Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Математическое моделирование ранней фазы защитной воспалительной реакции в легких (реакция системы фагоцитов) 18
1.1. Строение легких человека. Структура противобактериальных защитных механизмов легких 20
1.2. Построение уравнений математической модели ранней фазы защитной воспалительной реакции в легких 36
1.3. Обобщенная картина динамики ранней фазы защитной воспалительной реакции в легких 40
1.4. Оценка параметров 42
1.5. Существование, единственность и неотрицательность решений 51
1.6. Идентификация параметров 53
Глава 2. Математическое моделирование защитной воспалительной реакции при пневмонии (иммунофизиологические процессы) 56
2.1. О роли и механизмах противобактериального иммунного ответа при пневмонии. Клинические и экспериментальные факты 57
2.2. Построение уравнений математической модели защитной воспалительной реакции при пневмонии 63
2.3. Идентификация параметров 66
2.4. Анализ чувствительности модели к вариации параметров 72
Глава 3. Принципы оптимальности в процессах противоинфекционнои защиты организма 82
3.1. Энергетическая цена противоинфекционнои защиты легких 84
3.2. Моделирование адаптации противоинфекционнои защиты организма под действием антигенной нагрузки. "Энергетический" подход 96
Заключение 104
Список литературы 106
- Строение легких человека. Структура противобактериальных защитных механизмов легких
- Оценка параметров
- Идентификация параметров
- Моделирование адаптации противоинфекционнои защиты организма под действием антигенной нагрузки. "Энергетический" подход
Введение к работе
-3-
Актуальность темы. За последние годы существенно возросла роль математики, и в том числе математического моделирования, в анализе процессов, происходящих в иммунной системе организма, что обусловлено значительным углублением представлений о строении и функционировании иммунной системы, а также широким внедрением в иммунологию и смежные области знания количественных методов исследования.
Одной из важнейших областей современной иммунологии является инфекционная иммунология, изучающая роль иммунитета в возникновении и развитии (патогенезе) инфекционных заболеваний и возможности практического применения полученных знаний в профилактике и лечении этих болезней. Настоящая работа посвящена исследованию методами математического моделирования механизмов патогенеза инфекционных заболеваний, вызванных бактериями, а также общих принципов, регулирующих противоинфекционную защиту в зависимости от характеристик внешней среды и свойств микроорганизмов. Функционирование защитных механизмов рассмотрено на примере легочных инфекций, составляющих большинство в общей структуре инфекционных заболеваний.
Особенностью существующих математических моделей инфекционных заболеваний является то, что они в основном подробно описывают механизмы специфического иммунитета1. Но вместе с тем известно, что в противоинфекционной защите легких важную роль играют и другие защитные механизмы, и в первую очередь связанные с функционированием системы фагоцитов. Для многих инфекций фагоциты являются, по существу, единственными эффекторными клетками, уничтожающими частицы антигена. Эффективность защитного действия фагоцитов может быть в некоторых случаях существенно повышена под влиянием специфических антител.
Основным процессом, лежащим в основе инфекционной патологии, является воспаление. Несмотря на углубленную разработку различных биологических и медицинских аспектов воспалительной реакции ее сущность и значение для организма до конца не раскрыты2. Одним из наиболее выраженных проявлений воспаления при бактериальной инфекции легких является резкое увеличение объема альвеолярной жидкости
1 См., напр.: Марчук Г.И. Математические модели в иммунологии. Вычислитель
ные методы и эксперименты. - М.: Наука, 1991. - 304 с.
2 Воспаление // Под ред. В.В.Серова, B.C. Паукова. - М.: Медицина, 1995. - С. 12.
_4-(альвеолярный отек). Опосредуя увеличение скорости доставки защитных клеток и веществ из крови в легкие, альвеолярный отек вместе с тем приводит к нарушению основной функции легких - газообмена, а также другим изменениям, способным изменить кинетику фагоцитоза. Оценка влияния этого процесса на развитие инфекции в ее разных стадиях требует количественного анализа.
Таким образом, понятие противоинфекционного иммунитета, понимаемого как комплекс защитно-приспособительных реакций организма, направленных на борьбу с инфекцией, не может быть в общем случае сведено к понятию иммунного ответа как специфической реакции на антиген. В связи с этим важной задачей является описание механизмов согласования основных иммунофизиологических процессов, что необходимо для более полного понимания условий нормального функционирования иммунной системы и механизмов развития патологии. В настоящей работе на примере одного из инфекционных патологических процессов в легких - очаговой стафилококковой пневмонии - построена математическая модель, описывающая взаимодействие фагоцитарного и иммунного ответов в процессе защиты организма с учетом влияния альвеолярного отека на развитие инфекции.
Существенным препятствием при построении математических моделей в иммунологии зачастую оказывается неполнота имеющихся клинических и экспериментальных данных. В этом случае может потребоваться разработка и применение новых методов уменьшения неопределенности в оценках параметров.
Одним из наиболее важных представлений об общих принципах организации материи явилось представление об оптимальности. Например, формулировка в первой половине XIX века известных вариационных принципов привела к развитию многих разделов теоретической физики, таких как теоретическая механика, геометрическая и волновая оптика, общая теория относительности и др. Вариационные методы являются одним из важнейших способов исследования и в других областях науки и техники. Развитие идей оптимальности применительно к анализу биологических систем стало возможным благодаря эволюционной теории Ч. Дарвина, согласно которой основным фактором эволюции живых организмов наряду с наследственностью и изменчивостью является естественный отбор, в ходе которого отбираются такие признаки, которые обеспечивают наилучшую приспособленность. Действие естественного отбора может проявляться на всех уровнях организации биоло-
-5-гических систем, от субклеточного до межпопуляционного3. Отмечают, что основные ограничения в использовании принципа оптимальности в биологии связаны как с трудностями количественного анализа изучаемых биологических явлений, так и с проблемой обоснованного выбора самого критерия оптимальности4. В связи с этим принцип оптимальной конструкции в биологии был впервые в явном виде сформулирован лишь в середине XX века5, т. е. примерно через 100 лет после создания теории естественного отбора.
