Введение к работе
Актуальность темы. Исследование влияния случайных возмущений на колебательные системы яеляэтся исключительно важной и актуальной проблемой. Задачи создания генераторов с високой стабильностью частоти и связанные с ними проблема создания эталонов времени, задачи сверхточного измерения промежутков времени, задачи обнаружения слабых сигналов, многие другие задачи механики, вибротехники, космической связи, радиофизики и электроники, биологии и химической кинетики приводят к необходимости исследования флукту-ацяонных явлений в колебательных системах. Теорию 'случайных колебаний можно рассматривать как продолжение и обобщение Теории, колебаний в направлении более адекватного описания . реальных явлений, когда вместо детерминированной модели изучаемого процесса берется его стохастическая модель. Стохастические модели являются более точными, а в некоторых случаях и единственными описаниями природы бесконечно сложных реальных явлений и процессов, именно в этом заключается как теоретическая,так и практическая потребность развития теории случайных колебаний. /
Одной из основных задач теории случайных колебаний является нахождение вероятностных характеристик параметров колебаний сис-^ темы, их совместной функции плотности вероятностей. В том случае, когда исследуемая система может быть описана стохастическим дифференциальным уравнением типв.Ито или Стратоновича, возможно применение так называемого метода уравнений Колмогорова-Фоккерэ-Пла-. яка (КМ). Однако, так как уравнение КФП является уравнением в' частных производных второго порядка с переменными коэффициентами, то оно поддается точному .интегрированию в очень редких случаях; Если рассматриваемая система является квазилинейной, то в этом случае удается построить усредненное уравнение КФП, которое, однако, также не всегда разрешимо в квадратурах. Поэтому одними из наиболее актуальных являются следующие проблемы исследования стохастических квазилинейных колебательных систем.
Первая проблема касается поиска кок точных, так и приближенных методов решения уравнений ІШ1, получения условий их аналитической разрешимости. -.-
Второй актуальной проблемой является получение новых и усовершенствование уже используемых методов и алгоритмов исследова-
4МД.1 ,l^llllLJ.*Ut Ъ"-/Ul.,41^1. UJlUl 'JtTI | UV/^lVl^lll'1'ЦІІІІ * i'J W 1 ',U lit U1S W HVtfl^lvU 1 W^IUlMllk Ul'JllU
>
ев. Это связано с тем, что для подобных систем практически невозможно получение аналитического решения уравнения КФП.
Третьей актуальной и весьма перспективной является проблема создания различных пакетов прикладных программ (ГОШ), реализующих как численные, так,в особенности, и аналитические расчеты на ПЭВМ конкретних стохастических динамических систем.
Частичному решению этих проблем и посвящена данная работа.
Цель и задачи исследования. Целью работы является решение следующих задач:
- развитие метода уравнений КФП с целью получения условий их
аналитической разрешимости для квазилинейных систем с едкой сте
пенью свободы;
' - -усовершенствование алгоритма применения метода статистической линеаризации на основе канонических разложений в сочетании с методом усреднения нелинейной механики для исследования квазилинейных колебательных систем с различным числом степеней свободы;
создание библиотек процедур численного и аналитического исследования на ПЭВМ процессов, протекающих в динамических системах;
исследование на основе полученных теоретических результатов и- разработанных программных средств моделей конкретных динамических систем. '
Научная новизна полученных результатов. . .
1. Получены достаточные условия интегрируемости усредненных
уравнений КФП для стационарной плотности вероятностей амплитуда и
фазы колебаний неавтономных квазилинейных систем с одной степенью
свобода при наличии:
непараметрических случайных воздействий типа белого шума,
широкополосных флуктуации частоты колебаний,
. -'широкополосных флуктуации коэффициента линейного трения.
2. Полученные теоремы о достаточных условиях интегрируемости
усредненных уравнений КФП обобщены на случай неавтономных квази
линейных систем с'.произвольным параметрическим случайным воздейс
твием и на'.системы с запаздыванием:
'3. О использованием полученных достаточных условий интегрируемости усредненных уравнений КФП исследована проблема взаимного влияния различных типов случайных и периодических возбуждений на колебательные процессы в автогенераторах Ван-дер-Поля.
4. Предложен один вариант применения метода статистическої линеаризации на основе канонических разложений и метода усредне-
ния для исследования случайных процессов в квазилинейных колебательных системах с различным числом степеней свобода. Полученные на основе предложенного подхода соотношения применены для определения модальных значений амплитуд и фаз стационарных колебаний в линейных и квазилинейных осцилляторах и квантовых генераторах.
5. Созданы библиотеки программных средств, реализующих -
аналитические расчеты на ПЭВМ стохастических квазилинейных колебательных систем методами усреднения и уравнений КФП,
построение фазоЕых портретов динамических, систем различной природы на основе использования числеиных методов решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений с учетом влияния случайных возмущения.
6. С помощью созданных программных средств получены и про
анализированы фазовые портреты колебательных звеньев системы двух
связанных генераторов Ван-дер-Поля и системы генераторов Уеда-
Акамацу и Ван-дер-Поля.
