Содержание к диссертации
Введение
I. Обобщение метода чини-лоеба для решения задач аппроксимации рациональными функциями 26
1. Описание общей схемы алгоритмов типа алгоритма Чини-Лоэба 27
2. Вспомогательная минимаксная задача. Существование ее решения 30
3. Сходимость алгоритма и оценки скорости сходимости . 33
4. Допустимые множества 42
II. Вычислительные алгоритмы равномерной дробно-рациональной аппроксимации 49
1. Первый вычислительный алгоритм для равномерного приближения функций рациональными дробями 51
1.1. Вид'решаемой задачи линейного программирования, основные особенности алгоритма 51
1.2. Способ исключения свободных переменных 52
1.3. Информация, которую можно использовать на каждой итерации 55
1.4. Правило выбора подмножества точек 59
1.5. Тестовый пример 59
2. Второй вычислительный алгоритм для равномерного при ближения функций рациональными дробями 60
2.1. Постановка задачи, обозначения, некоторые свой ства решаемой задачи 60
2.2. Способ построения подходящего начального базисного множества и его обоснование 64
3. Алгоритм среднеквадратического приближения функций рациональными дробями 74
3.1. Постановка задачи 75
3.2. Описание алгоритма 75
3.3. Вычислительная схема алгоритма 79
III. Использование алгоритмов дробно-рациональной аппроксимации при решении прикладных задач 82
1. Аппроксимация координат точки падения центра масс . 83
1.1. Общее описание задачи 83
1.2. Постановка задачи аппроксимации поправок . 87
1.3. Дробно-рациональная аппроксимация в задачах приближения поправок 89
2. Аппроксимация параметров атмосферы 93
2.1. Введение 93
2.2. Методика построения моделей атмосферы 95
2.3. Постановка задачи 97
2.4. Региональные модели температуры 99
2.5. Региональные модели скорости ветра 103
3. Дробно-рациональная аппроксимация в задачах тепломассообмена 108
3.1. Примеры использования функций Еп и Кп в задачах 108
3.2. Способы вычисления значений Кп и Еп 110
3.3. Методика построения эффективных формул . 110
3.4. Решаемая задача аппроксимации и полученные результаты 111
Литература 117
- Вспомогательная минимаксная задача. Существование ее решения
- Вид'решаемой задачи линейного программирования, основные особенности алгоритма
- Второй вычислительный алгоритм для равномерного при ближения функций рациональными дробями
- Аппроксимация параметров атмосферы
Введение к работе
Многие задачи науки и техники приводят к необходимости аппроксимации функциональных зависимостей по дискретным исходным данным. Задачи хранения больших объемов дискретной информации, восстановления по имеющейся дискретной информации значений функции в точках, отличных от заданных, с точностью, не намного уступающей точности задания исходной информации, ускорения времени счета значений функции могут быть решены с использованием методов аппроксимации. Для представления сложных зависимостей, описывающих реальные физические, химические и др. процессы в задачах, связанных с различными областями человеческой деятельности, зачастую необходима аппроксимация с помощью нелинейных классов функций.
Одним из важнейших нелинейных классов является класс дробно-рациональных функций общего вида. Однако в отличие от полиномов, на приближении которыми основывается значительная часть численного анализа, построение приближений нелинейными семействами, в том числе дробно-рациональными функциями, оказалось связано со значительными трудностями. Большое внимание созданию таких алгоритмов стало уделяться с развитием вычислительной техники.
Настоящая работа посвящена разработке алгоритмов для численного решения задачи наилучшего равномерного и среднеквадратического приближения функций рациональными дробями. Рассматривается также применение алгоритмов для решения конкретных прикладных задач.
Разработкой алгоритмов для численного решения задачи наилучшего равномерного приближения рациональными дробями занимались многие авторы [6\-[8], [12], [21]-[23], [26]-[29], [32]-[37], [42], [44]-[60], [65], [67], [68].
Идеи, разрабатываемые в этих алгоритмах, в той или иной мере, связаны с именами Е.Я. Ремеза, Г.Ш. Рубинштейна, Чини, Лоэба.
Среди алгоритмов для решения задачи наилучшего равномерного приближения рациональными дробями наибольшее развитие получили алгоритмы, основанные на двух основных подходах к ее численному решению: первый подход связан с характеристической теоремой П.Л. Че-бышева и теоремой Валле-Пуссена об оценке снизу величины наилучшего приближения [3], второй основан на сведении нелинейной задачи к некоторой последовательности задач линейного программирования [37], [19].