Указанные выше ограничения в полном объеме относятся и к теоретической иммунологии, где в настоящее время существуют лишь единичные работы, посвященные изучению строения и функционирования иммунной системы организма с точки зрения оптимальности6.
Инфекционные заболевания представляют собой один из ведущих факторов естественного отбора, поскольку примерно в половине случаев являются причиной преждевременной смерти людей и, кроме того, вносят значительный вклад в величину временной потери трудоспособности7. Следовательно можно предположить, что значения параметров в математических моделях противоинфекционной защиты должны не только удовлетворять требованию соответствия решений клиническим и экспериментальным данным, но и соответствовать наиболее эффективным вариантам защиты. В качестве меры приспособленности организма к воздействию инфекционных микроорганизмов недавно было предложено использовать величину суммарных затрат энергии на осуществление процессов противоинфекционной защиты8. Обосно-
3 См., напр.: Проблемы оптимального строения и функционирования биологических
систем / Под ред. Д.С. Чернавского, Ю.М. Свирежева. - Математическая биология
и медицина: Итоги науки и техники. - М.: ВИНИТИ, 1978. - Т. 1. - 260 с.
4 Розен Р. Принцип оптимальности в биологии. - М.: Мир, 1969 (пер. с англ.). -
216 с; Ханин М.А. и др. Экстремальные принципы в биологии и физиологии. -
М.: Наука, 1978. - 256 с.
5 Rashevsky N. Mathematical biophysics. Physico-mathematical foundations of biolo
gy. - 3-d edition. - V. 2. - N.Y.: Dover, 1960. - 462 p.
6 См., напр.: Perelson A. Optimal strategies for an immune response // Lectures on
Mathematics in the Life Sciences. - Providence: The American Mathematical Society,
1979. - V. 11. - P. 109-163.
7 Making a difference. - The World Health Report // WHO, Geneva, 1999; Removing
obstacles to healthy development. - WHO Report on Infectious Diseases // WHO,
Geneva, 1999.
Романюха А.А. Энергетическая цена противоинфекционной защиты организма. Эволюционный подход к анализу данных и моделированию // Тез. докл. Второй Сибирский конгресс по прикладной и индустриальной математике (ИНПРИМ— 96). - Новосибирск, 1996. - С. 44.
вание и применение соответствующего критерия эффективности могут быть полезными не только для уточнения оценок параметров математических моделей иммунитета, но также и для моделирования иммуно-эпидемических процессов, рассматриваемых в качестве одного из важнейших объектов исследований в популяционной биологии и математической экологии на ближайшее десятилетие9.
Цели работы: 1) анализ данных, характеризующих строение и функции противобактериальных защитных механизмов легких; 2) сравнительный количественный анализ участия фагоцитарных и иммунных защитных реакций и других иммунофизиологических процессов в про-тивоинфекционной защите при пневмонии; исследование зависимости условий возникновения, скорости развития, длительности и тяжести болезни от параметров фагоцитарного и иммунного ответа; 3) количественный анализ взаимосвязей между различными характеристиками эпидемического процесса при бактериальных инфекциях и состоянием защитных систем организма; 4) изучение процессов противоинфекцион-ной защиты организма с точки зрения принципов оптимальности.
В соответствии с указанными целями были поставлены следующие задачи: 1) построение и исследование математической модели защитной иммунофизиологической реакции в легких при бактериальной пневмонии, описывающей взаимодействие двух подсистем иммунной защиты организма в ходе воспалительной реакции: неспецифического фагоцитарного ответа и специфического противобактериального гуморального иммунного ответа, с учетом влияния отека на динамику развития инфекции; 2) оценка параметров математической модели и построение обобщенной картины болезни на основе имеющихся экспериментальных и клинических данных; 3) идентификация параметров модели и анализ полученных решений; 4) исследование чувствительности модели к вариации параметров; 5) построение и сопоставление количественных оценок энергетической цены основных процессов противоинфекци-онной защиты при пневмонии; 6) исследование зависимости энергетически оптимальных значений параметров иммунной защиты организма от интенсивности внешней антигенной нагрузки и свойств микроорганизмов.
Методы исследований. Для решения поставленных задач использованы качественные методы исследования обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ), численные методы решения жестких систем
9 Levin S.A. et al. Mathematical and computational challenges in population biology and ecosystems science // Science. - 1997. - V. 275, No. 5298. - P. 334-343.
-7-ОДУ с запаздыванием, методы нелинейной оптимизации, методы теории химической кинетики.
Научная новизна. Построена математическая модель, описывающая механизмы согласования и развития реакций различных подсистем иммунитета в ходе противоинфекционной защиты при пневмонии. Впервые в рамках математической модели инфекционного заболевания в явном виде введена переменная, характеризующая величину отека рассматриваемого участка повреждения и исследовано влияние этого процесса на динамику взаимодействия фагоцитарных клеток и патогена. Предложена параметризация констант скоростей фагоцитоза для учета влияния изменения вследствие отека структуры области, в которой происходят взаимодействия клеток, на динамику фагоцитоза на разных фазах бактериальной инфекции. Показано, что альвеолярный отек в ходе воспалительной реакции при бактериальной инфекции легких влияет на динамику инфекционного процесса не только в результате изменения концентрации фагоцитов и бактерий в легких (эффект разведения), но и вследствие изменения размерности пространства взаимодействующих факторов, что при некоторых условиях может приводить к увеличению констант скоростей фагоцитоза в фазе выраженного отека. В работе применен новый подход к оценке параметров иммунофизиологических процессов, который основывается на предположении о том, что решение модели должно не только приближать имеющиеся клинические и экспериментальные данные, но и соответствовать наиболее экономичным вариантам защиты. Использованный критерий эффективности является одним из наиболее общих вариантов применения эволюционной теории в отношении строения иммунной системы организма, а построенные на его основе оценки параметров для известной средней частоты заболеваемости пневмонией в популяции интерпретируются как соответствующие "норме здоровья" и сопоставлены с результатами идентификации параметров по данным наблюдений.
