Введение к работе
Актуальность исследования. В последние годы в связи с бурным развитием науки и техники, областей, относящихся к высоким технологиям (квантовая механика, микроэлектроника, композитные материалы, компьютерные сети и т. п.), особую актуальность приобрели классические задачи (теплопроводности, распространение колебаний и др.) в некласси-ческой постановке. При этом в этих задачах эффективно работают методы теории графов. Диссертационная работа посвящена обоснованию применяемых графовых подходов и разработке алгоритмов решешш краевых задач для классических уравнений мзтемаї кческой физики на ориентированных графах.
В последнее время появился ряд работ, посвященных исследованию дискретного аналога оператора Лапласа на неориентированных графах и приложением этих исследований к задачам случайного блуждания частицы по кристаллической решетке, задачам распространения тепла или колебаний по решетке, возникновению и развитию микротрещин в композиционных материалах. В этих работах изучается спектр оператора Лапласа, рассматриваются отношения между спектром лапласиана и геометрией графа, а также выявляются cbspii между спектром оператора Лапласа на всем неориентированном графе и его спектром на подграфах, рассматриваемого графа. Изучаются вопросы существоваїшя гармонических, суб- и супергармонических функций' на графах и рассматриваются некоторые их свойства.
Вместе с тем, вопрос об изучетш оператора Лапласа на ориентированных графах остается практически не затронутым, хотя практические приложеігая теории графов, как правило, реализуются именно на ориентированных графах.
Целью работы является обоснование и разработка алгоріггмов решения задач, порожденных оператором Лапласа, для дискретных аналогов
4 . классических уравнений математической физики на ориентированных графах.
Научную новизну работы определяют следующие результаты, полученные автором:
-
Сформулирован и доказан принцип максимума для субгармонических функций на орграфах.
-
Получены дискретные аналога первой и второй формул Грина на орграфах.
-
Сформулирована и доказана теорема существования и единственности решения задачи Дирихле, порожденной оператором Лапласа, на орграфах с прогрессивно конечной конденсацией.
-
Предложен метод декомпозиции решения задачи нахождения спектра оператора Лапласа.
-
Введена в рассмотрение функция Грина и получена ее связь с амплитудой Грина комплексной марковской цели. На основе этой связи предложен новый метод нахождения амплитуды вероятности для дискретного аналога фейнмановской теории тсвантовой механики на ориентированных графах.
-
Доказаны теоремы существования и един лвенности рошений волнового уравнения и уравнения теплопроводности на орграфах, а также сформулирован и доказан принцип максимума для решения однородного уравнения теплопроводности на орграфе.
-
Приведена схема решения краевой задачи Дирихле на конечных орграфах и ее реализация в виде паскаль-программы.
Практическое значение работы заключается в следующем:
рассмотрены приложения полученных результатов для гармонических функций на орграфах в квантовой механике, в частности, предложен эффективный метод нахождения амплитуды вероятности;
на основе уравнения теплопроводности на орграфах рассмотрена модель, позволяющая проводить расчет средних температур в системе тел,
5 находящихся во взаимном теплообмене между собой и в теплообмене с окружающей средой, что может найти свое применение в микроэлектронике.
Апробация работы. Результаты, изложенные в диссертации, докладывались на международной конференции "Нелокальные краезые задачи и родственные проблемы математической биологии, информатики и физики" (Нальчик, 1996), на V международной конференции "Математика. Экономика" (Ростов, 1997), на научной конференции по итогам научно-исследовательской работы (АЧГАА, Зерноград, 1995-1998), на семинаре кафедры алгебры и дискретной математики РГУ (1998).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в [1-6].
Объем и структура диссертации. Работа состоит иі введения, четырех глав, четырех приложений и списка литературы (59 наименований) изложенных на 121 странице машинописного текста, в т. ч. 24 рисунка.
Благодарности. Автор от души благодарит своего научного руководителя к. ф.-м. н., доцента Ерусалимского Я. М. за постоянную заботу и помощь при работе над диссертацией, а также выражает свою признательность к. ф.-м. н., доценту Хейфицу А. И. за идею и привлечение интереса автора к данной теме.
