Содержание к диссертации
Введение
Глава 1 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ПОСТРОЕНИЯ ТЕХНОЛОГИИ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ ИНДИВИДУАЛИЗИРОВАННОЙ СИСТЕМЫ ЗАДАЧ КАК СРЕДСТВА РАЗВИТИЯ МАТЕМАТИЧЕ СКОЙ КУЛЬТУРЫ УЧАЩИХСЯ 13
1. Общекультурный подход к изучению алгебры и начал анализа в старших классах средней школы 14
2. Выбор рационального способа решения задачи как показатель более высокого уровня математической культуры учащихся 32
3. Технологический подход к использованию индивидуализированной системы задач 49
Глава 2 ИЗУЧЕНИЕ ТЕМЫ «ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ» НА ОСНОВЕ ТЕХНОЛО ГИИ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ ИНДИВИДУАЛИЗИ РОВАННОЙ СИСТЕМЫ ЗАДАЧ 68
4. Требования к индивидуализированной системе задач и технологии ее использования 69
5. Индивидуализированная система задач для развития математической культуры учащихся при изучении темы «Тригонометрические функции» 84
6. Технология использования индивидуализированной системы задач при изучении темы «Тригонометрические функции» 107
7. Методика проведения и результаты экспериментального исследования 121
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 142
БИБЛИОГРАФИЯ 144
- Общекультурный подход к изучению алгебры и начал анализа в старших классах средней школы
- Выбор рационального способа решения задачи как показатель более высокого уровня математической культуры учащихся
- Требования к индивидуализированной системе задач и технологии ее использования
Введение к работе
Одна из целей изучения математики в старших классах общеобразовательной школы - это «дать учащимся представление о роли математики в современном мире, о способах применения математики как в технических, так и в гуманитарных сферах.» ([102], с. 7) Однако, опыт работы в школе, результаты выпускных экзаменов, результаты анкет, проводимых с учителями, свидетельствуют о том, что учащиеся в результате изучения математики в школе выносят, в основном, разрозненные знания о различных разделах школьного курса, чаще не связанные друг с другом. Представление о «роли математики в современном мире», единстве математики и ее методов практически отсутствует. Иначе говоря, можно сказать, что у них отсутствует такой компонент математического образования, который можно назвать математической культурой.
Проблема развития математической культуры в условиях гуманизации и гуманитаризации обучения становится особенно важной. Тем не менее, анализ литературы, посвященной обучению математике в школе, свидетельствует о том, что специально проблемами, связанными с развитием математической культуры учащихся, почти никто не занимался. Отдельные авторы обращались к некоторым частным вопросам, связанным с формированием и развитием тех или иных аспектов математической культуры школьников (В.Г. Болтянский, А.В. Гладкий, А.Д.Мышкис, П.Г. Сатьянов и др.). В некоторых публикациях затрагивались вопросы, связанные с развитием математической культуры школьников, но термин этот не использовался ([19], [20], [35], [47], [68], [72], [ПО], [120], [130] и др.). Исследований, посвященных проблеме в целом, нам обнаружить не удалось.
Поэтому во-первых, не разработан понятийный аппарат, в частности: нет единой трактовки понятия математической культуры вообще и математической культуры учащихся в частности, не выявлена структура математической культуры школьника; во-вторых, недостаточно освещена та роль, которую играет развитие математической культуры школьника в его общем развитии; в-третьих, не разработаны средства для определения уровня математической культуры учащихся; наконец, не определены средства для развития математической культуры учащихся при изучении отдельных предметов в области «математика».
Поэтому мы обратились к исследованию проблемы выявления возможностей для развития математической культуры учащихся при изучении математики в общеобразовательной средней школе.
Под математической культурой можно понимать, например, правильное употребление математических понятий, овладение математическим языком для общения с людьми, для познания и описания окружающего мира, умение раскрыть формальное содержание математических понятий прикладными примерами, умение осознанно применять теорию при решении задач, умение переформулировать математические утверждения на разные математические языки и т.д. Понимая, что этим математическая культура не исчерпывается, в тексте диссертации мы постарались более подробно раскрыть содержание этого понятия.
