к интуиции, индукции, аналогии и к другим правдоподобным рассуждениям она как учебный предмет отличается по существу от математики как дедуктивной науки. Обучение математике по большому счету характеризируется противоречием между дедуктивной природой математики как науки и необходимостью обращения к интуиции в процессе ее изучения.

Поэтому определение соотношения этих методов рассуждений относится, с одной стороны, к классическим проблемам обучения математике, с другой, к современным. Действительно, любое преобразование в обучении математике ставит по-новому вопросы соотношения учебного предмета и науки. Реформирование школьного курса математики и ее преподавания, создание новых учебников, внедрение в процесс обучения новых технологий и других инноваций невозможно без поиска дидактически оптимальной логики изложения учебного материала.

Вопросы функционирования индукции и дедукции, интуиции и логики, правдоподобных рассуждений в познании и в процессе обучения математике рассматривались в работах таких ученых, как Ж. Адамар, А.Д. Александров, Дж. Брунер, Д.В. Вилькеев, Г.Д. Глейзер, Л.Д. Кудрявцев, Г.В. Дорофеев, Ж. Дъедонне, М. Клайн, А.Н.Колмогоров, И.Лакатос, Н.А. Менчинская, И.Л. Никольская, А.Пуанкаре, Дж.Пойа В.Я. Перминов, У.У.Сойер, А.А. Столяр, Р. Том, Г.Фройденталь, АЛ.Хинчин и др. Эти исследования являются методологической и концептуальной основой данной работы. В одних из них приоритетной целью было выяснение эвристического значения интуитивных, индуктивных и правдоподобных методов рассуждений, а в других - дидактического значения дедуктивных методов рассуждения. Проблема соотношения решалась в одних работах в обобщенном, абстрактном от конкретного содержания учебного материала, аспекте, в других, исходя из субъективного опыта без обращения к дидактике как науке и т.д. Проблема же определения соотношения названных методов в связи с новыми методическими идеями по преобразованию содержания и методики школьного математического образования, происходящему в последние десятилетия, и системное, обобщенное изучение этого соотношения на основе законов гносеологии, дидактики и практики не было предметом их исследований.

Цели, постановка проблемы и логика данной работы показали целесообразность исследования на уровне теории познания, ибо решение вопросов соотношения этих, в определенном смысле противоположных, методов в обучении математике требует системного и целостного изучения их функционирования в наиболее обобщенном виде.

Такой уровень исследования, с одной стороны, полнее реализует эвристические возможности философии а, с другой, целостное рассмотрение объекта исследования, как некоторой системы, позволяет избежать ошибок, связанных с гиперболизацией отдельных тенденций дидактики математики. Преувеличение значения некоторых методов обучения, положений и, вообще, отдельных явлений предмета исследования наблюдается во многих работах по методике обучения математике. Например, в начале модернизации математического образования в семидесятых годах в качестве одного из основополагающих принципов было принято положение о том, что целесообразно и дидактически осуществимо значительное усиление логических требований к изложению учебного материала по математике. Но через некоторое время, после того, как практика фактически отвергла значительную часть нововведений, нашлись не менее убедительные теоретические доводы в сторону их свертывания. Надо полагать, что такая гиперболизация пропагандируемых идей произошла вследствие одностороннего, абстрактного исследования дидактических закономерностей, вследствие недостаточного оценивания процесса обучения как целостной системы, недостаточного учета противоположных тенденций учебного процесса. Действительно, еще в начале этих преобразований были ученые, которые высказывали сомнения по поводу целесообразности некоторых радикальных перемен. Примечательно, что наиболее активными оппонентами стали философы. Этот факт можно расценить, как еще одно из проявлений эвристических возможностей философии и как напоминание о том, что общее, целостное рассмотрение объекта исследования одно из необходимых условий при проведении научных изысканий, имеющих конечной целью претворение своих рекомендаций в практику обучения.

Таким образом, исследование соотношения интуиции и логики в обучении математике, как методов диалектически противоположного характера, нуждается в более обобщенном исследовании на уровне гносеологии.

