Введение к работе
Актуальность проблемы
Актуальность проблемы численного моделирования решений систем нелинейных стохастических дифференциальных уравнений Ито определяется необходимостью учета случайных возмущений в разного рода динамических системах - электрических, электро механических и др. Это часто ведет к математической модели, которая лежит на классе уравнений:
xt. = AfX,t> + 2(X,t)ft; х- = х(0), (1)
где x^xft ,o.'KRn - искомый случайный процесс; f^eR^ - столбец независимых гзуссовских белых шумов; ACx^.tkR . 2(x.,t)R нелинейные дифференцируемые матричные функции. Поэтому численное моделирование целого класса динамических систем сводится к проблемечисленногс моделирования ' решений систем нелинейных стохастических дифференциальных уравнений Ито вида (1). Кроме этого проблема численного моделирования таких уравнений полезна при численном решении задачи нелинейной фильтрации, т.к. уравнения нелинейных фильтров, в том числе нелинейного фильтра Калмана-Бьюси, также лежат на классе указанных уравнений. Интерес представляет также и моделирование линейных стохастических систем.
Актуальность проблемы заключается также и в том, что известные методы численного интегрирования детерминированных дифференциальных уравнений: методы, основанные на разложении Тейлора (эти методы іїредет8вляк>ї '"обой отрезки ряда Тейлора на дискретной сетке), конечно разностные методы ( методы Рунге-Кутта, всевозможные многошаговые схемы и др.) и т.д. в своей основе содержат формулу разложения Тейлора, Разложение Тейлора выводится с помощью известных представлений о дифференцировании детерминированных функций, эти представления, а значит и все указанные методы, не могут быть распространены на класс случайных процессов Ито, определяемых уравнением (1). Как извесно, белый шум является недифференцируемым случайным процессом, сколь угодно близко лежащие реализации которого являются независимыми. Поэтому уменьшение шага интегрирования в численных методах для детерминированных уравнений
не приведет к улучшений качества интегрирования, если их применять для случайного процесса, определяемого уравнением (1).
Цель работы
Цель» диссертации является углубление теоретических основ решения проблемы и численное исследование разработанных алгоритмов.
Основные задачи работы
Основные задачи диссертации можно разделить на две группы. К первой группе относятся задачи теоретического характера, среди которых можно выделить построение общего случая разложения Тейлэра-Ито, аппроксимация кратных интегралов Ито, построение и доказательство сходимости методов численного интегрирования систем нелинейных стохастических дифференциальных уравнений Ито, основанных на разложении Тейлора-Ито, построение на базе этих методов их конечно разностных модификаций. Ко второй группе задач относятся задачи построения алгоритмов, реализующих полученные теоретические результаты и их численное исследование.
Научная новизна работы
Научная новизна работы присутствует по нескольким направлениям:
1.Получено разложение Тейлорз-Ито в общем случае, т.е. коэффициенты разложения вычисляются рекуррвнтно по мере увеличения точности разложения. Этот результат является новшл. В литературе (Щільштейн Г.Н. 1988, Kioeden Р.Е., Platen Е. and Wright I. V5. 1992 и др.) присутствуют частные случаи разложения Тейлора-Ито. .?-Предложен оригинальных метод представления кратных итовских интегралов в виде рядов из произведений независимых гауссовских величин. Он дает такие же результаты, как и известный метод Милклтейна, но является более удобным.
3.Впервые сформулирована и доказана теорема об оценке погрешности аппроксимации кратных итовских интегралов в общем случае . Эта теорема дает правило обрыва рядов, из которых состоят кратные интегралы Ито, в момент достижения требуемой точности аппроксимации. В качестве следствий этой теоремы получены
оригинальные условия обрыва рядов для итобских интегралов первой, второй и третьей кратности.
і. Построены три конечно-разностных метода численного интегрирования нглшейшх стохастических дифференциальных уравнений Ито, ЛЕдлюшдесяы новыми, т.к. до сих пор в литературе встречались лишь методы, для уравнений с векторным белым шумом , являющиеся куском ряда Тейлора-Иго. Тееретические результаты диссертации имеют Зольную практическую ценность, т.к. с их помощью может быть решен ряд задач, которые не были решены ранее.
Практическая ценность
Построен ряд методов численного моделирования решений стохастических дифференциальных уравнений Ито, получены условия их сходимости и оценена скорость сходимости. С помощью этих методов может быть решен ряд задач по моделированию динамики стохастических систем, в том числе и задачи, которые не были решены ранее.
Метода исследования
При получении результатов диссертации использовались методы функционального анализа, теории случайных процессов, численного моделирования на ЭВМ.
Аппробация работы
Результаты работн докладывались на научных семинарах кафедр "Системный анализ и управление", "Механика и процессы управления" СШГТТ?, а также вошли в два годовых отчета по гранту "Фундаментальные исследования в технических университетах".
Структура и объем работы
Работа состоит из предисловия, семи глав, заключения, приложения и аптека цитируемой литературы, включающего 26 наименований. Работа изложена на 250 страницах, содержит 51 рисункок.
Публикации
По теме диссертации опубліковано 5 работ, список которых приведен в конце диссертации.