Введение к работе
Актуальность темы. Математические модели многих физических явлений и процессов часто сводятся к краевым спектральным задачам с параметром (физическим или искуственно введенным) для линейных и нелинейных дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений и их систем. При этом на языке функционального анализа их можно сформулировать как нахождение семейства решений х(а) на отрезке [ад.а^] для функционального уравнения вида:
F(x,a)=0, (1)
где хеХ, F^xfctg.ajl^Y - дифференцируемый нелинейный оператор, X.Y - функциональные пространства, х - собственные значения и собственные функции, a - физический параметр.
Специфика таких задач определяется необходимостью изучать поведение решения на широкой области параметров, диапазон изменения которых, например, давления или температуры при расчете свойств вещества, может включать несколько порядков, что фактически требует проведения многовариантных расчетов.
Это, с одной стороны, усложняет задачу исследователя и предъявляет жесткие требования к эффективности алгоритмов. С другой стороны, именно специфика постановки, связанная с решением совокупности близких по значениям параметра однотипных задач, позволяет преодолевать указанную проблему в рамках общей идеи продолжения по физическому параметру.
Данный подход получил развитие в работах отечественных и зарубежных авторов: М.К. Гавурина, Д.Ф, Давиденко, В.А. Амбарцумяна, А.А. Дородницына, С.Г. Михлина, Р.П. Федоренко, Э.И. Григолюка, В.И. Шалашилина, Р. Беллмана, Дж. Одена, В. Рейнболдта, Дж. Ортеги, А. Уокера, Е. Аллоговера и ряда других. Среди конкретных приложений выделяются цикл исследований Е.П. Жидкова и И.В. Пузынина с соавторами по разработке непрерывного аналога метода Ньютона (НАМИ) для решения широкого круга задач квантовой механики, работы группы А.А. Абрамова и Б.Н. Конюховой, посвященные решению многопараметрических несамосопряженных краевых задач теории оболочек.
Несмотря на кажущуюся простоту общей идеи, на практике остается недостаточно проработанным широкий круг вопросов.
связанных с проблемой конкретной реализации. При этом эффективность обычно достигается лишь на пути создания специализированных алгоритмов, ориентированных на решение узких классов задач.
В работах И.Д. Родионова была предложена концепция метода эволюции параметра (МЭП), позволяющего в рамках общей идеи продолжения реализовать алгоритмы со следующими свойствами:
-экономичность (в смысле использования вычислительных ресурсов), достигаемая за счет оригинальной схемы эволюции и процедуры понижения размерности,
-устойчивость и релаксация ошибок в процессе расчета эволюционной кривой,
-порядок точности 0(5а) по параметру при затратах, эквивалентных Ньютоновским итерациям.
Актуальность диссертации определяется необходимостью доведения общей концепции МЭП до конечных схем и алгоритмов применительно к конкретным классам краевых спектральных задач квантовой механики. Применение МЭП позволяет максимально учитывать их специфику при сохранении единого подхода к решению.
Целью и задачей исследования является:
-разработка на основе МЭП, обоснование и реализация схем эволюции при решении краевых спектральных задач с параметром для линейных ОДУ второго порядка, систем таких ОДУ с линейным и нелинейным вхождением собственных значений в краевые условия, некоторых типов систем нелинейных интегро-дифференциальных уравнений.
-построение конкретных алгоритмов эволюции по физическим и искуственно введенным параметрам при решении задачи на связанные состояния для одномерного уравнения Шредингера, изучении расщепления уровней атома во внешнем электрическом поле F (задача Штарка), расчетах по моделям самосогласованного поля типа Хартри и Хартри-Фока-Слэтера (ХФС).
Научная новизна. В работе предложен и обоснован ряд новых, в том числе обобщенных, схем эволюции в рамках МЭП для решения указанных выше классов краевых спектральных задач. Развиваемый подход получил методическую завершенность и доведен до специализированных экономичных алгоритмов, ориентированных на' современные вычислительные средства, включая параллельные архитектуры. В том числе:
Для задачи на связанные состояния (являющейся "пробным камнем" для МЭП) наряду со схемами эволюции построены
оригинальные алгоритмы: отделения спектра, расчета уровня с заданным номером, расчета участка спектра, заданного диапазоном номеров или граничными значениями энергии.