Алгоритмы, реализующие первый подход, наиболее эффективны, вообще говоря, для приближения функций одного независимого переменного. Наибольшее признание среди алгоритмов этого типа получили аналоги второго алгоритма Е.Я. Ремеза [34]. Ранние разработки, касающиеся этого алгоритма, связаны с именами Е.Я. Ремеза, Вернера, Ральстона [65], Коди - Стоера [50], Куртиса и Осборна [52]. Дальнейшим развитием таких алгоритмов занимались Вернер [67], Вернер - Стоер - Боммас [68], А.А. Каленчук-Порханова [33], [21], Белогус - Лирон [45]. Алгоритмы, основанные на втором алгоритме Е.Я. Ремеза, отличаются быстродействием, но сходятся не от любого начального приближения (обзоры алгоритмов разных лет [51], [59]).
Второй подход связан с именами Г.Ш. Рубинштейна, Лоэба и Чини [37], [60], [46]. Среди алгоритмов, реализующих этот подход, наиболее эффективным [59] в смысле универсальности и надежности является итерационный алгоритм Чини-Лоэба [46] и его аналоги [47], [42], [6], [28], [56]-[58], [36]. Эти алгоритмы сходятся при любом начальном приближении.
Задача среднеквадратической дробно-рациональной аппроксимации исследована существенно хуже с теоретической точки зрения, чем аналогичная задача наилучшего чебышевского приближения. Одним из методов решения нелинейных задач среднеквадратического приближения является метод Марквардта-Левенберга для нахождения нелинейных аппроксимаций общего вида. Идея метода изложена в статье Левенбер-га [61], усовершенствования в метод внесены Марквардтом [62] (часто метод называют методом Марквардта). Описание этого метода можно найти, например, в книге Ч. Лаусона, Р.Хенсона [24], посвященной методу наименьших квадратов, у Дж. Дэнниса, Р. Шнабеля в их книге о численных методах безусловной оптимизации и решения нелинейных уравнений [18]. Имеются исследования метода в статьях Морисона [64], Мейера-Рота [63], Осборна [66] и др. также для случая нелинейных аппроксимаций общего вида. В методе Марквардта-Левенберга делается попытка использовать преимущества метода минимизации Ньютона посредством учета нелинейности в квадратичной аппроксимации минимизируемой функции без использования вторых производных. Метод прост в реализации и несмотря на то, что он может медленно сходиться на сильно нелинейных задачах, он во многих случаях, как показывает опыт решения прикладных задач большой размерности, дает подходящее, с практической точки зрения, приближение за небольшое число итераций.
Вспомогательная минимаксная задача. Существование ее решения
Существенной частью алгоритма является решение задачи (1.7). В связи с этим рассмотрим несколько более общую минимаксную задачу: где Д 0 — произвольное фиксированное число, Q(x) — некоторая функция, 0 Q(x) со для любого х Є D. Рассмотрим зависимость решения задачи (2.1) от величины параметра А, когда А А и когда А А . Некоторые из перечисленных в лемме свойств в частных случаях Q = О» \Рг\ І» г = 1,...,п, 1, j = 1,...,m, имеются в работах Чини-Лоэба [47] и В.М. Белых [6], иногда не явно сформулированные. Доказательство. x) — Pi(x)/Qi(x)\ А для любых I и х Є D; отсюда \f{x)Qi(x) — Р\{х)\ АМ, где М = maxmaxQ(x), (2.4) и, следовательно, fl \\fQi - ЛИ + /Qi (A + /)M = К Здесь и далее 7(я) = maxg(a;). Так как последовательности {Pi} и {Q/} принадлежат ограниченным и замкнутым и, следовательно, компактным множествам, то из {Pi} и {Qi} можно выделить равномерно сходящиеся подпоследовательности Ph P, Qh- Q, J -юо, Р (А+/)М, QGT+. -32 Учитывая (2.3), имеем \f(x)Q(x)-P(x)\-AQ(x) = = lim lk-+oo \f(x)Qlk(x)-Plk(x)\-AQlk(x) откуда JA(P,Q) = 0. 