Теоретическая и практическая значимость. Построенные математические модели и использованные методы их исследования могут быть применены: 1) для изучения влияния различных характеристик микроорганизмов (количество и распространенность во внешней среде, вирулентность и др.) и макроорганизмов (состояние иммунной защиты) на течение эпидемического процесса в целом; 2) при моделировании процессов адаптации иммунной системы, а также взаимной адаптации иммунной системы и патогенов в условиях изменения внешней среды.
Апробация работы. Основные результаты настоящей работы докла-
- 8 -дывались на научном семинаре Института вычислительной математики РАН (1999г.), на международных конференциях аспирантов и студентов "Ленинские горы-95" и "Ломоносов-96" (Москва, МГУ, 1995 г., 1996 г.), II Сибирском конгрессе по прикладной и индустриальной математике (Новосибирск, 1996 г.), VI Национальном конгрессе по болезням органов дыхания (Новосибирск, 1996 г.). По теме работы были приняты и опубликованы тезисы докладов на II, III и IV европейских конференциях по прикладной математике в области теоретической биологии и медицины (Лион, Франция, 1993 г.; Гейдельберг, Германия, 1996 г.; Амстердам, Нидерланды, 1999 г.), 5-й международной конференции по математической динамике популяций (Закопане, Польша, 1998 г.), IX Национальном конгрессе по болезням органов дыхания (Москва, 1999 г.). Список публикаций по теме диссертации включает 8 наименований и приведен в конце автореферата.
Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, обзора литературы, трех глав, заключения и списка цитируемой литературы; содержит 127 страниц машинописного текста, 15 рисунков, 15 таблиц. Список литературы включает 286 наименований.
Строение легких человека. Структура противобактериальных защитных механизмов легких
Легкие называют "воротами инфекции", поскольку они являются мишенью для попадающих туда и размножающихся при определенных условиях микроорганизмов. Респираторные инфекции составляют большинство в общей структуре инфекционных заболеваний (цит. по: Цинзерлинг, 1993). В настоящее время имеется большое количество данных и моделей, характеризующих анатомическое строение, размеры и клеточный состав легких человека и животных (см., напр.: Вейбель, 1970; Rosenthal, 1985; Stone et al., 1992; Mercer et al, 1994a,b).
Дыхательные пути человека подразделяют на верхние и нижние дыхательные пути (ВДП и НДП, соответственно). ВДП включают нос, носоглотку и гортань; в состав НДП входят трахея, бронхи, бронхиолы и альвеолы (Бобков, 1989; George et al., 1990). Строение НДП показано на рис. 1.1.1. Имеется в среднем 23 (22-25) уровня ветвления НДП; 0-16 уровни называют проводящими дыхательными путями, 17-23 уровни - респираторными отделами легких. Респираторные отделы легких, выполняя газообменные функции, являются местом преимущественной локализации воспаления при пневмониях и, следовательно, представляют особый интерес с точки зрения моделирования. К респираторным отделам легких относят 3 уровня ветвления респираторных бронхиол и альвеолярный участок, состоящий из альвеолярных ходов, альвеолярных мешочков и собственно альвеол (рис. 1.1.1). На протяжении бронхов и бронхиол имеет место последовательное деление дыхательных путей на две ветви, т. е. дихотомия (Бобков, 1989); альвеолярные ходы делятся, как правило, на три ветви (Kayser et al., 1992).
В табл. 1.1.1 приведены морфометрические данные, характеризующие строение проводящих дыхательных путей и респираторной зоны здоровых взрослых людей.
Как видно из табл. 1.1.1, кровеносная и дыхательная системы на уровне альвеол пространственно тесно сопряжены. Отметим, что хотя объем респираторной зоны человека занимает лишь около 60% от общего объема легких, площадь ее поверхности составляет свыше 99,5% от общей площади поверхности легких, что максимально способствует газообмену и минимизирует потенциальные расходы организма на поддержку деятельности и защиту от внешних повреждающих факторов слизистых оболочек легких, не связанных с функцией газообмена.
В противобактериальной защите легких участвует целый ряд местных и системных защитных механизмов. При этом механизмы защиты проводящих и респираторных отделов легких имеют некоторые отличительные особенности (Newhouse et al., 1976; Тернер-Уорвик, 1982; Myrvik, 1989; George et al, 1990).
