Введение к работе
Важнейшим качеством любой сложной системы является ее надежность, т.е. способность безотказно выполнять в течение требуемого времени возложенные на нее функции. Один из создателей отечественной кибернетики академик А.И.Берг назвал надежность "проблемой номер один современной техники". Этот тезис не утратил своего значения и в наше время. Как и прежде, многие научные коллективы заняты разработкой математических моделей для описания процессов в реальных системах и методов анализа и оптиытащш их надежности. В Советском Союзе большой вклад в теорию и практику надежности внесли научные школы Москвы, Ленинграда, Киева, Минска, Риги и других городов.
Надежность - проблема комплексная. Ее теоретическое решение связано в первую очередь с проникновением в глубину физ'.'.ко-химических процессов износа материалов, усталостного разрушения и других подобных явлений, приводящих к отказам элементов сложных систем. Определенную роль здесь играют также и математические методы анализа и оптимизации надежности сложных систем в рамках тех или иных принятых моделей их функционирования.
Усилиями многих исследователей Си советская школа надежности сыграла здесь важную роль) разработана теория расчета характеристик надежности систем, основанная на общих и специальных методах теории случайных процессов. Большие успехи достигнуты как в выводе точных формул (когда это возможнв), так и в разработке приближенных методов. Упомянем в этой связи работы 6.В. Гнеденко. Ю.К.Беляева. А.Д.Соловьева, И. Н. Коваленко, В. С. Королюка, А. Ф. Турбина, D. В. Калашникова, В.В.Анисимова, Д. С.Сильвестрова и многих других. Экстремальные значения характеристик надежности при неполной информации (минимаксный подход) изучались в работах Е. D. Барзиловича, В.А.Каштанова, И.Н.Коваленко, Л. С.Стойковой.
В последние годи выявился ряд новых С преимущественно оптимизационных) задач надежности,к которым, к сожалению, развитые методы анализа оказываются неприменимыми. Л именно, в диссертации сводится понятие экстремальной задачи с редкими событиями, обобщающее многие встречающиеся на практике "частные" задачи тэкзго рода. Ibwnw памп в первой главе определение представляет собой иелпе посл'р:><чшр. ьы-полненное при пемоыи таких "простейших п-мттаН)" к ж малы!; наг ~мг. Ф-
возмущение, бесконечно малая при'+0 функция, вероятностное пространство и задача математического программирования; рассмотрены наиболее интересные Сиз ныне известных) классы таких задач; введено понятие сингулярной зависимости ее решения от малого параметра.
Решение указанных выше задач сводится к отысканию неподвижных точек (вообще говоря нелинейных) сингулярно возмущенных отображений в функциональных пространствах; причем информация об отоораже-нии содержится лишь в последовательности наблюдений результатов некоторого вероятностного эксперимента. Но в таком случае чисто детерминированные способы отыскания неподвижных точек невозможны; приближения случайны. Простейшим примером случайных приближений служит закон больших чисел и основанный на нем метод Монте-Карло, позволявший находить неподвижные точки линейных отображений.
Для отыскания неподвижных точек нелинейных отображений широкое распространение получили методы стохастической аппроксимации, рекуррентного оценивания, стохастического программирования. В частности, в Институте кибернетики им.В. М.Глушкова АН УССР Ю. Н. Ермольевым и его учениками развит стохастический квазиградиентный метод отыскания неподвижных точек нелинейных отображений, который может быть использован для решения рассматриваемых задач. Но этот метод практически не применялся для решения задач с вырождающимися (при -»0) неподвижньши точками. Поэтому, естественно, возникают вопросы: каковы условия аффективного применения указанного выше метода к решению сингулярных экстремальных задач с редкими событиями и каковы механизмы построения вычислительного процесса, обеспечивающие выполнение таких условий. В рамках имеющейся теории сходимости ответов на них нет,
Явление сингулярности в математических моделях анализа высокона
дежных систем известно достаточно давно; оно изучалось в рамках чис
то аналитического подхода теории фазового укрупнения сложных систем
в трудах B.C.Королска, А.Ф.Турбина и их учеников. Для преодоления
затруднений, связанных с сингулярностью имитационных статистических
моделей анализа высоконадежных систем, И. Н. Коваленко и его учениками
развит аналитико-статистический метод. Полученные здесь результаты
фактически содержат механизмы обеспечения эффективного отыскания
неподвижных точек линейных конечномерных сингулярно возмущенных ото
бражений. '*
Таким образом, ак1уадьнзсть_ПЕеалагаеудЕО_5ИСсеЕтац,110нного_исд2е-Л0?Шмя обусловлена появившимся в последнее время рядом новых прик-
ладных задач, к которым традиционные методы анализа надежности ок<. эались непригодными.
