Содержание к диссертации
Введение
1 Современные достижения теории направленного затвердевания 12
1.1 Классическая задача о фазовом переходе 13
1.2 Фронтальный режим кристаллизации бинарного расплава 16
1.3 Термическое и концентрационное переохлаждения 25
1.4 Затвердевание с двухфазной зоной 31
2 Влияние эффекта Соре и температурной зависимости ко эффициента диффузии на эволюцию квазиравновеспой двухфазной зоны 40
2.1 Модель направленного затвердевания с квазиравновесной двухфазной зоной 42
2.2 Квазистационарный режим 45
2.3 Аналитическое решение квазистациопарной модели 5G
2.4 Замена двухфазной зоны поверхностью разрыва 64
2.5 Выводы 67
3 Затвердевание с квазиравновесной двухфазной зоной в условиях конвекции расплава 69
3.1 Математическая модель конвективной двухфазной зоны 71
3.2 Решение квазистациопарной задачи 73
3.3 Влияние конвекции на процесс кристаллизации 79
3.4 Выводы 84
4 Нелинейная динамика затвердевания с неравновесной двухфазной зоной 87
4.1 Объемная кристаллизация переохлажденного расплава . 88
4.2 Модель неравновесной двухфазной зоны 94
4.3 Вычисление переохлаждения в двухфазной зоне 97
4.4 Физическая интерпретация аналитических решений . 104
4.5 Выводы 109
Заключение 112
Литература
- Фронтальный режим кристаллизации бинарного расплава
- Затвердевание с двухфазной зоной
- Квазистационарный режим
- Влияние конвекции на процесс кристаллизации
Введение к работе
Актуальность проблемы. Направленное затвердевание расплавов представляет значительный интерес в современной науке как с точки зрения прикладной физики кристаллизации, так и с точки зрения развития новых идей и аналитических методов в теоретической теплофизике. Хорошо известны технологические процессы затвердевания, целью которых является получение сверхчистых материалов или материалов с заданным распределением примеси. Существенное влияние на характеристики твердой и жидкой фаз в таких процессах оказывают физические свойства системы и параметры, управляющие затвердеванием. К числу управляющих (или операционных) параметров относятся, например, температуры стенок изложницы (под изложницей здесь и далее понимается область, в которой протекает процесс кристаллизации), условия ее охлаждения, а к числу физических - константы расплавов. Известны ситуации, когда незначительные изменения указанных величин приводят к совершенно различным структурам в обеих фазах: слоистые, дендритные, ячеистые образования и т.п. Для этих структур характерно различное распределение примеси, которое может полностью изменить многие свойства получаемых изделий. В силу многопараыетрично-сти рассматриваемых систем, с прикладной точки зрения представляется весьма важным развитие и разработка аналитических и численных методов моделирования, позволяющих прогнозировать и рассчитывать характеристики возникающих неоднородпостей.
Результаты теории направленного затвердевания находят свое широ-
кос применение в металлургии, поэтому исследование процессов кристаллизации особенно актуально для Уральского региона, основу экономики которого составляет металлургическая промышленность. Только в Свердловской области работают такие заводы-гиганты, как Нижнетагильский металлургический комбинат, Рсжский никелевый завод, медеплавильные заводы в городах Ревда, Красиоуральск, Верхняя Пышма, Уральский алюминиевый завод в Каменске-Уральском, Завод обработки цветных металлов в Екатеринбурге и другие. Поэтому развитие новых методов и идей в теории направленного затвердевания важно не только с теоретической, но и с прикладной точки зрения.