Безусловно, для того чтобы математическая культура выпускника общеобразовательной школы была сформирована на достаточно высоком уровне, целенаправленная работа по ее формированию должна начинаться с самых первых уроков математики в начальной школе. Однако, решение выделенной выше проблемы мы связывали с изучением учащимися алгебры и начал анализа в старших классах. Это связано с тем, что в старших классах появляется значительно больше возможностей для формирования математической культуры учащихся. В частности, появление элементов математического анализа способствует расширению круга рассматриваемых примеров, способствующих развитию у учащихся представлений о характере отражения математической наукой явлений и процессов реального мира, о связи математики с другими науками (физикой, биологией и др.). Это помогает учащимся совершенствовать использование математического языка при описании различных нематематических ситуаций. Овладение новым аппаратом исследования функций позволяет ввести новый метод решения задач, основанный на свойствах функций или их графиков, что в свою очередь способствует развитию умения выбирать тот или иной метод решения задачи в зависимости от целесообразности его применения в каждом конкретном случае. Кроме этого, ориентация на формирование математической культуры в старших классах, а не только на повышение уровня знаний, умений и навыков позволяет сохранить у учащихся, прежде всего у тех, кто не собирается в дальнейшем связывать свою деятельность с математикой, интерес к предмету.
При решении этой проблемы мы стремились получить ответы на следующие вопросы: каковы характеристики низкого уровня математической культуры и что характеризует более высокий ее уровень; какова структура математической культуры; какие условия необходимо соблюдать для успешного развития математической культуры каждого учащегося; какими могут быть средства для развития математической культуры и др.
В процессе поиска решения выделенной проблемы при проведении констатирующего эксперимента мы исследовали уровень математической культуры 87 учащихся трех разных школ г. С.-Петербурга и Ленинградской области. В результате анализа данных мы не только пришли к выводу, что математическая культура большинства учащихся находится на невысоком уровне, но и выяснили, что этот уровень является индивидуальным, поэтому индивидуализация является необходимым условием, без которого развитие математической культуры каждого учащегося не будет достаточно эффективным.
Наше исследование должно было привести нас к решению поставленной проблемы и достижению цели исследования: разработать средства для развития математической культуры учащихся при изучении алгебры и начал анализа в старших классах общеобразовательной средней школы в условиях индивидуализации обучения.
Таким образом, объектом нашего исследования является процесс развития математической культуры школьников в ходе изучения алгебры и начал анализа в 10-м классе общеобразовательной средней школы.
Под развитием математической культуры будем понимать переход ее на более высокий уровень. Высокий уровень математической культуры означает не только знание определенных математических фактов или методов, не только владение математическим языком, но в первую очередь умение использовать все это в нужный момент.
В процессе исследования структуры математической культуры мы выделили три её составляющие: графическую, логическую и алгоритмическую, а также некоторые умения, являющиеся элементами этих составляющих. Мы предположили, что для того чтобы повысить уровень математической культуры, нужно формировать и развивать выделенные умения. Формирование любого умения происходит в деятельности. А самым естественным видом деятельности в процессе изучения математики является решение математических задач. Поэтому средством для развития математической культуры будут специальным образом подобранные задачи, которые сформулированы таким образом, чтобы их решение способствовало формированию выделенных умений. Для того чтобы включение этих задач в изучение алгебры и начал анализа было эффективным и не отнимало много времени, мы попытались сконструировать определенную технологию их использования в процессе изучения содержания данного курса.
Поэтому в качестве предмета нашего исследования выступает индивидуализированная система задач и технология ее использования в процессе изучения содержания школьного курса алгебры и начал анализа в 10-м классе.
