Введение к работе
Актуальность тепы диссертации. Большинство внутренних водоемов России и многие прибрежные районы морей являются мелководными водоемами, для которых отношение характерных размеров в горизонтальных направлениях составляет 104 и более. Но именно эти водные экосистемы испытывают наибольшую антроттлгрннуїп нагрузку, связанную со строительством портов, прокладкой судоходных каналов, а также с различного рода загрязнениями. Многие из этих экосистем являются уникальными и весьма "хрупкими" (такие как Таганрогский залив и Азовское море в целом, северный Каспий и др.).
Поскольку крупномасштабные натурные эксперименты здесь являются не только чрезвычайно дорогостоящими, но в большинстве случаев недопустимы, то единственно возможным средством анализа и прогноза водных экосистем является математическое моделирование .
Среди задач водной экологии первичными являются расчеты гидрофизических параметров. Гидродинамические характеристики водоемов (поля скоростей водного потока, функции возвышения уровня) являются входными данными для расчета распространения загрязняющих веществ и развития всего живого в водной среде, начиная от фитопланктона и заканчивая млекопитающими.
Реальные водоемы представляют собой области сложной формы с объективно предопределенной границей. Граничные узлы прямоугольной сетки декартовых координат, покрывающей водоем, могут точно не попадать на контур береговой линии акватории. Это приводит к тому, что краевые условия ставятся в точках, смещенных от реальной границы, либо, при усечении граничных ячеек сетки, вблизи границы концентрируются неоднородности, связанные с неравномерностью шагов по пространственным направлениям. Кроме того, дно мелководных водоемов может быть изрезано углублениями кусочно-линейной или криволинейной формы, не совпадающей с прямоугольными декартовыми координатными линиями, естественного и искусственного происхождения (бывшие русла рек, прорытые судоходные каналы и т.д.), наличие которых может во многом определять картину течений: отдельные линии тока могут повторять форму этих углублений. Сравнение аппроксимаций различных кривых показывает, что для адекватного приближения их формы ломаными, вершины которых лежат на кривых, требуется в 5...10 раз меньше отрезков по сравнению со ступенчатыми ломанными, смежные стороны которых взаимно перпендикулярны или сонаправлены. Поэтому
численное моделирование будет проводиться на криволинейной сетке из четырехугольных ячеек. Это также приводит к упрощению структур данных и алгоритмов их обработки: число изменений количества узлов в каждом координатном направлении сокращается, в т.ч. в случае сгущения узлов для повышения точности решения.
Цели и задачи исследования. I. Построение гидродинамической модели, удовлетворяющей основным законам сохранения (массы, импульса, энергии) и учитывающей испарение воды и выпадение осадков, поскольку для объектов математического моделирования -Азовского моря и Таганрогского залива объем испаряющейся жидкости (преимущественно в летние месяцы) сравним с годовым речным стоком, а годовой объем выпадающих осадков уравновешивает водообмен между Азовским и Черным морями.
-
Разработка алгоритмов построения регулярных сеток для областей сложной формы - акваторий реальных водоемов.
-
Дискретизация построенной модели на полученной криволинейной сетке, разработка алгоритма численного решения задачи расчета ветровых течений при различных входных данных и получение результатов моделирования.
Научная новизна. Усреднение в двумерных моделях горизонтальных компонент вектора скорости по вертикальной координате, предшествующее дифференцированию по пространственным переменным, без соответствующего учета изменения полной глубины, либо с достижением требуемых свойств "простейшими", зачастую искусственными приемами, приводит к появлению дополнительных фиктивных источников импульса или энергии и, как следствие, нарушению соответствующих законов сохранения.
Интегрированием по вертикальной координате трехмерных уравнений Навье-Стокса и неразрывности для вязкой несжимаемой жидкости в однородном поле тяжести во вращающейся системе отсчета получено семейство двумерных гидродинамических моделей мелководного водоема, учитывающих испарение еоды и выпадение осадков. Следствием уравнений баланса импульса моделей являются уравнения баланса полной механической энергии, принимающие дивергентную форму в силу уравнений баланса массы (энергетическая нейтральность) и обладающие строгой диссипативностью за счет действия сил внутреннего вязкого трения, в частности, над поверхностью (дна), описываемой гармонической функцией [1-3].
Многие уравнения математической физики содержат оператор Лапласа, форма которого с точностью до множителя инвариантна относительно конформных преобразований координат, минимизирующих (в случае их существования) значение функционала Дирихле в
рассматриваемой области. Это широко используется в методах построения как регулярных, так и нерегулярных сеток. В предшествующих данному исследованию работах была продемонстрирована высокая эффективность методов построения сеток для областей сложной формы, основанных на минимизации в расчетной области непосредственно значения функционала качества требуемой сетки, обеспечивающей независимость от выбора начального приближения. Однако, из-за чрезвычайной сложности точного решения задачи линейного поиска для функционала Дирихле в расчетной области в методах 1-го порядка (R.Carcalllet, S.R.Kennon, G.S.Dullkravich) не использовался функционал Дирихле. А в имеющихся методах 2-го порядка (С.А.Иваненко) элементы матрицы Гессе задачи оптимизации менялись скачкообразно, что сказывалось на работе алгоритма.