4. Пусть Р, Q являются экстремальными полиномами, т.е. «7д(Р, Q) = J А- Если Q . Т+, то для некоторого а 1 будет aQ Є Т+ и при этом JA{aP,aQ) = aJA(P,Q) J А, что противоречит экстремальности Р, Q. Следствие 1. Если Т — допустимое множество, А 0, то J А 0 тогда и только тогда, когда А А . Утверждение следует из пунктов 2) и 3) леммы 1. /Л Теорема 1. Пусть Т — допустимое множество. Если А А , то задача (2.1) всегда имеет решение и 7д 0. Если 0 А A , Q(x) = 0 принадлежит Т, то пара Р, Q : Р = Q = 0 является решением задачи (2.1) и 7д = 0. Доказательство. Пусть А А . Если А 0 и хотя бы в одной точке х Є D будет Q(x) 0, то 7д(Р, Q) 0; если А = 0, то Лд(Р? Q) : 0. Отсюда и из утверждения 3) леммы 1 следует, что при вычислении минимума в (2.1) можно ограничиться полиномами Р и Q У такими, что Q Є Т+, Р Є Л = {Р Є Р(п : Р #}, где if 0 достаточно большое число, т.е. JA= inf JA(P,Q). (2.5) дєг+,Р АГ Пусть последовательности {Pi}, {Qi}, где Р/ Є Л, Qi ЄТ+, таковы, что /д(Рь 2/) — JA, / — со. Используя Разобьем доказательство леммы на четыре части. 1. Имеем 2. Для любого х Є D имеем \f(x)Q(x) — P(x)\ — AQ(x) 0. Отсюда, очевидно, Q(x) 0 и, следовательно, Д Д(Р, Q) Д. 3. Согласно условию А, существуют последовательности Рі Є V n\ Qi Є T+, Qi(x) 0 для любого х Є D, I = 1,2,..., такие, что Д(Рь ЗД- Д при г-).оо. (2.з) Если Д А , то для достаточно больших I имеем A(Pi, Qi) А и, следовательно, в силу (2.2) J&(Pi,Qi) 0. Пусть Д = А .
Покажем, что последоват x) — Pi(x)/Qi(x)\ А для любых I и х Є D; отсюда \f{x)Qi(x) — Р\{х)\ АМ, где М = maxmaxQ(x), (2.4) и, следовательно, fl \\fQi - ЛИ + /Qi (A + /)M = К Здесь и далее 7(я) = maxg(a;). Так как последовательности {Pi} и {Q/} принадлежат ограниченным и замкнутым и, следовательно, компактным множествам, то из {Pi} и {Qi} можно выделить равномерно сходящиеся подпоследовательности Ph P, Qh- Q, J -юо, Р (А+/)М, QGT+. -32 Учитывая (2.3), имеем \f(x)Q(x)-P(x)\-AQ(x) = = lim lk-+oo \f(x)Qlk(x)-Plk(x)\-AQlk(x) откуда JA(P,Q) = 0. 4. Пусть Р, Q являются экстремальными полиномами, т.е. «7д(Р, Q) = J А- Если Q . Т+, то для некоторого а 1 будет aQ Є Т+ и при этом JA{aP,aQ) = aJA(P,Q) J А, что противоречит экстремальности Р, Q. Следствие 1. Если Т — допустимое множество, А 0, то J А 0 тогда и только тогда, когда А А . Утверждение следует из пунктов 2) и 3) леммы 1. /Л Теорема 1. Пусть Т — допустимое множество. Если А А , то задача (2.1) всегда имеет решение и 7д 0. Если 0 А A , Q(x) = 0 принадлежит Т, то пара Р, Q : Р = Q = 0 является решением задачи (2.1) и 7д = 0. Доказательство. Пусть А А . Если А 0 и хотя бы в одной точке х Є D будет Q(x) 0, то 7д(Р, Q) 0; если А = 0, то Лд(Р? Q) : 0. Отсюда и из утверждения 3) леммы 1 следует, что при вычислении минимума в (2.1) можно ограничиться полиномами Р и Q У такими, что Q Є Т+, Р Є Л = {Р Є Р(п : Р #}, где if 0 достаточно большое число, т.е. JA= inf JA(P,Q). (2.5) дєг+,Р АГ Пусть последовательности {Pi}, {Qi}, где Р/ Є Л, Qi ЄТ+, таковы, что /д(Рь 2/) — JA, / — со. Используя ельность { } ограничена. Действительно, в силу (2.3) существует А 0 такое, что \f(x) — Pi(x)/Qi(x)\ А для любых I и х Є D; отсюда \f{x)Qi(x) — Р\{х)\ АМ, где М = maxmaxQ(x), (2.4) и, следовательно, fl \\fQi - ЛИ + /Qi (A + /)M = К Здесь и далее 7(я) = maxg(a;). Так как последовательности {Pi} и {Q/} принадлежат ограниченным и замкнутым и, следовательно, компактным множествам, то из {Pi} и {Qi} можно выделить равномерно сходящиеся подпоследовательности Ph P, Qh- Q, J -юо, Р (А+/)М, QGT+. -32 Учитывая (2.3), имеем \f(x)Q(x)-P(x)\-AQ(x) = = lim lk-+oo \f(x)Qlk(x)-Plk(x)\-AQlk(x) откуда JA(P,Q) = 0. 