Введение к работе
Современные ЭВМ дали в руки исследователей эффективное :дство для математического моделирования сложных задач науки и :ники. Именно поэтому количественные методы исследования в на-іяшее время проникают практически во все сферы человеческой дея-іьности, математические модели становятся средством познания.
Одна из областей, где применение математического моделирования іершенно необходимо, является экология, в частности, задачи, свя-[ные с распространением загрязнения в различных водоемах.
Эти задачи определяются системами уравнений в частных произ-шых, отражающих основные физические законы, описывающие іжение жидкости в водоеме и перенос в нем различных веществ, иная работа посвящена решению задачи распространения вещества в гжущейся среде, при условии, что данные о движении среды уже из-ггны. Кроме этого, другие исходные данные: морфология водоема, іальное распределение вещества в водоеме, источники и стоки веще-іа, способность водоема к самоочистке, а также поведение вещества границах водоема - являются таюке исходными данными и должны ть заданы.
Совокупность указанных исходных данных и уравнений принято (ывать математической моделью. Однако получение точных исход-х данных является достаточно трудной и дорогостоящей задачей, этому математическая модель строится и реализуется таким образом, )бы она была применима к достаточно широкому спектру исходных шых, а реализующие ее алгоритмы устойчиво и эффективно работа-
при достаточно больших изменениях коэффициентов уравнения, іевьм и начальных условий.
Предлагаемая математическая модель и реализующие ее алгоритмы «менимы в случае, когда для конкретного водоема можно использо-ъ модель «мелкой воды». Разработанные при реализации модели ал-;итмы позволяют эффективно решать задачи в водоемах, где процес-конвекции преобладают над процессами диффузии.
Актуальность темы исследования обусловлена насущной полностью решать задачи экологии, одной из которых является проема «чистой воды». По оценкам ученых буквально через несколько ;ятилетий чистая пресная вода станет ресурсом номер один. По-
скольку основные запасы пресной воды сосредоточены в небольц. водоемах, важным является умение решать задачи, учитывающие с цифику водоема, например, его мелководность.
В настоящее время при планировании и разработке водоохранн комплексов большое значение имеют расчеты процессов конвективі диффузионного переноса. Именно они обеспечивают стабильно" биологических процессов и устойчивость экологических циклов в pi онах ниже выпуска сточных вод. А характер и интенсивность проте: ния биологических процессов определяет предельно допустимую 1 грузку на водоемы, водотоки, степень очистки сбросных вод. Но Т( ные расчеты процессов конвекп.вно-дифф\зионного переноса в п] странстве и во времени в большинстве случаев невозможны из-за п моздкости или отсутствия аналитического решения уравнения, опис вающего распределение концентрации расчетного ингредиента в во; еме или водотоке. Полевые исследования и измерения процессов ПЄ] носа веществ в природных условиях трудны и дороги. Кроме ТОГО, 41 ло возможных вариантов, как правило, во много раз превышает чис реально существующих типовых объектов. Поэтому исследователи проектировщики прибегают к методам математического моделирої ния.
Наличие эффективного алгоритма и робастной программы рас тов, как правило, целиком определяет возможности применения т или иной модели; отсутствие соответствующего математического аш рата зачастую приводит к необходимости отказа от выбранной конце ции моделирования, ее упрощению. Поэтому весьма актуальной пре ставляется проблема численной реализации экологических моделе Здесь практические потребности оказываются действительным сти\: лом развития математических наук. Так, только за период с 1965 1995 годы в США и Канаде в рамках программы по оздоровлем природной среды внутренних пресных водоемов и морских эстуари было реализовано порядка двухсот математических моделей. Их v, пользование дало возможность сократить дорогостоящие натурные ь блюдения примерно на треть, а также получить уникальные экология ские прогнозы.