Наряду с приведенными противоречиями, которые возникли из теоретического анализа, непосредственным толчком к формулировке проблем, представленных в данной работе, послужили также противоречия, которые возникли в процессе констатирующего эксперимента. Некоторые моменты окончательного формирования представлений о математических понятиях оказались противоречащими ожиданиям, предполагаемым логикой изложения учебного материла в школьных учебниках по математике.

Актуальность темы настоящего исследования определяется необходимостью решения рассмотренных противоречий.

Проблема, поднятая в данной работе, состоит в том, что в практике школьного обучения и в теории написания учебников возникли вопросы теоретического и практического характера, касающиеся соотношения логического и интуитивного компонентов учебного процесса.

(Под словами «дидактически целесообразное соотношение рассматриваемых методов» мы понимаем ориентацию на усиление логической строгости в изложении материала, но так, чтобы при этом не происходило бы игнорирование принципа доступности изучения математики учащимися, а также определение такого их соотношения, которое способствовало бы повышению эффективности обучения).

Цель работы состоит в разработке теоретической модели и практических рекомендаций по определению соотношения интуиции и логики в обучении математике, которые способствовали бы повышению эффективности обучения.

Объектом исследования является процесс обучения математике в средней школе и некоторые моменты процесса обучения математике в вузе.

Предметом исследования являются условия, определяющие дидактически целесообразное соотношение интуиции и логики в процессе обучения математике.

Гипотеза исследования: мы предположили, что дидактическое проявление интуиции, связанное в особенности с обновлением содержания школьного курса математики и методики ее преподавания, выявлено недостаточно полно, что влияние интуитивного фактора не учитывается должным образом при определении дидактически целесообразного соотношения интуиции и логики в процессе обучения математике и что в решении этих вопросов содержится определенный потенциал для повышения эффективности обучения.

Задачи исследования:

1. Использовать эвристический потенциал философии на уровне гносеологии для выявления вопросов соотношения интуиции и логики в процессе обучения математике.

2. Выявить теоретически и экспериментально дидактическое значение интуитивных и логических компонентов процесса обучения математике и на основе этого анализа определить основные моменты учебного процесса, в которых выбор между интуицией и логикой наиболее проблематичен.

3. Провести теоретический анализ соотношения логики и интуиции в процессе развития математики, в структуре самой математики-науки, в его обосновании с целью дидактического моделирования выявленных закономерностей в познавательной деятельности учащихся.

4. Разработать и обосновать авторскую теоретическую модель соотношения интуитивного и логического компонентов в процессе обучения математике.

5. Выработать методические рекомендации и авторскую технологию для претворения теоретических идей в практику обучения с целью повышения эффективности обучения математике.

6. Экспериментально проверить эффективность предлагаемой методики определения соотношения логики и интуиции в обучении математике

Научная новизна:

1. Выявлен принцип доминирующего влияния интуиции учащихся на весь процесс обучения математике, заключающийся в следующем:

Доминирующее влияние оказывает интуиция учащихся ассерторического типа (эмпирическая, пространственная и концептуальная виды), которая выявлена автором, как один из первичных, исходных моментов в определении соотношения интуиции и логики в процессе обучения математике.

- Математическое мышление учащихся нуждается в формировании таких представлений о понятиях, которые были бы приемлемы в первую очередь для интуиции (ассерторического типа), более широко для субъективного опыта учащихся. И если в изложении учебного материала в учебниках, в работе учителя эти запросы интуиции не учтены, то такие представления возникают самопроизвольно, объективно, независимо от методики введения этих понятий. Установлено, что интуиция более полно, разумно и целостно отбирает те свойства, которые более адекватно представляют этот объект. Логика при формулировке определений понятий абстрагируется от многих свойств изучаемого объекта, акцентирует перцептивно внимание на одной из характеристических свойствах. А при математической деятельности, в которой значительное место занимают интуитивные рассуждения, отражаются различные свойства этого объекта, и как бы в свободной конкуренции фиксируются те из них, которые оказались наиболее удобными и востребованными в интуитивном мышлении, принимаемыми концептуальными установками учащихся.