4. Пусть Р, Q являются экстремальными полиномами, т.е. «7д(Р, Q) = J А- Если Q . Т+, то для некоторого а 1 будет aQ Є Т+ и при этом JA{aP,aQ) = aJA(P,Q) J А, что противоречит экстремальности Р, Q. Следствие 1. Если Т — допустимое множество, А 0, то J А 0 тогда и только тогда, когда А А . Утверждение следует из пунктов 2) и 3) леммы 1. /Л Теорема 1. Пусть Т — допустимое множество. Если А А , то задача (2.1) всегда имеет решение и 7д 0. Если 0 А A , Q(x) = 0 принадлежит Т, то пара Р, Q : Р = Q = 0 является решением задачи (2.1) и 7д = 0. Доказательство. Пусть А А . Если А 0 и хотя бы в одной точке х Є D будет Q(x) 0, то 7д(Р, Q) 0; если А = 0, то Лд(Р? Q) : 0. Отсюда и из утверждения 3) леммы 1 следует, что при вычислении минимума в (2.1) можно ограничиться полиномами Р и Q У такими, что Q Є Т+, Р Є Л = {Р Є Р(п : Р #}, где if 0 достаточно большое число, т.е. JA= inf JA(P,Q). (2.5) дєг+,Р АГ Пусть последовательности {Pi}, {Qi}, где Р/ Є Л, Qi ЄТ+, таковы, что /д(Рь 2/) — JA, / — со. Используя компактность множеств Л
Вид'решаемой задачи линейного программирования, основные особенности алгоритма
Этот алгоритм был разработан первым. Его описание, включающее полученные расчетные формулы и программы, имеется в [26], [27], [29]. Программы, описанные в этих публикациях, использовались при решении многих прикладных задач. Запишем для задачи (0.2) задачу линейного программирования [19], полагая р = —ц: /i 0. Специфику чебышевских задач приближения функций полиномами составляет наличие симметрии относительно переменных в соответствующих парах ограничений щ, 7/_І . Для случая приближения дробями, в ) #» Ч -отличие от линейного случая, у пар ограничений щ, 77-і имеется симметрия только относительно части переменных, а именно, относительно переменных pj, j = 1,..., п, и нет симметрии относительно переменных qj,j = 1,..., т. Несмотря на то, что полной симметрии нет, ограничения 77г, Г)-І иногда будем называть симметричными. Прежде чем приступить к подробному описанию алгоритма, перечислим кратко его особенности: 1) алгоритм решения задачи линейного программирования симплекс-методом разработан с учетом того, что полиномы входят в минимизируемое выражение (0.2) специальным образом, при этом выявлены закономерности, позволяющие реализовать симплекс-метод в экономном виде; 2) на первой стадии симплекс-метода отслеживается возможная линейная зависимость на множестве точек D систем функций і, Фт и фі,..., фт, при этом функции, представляемые на D линейной комбинацией некоторых функций из соответствующего набора, исключаются из рассмотрения; после первой итерации имеется возможность решать задачу (0.2) на подмножестве Z)7 С D, где коэффициент 7 удовлетворяет неравенству 0 7 1 Правило, по которому выбирается параметр у, используемый в алгоритме, описывается ниже. 1.2. Способ исключения свободных переменных Симплекс-таблицу, соответствующую задаче (1.1), схематично представим в виде: где A = [ciij] — матрица размером N x n, элементы которой ац = pij, j = 1,...,n, і = 1,...,N, матрицы В = -[AkBi + B2], В = -[AkBi-B2], с составляющими матрицами В\ = [tpij], В2 — [fiipij], і = 1, , N, j = 1,...,га. Поясним, элементами матриц В, В являются величины hj = —(Д& + fi)i ij и bij = — (Afc — fi)i ij соответственно. Очевидно, матрицы В, В имеют размеры N хт, Е - единичная матрица размером т X га. Последний столбец таблицы - столбец свободных членов в задаче (1.1). Для исходной симплекс-таблицы элементы столбца свободных членов неотрицательны.
