Введение к работе
Актуальность темы. К настоящему времени теория экономической динамики представляет собой важную область математической экономики со сложившимся кругом проблем и инструментарием исследования, которая в свою очередь распадается на ряд разделов, заметно различающихся по степени их разработанности.
Содержание магистральной теории составляют существование, характеризация и асимптотика оптимальных траекторий, существование магистралей - стационарных оптимальных траекторий. Впервые идея магистральных теорем применительно к моделям Неймана была высказана в совместной работе Р. Дорфмана, П. Самуэльсона и Р. Солоу. Строгие доказательства при разных предположениях и разными методами одновременно были даны Р. Раднором и М. Моришимой. Д Гейл, В.Л. Макаров, Л. Маккензи, X. Никайдо, А.М. Рубинов и др. затем существенно усилили полученные результаты.
Значительное внимание в теории экономической динамики уделяется моделям рамсеевского типа, в которых максимизируется эффект от потребления. Существенные результаты (с помощью модификации метода Раднера) были получены здесь X. Ацуми, У. Сроком, Д. Гейлом, В.Л. Макаровым, Б. Полетом, А.М. Рубиновым, Дж. Цукуи и др.
Введение дисконта существенно усложняет доказательство магистральных теорем. У. Сазерленд, И. Шейнкман, Т. Бьюли, Д. Касс и К. Шелл предложили условия, гарантирующие асимптотическую устойчивость оптимальных траекторий в моделях с дисконтированной функцией полезности. В их работах предполагалось, что дисконт достаточно близок к единице. Возникает задача о нахождении нижней границы интервала, принадлежность дисконта которому обеспечивает асимптотическую устойчивость.
Т. Купмансом и B.J1. Макаровым для моделей со стационарной технологией , были доказаны теоремы о существовании стационарных траекторий, допускающих квазистационарную
характеристику pt = рГ р для некоторых ц>1. Однако случай ц. < 1, возникающий в равновесных моделях с низкой склонностью к потреблению, также интересен для исследования. В этих моделях дисконт - эндогенная величина, посредством которой достигается равновесие в потреблении.
В большинстве магистральных теорем, известных в литературе, максимизируемая функция представляет собой сумму полезностей во времени, где полезность в каждый момент зависит только от текущего потребления. Неудовлетворительность таких функций при объяснении некоторых эмпирических фактов еще в довоенные годы была отмечена П. Самуэльсоном. Между тем, в фундаментальном обзоре по магистральной теории, вошедшем в "Handbook of Mathematical Economics" (1986), Л. Маккензи приводит лишь две работы П. Самуэльсона и К. Иван, в которых были предприняты попытки ослабить требование об аддитивности в однрпродуктовых стационарных моделях. В основе метода доказательства П. Самуэльсона лежит спектральный анализ, поэтому он не применим к нестационарным моделям. Метод К. Иваи опирается на идеи динамического программирования и также существенно использует стационарность модели. В диссертации доказан ряд магистральных теорем в мпогопродуктовых нестационарных моделях при неаддитивных во времени функциях полезности.
Согласно магистральным теоремам, в стационарных моделях оптимальные траектории сходятся к магистрали при t -»«з. Поэтому принято считать, что на магистрали реализуются наилучшие пропорции акономической системы при заданном стационарном технологическом множестве. Магистраль может служить ценным инструментом для сравнения эффективности различных технологий, быть ориентиром в прогнозных расчетах. К сожалению, магистрали существуют лишь в стационарных моделях, тогда как сколько-нибудь реалистические модели народного хозяйства описываются с помощью переменных во времени параметров. Отклонение реального состоянии экономики от магистрали может объясняться не только его неоптималыюстыо (как это принято считать), но и неадекватностью аппарата обычных
магистралей при анализе нестационарных моделей. Назрела необходимость обобщить понятие магистрали на класс моделей, включающий не только стационарные, но и некоторые важные с прикладной точки зрения модели с переменной технологией.
Рядом авторов (В. Л. Макаров, В. М. Полтерович, Т. Быоли, М. Яно и др.) предпринимались попытки дополнить рамсеевские модели элементами равновесия на потребительском рынке. Предлагались различные способы формирования потребительского бюджета. Построение подобных синтетических моделей не представляет труда, сравнительно просто обстоит дело с существованием равновесных траекторий. Однако исследование их асимптотики является весьма сложной задачей. Здесь недостаточно предположений, фигурирующих в магистральных теоремах. Необходимо найти дополнительные предположения, обеспечивающие устойчивость равновесных траекторий.
Согласно теоретическим представлениям, дисконтирующие
коэффициенты, задаваемые экзогенно в оптимизационных
динамических моделях, должны удовлетворять некоторым
естественным свойствам. Считается, например, что они должны
убывать во времени (и тем быстрее, чем больше "нетерпение"
потребителя). В равновесных моделях дисконтирующие
(взвешивающие) коэффициенты определяются эндогенно. Интересно проверить, обладают ли они указанным выше свойством.
Цель работы: обобщение известных и разработка новых методов исследования в магистральном анализе моделей экономической динамики с потреблением.