- Также в условиях свободной конкуренции влияние интуиции становится доминирующим при формировании понятия о дедуктивной системе математики, формировании понятий, математических предложений и умозаключений, т.е. речь идет о приемлемости логики изложения курса математики, формулировок теорем, правил, алгоритмов и других предложений школьного курса математики субъективному опыту учащихся, связанному с потребностями ассерторического типа интуитивного мышления.

- Интуиция в процессе учения играет роль систематизирующего, связую щего средства в системе знаний, проявляется, как защитное средство психики учащихся при восприятии, трудной для усвоения, учебной информации.

- Влияние интуитивного фактора обосновано, как конкретное проявление механизма воздействия концепций и субъективного опыта учащихся в процессе учения, которое в последующем отражается в процессе преподавания.

2. Обосновано, что механизм соотношения интуитивного и логического компонентов в исследовательской деятельности ученых регулируется условиями становления противоречий в источник движущих сил познания, спецификой соотношения интуиции и логики в структуре самой математики, а также присутствием в ней интуитивного компонента.

3. Экспериментально обосновано, что роль интуиции в понимании математических доказательств заключается не столько в усвоении логических выводов отдельных силлогизмов, сколько в целостном восприятии всей дедуктивной их последовательности.

4. Необходимость доказательства «очевидных» утверждений школьного курса геометрии и интуитивно ясных предложений алгебры и начала анализа невозможно логически обосновать при содержательном понимании аксиом школьной математики. Уровень логической строгости изложения учебного материала школьного курса математики имеет пределы, ограниченные семантическими аспектами школьного курса математики. Также разработаны критерий для определения уровня обобщения учебного материала.

5. Обосновано, что в определении соотношения интуиции и логики в учебном процессе исходным фактором, зависящим от обучающих людей, является уровень сложности задач.

6. Разработана теоретическая модель, описывающая соотношение интуиции и логики в процессе обучения.

7. В преподавательской работе учителя выявлены интуитивные моменты, особенно на начальном этапе учебного процесса, когда определяются основные элементы процесса обучения как целостной системы. Выявлены этапы, которые могут быть организованы на основе научных рекомендаций и технологий, и моменты, детерминированные социально-экономическими условиями и генетическими факторами.

8. Обосновано, что повышение эффективности обучения достигается посредством специально подобранной системы задач и упражнений по развитию интуиции учащихся, в которых, во- первых, доминируют задачи на разрешение явно возникающих противоречий, во - вторых, представлены все виды исследовательской деятельности ученых.

9. Обосновано, что учебный материал по истории математики, в первую очередь, должен использоваться, как средство активизации познавательной деятельности учащихся.

Теоретическая значимость работы заключается в том, что поставленная в ней проблема решалась в обобщенном аспекте на уровне гносеологии посредством целостного исследования всей системы учебно-воспитательного процесса, на основе теоретических выводов выполнен синтез аналитических исследований конкретного-и практического характера, выяснены более глубокие причины их эффективности.

Практическая значимость исследования состоит в том, выработанные рекомендации могут применяться учителями, как средство повышения эффективности обучения и развития творческого мышления учащихся. Работа также может быть использована авторами учебников, составителями программ и стандартов, преподавателями вузов и институтов повышения квалификации.

Методологические основы исследования:

- Работы А.Пуанкаре об интуиции и логики в математике и философии. -Труды по философии математики и естествознания, по теории познания (Б.М. Кедров, Т. Кун, И. Лакатос, К. Поппер, В.Я. Перминов, М.И. Панов и др.).

Работы математиков и педагогов-математиков (А.Д. Александров, Г.В. Дорофеев, М.Клайн, С. Клини, А.Н.Колмогоров, В.И. Крупич, В.И. Мишин, А.Г. Мордкович, А.В. Погорелов, Дж. Пойа, Г. Фройденталь, Р.С. Черкасов и др.).

-По теории проблемного обучения (Д. Дьюи, Дж. Бруннер, М.И. Махмутов, A.M. Матюшкин, И.Я. Лернер и др.)