В проводящих дыхательных путях важную роль играет такой фактор механической защиты, как мукоцилиарный транспорт, благодаря которому в норме происходит быстрое удаление бактерий и других микроорганизмов, попавших на стенки проводящих дыхательных путей. У здоровых взрослых людей продукция трахеобронхиального секрета, осуществляемая в основном бокаловидными клетками, железами бронхов и трахеи и клетками Клара, составляет от 10 до 150 мл/сут (в среднем 50 мл/сут), являясь равномерной на всем протяжении дыхательных путей (Шварцман, Хазенсон, 1978; Сыромятникова и др., 1987; Федосеев, Жихарев, 1989). Подробный обзор строения и функции клеток эпителия воздухоносных путей приведен в работе (Thompson et al., 1995). В состав секрета помимо воды (около 92%) и продуктов указанных выше клеток входят сурфактант альвеол, некоторые компоненты плазмы крови, секретируемые местно белки, а также продукты дегенерации и распада собственных тканей (Newhouse et al., 1976; Сыромятникова и др., 1987; Федосеев и др., 1980; Федосеев, Жихарев, 1989). Движение секрета в сторону проксимальных отделов дыхательных путей обеспечивают клетки мерцательного эпителия благодаря согласованному движению ресничек. Число ресничек на клетке мерцательного эпителия равно в среднем 200-250, средняя длина ресничек варьирует в зависимости от номера генерации воздухоносных путей и является максимальной в проксимальных отделах (до 6 мкм); для сравнения средняя длина ресничек на уровне 7-й генерации воздухоносных путей составляет около 3,6 мкм. Диаметр ресничек равен 0,20-0,25 мкм; частота колебаний в норме составляет 160-250 в минуту (Serafini, Michaelson, 1977; Федосеев и др., 1980). Общая площадь поверхности эпителия воздухоносных путей составляет 0,24 м2 (Mercer et al., 1994b). Толщина слоя трахеобронхиального секрета равна в сред нем 5-7 мкм (Шварцман, Хазенсон, 1978; Федосеев и др., 1980). Скорость движения мукуса составляет от 0,1-1,0 мм/мин в терминальных бронхиолах до 4-20 мм/мин в трахее; таким образом, находящиеся в нем частицы проходят в среднем около 10 клеток слизистой оболочки в секунду, что создает препятствие для их прикрепления к стенкам бронхов и способствует эффективному удалению из легких (Федосеев и др., 1980). Частицы, оседающие на слизистой оболочке бронхов и терминальных бронхиол, обычно полностью выводятся благодаря мукоцилиарному клиренсу в течение 1 сут (Тернер-Уорвик, 1982). В респираторных бронхиолах и альвеолах явление мукоцилиарного клиренса отсутствует.
В защите проводящих дыхательных путей участвуют также некоторые местно синтезируемые специфические и неспецифические факторы: секреторные антитела (slgA), лизо-цим, лактоферрин, лактопероксидаза, интерферон и другие. Биологическая роль неспецифических противобактериальных гуморальных факторов в защите дыхательных путей показана в табл. 1.1.2.
Легкие человека и других млекопитающих являются местом локализации большого количества иммунокомпетентных клеток (Holt et al., 1986; Mercer et al., 1994b; Pabst, Tschernig, 1995). Скопления лимфоцитов обнаружены в слизистой оболочке легких, межэпителиальном пространстве, интерстиции и других участках легких. Одним из возмож ных мест локализации лимфоидных клеток в легких служит также так называемая брон-хоассоциированная лимфоидная ткань (БАЛТ). В зарубежной медицинской литературе под БАЛТ понимается совокупность лимфоидных агрегатов в стенках бронхов и легких, снабженных специализированным лимфоэпителием (Pabst, Gehrke, 1990). В отличие от грызунов и других видов животных, БАЛТ не была обнаружена у здоровых людей (Pabst, Gehrke, 1990), а присутствовала только у 8% пациентов с хроническими заболеваниями легких (Delventhal et al., 1992). В связи с этим было отмечено, что в отличие от других лимфоидных органов, существующих на протяжении всей жизни человека, БАЛТ может развиться при определенных условиях под действием микробной стимуляции (Pabst, Tschernig, 1995). К сказанному необходимо добавить, что в отечественной литературе используется более широкое определение БАЛТ, в котором не требуется наличия специализированного лимфоэпителия (Сапин, Этинген, 1996). В работе (Лунькова и др., 1998) при гистологическом исследовании легких здоровых лиц разных возрастных групп отмечалось отсутствие в составе БАЛТ лимфоэпителиальных фолликулов, т. е. хорошо организованной лимфоидной ткани в эпителии легких, способной служить местом пролиферации иммунокомпетентных клеток.
В целом, за последние годы сложилась точка зрения, согласно которой легкие человека представляют собой иммунологически важный орган, способный участвовать в модуляции специфических механизмов противоинфекционной защиты (Holt et al., 1986; Pabst, Tschernig, 1995).
В респираторных отделах легких, где механизм механической очистки (мукоцилиар-ного транспорта) отсутствует, клеточные и гуморальные компоненты иммунного ответа поступают в основном из системной циркуляции. В условиях отсутствия повреждения альвеолярно-капиллярной мембраны защита легких от внеклеточных бактерий осуществляется главным образом посредством фагоцитоза альвеолярными макрофагами, находящимися на внутренней поверхности альвеол.
Оценка параметров
Оценки параметров математической модели ранней фазы защитной воспалительной реакции в легких были получены с использованием данных по морфометрии легких человека, а также данных о кинетике взаимодействий и притоков рассматриваемых клеток. При оценивании параметров использовались следующие известные факты из теории уравнений химической кинетики первого порядка: а) модуль константы скорости реакции первого порядка есть величина обратная количеству времени, за которое концентрация рассматриваемых клеток или веществ изменяется (увеличивается или уменьшается в зависимости от положительности или отрицательности, соответственно, константы скорости) в е раз; б) константа скорости реакции первого порядка есть величина обратная средней продолжительности жизни клеток (или нахождения клеток в данном состоянии). Границы допустимых значений некоторых параметров в реакциях второго порядка оценивались путем рассмотрения их как псевдомономолекулярных реакций, т. е. при условии постоянства кон центрации одной из участвующих компонент (Краснов и др., 1995).