Математическое описание процессов кристаллизации основывается на уравнениях тепло- и массопереноса, записываемых во всех существующих фазах (твердой, жидкой, смешанной), и граничных условиях, имеющих смысл непрерывности, скачка или баланса температурного и концентрационного полей на поверхностях раздела фаз. Решение проблем подобного типа осложняется присутствием одной или более подвижных границ, перемещающихся, вообще говоря, с заранее неизвестной скоростью, Кроме того, задачи указанного типа, как правило, содержат нелинейности в граничных условиях, а зачастую, и в самих уравнениях переноса. Поэтому универсальных методов решения таких проблем не существует и в каждом конкретном случае следует подбирать определенный подход к решению. Следует особо подчеркнуть, что численное решение, основывающееся на фиксации большинства параметров системы, не во всех ситуациях может выполнять прогнозирующую роль. Как следствие, возникает необходимость получения точных и приближенных аналитических решений, показывающих и выявляющих доминантную роль тех или иных параметров системы.
Цель работы. Аналитическое описание и исследование нелинейной динамики кристаллизационных процессов с двухфазной зоной концен-
трационного переохлаждения в условиях различных форм тепломассо-переноса. В рамках поставленной цели исследовались отдельные модели направленного затвердевания с двухфазной зоной, обобщающие классические постановки задачи. В частности изучалось:
Влияние нелинейных эффектов массопереноса на эволюцию двухфазной зоны. Роль эффекта Соре и температурной зависимости коэффициента диффузии в кристаллизации бинарных расплавов. Изучение условий, при которых нелинейные эффекта усиливают или уменьшают интенсивность массообмена в двухфазной зоне.
Затвердевание с двухфазной зоной при конвективном движении жидкой фазы в системе. Влияние одномерных конвективных потоков на характеристики процесса. Рамки применимости квазистационарного приближения для описания слабых скоростей движения расплава и условия разрушения полученных решений в зависимости от силы конвективного потока.
Строение п структура неравновесной двухфазной зоны, Процессы объемного затвердевания в переохлажденном расплаве, рост твердых частиц и их распределение в пространстве перед растущим кристаллом. Особенности кристаллизации с неравновесной двухфазной зоной, определение величины концентрационного переохлаждения.
Научная новизна диссертации заключается в постановке и изучении новых моделей направленного затвердевания с двухфазной зоной концентрационного переохлаждения, в той или иной степени расширяющих ранее известные постановки задачи и учитывающих влияние различных нелинейных физических процессов, протекающих в системе. В общей сложности были исследованы три новые модели для каждой из которых построены аналитические решения. Найденные решения определяют все
характеристики процесса кристаллизации с переохлажденной областью. В частности найдены температурные и концентрационные профили во всех фазах (твердой, жидкой и двухфазной), скорости процесса, ширина двухфазной зоны, доля твердых кристаллов в ней. Помимо этого были получены следующие оригинальные результаты:
Изучено влияние эффекта Соре на кристаллизацию с квазиравновесной двухфазной зоной. Выяснено, что в зависимости от значения коэффициента термодиффузии, эффект может как усиливать массообмен, так и уменьшать его. Обнаружено, что температурная зависимость коэффициента диффузии по разному влияет на развитие двухфазной зоны в зависимости от управляющих параметров процесса. Обнаружено и подтверждено расчетами самоподобное поведение концентрации примеси и доли твердой фазы в двухфазной зоне при изменении температурных градиентов. Определены скачки теплофизических величин при переходе через переохлажденную область, а также сформулирована фронтальная модель затвердевания с двухфазной зоной.
Определены распределения температуры и концентрации примеси при различных скоростях одномерного конвективного потока, натекающего на кристалл. Выявлено влияние слабой конвекции на характеристики двухфазной зоны. Обнаружено, что при усилении скорости течения жидкой фазы, температурный и концентрационный профиль в расплаве имеют тенденцию к сглаживанию. Определены рамки применимости построенных аналитических решений в зависимости от силы конвективного потока, сделан вывод о неустойчивости к ваз и стационарного режима затвердевания с неподвижной жидкой фазой по отношению к малым скоростям движения расплава.
Впервые исследован режим кристаллизации с неравновесной двухфазной зоной. Найдено распределение твердых частиц в зоне в зависимости от их размеров. Исследована макроструктура переохлажденной области, выделено три региона с различным поведением концентрационного переохлаждения в них. Наличие и расположение этих регионов вполне согласуется с известными ранее экспериментальными данными. Определена роль квазиравновесной теории двухфазной зоны в более общей неравновесной постановке задачи.
