Введение к работе
Актуальность темы. Начальным этапом процесса численного решения дифференциальной задачи является ее дискретизация. В настоящее время большое внимание уделяется проекдионно-сеточным методам дискретизации, называемым также методами конечных элементов. На практике, решение ряда задач в пространственных областях сложной формы сдерживается отсутствием надежного автоматического метода генерации конечно-элементной сетки, под которой понимается объединение некоторого числа носителей базисных функций, призванное аппроксимировать с надлежащей точностью конфигурацию рассматриваемой области. Поскольку свойства конечно-элементной сетки существенно влияют на способ и точность аппроксимации искомого решения, от сеток обычно требуется определенное качество слагающих их элементов. Кроме того, выбор вида конечно-элементной сетки может существенно ограничить подмножество численных методов, применимых в дальнейшем для решения алгебраической задачи. Наконец, в ряде случаев (например, при большом числе узлов сетки или необходимости динамической адаптации сетки к особенностям решения либо изменяющейся конфигурации области), процесс построения сетки, во многом определяемый ее структурой, может занимать значительную долю времени, потребного для дискретизации и решения задачи.
Положительными качествами по всем перечисленным пунктам в полной мере обладают так называемые локально адаптированные сетки. Такие сетки получаются в результате переноса на границу области ближайших к ней узлов исходной сетки с прямоугольными ячейками, и последующей триангуляции полученной искаженной сетки путем разбиения ее ячеек диагоналями. Вопросы построения локально адаптированных сеток для двумерных областей с гладкой границей ограниченной кривизны рассмотрены в работах A.M. Мацокина, которым доказана ограниченность длин ребер, площадей треугольников и синусов углов получающихся треугольных сеток. Распространение этого подхода на случай трехмерных областей с гладкой границей сопряжено с некоторыми трудностями, но уже осуществлено Ю.А. Ткачевым.
Существенной чертой локально адаптированных сеток является то, что для численного решения задач с эллиптическими операторами на этих сетках предлагается специфический метод, известный как метод фиктивных компонент. Этот подход наследует одно из важнейших положительных свойств данных сеток, каковым является понижение на единицу раз-
мерности реально хранимых данных по сравнению с размерностью исходной задачи. Метод фиктивных компонент оказываются весьма приспособленными для решения задач с большим числом неизвестных на параллельных ЭВМ. Более того, реализации этого метода на традиционных и векторно-конвейерных ЭВМ могут превосходить по быстродействию другие известные методы, использующие неструктурированные сетки. К интересным результатам приводит также сочетание этого метода с другими подходами.
В то же время, несмотря на видимую легкость обобщения метода локальной адаптации на случай областей с кусочно-гладкой границей, исчерпывающее решение этой проблемы до сих пор не найдено. Поскольку самой сложной и практически значимой задачей локальной адаптации является построение сеток для трехмерных областей с кусочно-гладкой границей, исследованию этого вопроса и посвящена основная часть данной диссертации.
Цель работы
-
Разработка надежных методов построения локально адаптированных сеток с прямоугольным основанием для двумерных и трехмерных областей с кусочно-гладкой границей.
-
Исследование дополнительных возможностей метода локальной адаптации.
-
Создание программного обеспечения, предназначенного для автоматической генерации указанных сеток, используемых в основном для решения задач с эллиптическими операторами методом фиктивных компонент.
Общая методика исследований. В диссертации использованы результаты теории конечно-элементных методов, вычислительной геометрии, машинной графики, а также методы проектирования, разработки и тестирований больших программных систем.
Научная новизна. Разработаны надежные методы построения двумерных и трехмерных локально адаптированных сеток для областей с кусочно-гладкой границей достаточно общего вида на базе исходных сеток с прямоугольными ячейками и произвольными шагами. Кроме того, для областей с гладкой границей предложены методы генерации двумерных и трехмерных структурированных сеток, состоящих в основном из правильных треугольников и почти правильных тетраэдров. Проанализированы
возможности иерархического уточнения локально адаптированных сеток всех описанных классов, и разработана схема хранения подобных сеток, обеспечивающая не более чем константное время поиска соседних элементов сетки вне зависимости от глубины се разбиения. Предложена также модульная организация процесса локальной адаптации, позволяющая создавать системы с широко варьирующимися свойствами при относительно небольших затратах на программирование.
Практическая значимость. Разработана система ВсМ, применяемая для построения сеток, используемых при решении модельных и реальных задач гидродинамики и акустики в двумерных областях с кусочно-гладкой границей. В сотрудничестве с С.А. Финогеновым и СП. Чеботаревым создан комплекс программ FiCom/3D, предназначенный для численного решения задач с эллиптическими дифференциальными операторами в трехмерных областях сложной формы. На основании модульного генератора локально адаптированных сеток, являющегося компонентой системы FiCom/3D, разработано несколько специализированных программ, нацеленных на построение декартовых, цилиндрических и сферических локально адаптированных сеток, используемых для решения задач электростатики, гидродинамики и дифракции радиоволн.
Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на:
семинарах лаборатории вычислительной математики ИВМ РАН,
семинаре Института основ информационных технологий Германского общенационального исследовательского центра компьютерных наук (г. Санкт Аугустин, Германия),
Десятом франко-итало-российском совместном симпозиуме по вычислительной математике и приложениям (г. Москва, 1993 г.).
Публикации. По теме диссертации опубликовано четыре работы, список которых приведен в конце автореферата.
Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, приложения и списка литературы из 92 наименований. Общий объем работы 100 страниц, из них 34 страницы с таблицами и рисунками.
