Введение к работе
Актуальность темы. Интенсивное развитие вычислительной механики происходит в направлении реализации численных экспериментов над все более сложными механическими моделями. Наиболее показательными здесь являются модели сплошных сред, анализ которых приводит к необходимости использования сеточных методов. При этом точность получаемого путем моделирования решения задач существенным образом зависит от характеристик узлов сетки, на которой ищется решение. Для сложных задач используются сетки с большим числом узлов, оптимизация которых невозможна из-за большей сложности этой проблемы, чем исходная. В данной работе предлагается развивать другой-ансамблевый, статистический подход к этой проблеме, согласно которому вместо оптимизации узлов сетки оптимизируется плотность их распределения.
Идея ансамблевого описания характеристик концентрации узлов сетки интегрирования позволяет преобразовать задачу математического программирования по выбору оптимальной сетки в соответствующую вариационную задачу. В ряде случаев эту вариационную задачу можно решить аналитически. В других же случаях возможно только приближенное численное ее решение. Однако сложность получения решения вариационной задачи намного меньше, чем решение аналогичной задачи математического программирования, так как в вариационной задаче оптимизации оказываются автоматически учтенными сложные для численной реализации ограничения на координаты узлов типа упорядочивания, а также для получения хороших приближений не требуется высокой точности определения плотности распределения узлов. Важны только тенденции их концентрации. Поэтому достаточной оказывается простейшая аппроксимация плотности распределения в виде кусочно- постоянных функций.
Другая актуальная задача, которая требует привлечения методов адаптивно-статистического моделирования, состоит в вычислении многомерных интегралов.
Цель работы. Разработка адаптивных статистических подходов, методов и алгоритмов для решения задач вычислительной механики, например, обобщение метода конечных элементов на случай адаптивной случайной сетки, а также построение алгоритмов метода Монте-Карло для вычисления многомерных интегралов с повышенной скоростью сходимости.
Научная новизна.
1. Разработан регрессионный подход к вычислению многомерных интегралов на случайной сетке. Этот подход основан на аппроксимации подынтегральной функции функцией регрессии, коэффициенты которой определя-
ются стохастическим методом наименьших квадратов (МНК). В качестве оценки интеграла берется значение интеграла от полученой аппроксимации функции. Исследован рекуррентный и нерекуррентный МНК.
-
Получены аналитические представления для дисперсий оценок многомерных интегралов регрессионными методами и исследованы пути их понижения за счет выбора базисных функций.
-
Разработаны методы повышения точности вычисления многомерных интегралов, основанные на оптимизации плотности распределения узлов сетки.
-
Получены аналитические представления интегральных функционалов, характеризующих уровень погрешности вычисления одномерных интегралов на случайной сетке. Минимизация этих функционалов позволяет получать оптимальные распределения узлов сетки интегрирования.
-
Разработан подход к рациональному выбору характеристик случайной сетки в методе конечных элементов (МКЭ) при решении одномерных задач механики сплошных сред.
-
Рассмотрены и исследованы различные адаптивные алгоритмы оптимизации случайной сетки МКЭ.
Личный вклад. Все научные результаты и методологические подходы, приведенные в диссертационной работе, получены и сформулированы соискателем самостоятельно.
Практическая ценность.Практически ценным является расширение круга задач, решаемых статистическими методами. Разработанные в диссертации алгоритмы оптимизации одномерной сетки могут быть успешно применены к расчету статики, а также динамики одномерных инженерных задач. Кроме того, идеи, предложенные для оптимизации одномерной сетки МКЭ при надлежащей доработке могут быть применены для рассчета двумерных и трехмерных задач вычислительной механики. Полученные результаты исследований носят универсальный характер и могут быть использованы при организации сложных вычислений в многопроцессорных компьютерных системах.
Методы исследования. Для решения поставленных задач используются методы теории вероятности, математической статистики, механики деформируемых тел, вычислительной математики, программирования и численного моделирования на ЭВМ.
Апробация работы. Результаты работы докладывались и обсуждались
-на 4-ой Международной конференции женщин математиков "Математика. Моделирование. Экология'" (Волгоград, 1996)
-на Международном семинаре "Нелинейное моделирование и управление" (Самара, 1997),
-на Международной конференции "Средства математического моделирования" (Санкт-Петербург, 1997)
-на семинарах кафедры "Механика и процессы управления" Санкт-Петербургского государственного технического университета (С.-Петербург, 1997)
Публикации. По теме диссертации опубликовано 6 работ, список которых приведен в конце автореферата.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав и списка литературы из 61 наименования. Диссертационная работа изложена на 136 страницах, содержит 16 рисунков и б таблиц .