Таким образом, необходимость развития математической культуры учащихся старших классов средней школы, неразработанность в методической литературе вопросов, связанных с развитием математической культуры учащихся и использованием для этого в качестве необходимого условия индивидуализации обучения, а также попытка создания технологии использования индивидуализированной системы задач в качестве средства для повышения уровня математической культуры каждого учащегося определили актуальность нашего исследования.
Для того чтобы определить, повысился ли уровень математической культуры учащегося, нужно было выделить признак, на основании которого можно сделать заключение об уровне математической культуры. Мы предположили, что одним из признаков достаточно высокого уровня математической культуры учащегося является владение им разными способами решения задач и умение выбрать из них более рациональный для данной конкретной задачи.
С учетом всего выше отмеченного была сформулирована гипотеза исследования: если строить изучение алгебры и начал анализа на основе технологии использования индивидуализированной системы задач, которые направлены на формирование отдельных элементов математической культуры, то это будет способствовать повышению уровня математической культуры учащихся, выраженному в овладении ими разными способами решения задач и умении выбрать из них более рациональный в каждом конкретном случае.
Гипотеза проверялась на материале алгебры и начал анализа 10 класса общеобразовательной школы. В ходе исследования решались следующие общие задачи:
1. Выполнить теоретический анализ философской, психолого-педагогической, математической и методической литературы по вопросам, связанным с развитием математической культуры учащихся, с индивидуализацией обучения, а также с технологическим подходом в обучении.
2. Определить уровень математической культуры учащихся старших классов общеобразовательных школ и выявить возможности для его повышения.
3. Выделить требования к системе задач, являющейся средством развития математической культуры учащихся.
4. Сформулировать требования к технологии использования такой системы задач при изучении алгебры и начал анализа в старших классах общеобразовательной средней школы.
5. Проверить экспериментально действенность разработанной технологии.
Для решения поставленных задач были использованы разные методы исследования:
• теоретический анализ философской, методической, психолого-педагогической, математической литературы, программ и учебников алгебры и начал анализа для средней и старшей школы, сборников задач по алгебре и началам анализа;
• организация и проведение констатирующего, поискового и обучающего экспериментов;
• обработка и интерпретация данных, полученных в процессе проведения эксперимента.
Кроме этого в ходе исследования учитывался собственный опыт работы в школе в качестве учителя математики и информатики в течение четырех лет.
Исследование проводилось с 1995 по 1998 г. г. и включало несколько этапов.
На первом этапе (1995-1996 г.г.) был проведен анализ философской, математической, психолого-педагогической и методической литературы по проблеме исследования. Были выделены составляющие математической культуры и их элементы, формирование и развитие которых возможно при изучении алгебры и начал анализа в старших классах общеобразовательной школы, и их элементы. Была установлена необходимость осуществления индивидуализации обучения для успешного развития математической культуры каждого учащегося и выделены свойства личности учащихся, на основе которых должна строиться индивидуализация обучения. Проведен анализ уровня математической культуры учащихся 10-х классов, организован констатирующий эксперимент. Результатом этого этапа явилась разработка теоретической базы исследования. Также были выделены предварительные требования к содержанию и строению системы задач, являющейся средством развития математической культуры учащегося и технологии ее использования.
На втором этапе (1996-1997 г.г.) в ходе поискового эксперимента с учетом выделенных требований к системе задач и технологии ее использования такая система задач и технология были разработаны. Одновременно с этим некоторые требования к системе задач были скорректированы.
На третьем этапе (1997-1998 г.г.) был проведен обучающий эксперимент. Выделен критерий, позволяющий оценивать успешность овладения разными способами решения задач и формирования умения выбирать из них наиболее рациональный для решения конкретной задачи. Были обобщены все полученные экспериментальные и теоретические результаты, сделаны выводы.
Научная новизна исследования состоит в следующем:
1. Теоретически обоснована целесообразность использования индивидуализированной системы задач для развития математической культуры учащихся при изучении алгебры и начал анализа.
2. Сформулированы требования, которым должна удовлетворять индивидуализированная система задач, являющаяся средством развития математической культуры каждого учащегося.