- Работы представителей школы теория деятельности и деятельностного подхода (Дж. Брунер, Л.С. Выготский, П.Я. Гальперин, В.В. Давыдов, А.Н. Леонтьев, А. Маслоу, К. Роджерс, С.А. Рубинштейн и др.).

- По основам целостного системного подхода к научному исследованию и к анализу педагогического процесса (В.В. Краевский, В.И. Крупич, B.C. Леднев, И.Я. Лернер, А.И. Уемов и др.)

-Концепция личностно ориентированного и гуманитарно ориентированного обучения (Е.В. Бондаревская, Г.В. Дорофеев, Т.Н. Миракова,, И.СЯкиманская, и др.).

- Теория активизации познавательной деятельности и развитие интереса (В.Б. Бондаревский , Т.И. Шамова, Г.И. Щукина и др.)

- Труды создателей новых образовательных технологий (В.П. Беспалько, Л.В. Занкова, В.М. Монахов, Т.К. Селевко, В.В. Шаталов, П.М. Эрдниев, И.С. Якиманская и др.)

На защиту выносятся:

1. Новые факты в дидактическом проявлении интуиции в процессе обучения математике, зависимые от возможности приемлемости логики изложения учебного материала, формулировок определений, теорем, правил, алгоритмов и других предложений школьного курса математики потребностям интуитивного мышления ассерторического типа. Приоритетное влияние интуиции на процесс окончательного формирования понятий и суждений.

2. Дидактический механизм взаимодействия и соотношения логики и интуиции, способствующий повышению эффективности обучения.

3. Условия, при которых возможна мотивировка и осознание необходимости доказательств «очевидных» утверждений школьного курса геометрии и интуитивно ясных предложений школьной алгебры и начал анализа. Интуитивные факторы понимания сущности учебного материала.

4. Теоретическая модель соотношения интуиции и логики в учебном процессе, выполненная на основе философского анализа их единства и взаимосвязи, анализа их соотношения в математике-науке с последующим проецированием этого соотношения на процесс обучения посредством дидактической адаптации.

5. Практические рекомендации по применению рассматриваемых методов в учебном процессе, рекомендации для учителей по выбору между педагогическими технологиями и интуитивными методами.

Методы исследования:

-изучение и анализ философской, психолого-педагогической, научно-методической и математической литературы и директивных документов народного образования, а также материалов Интернета по теме исследования;

- использование результатов массовой экспериментальной работы в советской школе по внедрению новых учебников и конкурсов учебников;

- наблюдение за ходом учебного процесса, педагогические измерения (анкетирование, тестирование, интервьюирование, изучение результатов деятельности учащихся студентов и учителей);

- изучение и обобщение передового опыта учителей и учителей-новаторов и собственного опыта 12-летней работы непосредственно в сельских и городских школах и 24-летней работы в педвузе;

качественный и количественный анализ результатов эксперимента, использование методов математической статистики;

-использование общенаучных методов исследования, моделирование педагогических ситуаций.

Апробация работы осуществлялась в процессе организации констатирующей и поисковой экспериментальной работы, а также посредством докладов на кафедральных, факультетских, университетских семинарах, докладов (ежегодно, начиная с 1992 г.) на республиканских и международных конференциях в г. Кокшетау, г. Астане, г. Алматы и др.

Внедрение научных результатов осуществлялось автором на протяжении 14 лет в курсе теории и методики обучения математике, алгебры и теории чисел, практикума по решению задач, спецкурсе «Соотношение интуиции и логики в обучении математике», который читался на физико-математическом факультете Кокшетауского государственного университета им. Ш.Уалиханова более десяти лет. Также на протяжении многих лет автор читал лекции по теме исследования в областном ИПК, на постоянно действующем кафедральном семинаре для учителей города г.Кокшетау и Акмолинской области и специальном авторском семинаре по теме исследования для учителей города, студентов и магистрантов.