Структура диссертации. Работа состоит из введения, четырех глав основного содержания, заключения и списка цитируемой литературы.
Первая глава носит обзорный характер. В ней изложено введение в проблему направленного затвердевания, приведены основные сведения об особенностях протекания процессов тепло- и массопереноса, обсуждены известные математические модели и экспериментальные данные. Глава состоит из четырех подразделов. В первом из них рассматривается простейшая задача о направленной кристаллизации однокомпонентного расплава, выводятся дополнительные граничные условия, учитывающие особенности процесса, строится автомодельное решение задачи. Второй подраздел посвящен фронтальному режиму затвердевания бинарного расплава. Объяснено влияние примеси на процесс (закон ликвидуса), приведена общая математическая модель: уравнения тепломассоперено-са и граничные условия в кристалле и расплаве, а также па движущемся фронте. Сделан обзор известных в литературе аналитических решений модели для различных геометрий и реализаций процесса. Приведены данные относительно морфологической устойчивости плоской границы раздела фаз. В третьем подразделе рассмотрены причины, вызывающие концентрационное и термическое переохлаждения. Проиллюстрированы особенности распределения температуры и примеси на различных ста-
днях развития переохлаждения. Следующий раздел посвящен режиму затвердевания с двухфазной зоной. Рассмотрены управляющие уравнения двухфазной зоны, приведены условия на границе зоны с расплавом и кристаллом. Обсуждаются различные подходы к изучению проблемы кристаллизации с переохлажденными областями: квазиравновесная модель В.Т. Борисова, а также неравновесный случай.
Оригинальный материал диссертации содержится в главах 2-4. Во второй главе изучается процесс направленного затвердевания с квази-равновесиой двухфазной зоной в условиях нелинейного массоперепоса. В первом пункте описывается математическая модель, учитывающая эффекты термодиффузии и температурной зависимости коэффициента диффузии. Далее проводится аналитическое изучение квазистационарного установившегося процесса, строится численное решение общей постановки и точное решение модели, в которой время релаксации температурного поля значительно превышает время релаксации концентрационного. На основе полученных решений исследуется влияние новых нелинейных эффектов на эволюцию двухфазной зоны и рассматриваются фрактальные свойства зоны. В четвертом пункте строится модель затвердевания, в которой двухфазная зона заменяется поверхностью разрыва.
Третья глава посвящена изучению кристаллизации в условиях конвективного движения жидкости. В пунктах 1 и 2 описывается модель направленного затвердевания с одномерным потоком жидкости, натекающим на растущий кристалл и строится ее аналитическое решение. В третьем подразделе с помощью полученных решений исследуются особенности конвективного процесса. Особое внимание уделяется рамкам применимости рассматриваемой модели, выводятся условия, при которых найденные квазистационарные одномерные решения разрушаются.
В четвертой главе рассматривается кристаллизация с неравновесной двухфазной зоной. В первом подразделе объясняется теория объемной кристаллизации однокомпонентного переохлажденного расплава, предложенная Ю.А. Буевичем и В.В. Мансуровым и доработанная автором. В пункте 2 и 3 описывается модель процесса направленного затвердевания, в которую включены кинетические механизмы, отвечающие за нуклеацию и рост твердых частиц в переохлажденной области, а также строится ее решение. В следующем подразделе, на основе выведенных решений, исследуется структура неравновесной двухфазной зоны. В ней выделяется три региона с принципиально различным поведением переохлаждения. Обсуждаются рамки применимости используемой кинетической теории. Исследуется распределение растущих кристаллитов в двухфазной зоне, вычисляются нх размеры и количество.
В заключении кратко сформулированы основные результаты и выводы работы.
Общий объем диссертации составляет 131 страницу машинописного текста, она содержит 31 рисунок, 2 таблицы и 114 ссылок на литературные источники.