3. Сформулированы требования, на основе которых строится технология использования индивидуализированной системы задач при изучении алгебры и начал анализа в 10 классе общеобразовательной средней школы.
Практическая значимость проведенного исследования заключается в том, что:
1. Разработана индивидуализированная система задач, являющаяся средством развития математической культуры учащихся.
2. Разработана технология использования этой системы задач при изучении алгебры и начал анализа в старших классах общеобразовательной средней школы.
3. Показана возможность реализации этой технологии в реальном учебном процессе.
Апробация результатов исследования осуществлялась в виде докладов на Герценовских чтениях (Санкт-Петербург, 1997, 1998 г.г.), семинаре аспирантов и преподавателей кафедры методики преподавания математики РГПУ им. А.И.Герцена (1995, 1996, 1998 г.г.).
На защиту выносятся:
1. Теоретическое и экспериментальное обоснование целесообразности использования в процессе обучения индивидуализированной системы задач с целью повышения уровня математической культуры учащихся.
2. Требования к индивидуализированной системе задач, являющейся средством развития математической культуры учащихся при изучении алгебры и начал анализа в старших классах общеобразовательной школы.
3. Требования к технологии использования системы задач в процессе изучения алгебры и начал анализа в 10 классе общеобразовательной школы.
Основные положения диссертационного исследования отражены в следующих публикациях:
1. Критерии индивидуализации обучения при изучении алгебры и начал анализа. // Сочетание общекультурной и предметной составляющих в общем математическом образовании учащихся и в профессиональной подготовке будущих учителей математики. Тезисы докладов на Герце-новских чтениях, посвященных 200-летию РГПУ им. А.И.Герцена. - С.Петербург: Образование, 1997. - с. 67-68.
2. Повышение уровня математической культуры учащихся - цель и средство индивидуализации обучения математике. // Теоретические и методические проблемы подготовки учителя в системе непрерывного образования (математика, информатика). Межвузовский сборник научных трудов, посвященный 200-летию РГПУ им. А.И.Герцена. - Мурманск, 1997.-с. 104-107.
3. Матричные тесты как средство индивидуализации обучения при развитии элементов графической культуры учащихся. // Прикладная математика, информатика, электроника (методические и научно-технические вопросы). Межвузовский сборник научных трудов. С.Петербург, 1997.-с. 104-110.
4. Технологический подход к индивидуализации обучения. // Личностно-ориентированный подход при обучении математике (содержательный и процессуальный аспекты). Тезисы докладов 51-х Герценовских чтений. - С.-Петербург: Образование, 1998. - с. 61-62.
Общекультурный подход к изучению алгебры и начал анализа в старших классах средней школы
В настоящее время задача развития математической культуры учащихся, в особенности старших классов выходит на первый план. Происходит это по следующим причинам.
Во-первых, абсолютное большинство математических фактов, которые изучаются в школе, особенно в старших классах, остаются невостребованными в дальнейшей деятельности человека. Это в первую очередь касается тех учащихся, чья дальнейшая деятельность не связана с математикой. Г.В.Дорофеев отмечал, что интеллектуальный уровень личности характеризуется в целом, хотя и грубо, двумя основными параметрами: объемом приобретенной информации и способностью использовать эту информацию для достижения определенных целей - для решения возникающих в процессе деятельности задач, разрешения различного рода проблемных ситуаций ([47]). Как показывает практика, в реальной жизни гораздо большее значение имеет владение методами добывания, преобразования, адаптирования необходимой информации в соответствии с определенными требованиями, чем тот ее объем, которым человек владеет. В связи с этим перенос акцентов с увеличения объема информации, предназначенной для усвоения учащимися, на формирование умений использовать полученную информацию кажется нам закономерным.
