Введение к работе
Актуальность темы. При решении различных прикладных задач (в
частности, в теории нелинейных цепей и идентификации нелинейных
динамических объектов) широко распространен метод рядов Вольтерра.
При этом речь чаще идет о частной сумме такого ряда, называемой
полиномом Вольтерра.
Полиномом или полиномиальным оператором Вольтерра называется
оператор вида
* ь ь
/тх,г) = ад+ Ja;^)^^ +...+ \...\Kr(t,sv...?^..i(sr)d!\..dsr, (і)
а а а
где К0,...,КГ — непрерывные функции своих аргументов. В работах
Даугавета И.К., Baesler I ,Prenter Р.М, Istratescu V. показано, что произвольный нелинейный оператор при определённых условиях можно сколь угодно точно приблизить полиномом Вольтерра вида (1). Рассмотрим интегральное уравнение следующего вида
Ь Ь b
*(0=іч>(0+ JA^X-s,)^ ++ {...^^„..-лМ^)"^^-^, (2)
а а а
правая часть которого представляет собой полином Вольтерра (1). Будем называть в дальнейшем уравнения вида (2) полиномиальными интегральными уравнениями.
Для моделирования профиля волны установившегося движения жидкости Некрасовым А.И. было предложено нелинейное интегральное уравнение относительно угла x\t) наклона касательной к профилю волны. Для пологих волн (угол x{t) мал) при некоторых упрощающих
предположениях (физически вполне оправданных) нами из уравнения Некрасова получено аппроксимирующее нелинейное интегральное уравнение вида
x(t) - [iK0(t) + A \K[(t,S\)x(sl)dsi + \\K2(t,si,s2)x(si)x(s2)dslds2 *'. (3)
a a a
которое является частным случаем уравнения (2) при г = 2 (в отличие от более грубого аппроксимирующего линейного уравнения, полученного из общего уравнения и использованного Некрасовым А.И).
Отметим также, что, как указано Ермаковым СИ., к многомерному аналогу уравнения (2) сводится уравнение Больцмана, дифференциальная форма которого описывает соотношение баланса числа молекул газа в элементарном объеме фазового пространства (в данной работе многомерный случай не рассматривается).
С учетом вышеизложенного, исследование уравнения (3), на наш взгляд, является вполне актуальной задачей, имеющей многочисленные приложения.
Все полученные в данной работе результаты, как правило, без особого труда непосредственно обобщаются на случай произвольного г.
При решении уравнений вида (2) и (3) естественно применение, в первую очередь, таких классических приближенных методов решения линейных и нелинейных интегральных уравнений, как метод Неймана, метод последовательных приближений (который для нелинейных уравнений отличен от метода Неймана), метод Ньютона, метод вырожденных ядер и др. В области приближенных методов решения различных типов интегральных уравнений известны, например, работы Бельтюкова Б.А. и его учеников.
Кроме того, для такого класса уравнений возникает вопрос о ветвлении решений при некоторых значениях параметра А..
В теории ветвления построение решений более общего уравнения
*) Для целей более полного исследования нами в уравнение (3) введены параметры.
Bx=XFn + ^F,tx^k ' (4)
j+/t>2
где В = I — A , 1 -единичный оператор, А -линейный оператор, обычно производится в виде рядов по степеням малого параметра и путем применения итерационных методов.
В работах Вайнберга М.М. и Треногина В.А. выделен широкий класс уравнений, названный квазирегулярным, для которого решения могут быть представлены в виде сходящихся рядов. Путём исследования уравнения разветвления получают информацию о числе и виде всех решений и, используя эту информацию, применяют метод неопределенных коэффициентов.
В работах Сидорова Н.А. и его учеников разработаны эффективные итерационные методы вычисления разветвляющихся решений. При построении этих решений широко используется явная и неявная параметризация. Предлагается N-ступенчатый итерационный метод вычисления разветвляющихся решений нелинейных уравнений, указаны способы выбора начального приближения, регуляризации и модификации метода в случае а - параметрических семейств решений.
Согласно традиционному подходу, для изучения ветвления решений уравнения (4) рассматривается случай, когда 1 является характеристическим числом линейного оператора А. Здесь для уравнения (3) изучается ветвление решений как в случае характеристического значения параметра Л, так и значений параметра Л из некоторой окрестности этого характеристического числа.