Апробация работы и публикации. Основные результаты работы докладывались и обсуждались на представительных научных конференциях: 11-я Российская конференция "Строение и свойства металлических и шлаковых расплавов", МиШР-11 (Екатеринбург, 2004); 14-й Международный семинар по вычислительной механике материалов, IWCMM-14 (Гоа, Индия, 2004); 11-я Всероссийская научная конференция студентов-физиков и молодых ученых, ВНКСФ-11 (Екатеринбург, 2005); 14-я Всероссийская школа-конференция молодых ученых "Математическое моделирование в естественных науках", ММЕН-2005 (Пермь, 2005); 3-я научно-техническая конференция "Физические свойства металлов и сплавов",
ФСМиС-2005 (Екатеринбург, 2005); Первый Российский научный форум Демидовские чтения на Урале (Екатеринбург, 2006); 10-я Российская научно-студенческая конференция "Физика твердого тела" (Томск, 2006), а также на научных семинарах в Институте Металлургии УрО РАН и на кафедре математической физики УрГУ.
По теме диссертации опубликовано 15 научных работ, из них 5 статей в реферируемых научных журналах, список которых приведен в конце диссертации.
Фронтальный режим кристаллизации бинарного расплава
Модель направленного затвердевания, приведенная в предыдущем параграфе, не учитывает влияния примеси, содержащейся в веществе, на процесс. Последнее сильно ограничивает применимость задачи в реальных ситуациях, так как в любом веществе, зачастую, содержится некоторая доля загрязнителя (соль в морской воде). Примесь может специально добавляться в чистый расплав, например, для получения стали или чугуна, в железо (Fe) добавляется углерод (С), также всем хорошо известны железо-никелевые сплавы (Fe-Ni) или недавно появившийся титанал (№-А1), сочетающий прочность титана с дешевизной алюминия [7].
Влияние примеси на процесс затвердевания выражается в изменении температуры фазового перехода (ликвидуса) смеси. Для двойного (бинарного) расплава температура ликвидуса вр будет функцией концентрации примеси а: вр — 0р(а). Эта зависимость находится из фазовой диаграммы вещества (см., например, [7-9]). В случаях, когда концентрация примеси мала, а именно такие ситуации будут рассматриваться в дальнейшем, температура кристаллизации линейно зависит от концентрации примеси:
Здесь вр = 9Р(0) - температура замерзания чистого вещества, т - наклон линии ликвидус [8,9]. Нарис. 1.2.1 изображена зависимость температуры ликвидуса от концентрации примеси на границе раздела фаз. Используемое здесь уравнение ликвидуса (1-2.1) является частным случаем более общего соотношения вр — 9 — та + Гв К (Г - эффективный коэффициент поверхностного натяжения, К - кривизна фронта), следующего из уравнения Гиббса-Томсона [10]. Если поверхность раздела искривле
на несильно, и радиус кривизны больше, чем 10 7м, то при записи закона ликвидуса (и других уравнений термодинамического равновесия на границе раздела) можно пренебречь разницей давления в различных фазах. Последнее обстоятельство позволяет использовать уравнение (1.2.1), справедливое для плоских поверхностей раздела, в качестве приближенного уравнения ликвидуса
Запишем соотношения, описывающие процесс направленного затвердевания бинарного расплава. Процессы тепломассопереноса в твердой и жидкой фазах описываются уравнениями теплопроводности и диффузии примеси (будем считать, что коэффициенты переноса в обеих фазах постоянны, а диффузией примеси в твердой фазе будем традиционно пренебрегать):
В приведенном двумерном случае уравнение неизвестной границы имеет вид: = (т, 77), где т - время, а г; — пространственная координата, направленная перпендикулярно направлению движения фронта затвердевания. Области Е(т, ту) и (т, т?) соответственно заполнены бинарным расплавом с концентрацией примеси ag(r,,rj) и твердой фазой, являющейся продуктом кристаллизации. Здесь 9е(т, , т?) и #S(T, j ) - температуры в расплаве и кристалле, щ, as и / - коэффициенты температуропроводности и диффузии. Описываемый процесс схематически изображен нарис. 1.2.2.