Во-вторых, без специально организованной работы по развитию математической культуры учащихся, по формированию некоторых общекультурных умений, которая возможна на уроках математики, изучение этого предмета становится бесполезным для дальнейшей деятельности человека. Невостребованные факты, частные методы решения быстро забываются, и в случае необходимости человек не может их воспроизвести.
В-третьих, погоня за увеличением технической сложности и количества однообразных заданий, выполняемых учащимися, приносит больше вреда, чем пользы. Выполнение большого количества однообразных заданий приводит к тому, что учащиеся теряют интерес к математике, особенно те, кто не собирается связывать с ней свою дальнейшую деятельность. А.А.Столяр отмечал, что лучше одну задачу решить тремя способами, чем три задачи одним способом [120]. А В.Г.Болтянский утверждал, что техническая сложность, знание формул и умение их применить не может ни в какой степени заменить решения задач, которые заставляют думать, сопоставлять различные методы, искать иные формулировки, находить связи с другими разделами математики. «Именно такие задачи и красота их решений воспитывают хороший вкус и математическую культуру». ([22], с. 43)
Мы задали себе вопрос: что же должно остаться у выпускника средней общеобразовательной школы после изучения математики? Что является существенным для дальнейшей его деятельности? Только знание определений и теорем? Нет. Умение решать частные виды логарифмических, тригонометрических или других уравнений или неравенств? Вряд ли. В поиске ответа на этот вопрос мы вышли на понятие математической культуры и неизбежно столкнулись с проблемой: в чем заключается общекультурная составляющая математики как учебного предмета и что понимать под словами «математическая культура».
В последнее время словосочетание «математическая культура» все чаще встречается в литературе, посвященной проблемам преподавания математики в современных условиях ([1], [22], [33], [72], [93], [145] и др.). Но, используя этот термин, авторы как правило, рассматривают лишь какой-то один аспект математической культуры школьников.
Говоря о низком уровне математической культуры выпускников, подразумевают, например, механический характер выполняемых учащимися выкладок, не подкрепленных рассуждениями, отсутствие умения говорить и писать на математические темы и выражать своими словами суть математических утверждений, пренебрежительное отношение к теории и обращение к ней только как вспомогательному средству для решения задач ([33]). Рассматривая графическую культуру, приводят в качестве примера ее низкого уровня отсутствие умения решать уравнения и неравенства графическим способом ([1]), а также говорят о необходимости формирования культуры построения и использования графиков функций ([93]). Говоря о математической культуре, В.Г.Болтянский использует такое понятие как красота и выводит "формулу математической эстетики": красота = наглядность + неожиданность = изоморфизм + простота + неожиданность ([22]). Он утверждает, что эта формула связана с математической культурой. А математическая культура предполагает наличие большого кругозора, умения по малейшим признакам находить аналогию с другими областями математики, легко усматривать новые формулировки задач на другом языке, находить разные модели задачи, в том числе более простые, более наглядные. Существует и такая точка зрения. «Математическую культуру можно трактовать как соблюдение норм математического языка, как осознанное пользование математическим языком для общения с людьми, для познания и описания человеком окружающего мира» ([145], с. 13).
Выбор рационального способа решения задачи как показатель более высокого уровня математической культуры учащихся
В первом параграфе мы высказали предположение о том, что об уровне математической культуры человека вообще и школьника в частности можно судить, например, по тому, насколько рационально он выбирает способ решения задачи в случае, если этих способов несколько. Этот параграф посвящен ответам на следующие вопросы: какими могут быть характеристики рациональности решения той или иной математической задачи; за счет чего можно обеспечить формирование умения выбирать тот или иной способ решения задачи; почему умение находить разные решения одной и той же задачи, а затем выбрать из них более рациональный способ решения можно считать показателем более высокого уровня математической культуры.
Практика показывает, что если какая-то задача имеет несколько возможных путей решения, то не все эти способы оказываются одинаково простыми, короткими, наглядными и т.д. Словом, не все они одинаково рациональны.
Пытаясь определить, в чем состоит рациональное решение задачи, нельзя не признать, что рациональность имеет две группы характеристик: объективную, идущую от предмета, и субъективную, идущую от человека.