Для задачи Штарка на общей методической основе разработаны новые алгоритмы расчета как в постановке задачи рассеяния, так и задачи на квазистационарные состояния.
Для нелинейных самосогласованных задач на основе МЭП построены высокоточные эволюционные и итерационные схемы на равномерных и квазиравномерных сетках, обоснована устойчивость и релаксирующие свойства базовых и обобщенных схем МЭП со сходимостью 0(5а4) и 0(5а2) по параметру. Разработан алгоритм расчета по моделям Хартри и ХФС с трудоемкостью 0(N), где N -число точек по пространственной переменной. Эволюция по ряду параметров в модели ХФС в рамках МЭП проведена впервые.
Результаты ряда проведенных расчетов являются новыми.
Практическая значимость. Теоретические результаты могут быть использованы при построении новых классов схем эволюционного и итерационного типа. Эффективность развитых схем и реализованных алгоритмов подтверждена практикой расчетов, имеющих прикладное значение, в том числе:
Для задачи Штарка на основе схем МЭП получены диаграммы расщепления уровней, вычислена их энергия и ширина в диапазоне поля F, превосходящем пределы применимости теории возмущений. Результаты расчетов перекрывают опубликованные данные.
Для моделей Хартри и ХФС показана возможность проведения массовых расчетов с перестройкой электронных конфигураций и сменой параметра в процессе эволюции. Рассчитана зависимость спектра, чисел заполнения, химического потенциала и других характеристик от температуры, радиуса и заряда ядра.
Полученные данные и накопленный опыт являются теоретическим заделом для расчетов межмолекулярных взаимодействий при интерпретации эксперимента по рассеянию молекулярных пучков.
Алгоритмические средства, развиваемые в рамках МЭП, допускают эффективную реализацию на современных параллельных архитектурах. Это особенно актуально при решении систем ОДУ, в том числе нелинейных самосогласованных задач, для которых схемы МЭП реализованы на многопроцессорной транспьютерной системе. Интерфейс разработанного комплекса программ позволяет проводить исследование моделируемых процессов в режиме диалога, допускающем смену параметра в процессе эволюции.
Таким образом, развиваемый подход показал себя как
надежный инструмент вычислительного эксперимента.
Методика исследований. В основе работы лежат численные методы решения спектральных задач математической физики, теория итерационных процессов, математического анализа, методы решения нелинейных уравнений. Практическая реализация ориентирована на применение персональных ЭВМ, параллельных архитектур и разработку комплексов прикладных программ.
Апробация результатов. Основные результаты работы докладывались на всесоюзных совещаниях "Физико-химические свойства вещества" (Ужгород, 1988, Иркутск, 1990), межвузовской конференции "Вычислительная физика и математическое моделирование" (Волгоград, 1988), на всесоюзном совещании "Молекулярно-пучковые исследования" (Алма-Ата, 1990), всесоюзном семинаре "Прикладные проблемы моделирования и оптимизации" (Славское, 1991), на всесоюзных конференциях "Транспьютерные системы и их применение" (Звенигород, 1991, Домодедово, 1992), на международной конференции "Новые информационные технологии в науке, технике, медицине" (Гурзуф, 1994), конференции "Вычислительные сети-95" (Крым, 1995). Кроме того, работа обсуждалась на семинарах под руководством д.ф.-м.н. Ю.А. Шмыглевского (ВЦ РАН), под руководством д.ф.-м.н. Ф.И. Далидчика (ИХФ РАН), под руководством д.ф.-м.н. А. А. Абрамова (ВЦ РАН), на семинаре ЛВТА ОИЯИ под руководством д.ф.-м.н. Е.П. Жидкова.
Публикации. По теме диссертации опубликовано 7 работ. Список работ приведен в конце автореферата.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы из 149 наименований. Работа содержит страниц, включая 22 рисунка и 19 таблиц.