Константа скорости размножения бактерий (/?). Отметим, что точное определение константы скорости роста микроорганизмов в живых системах является непростой задачей, так как для этого используются в основном косвенные методы оценки, например, по длительности латентного периода с момента заражения до проявления симптомов болезни (Yanagita, 1991). В качестве оценки верхней границы допустимого значения параметра (3 взята константа скорости размножения бактерий S. aureus в экспоненциальной фазе роста in vitro (Зимин, Редькин, 1987; Бейли, Оллис, 1989; Yanagita, 1990): /3=37,6 сут-1. Эта величина соответствует времени удвоения популяции бактерий в течение около 0,45 ч. Минимальное допустимое значение параметра /3 возьмем равным нулю. Эта оценка получена в экспериментах in vivo (Jay et al., 1976) и может свидетельствовать о возможном наличии в организме такого сочетания факторов местной защиты (за исключением фагоцитов), при котором размножение бактерий отсутствует. Скорость размножения бактерий существенно зависит от состава микроокружения. Например, период удвоения биомассы Е. coli при оптимальных условиях in vitro может отличаться от такового in vivo почти на 2 порядка (соответственно, 0,28 ч и 20 ч) (Yanagita, 1990). Предположим, что величина (3 постоянна на всем отрезке моделирования. Отметим в связи с этим, что скорость размножения опсонизированных бактерий существенно не отличается от скорости размножения неопсонизированных бактерий (Стейниер и др., 1979; Зимин, Редькин, 1987).
Концентрация фагоцитов в альвеолах в норме (М\, N\). Для оценки величины концентрации макрофагов в объеме жидкости, выстилающей поверхность альвеол (в норме - альвеолярного сурфактанта), воспользуемся следующими данными. Известно, что средний объем альвеолы взрослого человека равен 10 5 мл (Вейбель, 1970); на одну альвеолу в норме приходится в среднем 12 AM (Stone et al., 1992); объем сурфактанта на поверхности альвеолы составляет в норме 3% от общего объема альвеолы (Weibel, 1973). Отсюда следует, что М =4-107 кл/мл. Из данных о соотношении концентраций AM и нейтрофилов в жидкости бронхоальвеолярного лаважа (БАЛ) в норме (Копьева и др., 1991 а,б), получаем: Л =1,5-106 кл/мл.
Константы скоростей фагоцитоза (дг, д2, /її, h2). Теоретические оценки получены при общем предположении о том, что интенсивность фагоцитоза определяется временем, необходимым для встречи фагоцита и бактерии, которое существенно больше времени, необходимого для последующего поглощения и внутриклеточного уничтожения микроорганизма. а) Фагоцитоз на поверхности альвеол (д\, h\). Оценка константы скорости фагоцитоза бактерий альвеолярными макрофагами на поверхности альвеол может быть получена с использованием следующего неравенства: gndom д1 gdirected; где greeted определяется из предположения о направленной миграции фагоцита к бактерии, прикрепившейся к поверхности альвеолы
Те же формулы применимы для оценки константы скорости фагоцитоза бактерий нейт-рофилами (при подстановке соответствующих значений з, ц, г).
б) Фагоцитоз в объеме жидкости (параметры д2, h2). Оценку константы скорости фагоцитоза бактерий альвеолярными макрофагами в объеме жидкости (т. е. в суспензии) можно получить по аналогии с оценкой констант скоростей взаимодействия активированных макрофагов с покоящимися хелперными и эффекторными Т-лимфоцитами в лимфатических узлах (Сидоров, Романюха, 1988) на основе теории жестких соударений применительно к диффузии клеток в растворителе с низкой молекулярной массой (Эмануэль, Кнорре, 1984): где г - радиус AM, г& - радиус бактерии, т] - динамическая вязкость среды, Т - температура (К), к - постоянная Больцмана. При выводе этой формулы предполагалось, что взаимодействия клеток происходят в растворе из молекул воды, при каждом соударении. Подставляя вместо г радиус нейтрофила, получаем соответствующую оценку для параметра h2.
Значения некоторых характеристик AM и нейтрофилов, используемых при получении оценок констант скоростей фагоцитоза по формулам (1.4.1)—(1.4.3), приведены в табл. 1.4.1. Для сравнения показаны соответствующие данные по моноцитам.
Скорость хемотаксиса фагоцитов s оценивали в экспериментах in vitro. Известно, что эта скорость может существенно меняться не только в зависимости от концентрации хе-моаттрактантов, но и от материала поверхности, по которой движутся клетки (пластик, стекло и др.). В особенности это относится к нейтрофилам, что, вероятно, может быть объяснено тем, что большая часть экспериментов подобного рода проводилась с лейкоцитами крови (из которых большинство составляют нейтрофилы). В работе (Leijh et al., 1986) приведена оценка s=20 мкм/мин для скорости хемотаксиса нейтрофилов. Аналогично, границы допустимых значений коэффициента диффузии уь для нейтрофилов, приведенные в табл. 1.4.1, вероятно, несколько заужены, так как в отличие от соответствующих экспериментов с AM в цитированной в табл. 1.4.1 работе не исследовали изменения значений этого показателя при различных концентрациях хемоаттрактантов. Отметим, однако, что исходя из соображений численности фагоцитов в легких в норме и при воспалении основные события на поверхности альвеол в ходе противоинфекционнои защиты происходят с участием альвеолярных макрофагов, а не нейтрофилов, в то время как нейтрофилы преобладают на фазе объемных взаимодействий в период выраженного отека легких. Поэтому с точки зрения оценки констант скоростей взаимодействий на поверхности необходима наибольшая точность именно в оценке соответствующих параметров AM.
Полученные в результате теоретические оценки величин констант скоростей фагоцитоза приведены в табл. 1.4.2. Для сравнения там же приведены оценки параметров по экспериментальным данным in vitro (Leijh et al., 1979, 1981, 1986).
Как видно из табл. 1.4.2, в целом имеем хорошее согласование значений теоретических оценок объемных скоростей фагоцитоза д2 и h2 с экспериментальными данными. Что касается теоретической оценки диффузионной константы скорости gi поверхностного фагоцитоза AM, то, вероятно, она несколько занижена. Это можно объяснить тем, что, находясь на поверхности альвеолы, AM может иметь больший эффективный радиус взаимодействия с микроорганизмами по сравнению с таковым в сферической модели AM (примерно в 2 раза), что в силу формулы (1.4.2) может привести к увеличению значений границ допустимых значений диффузионной константы скорости фагоцитоза на 50-70%.