2.1.1. Остановимся сначала на объективных характеристиках рациональности решения, которые определяются спецификой предмета математики.
Уже в начальной школе, изучая законы действий с числами, мы мотивируем необходимость изучения того или иного закона удобством вычислений. Рассмотрим такой пример:
Задача I.
Вычислить: 3217+6817.
В этой задаче, безусловно, применение распределительного закона умножения позволяет решить ее быстрее и легче, избежав выполнения трудоемких вычислений:
3217+6817=(32+68) 17=10017=1700.
Мы можем сказать, что решение данного примера, основанное на применении распределительного закона умножения, более рационально, чем последовательное выполнение действий:
1) 3217=544;
2) 6817=1156;
3) 544+1156=1700.
В курсе алгебры 7-9 классов и дальше при изучении алгебры и начал анализа в старших классах количество задач, при решении которых использование разных способов упрощает проведение вычислений или преобразований, значительно увеличивается.
К упрощению вычислений или преобразований, выполняемых в процессе решения, может привести не только выбор всего способа решения, но и выбор той или иной формулы, приема или переменной.
Часто такое происходит в задачах на экстремальное значение, в которых удачный выбор независимой переменной упрощает функцию, подлежащую исследованию на экстремум, а значит и упрощает все дальнейшие преобразования [42]. Приведем пример простой задачи.
Требования к индивидуализированной системе задач и технологии ее использования
Мы исследовали влияние изменения индивидуальной для каждого учащегося системы заданий на повышение уровня математической культуры учащегося. В ходе нашего исследования мы стремились получить ответы на вопросы:
1) какие задачи целесообразно предлагать для решения учащимся с целью перехода математической культуры на более высокий уровень;
2) каким образом должна быть организована система задач, чтобы ее использование способствовало достижению поставленной цели;
3) каким частным требованиям, наряду с общими требованиями к технологиям обучения, должна удовлетворять технология использования индивидуализированной системы задач при изучении алгебры и начал анализа в 10-м классе общеобразовательной школы.
В параграфе 1 первой главы мы определили, что наша система задач, с использованием которой мы связываем повышение уровня математической культуры каждого школьника, должна быть индивидуализирована. В параграфе 3 мы выбрали два основания, по которым она может быть индивидуализирована. Одно из них - это владение учащимися элементами трех составляющих математической культуры. Эти составляющие и их элементы мы выделили в параграфе 1 первой главы (стр.28-29). Это графическая, логическая и алгоритмическая составляющие.
Можно говорить о владении учащимся тем или иным элементом какой-либо составляющей математической культуры на том или ином уровне, если оно сформировано на уровне применения при решении задач соответствующего уровня сложности, то есть если учащийся: 1) умеет выполнять это действие; 2) может свободно использовать это действие при решении математической задачи без прямого указания на необходимость его применения.
Таким образом, для того чтобы обеспечить условия для возможности формирования элементов математической культуры на уровне применения, нужно прежде всего обеспечить условия для обучения учащихся каждому элементу математической культуры. Этого можно добиться, предлагая учащимся задачи, решение которых способствовало бы обучению каждому элементу составляющих математической культуры.
В каждой теме эти задачи представляют собой отдельную группу. Сложность их может быть различной.
Таким образом, первое требование к содержанию системы задач можно сформулировать так: в системе нужны задачи, решение которых способствует обучению каждому элементу составляющих математической культуры: логической, графической и алгоритмической. Такие задачи будем называть задачами первого типа.
Кроме задач, направленных на обучение каждому элементу математической культуры, система должна содержать значительное число задач, при решении которых предполагалось бы использование каждого элемента по отдельности. Отличие этих задач от предыдущих заключается в том, что применение того или иного умения рассматривается в них не как цель решения данной задачи, а как вспомогательное средство, на основе которого построено решение задачи. Приведем типичный пример такой задачи.