Научпая попшіпа. Результаты, изложенные в диссертации, новы, получены лично автором и заключаются в следующем:
в моделях с дисконтированной функцией полезности даны оценки тох значений дисконта, при которых, справедливы магистральные теоремы;
доказаны магистральные теоремы для неаддитивных во времени функций полезности;
предложен и изучен ряд равновесных динамических моделей с явным описанием бюджетной функции потребителя, исч-лодована устойчивость равновесных траекторий в таких моделях;
- на равновесных траекториях исследована связь между
темпами роста цен и склонностью населения к потреблению;
- понятие магистрали обобщено на случай моделей со слабо
изменяющейся технологией;
проиллюстрированы возможности теоретического и практического использования обобщенных магистралей в анализе динамических народнохозяйственных моделей.
Основные результаты диссертации заключаются в следующем.
1. Усилен и развит ряд результатов теории моделей
экономической динамики с дисконтированной функцией полезности:
- доказано существование стационарных траекторий с
квазистационарной характеристикой в случае дисконта, большего
единицы;
предложена оценка нижней границы интервала, принадлежность дисконта которому обеспечивает асимптотическую сходимость оптимальных траекторий друг к другу;
- показано, как устойчивость оптимальных траекторий может
выводиться из теорем об условной устойчивости гиперболических
точек
2. Получены следующие магистральные свойства для моделей
с неаддитивными во времени функциями полезности:
- при традиционных предположениях доказана магистральная
теорема в слабой форме;
- доказана теорема в сильной форме для неаддитивных
функций полезности, в которых зависимость предельных
полезностей потребительских благ года / от благ года х
ослабевает с экспоненциальной скоростью при возрастании |/- г|;
введено понятие "стационарности" неаддитивных во времени функций, при котором доказана теорема о стабилизации оптимальных траекторий внутри планового периода.
3. Рассмотрено несколько вариантов формирования
потребительского бюджета в равновесных динамических моделях с
доказательством теорем о существовании и устойчивости
равновесных траекторий. Для некоторых из этих моделей
установлено, что цены на равновесных траекториях убывают во
Времени ТЄМ быстрее, ЧЄМ боЛЫГШ фуіГКЦИИ ІКЛ (К'би'ІЧ'.Ш.СКОГО
бюджета ("нетерпение" потребителя). Это согласуется с известными теоретическими представлениями о дисконтировании полезности потребительских благ во времени.
4. Для моделей экономической динамики со слабо изменяющейся технологией:
предложено два подхода к обобщению понятия магистрали с доказательством теорем существования;
на основе аппарата обобщенных магистралей теоретически объяснена стабилизация темпов роста на траекториях в балансовых народнохозяйственных моделях, эмпирически обнаруженная ранее рядом исследователей;
- в расчетах выявлена более высокая эффективность
обобщенных магистралей по сравнению с обычными магистралями в
анализе нестационарных моделей экономической динамики.
Методы исследования. При выполнении работы использовались методы математического программирования и оптимального управления (магистральной теории, в первую очередь), теоремы о неявных функциях в банаховых пространствах, теоремы об условной устойчивости гиперболических точек, работы но динамическим народнохозяйственным моделям.
Практическая значимость. Теоретические исследования автора были использованы в многочисленных расчетах по народнохозяйственным моделям СССР, России и США. Разработанный аппарат обобщенных магистралей, как показала практика их применения, представляет собой более совершенный инструмент по сравнению с обычными магистралями в анализе нестационарных моделей экономической динамики. С его помощью удалось объяснить некоторые закономерности, обнаруженные ранее эмпирически в прикладных расчетах. Переход в магистральных теоремах от аддитивных во времени функций полезности к неаддитивиым позволяет более точно описать процессы формирования потребительских предпочтений.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на Конференции молодых экономистов и социологов Сибири (Улан-Удэ, 1979), Всесоюзном семинаре "Целевая функция полезности потребительских благ" (Новосибирск, 1980), Республиканской научной . конференции "Пути совершенствования балансовых
методов планирования народного хозяйства" (Киев, 1983), Всесоюзной конференции "Теория, методология и практика системных исследований" (Москва, 1984), Пятой конференции IFAC/IFORS по динамическому моделированию и управлению национальной экономикой (Будапешт, 1986), Второй, Четвертой и Пятой Новосибирской школе по математической экономике (Новосибирск, 1994, 1988, 1990), Международной конференции "Негладкий анализ и его приложения к математической экономике" (Баку,1991), Сибирской конференции по прикладной и индустриальной математике (Новосибирск, 1994), Международной конференции "Проблемы оптимизации и экономические приложения" (Омск, 1997), а также на научно-исследовательских семинарах Института экономики и ОПП СО РАН, Института математики СО РАН, Центрального экономико-математического института РАН, Института социально-экономических проблем РАН.
Публикации. Основные результаты диссертации
опубликованы в работах [1 - 27].
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, приложения и списка литературы (102 наименования). Общий объем диссертации - 255 страниц.