Концентрация разрушенных клеток в альвеолах в норме (т ). По аналогии с оценкой NX с использованием данных (Копьева и др., 1991 а,б) можно получить, что m =2,5-106 кл/мл. При этом сделано предположение о том, что большинство клеток, получаемых при помощи БАС, принадлежит альвеолярному отделу легких.
Оценка параметров Vmax, V . Участок повреждения легких при пневмонии занимает в среднем два сегмента (Молчанов, Ставская, 1971), что составляет около 300 мл воздушного пространства легких (Вейбель, 1970). Таким образом, Vmax=300 мл. Исходя из этой оценки, нормальный объем альвеолярного сурфактанта в расчете на два сегмента равен К =0,03- г"аж=9 мл.
Константы скоростей гибели AM и нейтрофилов в норме (ам,оси)- Известно, что среднее время жизни тканевых макрофагов и нейтрофилов составляет 7-35 сут и 1-2 сут, соответственно (Федосеев и др., 1980; Drews, 1990). Следовательно, имеем оценки: «м=0,03-0,15 сут-1; ан=0,5-1,0 сут-1.
Константа скорости удаления инфильтрата из альвеол (av). Как уже отмечалось в п. 1.1, по данным (Хансен-Флашен, 1997) время разрешения инфекционного отека легких может составлять 5 сут и более. Будем считать, что минимальное время полной нормализации количества альвеолярной жидкости составляет 3 сут. Из данных обобщенной картины, построенной в п. 1.3, следует, что объем жидкости в пораженных участках легких при пневмонии меняется максимум в 20 раз (т. е. примерно в е3 раз). Отсюда можно оценить максимальное значение интересующей нас константы ско-рости: QymoI = 3 сут СУТ_1- Данным (Копьева и др., 1991 а,б) максимальная длина отрезка времени от разгара пневмонии до фазы реконвалесценции (т.е. от момента максимально выраженного отека до момента отсутствия инфильтративных изменений в легких по рентгенологическим признакам) составляет около 30 сут. На основании этого avm,„ = 30 сут=вД СУТ_1- В итоге имеем следующую оценку: 0,1 сут-1 ау 1,0 сут-1.
Оценка величин, обратных максимальной поглотительной способности AM и нейтрофилов (сі, Сг). Известно, что максимальное количество бактерий S. aureus, поглощенных одним макрофагом и нейтрофилом составляет 100-120 и 40-50 клеток, соответственно (Leijh et аі, 1979, 1981). Следовательно, Сі=(0,8-1,0)-10-2, с2 = (2,0-2,5)-10-2.
Идентификация параметров
Оценки параметров математической модели и данные обобщенной картины динамики защитной воспалительной реакции при пневмонии приведены в табл. 2.3.1 и 2.3.2, соответственно. Для уравнений, описывающих гуморальный иммунный ответ, эти оценки и данные взяты из работ (Карпов, 1991; Марчук, 1991), для остальных уравнений - из гл. 1 настоящей работы.
Введем следующие обозначения: а - вектор идентифицируемых параметров математической модели защитной воспалительной реакции при пневмонии; y%(tj,a) - значение г -й компоненты (г = 1,10) решения системы уравнений (2.2.1)—(2.2.10) с начальными условиями (2.2.11), соответствующего заданному значению а, в момент времени tj (j = 1,5); ylxp(tj) оценка значения г-й переменной математической модели в момент времени tj по данным обобщенной картины (табл. 2.3.2). Задача идентификации заключается в уточнении значений параметров модели путем минимизации следующего функционала невязки, характеризующего отклонения решений модели от данных обобщенной картины: F(a) = X g10y%a) -\ogwylp{tj))\ (2.3.1) причем сумма взята по тем значениям і и j, для которых в табл. 2.3.2 определено соответствующее значение ylexp(tj).
Особенностью динамики рассматриваемых процессов является большая амплитуда изменения (в пределах нескольких порядков) величин данных наблюдений. Преимущество использования приведенного функционала невязки по сравнению с традиционно используемым в методе наименьших квадратов состоит в том, что он имеет свойство одинаковой чувствительности к относительным отклонениям решений от данных наблюдений независимо от абсолютных величин значений данных наблюдений. (Имеем, что yl(tj,a) 0 (по свойству решений), ylxp(tj) 0 (в силу биологического смысла данных наблюдений) Vi, j, и, следовательно, функционал F(a) определен корректно.)
При решении задачи идентификации в качестве начального приближения параметров, характеризующих скорость размножения бактерий и процессы иммунного ответа (в уравнениях (2.2.1) и (2.2.5) (2.2.9)), были использованы значения, полученные в результате решения задачи идентификации параметров в математической модели противобактериаль-ного гуморального иммунного ответа при деструктивной пневмонии (Карпов, 1991; Марчук, 1991; Karpov, Romanyukha, 1992). Начальные значения параметров, описывающих фагоцитарный ответ, отек и разрушение легких (и входящих в уравнения (2.2.1)-(2.2.4) и (2.2.10)) взяты равными уточненным в результате идентификации значениям параметров математической модели ранней фазы защитной воспалительной реакции в легких (гл. 1).
Для решения задачи идентификации параметров использовались стандартные алгоритмы поиска экстремума функций: метод многогранника (Nelder, Mead, 1965) и квазиньютоновский метод Дэвидона-Флетчера-Пауэлла (Fletcher, 1970), реализованные в комплексе программ MINUIT (James, Roos, 1975).
Решение системы уравнений (2.2.1) (2.2.10) с начальными условиями (2.2.11) вычис лялось на основе линейных многошаговых методов, реализованных в программном комплексе DIFSUBDEL (Бочаров, Романюха, 1986 а,б), представляющем собой модификацию на случай систем с запаздыванием алгоритма DIFSUB (Gear, 1971), предназначенного для численного решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений.