На движущейся вглубь расплава границе = Е(т, ) заданы условия баланса массы, тепла и условие равенства температур в расплаве и кристалле по разные стороны фронта:
К этим соотношениям добавляется условие (1.2.1) равенства температуры на фронте температуре фазового перехода. Здесь V(r, if) - вектор скорости кристаллизации, к - коэффициент равновесного распределения примеси, равный отношению концентрации в твердой и жидкой фазах по обе стороны от фронта кристаллизации. Граничное условие (1.2.5) описывает баланс массы на фронте кристаллизации. Первое слагаемое в левой части отражает тот факт, что фронт "вытесняет" перед собой часть примеси по мере продвижения в глубь расплава [12]. При этом предполагается, что в диапазоне экспериментально-технологических скоростей роста кристаллов равновесный коэффициент к распределения примеси меняется слабо [13] и поэтому считается постоянным. Уравнение (1.2.6) аналогично уравнению (1.1.6), выведенному ранее. Условие (1.2.7) отражает равенство температур на границе раздела фаз. Специально подчеркнем, что поскольку скорости затвердевания обычно невелики, то можно принять гипотезу об установлении локального термодинамического равновесия на границе раздела фаз. В случае высокоскоростной кристаллизации расплавов, например, закалки из жидкого состояния [14,15], нужно применять локально-неравновесную теорию, получившую большое развитие в последние годы. В этой теории уравнения тепломассо-переноса и условия на фронте несколько отличаются от приведенных здесь (см., например, [15-18]). Однако, в настоящей диссертации будет изучаться только локально-равновесная теория, а вопросы высокоскоростной кристаллизации затрагиваться не будут.
Затвердевание с двухфазной зоной
Как было выяснено в предыдущем пункте, из-за вытеснения примеси движущимся фронтом кристаллизации, слой расплава перед ним оказывается переохлажденным. Критерий концентрационного переохлаждения, предложенный Тиллером [44], имеет следующий вид:
Его смысл понятен из рис. 1.4.1: истинная температура в расплаве опускается ниже температуры ликвидуса из-за накопления примеси перед фронтом (см. также рис. 1.3.7). В результате, там формируется область концентрационного переохлаждения (заштрихована). Условие (1.4.1) есть условие того, что касательная (производная) к линии ликвидуса более крутая, чем касательная к температурной кривой на поверхности раздо
Переохлаждение создает благоприятные условия для роста случайных выступов на фронте в глубь расплава, т.е плоская форма фронта разрушается. Кроме того, в переохлажденной области может начаться спонтанное зарождение и рост элементов твердой фазы в виде дендритов и отдельных кристаллов. Таким образом в некоторой области перед кристаллом вещество будет находиться как в твердом, так и в жидком состоянии, т.е. образуется двухфазная зона концентрационного переохлаждения. Указанная зона и определяет все основные характеристики процесса кристаллизации, а также структуру, состав и механические свойства изготовляемого слитка. На рис. 1.4.2 схематически изображен процесс направленной кристаллизации вдоль оси с двухфазной зоной (здесь ,, и - соответственно положения границ кристалл - двухфазная зона и двухфазная зона - расплав).
Поскольку в зоне двухфазного состояния наблюдается рост дендритных структур и элементов твердой фазы в виде растущих зародышей, то выделяемая ими скрытая теплота затвердевания приводит к тому, что концентрационное переохлаждение будет частично сниматься. Обычно, на практике концентрационное переохлаждение не достигает больших значений и составляет несколько (не более 10) градусов Цельсия [53]. При затвердевании жидких сталей, водных растворов или расплавов, в которых присутствуют инородные катализаторы кристаллизации, рост элементов твердой фазы происходит настолько интенсивно, что переохлаждение в двухфазной зоне будет полностью снято [54]. Для таких процессов затвердевания В.Т. Борисовым с сотрудниками была разработана теория квазиравновесной двухфазной зоны [49,51,55-57].