Опубликованы пять пособий и монографии, несколько статей в центральных журналах России «Математика в школе» и «Квант». Также предложен метод решения задач, который используется как один из рациональных методов решения алгебраических олимпиадных задач, в практику обучения вошли задачи, составленные автором.

По методике автора работают несколько учителей г. Кокшетау, г. Астаны и Акмолинской области, а также учителя различных городов Казахстана и России, выпускники Кокшетауского педагогического института им. Ш. Уалиханова, защитившие в разное время дипломные работы и магистерские диссертации под руководством автора.

Предложения автора имеют внедрение в теоретическом аспекте: положительная оценка результатов исследований автора дается в трудах других известных ученых, в том числе, российских.

В исследовании обобщен и систематизирован опыт работы автора в сельских и городских школах, и в школах г. Москвы, опыт педагогической работы в Кокшетауском педагогическом институте им. Ш.Уалиханова (ныне университет).

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы и одного приложения.

Дидактическое значение интуиции и логических требований в обучении математике

Во многих работах по методике преподавания математики, в том числе диссертационных, исследуются возможности развития логического мышления учащихся посредством изучения математики. Оценка познавательной деятельности школьников при изучении математики, как средства развития логического мышления, придает большую практическую значимость и мотивацию ее изучения всеми учащимися независимо не только от профильной дифференциации обучения, но и от выбора их будущей профессии в целом.

Есть разные предложения по использованию преподавания математики в таком качестве. Ж.Дъедонне, один из известных математиков современности, предлагает обратить особое внимание на логическую структуру рассуждений. Он пишет: «В первую очередь нужно убедить учащегося в том, что из предложений, допущенных по какой угодно причине, и происхождение которых никак не учитывается, пользуясь исключительно рассуждениями, можно вывести другие предложения» [84, с.23] . А.А.Столяр считает целесообразным в старших классах средней школы на факультативных занятиях явно знакомить учащихся со структурой логического вывода (на уровне алгебры высказываний, правил логического вывода и т.д.) [214]. О целенаправленной работе по развитию логического мышления в том или ином аспекте пишут И.Л.Никольская, Р. Варафаев,. Ю.А. Бурлев, Р. Мамасадыков, О.И. Мартыщук, Л.О. Назаров, B.C. Нодельман, Б.Д. Пайсон, Н.А. Подгорецкая, Д. Рахымбек, Л.О. Сморжевский, И.Б. Юдина и др.

Наряду с тем, что обучение доказательству рассматривается, как средство развития мышления, усиление логических требований к изложению учебного материала считается также методическим средством, а именно: средством облегчения и рационализации усвоения, хотя это может показаться несколько парадоксальным. Суть такого подхода заложена в высказывании А.Я. Хинчина о том, что «мыслить расплывчато не может быть делом более легким, чем мыслить четко» [231, с.29-30]. Эти положения стали, как известно, одним из методических кредо реформаторов математического образования в 70 годах. Хотя конкретная реализация этой идеи не была принята практикой в то время, будет неправомерно игнорировать ее в качестве одного из аргументов в пользу усиления строгости изложения учебного материала.

Одним словом, при выяснении дидактической сущности математики, как дедуктивной науки, нужно исходить из общепризнанного положения о том, что она является средством развития логического мышления. Безусловно, это придает значимость ее изучению всеми учащимися. Действительно, логика остается наиболее убедительным средством единого понимания явлений и фактов, средством осознания собственных ошибок, средством принятия чужой точки зрения - по большому счету, средством взаимопонимания людей. И если в науке высказывается критика в отношении значения логики, то критикуется чрезмерная гиперболизация ее роли, не имеется в виду полное ее отрицание. Например, даже один из родоначальников интуитивизма А.Пуанкаре пишет: «Но искусство правильно рассуждать разве не есть драгоценное качество, которое преподаватель математики должен прежде всего культивировать? »[192, с.465]. Большое значение имеет математика как средство обучения дедуктивному методу при изучении других наук. Например, Дж. Брунер изложение истории- науки, как множества эмпирических фактов, считает не только непосильной, но и ненужной работой. Он предлагает при ее изучении сообщать только ту минимальную информацию, на основе которой можно дедуктивно получить остальную ее часть. По этому поводу он пишет: «Лучшим описанием истории народа будет такая совокупность высказываний, которая позволит учащемуся выйти за пределы данной ему информации. Это есть, если угодно, подлинная история народа, то есть информация, делающая всякую другую информацию по возможности избыточной и предсказуемой» [35, с.239]