Используемая в диссертации модель процесса распространен! примеси в водоеме позволяет учитывать многие факторы, которые пр
одят при загрязнении водоема: консервативность или неконсерва-ность примеси, вид источников и их размещение по области расче-учет их движения, а также возможные изменения концентрации за-знения, поступающего в водоем, по времени.
В качестве конкретного примера был рассмотрен Мобилский залив НА), поскольку он является средоточием многих экологических іблем. Натурные наблюдения, а также фотографии со спутника пока-и сильное влияние течения в Миссисипском проливе на внос в залив личных примесей, поступающих со стоком реки Мобил. Наличие іьного течения вдоль судоходного канала, а также сильных течений іез проливы при соответствующих ветровых ситуациях дает основа-: считать, что конвективные процессы в Мобилском заливе преобла-эт над диффузионными.
Таким образом, проблема численной реализации модели является сь ключевой, а ее решение актуально, поскольку позволяет получить іественно более высокий уровень моделирования.
Целью работы являлись разработка математического аппарата
численная конечно-разностная реализация конвектпвно-
})фузионных моделей качества воды на примере модели распростра-
іия примеси в мелком водоеме, у которого конвективные процессы
обладают над диффузионными.
При этом решались следующие задачи:
учет особенностей решения задач конвекции-диффузии при преобладании конвекции;
дискретизация исходной модели, описывающейся уравнением конвекции-диффузии;
исследование свойств получаемого разностного оператора;
разработка итерационных методов решения систем линейных алгебраических уравнений с несимметричной матрицей, полученный при неявной разностной аппроксимации;
проведение в Мобилском заливе расчетов, моделирующих
(а) з&шовый аварийный выброс загрязняющих вещества;
(б) действие постоянного точечного источника загрязнения.
Научная новизна работы определяется полученных!и теоре-
іескими результатами и предлагаемым практическим решением ряда числительных задач. В рамках данного исследования технология
вычислительного эксперимента позволила естественным образом фо мализовать задачу и пройти все этапы численной реализации модел эффективно применить и развить существующий математический а парат, получіпь и апробировать численные алгоритмы решения, со дать робастные программы численного расчета. Основой проведеннь исследований явились методы операторного подхода теории разнос ных схем в сочетании с классическими результатами матричного ан лиза,
В качестве эффективного инструмента решения неявных разнос ных схем предложены итерационные методы, ориентированные на р шение сильно несимметричных систем линейных алгебраических ура нений.
Достоверность проведенных исследований обусловлена п следовательным математическим выводом используемых уравнени теоретическим исследованием свойств предложенных методов, проЕ дением численного исследования для подтверждения теоретических р зультатов.
Практическая значимость выполненной работы состо в том, что численно реализована и доведена до конечного вида - рг четных программ для ЭВМ - модель распространения примеси в ме ком водоеме, в котором процессы, связанные с движением жидкою преобладают над всеми остальными.
Апробация работы. Основные результаты диссертации дс ладывались на международной конференции «Advanced Mathemati Computations and Applications» (г. Новосибирск, 1995 г.); на Bcept сийской Школе-семинаре молодых ученых «Современные проблеї математического моделирования» (п. Абрау-Дюрсо, 1995 г.); на мeжJ народной конференции "Mathematical Modelling Application for Pr< lems in Science and Engineering"(r. Ижевск, 1996); на Всероссийск семинаре «Теория сеточных методов для нелинейных краевых задач Казань, 1996); на VI Всероссийском совещании по проблемам пострі ния сеток для решения задач математической физики (п. Абрау-Дюр 1996 г.).
В полном объеме диссертационная работа докладывалась на на ном семинаре «Методы решения краевых задач» лаборатории вычис. тельного эксперимента ВЦ Ростовского госуниверситета.
Публикации. По теме диссертации опубликовано 3 печатных боты.
Структура и объем работы. Работа состоит из введения грех глав. Содержание работы изложено на /3? страницах текста, пючает 38 рисунков. 9 диаграмм, 4 таблицы. Список литературы со-зжит 96 наименований.