Выпишем общую модель кристаллизации бинарного расплава с двухфазной областью. Пусть процесс затвердевания происходит вдоль оси (см. рис. 1.4.2). Будем полагать, что температура вещества и концентрация примеси распределены однородно на расстояниях, сравнимых с типичным масштабом межкристальных расстояний в двухфазном слое. Тогда процессы тепломассопереноса в двухфазной зоне описываются уравнениями теплопроводности и диффузии [8,9,36,51,58]
Здесь в и а - температура и концентрация примеси, ір - объемная доля твердой фазы, р, С, А и D - плотность, теплоемкость, теплопроводность и коэффициент диффузии, зависящие отр,к- коэффициент равновесного распределения примеси, V = {д/д, d/drj) - вектор-градиент. Слагаемые, пропорциональные дір/дт в правых частях уравнений, описывают захват примеси и выделение скрытой теплоты затвердевания растущими элементами твердой фазы в двухфазной зоне.
Границы переохлажденной области определяются из условия равенства температур вещества на них температурам фазового перехода. Температура фазового перехода 0р задается формулой (1.2.1):
На поверхности , доля твердой фазы равпа нулю. Кроме того, па ней имеем условия непрерывности температурного и концентрационного полей, а также условия равенства потоков тепла и массы примеси:
Квазистационарный режим
Исследование задачи (2.1.1)-(2.1.17) в общем виде весьма затруднительно из-за сильной нелинейности. Будем считать, что процесс протекает в квазистациоиарном режиме (стационарном в системе отсчета, связанной с двухфазной зоной) с постоянной скоростью V. Это означает, что все функции, характеризующие зону, в движущейся системе координат принимают установившиеся значения, не зависящие от времени, а сама зона имеет постоянную ширину Н (см. рис, 2,2,1). На практике такой режим затвердевания реализуется, если фронт находится на большом расстоянии от охлаждаемой стенки. При таких условиях система "забывает" свою предысторию, поэтому отпадает необходимость задания начальных условий на охлаждаемой стенке.
Одним из методов реализации такого режима на практике, является метод "лодочки" (см., например, [13]). Емкость (лодочку) с расплавом помещают в длинный горизонтальный тигель и медленно перемещают печь относительно лодочки с постоянной скоростью (вместо этого можно выдвигать лодочку из печи). При этом поверхность раздела кристалл - расплав перемещается до тех пор, пока не затвердеет весь расплав. Существуют методы, при которых тигель располагается вертикально -метод Бриджмена. Кроме того, печь может быть сконструирована таким образом, что способна поддерживать па своих концах постоянную температуру, причем один конец холодней другого. В этом случае ни печь, ни лодочку двигать не надо, а кристаллизация происходит за счет установления температурного градиента.
Будем считать, что в кристалле и расплаве выполняются уравнения теплопроводности (2.1.4) и (2.1.5) в стационарном приближении. В этом случае температурные градиенты в твердой и жидкой фазах примут вид
Здесь gs и gi - постоянные значения градиентов температур. Для осуществления квазистационарного режима их считаем фиксированными. Перейдем в движущуюся систему координат, связанную с поверхностью кристалл - двухфазная зона (это можно сделать с помощью преобразования у — — Vr, при этом оператор д/дт заменяется оператором —V djdy). Как отмечалось ранее, в новой системе координат, процесс является стационарным. Из уравнения (2.1.3):следует, что дв/д = —гпда/ді; на всей протяженности зоны. Учитывая последнее соотношение, перепишем уравнения (2.1.1) и (2.1.2) и граничные условия (2.1.7)-(2.1.15) в новой системе координат в безразмерных переменных: (2.2.10) Из последнего соотношения легко увидеть, что безразмерная концентрация с в двухфазной зоне зависит только от доли твердой фазы ip (аналогичный результата был получен ранее для линейного диффузионного переноса в работе [74]).