Заметим, что для нахождения решения в окрестности
характеристического числа Л0 обычно применяется метод аналитического
продолжения. Однако существенным ограничением этого метода является необходимость знания точного решения x*(t) уравнения (3) при X = Я0 - В
данной работе ветвление решений при значениях параметра ЛфЯ0
исследуется с помощью иного подхода, не использующего x*(t).
Работы, посвященные приближенным методам решения уравнений (2) и (3), в известной нам литературе отсутствуют как в случае регулярного, так и для характеристического значения параметра К.
Применяя методику, предложенную в реферируемой работе, можно решить вопрос о ветвлении решений уравнения (3) для значений параметра Л., являющихся характеристическим числом ядра, а также и для значений параметра X из некоторой окрестности характеристического числа, не применяя продолжения решений.
Цель работы.
Разработка и теоретическое обоснование некоторых эффективных приближенных методов решения полиномиального уравнения как в случае регулярного, так и для характеристического значения параметра X .
Изучение вопроса о ветвлении решений для заданного значения параметра Я в малой окрестности характеристического числа.
Применение полученных результатов для исследования некоторых волновых процессов.
Случай многомерного ветвления в работе не рассматривается.
Общая методика работы. Для построения алгоритмов и установления условий сходимости используются различные аспекты общей теории функциональных уравнений, приближенных методов и теории ветвления. Предпочтение отдаётся таким теоремам сходимости, которые одновременно с утверждением сходимости этих алгоритмов позволяют установить также область расположения точного решения и область его единственности. Решения ищутся непрерывные, а сходимость методов изучается равномерная по той причине, что на практике преобладает интерес к возможно более точному представлению непрерывного решения равномерно по всей области определения.
Научная новизна и практическая значимость работы. В работе получены следующие основные результаты:
1. Построен ряд практически реализуемых алгоритмов для решения
уравнения (3) в случае регулярного значения параметра.
2. Получены алгоритмы построения разветвляющихся решений уравнения
(3) при простом характеристическом значении параметра Х=Х0;
3. Получены алгоритмы построения множества значений параметра
Л*(с,/л), зависящих от некоторой постоянной с, расположенных в
окрестности Хо, для которых имеет место ветвление решений уравнения (3), с одновременным получением алгоритмов построения этих решений;
4. Изучен и исследован вопрос о ветвлении решений уравнения (3) для
заданного значения параметра X, а именно, решена обратная задача
нахождения постоянной с, при которой i*(c,fi) совпадает с заранее
заданным значением параметра 1. Для этой цели построены специальные итерационные методы, получены условия сходимости соответствующих алгоритмов.
Для построенных алгоритмов сформулированы и доказаны теоремы, которые одновременно являются теоремами существования решения, области расположения точного решения и области единственности. Получены оценки погрешности приближенных решений.
В работе рассмотрен один случай ветвления, когда следующие коэффициенты уравнения разветвления для уравнения (3) удовлетворяют условию
120^0,101^0 (смыслL20, L01 см. (7)) (5)
Предложенную методику можно без особого труда распространить и на другие случаи ветвления (при других условиях на коэффициенты уравнения разветвления для уравнения (3)) для простого характеристического значения параметра Л .
5. Предложенные в работе алгоритмы были применены для исследования
некоторых волновых процессов.
Апробация работы. Результаты работы докладывались на семинарах по методам вычислений в Иркутском государственном педагогическом университете (1980-1999 г.г., рук. профессор Б.А.Бельтюков), на первой Республиканской научно-технической конференции «Интегральные уравнения в прикладном моделировании» (Киев, 4.10-6.10. 1983г.), на первой областной математической конференции (Иркутск, 29.11-1.12.1982г.), на Восточно-Сибирской зональной межвузовской конференции по математике и проблемам её преподавания в вузе (Иркутск,2.02-4.02. 1999), на итоговых научно-методических институтских и зональных конференциях (1980-1999г.г.)
Объём и структура диссертации. Диссертация состоит из введения и трех глав, заключения и списка литературы.
Текст диссертации изложен на 118 страницах машинописного текста, список литературы включает 81 наименование.