Отметим, что задачу идентификации параметров в математической модели ранней фазы защитной воспалительной реакции в легких, рассмотренную в гл. 1, можно рассматривать как подзадачу в решении задачи идентификации параметров рассматриваемой в настоящей главе математической модели защитной воспалительной реакции при пневмонии.
На рис. 2.3.1 приведено решение системы уравнений (2.2.1)—(2.2.10) с начальными условиями (2.2.11), соответствующее уточненным значениям параметров (табл. 2.3.1). Там же для сравнения показаны данные обобщенной картины. В ходе процедуры идентификации не удалось добиться хорошего качества приближения ко всем имеющимся в табл. 2.3.2 данным обобщенной картины динамики защитной воспалительной реакции при пневмонии. В связи с тем, что решения модельной системы уравнений характеризовались в области допустимых значений параметров более быстрой динамикой выведения бактерий из организма по сравнению с ожидаемой по данным наблюдений, были исключены из рассмотрения данные о значениях концентрации бактерий после разгара пневмонии (т.е. в моменты времени =15 сут и =30 сут, соответственно). Указанное расхождение решений модели и данных могло быть вызвано следующими причинами (или их сочетанием):
1) Первое уравнение в построенной математической модели описывает динамику концентрации внеклеточных бактерий S. aureus. В то же время данные БАЛ характеризуют общее количество бактерий в органе-мишени; в условиях выраженных повреждений парен химы, приводящих к большому количеству разрушенных клеток в органе-мишени (в том числе клеток эпителия), часть бактерий может существовать внутриклеточно, избегая эффективного фагоцитоза альвеолярными макрофагами и нейтрофилами. С другой стороны, данные БАЛ свидетельствуют о частой смене микробной флоры на стадиях регрессии и реконвалесценции пневмонии (Копьева и др., 1991 а,б). Таким образом при пневмонии, как правило, имеет место множественная инфекция, и в ходе защитных реакций происходит последовательное освобождение организма от бактерий различных видов, обусловленное как динамикой фагоцитарных реакций и воспаления, так и иммунного ответа. В связи с этим приведенный график модельной динамики концентрации бактерий S. aureus может соответствовать реальности.
2) К снижению скорости фагоцитоза бактерий в динамике пневмонии могут приводить: а) действие бактериальных токсинов и других повреждающих факторов в органе-мишени (например, эластазы, выделяемой нейтрофилами в процессе фагоцитоза); б) влияние физических факторов (например, увеличение вязкости альвеолярной жидкости); в) фагоцитоз тканевого детрита. Эти явления не учтены в модели.
3) Влияние вирусной инфекции на способность AM к фагоцитозу бактерий изучалось в экспериментальной системе на мышах, а также по данным in vitro (Jakab, 1985; Nickerson, Jakab, 1990). В связи с этим предположение о применимости построенных оценок фагоцитарной способности альвеолярных макрофагов при вирусных инфекциях требует дополнительного обоснования.
4) Возможное влияние вирусной инфекции на фагоцитарную способность нейтрофилов in vivo в динамике последующей бактериальной инфекции ранее, по-видимому, не изучалось, и поэтому в модели не учитывалось.
Для анализа влияния указанных факторов на динамику пневмонии необходимо привлечение дополнительных клинических и экспериментальных данных.
Моделирование адаптации противоинфекционнои защиты организма под действием антигенной нагрузки. "Энергетический" подход
Зададим фиксированный отрезок времени [0,Т ], на котором будем рассматривать инфекционный процесс. Для определенности возьмем Г =2-104 сут (величина порядка среднего времени жизни человека). В качестве длительности одной инфекции возьмем интервал в 100 сут. Ограничимся рассмотрением легочных инфекций. В качестве базовой модели, описывающей процессы противоинфекционнои защиты легких, рассмотрим математическую модель защитной воспалительной реакции при пневмонии.
Для начала будем считать, что организм подвергается заражению одним и тем же антигеном инфекционной природы в некоторые дискретные моменты времени. Предположим также, что инфекции повторные, а в момент очередного заражения все величины параметров защитных систем (за исключением параметра ai, характеризующего кратность снижения скорости фагоцитоза бактерий альвеолярными макрофагами) соответствуют фиксированной для данного организма норме. Предположим, что все характеристики инфекционного процесса, связанные с микроорганизмами, фиксированы и не зависят от номера инфекции.
Пусть v - частота инфицирования, а - вектор параметров системы уравнений ма тематической модели защитной воспалительной реакции при пневмонии. Представим а в следующем виде: а=(а , а"), где а Є А - вектор тех параметров системы уравнений модели, которые явным образом входят в компоненты энергетической цены иммунной защиты; а" - остальные компоненты вектора а; А - множество допустимых значений вектора а . Предположим, что Г не зависит от и. Величину Е суммарных расходов энергии в организме на противоинфекционную защиту на отрезке времени [0; Г ] запишем в следующем виде: Е = Е (а, и) = иТ Е(а) + (1 - uT)T W(a), (3.2.1) где первое слагаемое справа обозначает расходы энергии на взаимодействие с патогеном, а второе слагаемое - расходы энергии на поддержание иммунитета в отсутствие инфекции. Е(а) - энергетическая цена противоинфекционной защиты в случае единичной инфекции на отрезке времени [0; Т] (=0 - соответствует началу инфекции; Т - длительность инфекции); Р (а) - скорость расхода энергии на противоинфекционную защиту в норме. Произведение г/Т есть оценка общего числа инфекций за время Г . Предполагаем, что эта величина может принимать дробные значения (например, как среднее по однородной популяции) и непрерывна. Величину Е(а) будем вычислять по формулам (3.1.9) или (3.1.14). Величина И (ск) вычисляется по формуле: где Е и El определяются из соотношений (3.1.10) и (3.1.11).