Сравнение развиваемой теории с экспериментами работы [87] (кривые и точки, соответственно). Расчеты выполнены для системы кристаллов КС1 с начальными концентрациями ( — 20, 140 и 360 моль pprn (ррт - частиц на миллион) в ДБуХВалеНТПОМ еврОПИИ (Со соответствует 7oo(l + G()). условие (2.2.13), а из выражений (2.2.12) и (2.2.14) находятся значения величин V и .
При решении уравнения (2.2.15) была использована следующая вычислительная процедура. Так как значение р неизвестно, но известен интервал, в котором оно лежит: 0 р ip 1, выбираем в качестве начального значение некоторое р — (ро 0 и увеличиваем его с шагом, обеспечивающим требуемую точность. На каждой итерации, подставляя новое значение ц в выражение (2.2.12), получаем алгебраическое уравнение
Из решения этого уравнения находим значение скорости затвердевания V. Затем, получаем значения cj =o и с1 = . из выражений (2.2.13) и (2.2.14). Решаем: дифференциальное уравнение (2.2.15) численно на текущем интервале [0,ф\ используя найденное граничное условие с =о, и находим концентрационный профиль с как функцию доли твердой фазы р в двухфазной зоне. Теперь, если значение с( р) совпадает (с требуемой степенью точности) с c\v=iPt, заключаем, что ip = ip п заканчиваем вычислительную процедуру. В противном случае, увеличиваем ip, и переходим на следующую итерацию. Таким методом можно легко найти значения параметров ip и V, входящих в с( р). На рис. 2.2.2 изображены найденные с помощью такой процедуры концентрационные профили по твердой фазе двухфазной зоны и приведено их сравнение с экспериментальными данными работы [87]. Дифференцируя с((р) по г, получим dip dcjdz dz dcjdip Величина dcjdz находится из уравнения (2.2.9). Производную dejdip можно вычислить из уравнения (2.2.15) как функцию ip и с{ф). Обозначая F\{ p) = dcjdz и F2( p) — dc(ip)jdcp, и учитывая, что ip = ip при z = О, запишем z( p) в следующей форме:
По известной функции z( p) не составляет труда построить обратную функцию ip(z). Далее, подставляя р = О при z = hn выражение (2.2.16), находим размерную протяженность двухфазной зоны:
Заметим, что зная концентрационный профиль и в двухфазной зоне, легко найти и температурный, используя формулу (2.1.3). Таким образом, задача о стационарном затвердевании расплава с двухфазной зоной с учетом термодиффузии и температурной зависимости коэффициента диффузии решена - удалось численно определить все характеристики процесса.
На рис. 2.2.3 показано изменение доли твердой фазы в двухфазной зоне р на границе кристалл - двухфазная зона при вариации коэффициентов переноса вещества 8D/d6 и От- Как видно из рисунка, рост температурного коэффициента dD/d9 вызывает рост р . Такое поведение легко объяснить исходя из следующих физических соображений. Так как температура расплава перед границей кристалла меньше температуры затвердевания чистого вещества (см. (2.1.3)), рост dDjdQ ведет к уменьшению коэффициента диффузии (см. (2.0.2)) и, соответственно, уменьшению отвода примеси в глубь двухфазной зоны. Последнее вызывает рост твердых частиц, а, значит, и увеличение ip перед границей кристалл - двухфазная зона.