Цёльв_пр.еалагаемдгд_2иссевтавдднного_исс послужила задача распространения методов оценки неподвижных точек сингулярно возмущенных отображений в .область нелинейных отображении в функциональных пространствах. Полученные в этом направлении результаты стали, по существу, основанием единого подхода к решению задач анализа и оптимизации надежности, казавшихся еще недавно Сс методической точки
зрения) совершенно различными.
0с8О1иые_везх2ТЗТ8_аЦ2СёЕ!ииднногд_исслеадвания состоят Б том>
что:
введено и исследовано понятие экстремальной задачи с редкими событиями и ее сингулярности; показано, что задачи анализа и оптимизации надежности сводятся к отыскании неподвижных точек нелинейных сингулярно возмущенных отображений в функциональных пространствах, причем задачам анализа соответствуют линейные отображения;
описаны классы неотрицательных Спочти монотонно в среднем) сходящихся к нули случайных последовательностей; доказаны новые теоремы о сходимости случайных приближений квазиградиентного типа в банаховом и гильбертовом пространстве; выяснены дополнительные условия их сходимости и равномерной сходимости при решении сингулярно возмущенных экстремальных задач с редкими событиями;
предложен метод аддитивных функционалов для конструктивного определения стохастических квазиградиентов в последовательности приближений при решении различных "частных" экстремальных задач с редкими событиями; данный метод использован для анализа и построения алгоритмов решения отдельных классов таких задач.
Все пер.ечисленные_результаты_являются_новщи; они могут быть квалифицированы как новде_перспективное_яапр.аБление в области приложений теоретико-вероятностных и статистических методов в моделях анализа и оптимизации надежности сложных систем.
иёзультат^аиссецта^ионного.ис при раз-
работке математических моделей анализа и оптимизации надежности судовых электроэнергетических систем, фазированных антенных решеток, атомных электростанций, комплектов ЗИП, сценках деятельности опера-торос АСУ и др. Отдельные алгоритмы и реализующие их программы внедрены б ряде научно-исследовательских и проектных организаций.
Результаты диссертации докладывались на международных, всесоюзны-'
а республиканских конференциях, семинарах. В_целдм диссертационная. работа доложена на семинарах Института кибернетики имени В. М.Глуш-кова АЇІ УССР "Алгоритмизация анализа высоконадежных систем" С рук. И.И.Коваленко) и "Математические методы исследования операций" (рук. Й. U. Ермольев); Института математики АН УССР "Теория вероятностей и математическая статистика" С рук. В. С. Королвк).
ДисйёЕ'ЙЦия^состоит из трех глав и списка литературы; ее объем -7 печатных листов. По теме диссертации опубликовано 20 статей и заметок, одна монография; получено авторское свидетельство об изобретении.
Считаю своим долгом назвать здесь тех, кто оказал существенное влияние на мои научные взгляды и, тем самым, предопределил цель и содержание данного исследования. В первую очередь я благодарен своим университетским профессорам - академикам АН УССР Ю. М. Березанокому С три семестра функционального анализа), В.С.Королику С три семестра асимптотических методов теории случайных процессов, руководство курсовой и дипломной работами), А.В. Скороходу (три семестра теории вероятностей и математической статистики, два семестра теории случайных процессов). Я глубоко благодарен своему учителю - академику АН УССР И. Н. Коваленко за все, чему он меня научил и аа те благоприятные условия, которые ии созданы в отделе математических методов теории надежности сложных систем Института кибернетики для выполнения этой работы. Я также признателен академику АН УССР Ю.М.Ермольеву за неизменный интерес и поддержку настоящего исследования. Трудно переоценить ту помощь, которус на протяжении десяти лет мне оказывал доктор технических наук Н.Ю.Кузнецов; я также благодарен старшим научным сотрудникам В. А. Арентову и В. Д. Шпаку.