Пусть А1 С R+ - некоторое подмножество неотрицательного ортанта в RL , L - размерность вектора а . Рассмотрим следующую задачу: при каждом фиксированном и определить значения а такие, что выполняется следующее равенство:
Отметим, что в силу непрерывной зависимости функционала Е (а, и) от своих аргументов решение задачи заведомо существует, если в качестве множества А взять, например, замкнутый параллелепипед, ограниченный гиперплоскостями 0 а[ а , где а!{ выбираются из условий биологических ограничений на значения соответствующих параметров.
Рассмотрим некоторые частные случаи поставленной задачи. Представим вектор а в виде а = (аі,а2), где компоненты а і вектора а объявим свободными, а компоненты а2 - зафиксируем и возьмем равными соответствующим значениям, полученным в результате решения задачи идентификации параметров математической модели защитной воспалительной реакции при пневмонии (гл. 2, табл. 2.3.1). Будем решать задачу (3.2.3) на множестве допустимых значений вектора «і.
Пусть «і=Мд Є К.+ (этот параметр выбран на основе анализа чувствительности построенной в гл. 2 математической модели пневмонии). В табл. 3.2.1 представлены значения параметра МА, доставляющие минимум функционалу Е (обозначены как МА и Е ) при различной частоте антигенной нагрузки и, а также соответствующие максимальные значения концентрации бактерий Ктах. Рассмотрены случаи микроорганизмов с различной вирулентностью: низкой (/3=1 сут-1), соответствующей субклинической форме инфекции на множестве значений параметров, полученных в результате идентификации; средней (/3=2,7 сут-1), соответствующей среднетяжелой форме пневмонии; и высокой (/3=5,4 сут-1), соответствующей тяжелой форме заболевания. Результаты вычислений округлены до второй значащей цифры.
Из табл. 3.2.1 следует, что при каждом из рассмотренных /3 существует и такое, что решение поставленной задачи не единственно, а оптимальным значениям МА соответствуют различные типы динамики болезни: острая и субклиническая формы. Указанная особенность связана с тем, что непрерывная функция Е (МА, и) при малых значениях v имеет два локальных минимума; при возрастании v точкой глобального минимума сначала является та, что соответствует меньшему значению МА; далее настает момент, когда значения рассматриваемой функции в точках локальных минимумов совпадают, а затем единственной точкой глобального минимума скачком становится второй локальный минимум с большим значением МА (рис. 3.2.1).
На рис. 3.2.4 изображена зависимость режимов оптимальной защиты организма от параметров вирулентности (3 и частоты заражения и. По разные стороны от кривой, соответствующей пороговой частоте инфицирования F, типы оптимальных решений различны: область I соответствует субклинической форме инфекции в ответ на заражение; II - острой форме болезни с выздоровлением. Для каждой точки кривой v((3) существуют оба типа оптимальных режимов. Интервал между двумя пунктирными линиями соответствует средней частоте заболеваемости пневмонией по данным (Крылов, Шацкая, 1995; Чучалин, 1995).
На рис. 3.2.5 представлены графики зависимости оптимальной цены противоинфекционной защиты Е (и) для различных значений вирулентности /3, характеризующие возможности оптимального регулирования иммунной защиты на широком диапазоне эпидемически значимых параметров. Из рисунка видно, что при низком значении вирулентности микроорганизмов ((3=1 сут-1) значение Е меняется незначительно (не более чем на 10%) при изменении v в 200 раз (от 5-Ю"5 до Ю-2 сут-1); при средних и высоких значениях вирулентности (/3=2,7 и /3=5,4 сут-1) амплитуда изменения значений величины Е составляет 35% и 93%, соответственно. Пунктирная линия изображает зависимость E (v) при /?=5,4сут-1 для значения М =3,84-107 кл/мл, являющегося оптимальным при z/=l,5-10-4 сут-1.
Анализ результатов расчетов позволяет сделать следующие выводы: 1) энергетическая цена заболевания или режима противоинфекционной защиты в целом является биологически значимой характеристикой набора величин параметров математической модели пневмонии и позволяет обосновать норму строения и функционирования иммунной системы при заданных условиях внешней среды; 2) в зависимости от вирулентности микроорганизма и частоты инфицирования минимальный расход энергии на противоинфекционную защиту достигается при двух принципиально разных режимах протекания инфекции: острой, клинически выраженной форме болезни, которая характерна для более вирулентных и редких инфекций и субклинической, более продолжительной и с незначительным повреждением организма форме болезни, характерной для менее вирулентных и частых инфекций.
Далее будет показано, для каких целей могут быть также использованы результаты решения поставленной задачи оптимизации. Параметры задачи (3.2.3) можно условно отнести к трем основным группам: 1) параметры, задающие свойства микроорганизмов (константа скорости размножения бактерий /5 (вирулентность), константа скорости отека S, константа скорости разрушения клеток органа-мишени т); 2) параметры внешней среды (и, oi, о2); 3) параметры иммунной защиты, включая константы взаимодействий с микроорганизмами (все остальные). Смысл рассмотрения параметров внешней среды отдельно от параметров микроорганизмов заключается помимо известных соображений в том, что рассматриваемые бактерии S. aureus постоянно присутствуют в организме в составе нормальной микробной флоры, являясь условными патогенами, а болезнь происходит в результате нарушения функции системы фагоцитов, часто возникающего на фоне вирусных инфекций. Таким образом, помимо величин, характеризующих амплитуду и длительность снижения функции фагоцитов (ai и а2) к параметрам внешней среды следует отнести и величину "частоты инфицирования" и, во многом определяемую, как показывают данные, частотой острых вирусных инфекций легких, осложненных пневмониями.