В настоящей работе за счет усовершенствований, устраняющих скачкообразный характер изменения элементов матрицы Гессе, удалось повысить эффективность имеющихся методов 2-го порядка [4]. Благодаря замене при точном решении задачи линейного поиска исходного функционала имеющим решение приближением, гладко передающим (до производных 2-го порядка включительно) поведение исходного функционала, удалось разработать эффективные методы 1-го порядка, направленные на получение невырожденного преобразования координат 15). Используя неравенства Адамара и Коши, удалось расширить и обобщить классы используемых функционалов (4,53.
Использование при дискретизации по времени метода расщепления по физическим процессам (метода поправки к давлению) открывает дополнительную возможность - позволяет сохранить дивергентный вид (следовательно, положительную определенность соответствующих операторов) конвективных, вязких и гравитационных слагаемых. Метод расщепления сочетается с использованием при дискретизации по пространственным переменным конечно-элементной аппроксимации на построенной криволинейной сетке для интегралов от декартовых (а не контравариантных) компонент вектора скорости жидкости [2,3].
Для оценки решений параболических и эллиптических уравнений, главным образом, в системах координат, имеющих особенности, доказана теорема сравнения, оценивающая норму решения в равномерной метрике С выракением, содержащим норму С правой части и дискретный аналог интеграла от метрических коэффициентов монотонного сеточного оператора.
С помощью доказанной теоремы для задачи в координатах, содержащих цилиндрические особенности, на примере уравнения теплопроводности в тороидальных координатах показано, что оценки
скорости сходимости при определенном расщеплении оператора (определенной локально-двумерной схеме (ЛДС)) являются неу-лучшаемыми. При доказательстве не использовалось разделение переменных и построение мажорирующих решений в явном виде (что может быть затруднительно или невозмокно) [6,7].
Практическая значимость. Разработанные метода построения сеток могут быть использованы для любых приложений, требующих отображения заданной области в криволинейную область более удобной формы. Построенные в результате оптимизации функционала Дирихле отображения на акваторию Азовского моря и Таганрогского залива Г-образной области (море - 50*20, залив - 27*10 узлов) и прямоугольников 83*20 и 80*20 узлов максимально точно передают очертания береговой линии. По полученным на основе многолетних наблюдений 812 отметкам глубин форма дна оптимальным образом приближена интерполяционно-сглаживающей поверхностью, близкой к гармонической сеточной функции, что для песчано-илистого дна Азовского моря и Таганрогского залива является приемлемым. И сетки, и поверхность дна могут служить составной частью дискретных моделей других процессов в Азовском море и Таганрогском заливе. Реализованный алгоритм численного расчета ветровых течений с высокой точностью удовлетворяет закону сохранения массы [1-3,81. Все программы доведены до работоспособного состояния.
Достоверность полученных результатов основана на строгих математических выводах (при отмечаемых ограничениях) всех положений и максимально точном учете имеющихся входных данных, а также па качоитишшш, а в ряде случиои и количественном соответствии результатов моделирования реально наблюдаемым течениям в Азовском море и Таганрогском заливе.
Математический аппарат. Полученные результаты основаны на использовании законов классической механики, концепции сплошной среды, уравнений математической физики, в том числе уравнений Навье-Стокса и неразрывности, дифференциального и интегрального исчисления функций многих переменных, матричной алгебры, тензорного исчисления, вариационного исчисления, методов оптимизации (нелинейного программирования), методов расщепления, метода конечных элементов, численных методов (решения систем линейных алгебраических уравнений, определения действительных корней полиномов), теории устойчивости разностных уравнений А.А.Самарского.
Ашгробация. Результаты работы докладывались на - XLIII Всесоюзной научной сессии, посвященной Дню радио
(Москва, 1988),
- Шкоде-семинаре по комплексам программ математической Физуіки
(Ростов-на-Дону, 1990),
- IV Всероссийской школе молодых ученых "Численные метода
механики сплошной среды" (Абрау-Дюрсо, 1992),
- IV Всесоюзном совещании "Проблемы построения сеток для решения
задач математической физики" (Сунгуль (Челябинск-70), 1992),
- Областной научно-технической конференции, посвященной Дню
радио (Ростов-на-Дону, 1993),
- Международной научной конференции, посвященной 100-летию со
дня рождения Н.Г.Чеботарева (Казань, 1994),
- Всероссийском симпозиуме "Математическое моделирование и
компьютерные технологии" (Кисловодск, 1997 ),
- Международной конференции "Математические модели физических
процессов и их свойства" (Таганрог, 1997),
а такке на научных семинарах кафедр вычислительной математики и вычислительного эксперимента, информатики, на конференциях профессорско-преподавательского состава Таганрогского государственного радиотехнического университета и на семинарах лаборатории вычислительного эксперимента вычислительного центра Ростовского государственного университета.
Публикации. По материалам диссертации опубликовано девять печатных работ.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка использованных источников, изложена на 147 страницах машинописного текста, включает 40 рисунков и 222 библиографических названия.