Он расценивает такое изучение, как выход в неизвестное на основе известных фактов, приводит в пример в качестве аналогии решение геометрической задачи, когда на основе некоторых данных находится некоторое неизвестное. Мы могли бы эту аналогию расширить, указав на аксиомы геометрии, как минимальную информацию, а остальные знания по геометрии в некоторой мере являются логическими следствиями этой информации, заданной в них. В связи с приведенным примером и другими моментами обучения Дж. Брунер пишет, что дедукция обладает эвристической силой («дедуктивно порождающая сила»), как общепризнанном факте.

Соотношение логики и интуиции в теории познания

В этой главе предполагается провести анализ с более общих позиций, такой подход был мотивирован нами выше при определении задач исследования. Однако изучение проблем дидактики в гносеологическом аспекте, имеет свои сложности, связанные с различными, а иногда и диаметрально противоположными позициями его научных течений в осмыслении сущности явлений. Но цели и задачи данной работы не требуют объяснения сущностей явлений, достаточно выявить механизм взаимодействия изучаемых форм и методов мышления. Т.е. для решения проблем данной работы не требуется на гносеологическом уровне отвечать на вопрос «почему?», представляет интерес ответ на вопрос «как?». Ответ же на второй вопрос зачастую понимается одинаково и в диалектическом материализме, и в неопозитивизме, и в критическом рационализме, хотя они и по-разному относятся к первому вопросу. Неопозитивисты, например, не признают вообще целесообразность постановки первого вопроса и потому просто его не рассматривают.

В теории познания, вообще говоря, доминирует методология рационализма [193], очень близко решаются эти вопросы в диалектическом материализме. Видимо, это происходит по причине того, что все различные течения и направления теории познания выводят свои закономерности на основе обобщения закономерностей развития частных наук и в первую очередь, естественных. Например, видный представитель критического рационализма К.Поппер утверждает, что научные теории независимы друг от друга, что развитие научного знания нельзя представлять, как накопление и добавление новых знаний, как кумулятивный процесс, что одни теории постоянно заменяются другими перестроенными теориями [191]. Разве все эти положения не являются обобщением закономерностей развития физики и математики XX века? И если к тому же учесть позицию позитивистов о том, что предметом исследования философии должны быть только те знания, которые имеют такое же строгое обоснование, которое осуществлено в естественных и математических науках, то понятно, что теория познания в силу ее объективности стоит уже на грани признания за ней статуса дедуктивной науки, о чем пишет А.Д. Александров [15].

Так как значение интуиции в качестве эвристического средства общепризнанно, то логично в первую очередь уделить внимание изучению движущих сил процесса познания. Диалектика источник движущих сил познания, как и любого другого развития, видит в диалектических противоречиях. Наиболее общее противоречие в процессе познания -противоречие между бесконечностью, неограниченностью предмета познания и ограниченностью познанной ее части человеком. Общее противоречие проявляется конкретно, как противоречие между фактами и их теоретическими обобщениями. Разрешение этого противоречия происходит за счет перестройки теории в целях того, чтобы новая теория, наряду с объяснениями прежних фактов, могла бы обосновать логически и новые факты, которые пришли в противоречие со старой теорией. Также общее противоречие между субъектом и объектом познания проявляется как противоречие между старой (менее полной) теорией, как противоречие между сосуществующими теориями, как противоречие между объективным законом и субъективной целью, или противоречием между познанием природы и его практическим использованием [96, 165, 171]. Противоречия сначала возникают в виде различия, затем все больше обостряясь, требуют проникновения познания вглубь объекта, и в какой-то момент противоречие, доведенное до крайней поляризации, разрешается, вызывая скачок в развитии познания. Затем уже на достигнутом уровне проникновения в объект исследования возникает противоречие, разрешение которого в свою очередь продвигает познание на новую ступень восхождения к объективной истине. Итак, бесконечно, циклично повторяясь, но уже на более высоких уровнях, познание в пределе скачкообразного, спиралевидного, противоречивого движения стремится к объективной истине.

