Введение к работе
Актуальность проблемы. Задача о фазовом переходе жидкость-твердое тело при описании замерзания воды впервые была рассмотрена в 1889 году в пионерских работах Джозефа Стефана. В этих работах была сформулирована математическая модель процесса теплопереноса с граничным условием четвертого рода баланса тепла на движущемся фронте затвердевания (часто именуемым условием Стефана) для описания полевых измерений температуры и толщины льда за более чем полувековую историю наблюдений. Одним из недостатков такого описания является то обстоятельство, что оно не учитывает зависимость температуры фазового перехода от растворенных в жидкости примесей. Увеличение концентрации примеси понижает температуру фазового перехода. Впоследствии подход Стефана стал использоваться в металлургии для моделирования процессов кристаллизации расплавов. Это объясняется схожестью физической картины затвердевания расплавов и замерзания воды. Предположение Стефана о существовании четко выраженной границы фазового перехода- фронта кристаллизации, выполняется далеко не всегда. Так, накопление примесей перед границей твердая фаза - жидкость, связанное с вытеснением растворенных веществ замерзающей фазой в жидкую матрицу расплава, приводит к возникновению концентрационного переохлаждения. По мере движения границы фазового перехода в глубь расплава происходит увеличение градиента концентрации примеси перед фронтом, и в некоторый момент времени фронтальное описание процесса, вообще говоря, будет уже неприменимо. Это вызвано тем обстоятельством, что появление переохлажденной области перед плоским фронтом затвердевания приводит как к возникновению неустойчивости последнего и формированию дендритных структур, так и к появлению зародышей твердой фазы, претерпевающих рост на всевозможных стадиях: нуклеация, коагуляция, укрупнение, образование кластерных структур. Если концентрационное переохлаждение компенсируется за счет интенсивного выделения скрытой теплоты кристаллизации растущими элементами твердой фазы, то такая область двухфазного состояния вещества - двухфазная зона может рассматриваться без учета механизмов нуклеации и роста частиц. В силу нелинейности уравнений тепломассопере-носа и подвижности границ получение точных аналитических решений задач подобного рода не представляется возможным, поэтому обычно они решаются численными методами. В данной работе было построено приближенное аналитическое решение для задачи направленной кристаллизации бинарных систем. Описание системы с помощью бинарной модели, концентрация примеси в которой моделирует все растворенные компоненты, является не всегда пригодным. Часто при кристаллизации многокомпонентных систем необходи-
мо учитывать влияние не только основного компонента растворенных примесей, но и всех остальных (особенно, если среди них можно выделить доминирующий компонент). Такая ситуация характерна для огромного числа процессов, протекающих как в лабораторных, так и в естественных условиях. К их числу, например, относятся процессы роста кристаллов, литья металлов, затвердевания магмы. Простейшим примером таких процессов является кристаллизация химически различимых трехкомпонентных систем, в которых один компонент может рассматриваться в качестве примеси к бинарной системе. В настоящей работе приведена такая модель и получены несколько приближенных аналитических решений.
Цель работы. Теоретическое исследование процесса затвердевания бинарных и трехкомпонентных систем при наличии движущихся областей фазового перехода, развитие и дополнение математической модели и построение приближенных аналитических решений проблемы Стефана. В частности, исследование процесса кристаллизации бинарных систем в автомодельном режиме с наличием двухфазной зоны, в которой доли фаз не изменяются со временем; разработка и развитие модели кристаллизации трехкомпонентных растворов и расплавов с формированием двух зон многофазного состояния вещества - основной и котектической; построение ее приближенных аналитических решений.
Научная новизна. Диссертационная работа посвящена исследованию нелинейной динамики нестационарных процессов затвердевания бинарных и трехкомпонентных растворов и расплавов при наличии нескольких двухфазных зон и содержит новые аналитические результаты, описывающие кристаллизацию многокомпонентных систем в применении к описанию естественных природных явлений и металлургических процессов. Получены точные аналитические решения для бинарных систем в предположении малого изменения долей фаз во времени, что характерно для установившихся и медленно протекающих процессов кристаллизации. Для трехкомпонентных систем был получен ряд аналитических решений с различными допущениями. Каждое решение в явном виде определяет распределения температуры и концентрации примесей, доли твердых фаз и законы движения границ фазового перехода. Все полученные в работе результаты не имеют прямых аналогов в литературе и являются принципиально новыми.
Достоверность полученных результатов. Подтверждается адекватностью моделей процессов направленной кристаллизации многокомпонентных растворов и расплавов, обоснованностью принятых допущений, точностью ма-
тематических методов решения, выкладок и расчетов, согласованностью с имеющимися экспериментальными данными, данными численных и приближенных аналитических решений.
Практическое значение. Полученные в диссертации результаты имеют непосредственное приложение в металлургии (формирование кристаллов и слитков) и геофизике (замерзание морской воды) и являются важными для прогнозирования динамики нестационарных процессов. Построенная модель и метод ее решения объясняют наблюдаемый механизм кристаллизации и дополняют уже существующие знания по этой тематике. Найденные явные выражения всех характеристик процесса и образовавшегося кристалла позволяют предсказывать поведение системы для получения материалов с необходимыми свойствами.
Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на представительных научных конференциях: XIV Всероссийская школа-конференция молодых ученых и студентов „Математическое моделирование в естественных науках" (Пермь, 2005), Четырнадцатая всероссийская научная конференция студентов физиков и молодых ученых ВНКСФ-14 (Уфа, 2008), XII Российская конференция „Строение и свойства металлических и шлаковых расплавов" (Екатеринбург, 2008), Юбилейная X Всероссийская молодежная школа-семинар по проблемам физики конденсированного состояния вещества (Екатеринбург, 2009), а также на семинарах кафедры математической физики Уральского государственного университета им. A.M. Горького.
Публикации. По теме диссертации опубликовано 13 научных работ, из них 5 статей в реферируемых научных журналах, определенных ВАК. Список публикаций приведен в конце автореферата.
Структура и объем работы. Текст диссертации состоит из введения, четырех глав основного содержания, заключения и списка используемой литературы. Общий объем диссертации составляет 128 страниц машинописного текста, она содержит 36 рисунков, 2 таблицы и 102 ссылки на источники цитируемой литературы.