Практическая значимость полученных результатов. . 1. Сформулированные и доказанные в диссертации достаточные условия потенциальности уравнений КФП позволяют существенно расширить класс известных реальных стохастических неавтономных квазилинейных колебательных систем, для которых возможно получение решения стационарного уравнения КФП в аналитическом еидє.
-
Полученные на основе применения метода канонических разложений оценки модальных значений амплитуд и фаз колебаний позволяют проводить экспресс-анализ стохастических квазилинейных систем с различным числом степеней свободы вне зависимости от того, являются ли соответствующие уравнения КФП аналитически разрешимыми или нет.
-
Результаты, полученные при исследовании конкретных колебательных систем, представляют самостоятельный интерес и являются полезными в практических расчетах на вибрации и надежность машин, сооружений, приборов, в решении практических задач автоматики, телемеханики, теории управления, радиотехники, радиоэлектроники, радиоспектроскопии и др.
-
Разработанные библиотеки программных процедур могут найти применение в прикладных задачах качественного исследования конкретных динамических систем для получения их фазовых портретов, а также для выполнения на ПЭВМ рутинных и крайне трудоемких аналитических расчетов при исследовании стохастических кввзилиней-
ных колебательных систем методами уравнений КФП и усреднения.
Реализация результатов исследования. Исследования проводились в рамках госбюджетной тематики Гомельского государственного университета имени Франииска Сксршш в соответствии с техническим заданием на НИР ГБЦЛ 92-10 "Разработка методологии и средств имитационного моделирования сложных кибернетических систем с программируемым интеллектом". .
Библиотека процедур численного и аналитического исследования динамических систем внедрена в учебный процесс и используется в рамках спецкурсов при подготовке студентов математического факультета Гомельского государственного университета им. Ф.Скорины.
Основные положения диссертации, выносимые на защиту.
-
Теорема о достаточных условиях интегрируемости усредненных уравнений КФП для стационарной плотности вероятностей амплитуд и фаз- колебаний неавтономных: квазилинейных систем с одной степенью свободы при непарамегричэских случайных воздействиях.
-
Теорема о достаточных условиях: интегрируемости усредненных уравнений КФП для квазилинейных колебательных систем с одной степенью свобода, подверженных внешним гармоническим и случайным параметрическим возмущениям.
-
Усовершенствованный вариант применения метода статистической линеаризации на основе канонических разложений и метода усреднения для исследования случайных процессов в квазилинейных колебательных системах как с одной, так и со многими степенями свобода, а также полученные на основе' его применения соотношения, позволяющие непосредственно получать наиболее вероятные значения амплитуд и фаз стационарных режимов колебаний подобных систем.
-
Библиотеки программных процедур, реализующих численное исследование на ПЭВМ фазовых портретов динамических систем и проведение компьютерных аналитических расчетов стохастических квазилинейных колебательных систем по методу усреднения и методу уравнений КФП. .'.'''''
-Б. Полученные на основе применения теоретических положения работы и созданных-программных продуктов результаты исследования конкретных динамических систем:
автогенераторов Ван-дер-Поля, подверженных, различным типа» внешнего периодического воздействия и случайного аддитивного шн мультипликативного возмущения,
молекулярного генератора (мазера) . с учетом тепловых шумо;
резонатора, спонтанного излучения пучка активных молекул и флуктуации населенностей рабочих уровней селективной среда,
- системы связанных генераторов Еан-дэр-Поля и Уедэ-Акамацу.
Личный вклад соискателя.. Соискателем лично получены есє еы-носимые на защиту положения диссертации. Все компоненты программного обеспечения были разработаны и созданы лично автором или при его непосредственном участии.
Алпробация результатов диссертации. Результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на следующих конференциях и научных чтениях: международной конференции "Нелинейные проблемы дифференциальных уравнений и математической физики - Вторые Бого-любовские чтения" (Киев, сентябрь (992); международной математической конференции "Проблемы математики и информатики" (Гомель, апрель - май 1994); мекдународной математической конференции, посвященной памяти Ганса Гана (Черновцы, октябрь 1994); республиканской научно-методической конференции, посвященной 25-летию факультета прикладной математики и информатики Белгосуниверситета (Минск, апрель 1995); математической конференции "Еругинскив чтения - II" (Гродно, май 1995); третьей международной конференции женщин - математиков (Воронеж, июнь 1995); международной конференции "Проблемы алгебры и кибернетики" (Гомель, сентябрь 1995); вторых Республиканских научных чтениях по обыкновенным дифференциальным уравнениям, посвященных 75-летию' B.C. Богданова (Минск, декабрь 1995); пятой мекгосударственной научной конференции "Актуальные проблемы информатики: математическое, программное и информационное обеспечение" (Минск, май 1996).
Опубликоввяность результатов.'По материалам диссертации опубликовано 11 научных работ.
Структура и объем диссертации, диссертация состоит из введения, пяти глав, выводов, списка использованных источников и приложений. Общий объем работы с приложениями составляет 141 страницу машинописного текста, включая 14 рисунков и список использованных источников из 125 наименований на 9 страницах. Приложения составляют 22 страницы.
Диссертационная работа выполнена при частичной поддержке Международной Соросовской Программы образования в области точных наук (ISSEP) .- грант 20/а - 96.