Положения диалектического материализма по данному вопросу более подробно рассмотрены автором данной работы в прежних исследованиях [132].

Интуитивный и логический компоненты в процессе формирования представлений о математических понятиях

Формулировка определений математических понятий школьного курса математики и формирование представлений об этих понятиях традиционно являются предметом острых дискуссий. Обсуждаются различные аспекты этой проблемы: логический и интуитивный уровень методики введения понятий, абстрактность, практическая значимость и т.д. Полемика идет часто в теоретическом аспекте и потому многим авторам удается высказать довольно убедительные аргументы в пользу той или иной позиции, хотя порой отстаиваются противоположные положения [11, 12, 13, 15, 30, 46, 61, 75, 76, 81, 82, 105, 109, 146, 190, 219 и др.]. Эти факты, с одной стороны, говорят о том, что нужно чаще обращаться к практике школы при решении спорных вопросов, с другой, требуется комплексное рассмотрение всех аргументов той или иной позиции в целостной системе учебного процесса.

Наиболее спорные моменты в формулировке определений связаны с попытками усиления логической строгости и поиском дидактической целесообразного соотношения интуитивного и логического компонентов в процессе формирования представлений о математических понятиях школьного курса математики. Для того, чтобы выяснить такое соотношение, естественно, нужно представлять уровень развития логического и интуитивного мышления учащихся. Если уровень возможностей учащихся в проведении дедуктивных умозаключений постоянно в поле зрения учителя, то возможности интуитивного мышления учащихся не являются столь пристальным объектом его внимания. Между тем для формирования математической культуры и, вообще, для развития математического мышления интуитивный компонент не менее важен, чем логический. Часто интуитивные знания остаются невыявленными, потому что они не входят в багаж точных, логически обоснованных, систематизированных знаний учащихся. Исходя из этого, в работе уделено особое внимание экспериментальному практическому выяснению роли интуиции в их учебно-познавательной деятельности. Вообще, психологи (В .П. Зинченко), отмечают, что все исследованные явления относятся к предмету рационального интеллекта, а все непонятное, проблемное, неизвестное отсылается в область интуиции, тем самым понятие интуиции искусственно отрывается от понятия интеллекта и превращается в кладезь неисследованных проблем.

По истечении некоторого времени после изучения нового учебного материала точные формулировки определений и детали доказательств теорем в большинстве случаев забываются. Но весь процесс обучения математике создает у учащегося определенный субъективный опыт и культуру. Многие полученные знания, как показывает опыт, не фиксируются в логически завершенном виде, по крайней мере, в таком виде, в котором они преподнесены учителем при объяснении нового учебного материла. Во-первых, математическое образование, как установлено в 1 главе, служит средством развития умений в проведении как логических, так и правдоподобных интуитивных рассуждений, во-вторых, интериоризованные математические знания тоже формируются как в виде интуитивных, так и в виде знаний, в которых установлены причинно-следственные связи. Результативность же математической деятельности учащихся в конечном счете зависит не столько от какой-то конкретной подготовки, сколько от сложившейся парадигмы, уровня математической культуры в целом, т.е. не только от логических факторов, но и в такой же мере от интуитивных.

Интересные моменты в формировании интуиции учащихся показало анкетирование, которое было проведено в девяностых годах в школах г.Москвы, г.Кокшетау и Кокшетауской области. Оно не имело целью выяснение того, знают или не знают учащиеся определения того или иного понятия. Цель заключалась в выяснении того, какое имеют представление учащиеся тогда, когда они не знают или забыли определения. Процесс обучения обычно организовывается так, что от учащихся в основном требуется показать то, что они знают, а не то, что они представляют, когда точные формулировки и доказательства забыты.