Влияние конвекции на процесс кристаллизации
Рассмотрим некоторые следствия, вытекающие из полученных в предыдущем пункте точных аналитических решений (3.2.10)-(3.2.15) задачи о направленной кристаллизации со слабой конвекцией расплава. Как обсуждалось ранее, рассматриваемая здесь одномерная модель пригодна для описания процесса при малых скоростях конвективного потока. Исходя из этого, мы будем рассматривать достаточно малые значения параметра J: J 10 2, т.е. скорость конвективного потока щ на два порядка меньше скорости кристаллизации V. Значения скорости У, доли твердой фазы (/? на границе кристалл - двухфазная зона, безразмерной (h) и размерной (Я) толщины зоны при различных значениях J (0 J —0.05) вычислены в таблице 3.1 для железо-никелевого расплава (термофизические свойства приведены в таблице 2.1,
Таблица 3.1: Значения скорости затвердевания V см/с, доли твердой фазы ip , безразмерной (h) и размерной (Н = hDi/V см) толщины двухфазной зоны при различных скоростях конвективного потока J для системы Fc-Ni, De = 5 Ю 5 см2/с, (js = 120 С/см, г? = 1922.4 соответствует значению gi — 20 С/см температурного градиента в расплаве для безкон-вективного режима затвердевания J = 0, изученного в работе [74]}. На рис. 3.3.1 построены профили доли твердой фазы /? как функции пространственной координаты z для значений параметра J, использованных в таблице 3.1.
Легко заметить, что значения всех параметров в таблице 3.1 возрастают при увеличении значения J\, а значит, они возрастают и при увеличении скорости конвективного потока \U\ (знак — говорит о том, что поток жидкой фазы направлен противоположно оси z). Увеличение скорости V объясняется тем, что расплав, натекающий на границу кристалл - двухфазная зона, целиком вмерзает в кристалл, из-за чего он растет быстрее, чем в отсутствии конвективного потока. Заметим, что кривые на рис. 3.3.1 демонстрируют самоподобпое изменение при варьировании параметра J. Ранее скейлинговые свойства двухфазной зоны уже наблюдались в главе 2 и работах [73,74,89].
Приравняем к пулю правую часть этого уравнения, в результате получим следующее условие:
Для безконвективпого режима (J = 0) это условие не выполняется. Однако, при J ф 0 равенство в (3.3.1) может иметь место для некоторого критического значения J = JKpjIT 0 (JKWT —0.052 для рассматриваемого железо-никелиевого расплава). Кроме того, проведенные вычисления показали, что для надкритичных значений J JKpiIT равенство dc/dz = 0 выполняется и при ненулевых значениях р. Но выражение Fi = dc/dz стоит в знаменателе подынтегральной функции в формулах (3.2.15). Последнее означает, что интегралы в (3.2.15) являются несобственными при J JKpHT, а значение, при котором dc/dz обращается в нуль, является особой точкой.
Могут иметь место два случая: несобственные интегралы в (3.2.15) являются либо сходящимися, либо расходящимися. Точный математический анализ сходимости этих интегралов весьма затруднителен в силу громоздкости входящих в них функций, поэтому рассмотрим оба возможных варианта. Очевидно, что случай, когда интегралы расходятся, т.е. соответствующие им величины становятся бесконечно большими, противоречит физическому смыслу задачи. Рассмотрим подробно случай, когда интегралы сходятся. В этом случае, при изменении р от р до некоторого критического значения кр,[Т, функция z(tp) возрастает. При ц — укртп. выражение dc/dz изменяет знак и, следовательно, z{ip) становится убывающей на интервале іркрит ip 0. Подобное поведение z наглядно продемонстрировано на рис. 3.3.2, где изображены
Концентрация примеси а и доля твердой фазы tp в двухфазной зоне как функции пространственной координаты z при J = -0.1 «7крит (для несобственных интегралов в (3.2.15) считались главные значения в смысле Коши, см. [104]). Вертикальная линия обозначают границу двухфазная зона - расплав h = z\v=o. графики функций p(z) и a(z) для надкритичного значения J — —0.1. Вертикальная линия на рис. 3,3.2 обозначает поверхность двухфазная зона - расплав в соответствии с определением h = Z Q. Как видно из рис. 3.3.2, доля твердой фазы отлична от нуля на границе двухфазной зоны с расплавом (z — К) и в расплаве (z h). Последнее не согласуется с нашими модельными представлениями, согласно которым при z h твердых элементов пег и весь объем заполнен жидкой фазой ((р = 0). Таким образом, даже если интегралы в (3.2.15) сходятся, мы вес-равно имеем противоречие с физическим смыслом задачи