Переменные ps, qj (s = 1,..., n, j = 1,..., га) являются свободными. Этап исключения свободных переменных проводим специальным образом. Процедура исключения состоит в том , что независимые переменные ps, qj (s = 1,... ,n, j = 1,..., m) последовательно выражаются через зависимые переменные гц (г = ±1,...), полученное при этом выражение для конкретного ps, qj подставляется в остальные неравенства, включая и целевую функцию. Это эквивалентно тому, что над матрицей симплекс-таблицы проводится шаг модифицированного жорданова исключения (МЖИ). Т.к. элементы столбца свободных членов первых 2N неравенств все равны нулю, то исключение свободных переменных только через эти ограничения не изменит столбец свободных членов. Будем руководствоваться этим при исключении свободных переменных. Для исключения ps, s = 1,... ,п, достаточно пользоваться первыми N строками в силу a;j = a_i,j. При исключении qj (j = 1,..., га) используем первые 2N строк таблицы. Исключаем как р3, так и qj пользуясь следующим правилом: переменные р3 (s = 1,...,п), qj, (j = 1,...,га) последовательно, начиная с р\, выражаем через зависимые Т]І} і = 1,..., N - для ps, и і = ±1,..., ±iV - для qj , которые выбираем, как \a,ij\ = {maxa/j : І Є {1,..., N} для ps, І Є {±1,..., ±N} для qj соответственно и І ф номерам строк (и номерам симметричных копий при исключении qj ), уже выбранных в качестве базисных } (либо по заданному для каждого ра, qj номеру строки щ или Ї]-І). Если для некоторого pj, элементы связанного с ним столбца равны нулю (на практике \a,ij\ є, где є 0 - заданное малое число) в небазисных строках, то функция (fj на данном множестве точек Х{, і = 1,..., N, является линейной комбинацией функций tpi,..., (fj i, j -й столбец выбрасываем из рассмотрения (зануляем его), соответствующее pj полагаем равным нулю: pj = 0. Аналогично для переменных qj (j = 1,...,m) при равенстве нулю небазисных элементов некоторого столбца, связанного с переменной q j, система функций i/ i,...,ij ji,...,ij m, линейно зависима на множестве точек D. Столбец и строки, соответствующие ограничени -ям на переменную q j выбрасываем из рассмотрения (зануляем столбец), соответствующее q j полагаем равным нулю. Закончив процесс исключения свободных переменных, мы имеем за дачу линейного программирования, у которой элементы столбца свобод ных членов неотрицательны, т.е. уже имеем опорное решение и можем сразу перейти к отысканию по правилам симплекс-метода оптимального решения полученной задачи. При этом полученные после исключения выражения для ра, s = 1,...,п, и qj, j = 1,...,m, запоминаем и к вычислению р8, qj обращаемся после того, как найдено оптимальное решение задачи. Часть матрицы, состоящая из первых п столбцов (см. таблицу), одна и та же перед началом каждой итерации. В результате исключения pj, j = 1,..., п, не изменяются строки исходной таблицы с номерами (2N+ 1),..., (2N + га), строка целевой функции, столбец свободных членов и соотношения, связывающие строки TTj, 77—г» г = 1,..., iV : (это следует из вида таблицы и правил жорданова исключения). Учи тывая эти свойства, процедуру исключения свободных переменных Pj, j = 1,...,п, проводим описанным выше способом только один раз (на первой итерации), преобразуя на каждом шаге жорданова исклю чения вспомогательную таблицу, матрицу которой схематично можно записать в виде G — [Ai?2], если базисные функции числителя и знаменателя разные, и в виде G = [А\В2] или G = [Bi\B2] если базисные функции знаменателя составляют часть базисных функций числителя: грі = рі, і = 1,...,m, или соответственно наоборот Фі = г і = 1,...,п. Запоминаем полученную в результате исключения pj, j = 1,...,п, матрицу G : G = [А В В ], где обозначения
Второй вычислительный алгоритм для равномерного при ближения функций рациональными дробями
Описываемый в этом параграфе вычислительный алгоритм также разработан на основе метода Чини-Лоэба. Он является обобщением на случай рациональных дробей алгоритма В.Л. Александренко [1], разработанного им для полиномиальной аппроксимации. Особенностью алгоритма Александренко В.Л. является использование симметричности ограничений минимаксной задачи, что позволяет хранить в памяти массив элементов, размер которого определяется размером массива элементов одной из симметричных групп ограничений. В отличие от линейного случая при приближении дробями нет свойства полной симметрии у пар ограничений r/i, 77—І, ЧТО естественно усложняет алгоритм по сравнению с полиномиальным случаем. В этом алгоритме решается двойственная к исходной задаче при этом в задаче (2.1), в отличие от задачи (1.1), используются двусторонние ограничения на коэффициенты знаменателя. В силу доказанных результатов в первой главе условие р 0 выполняется автоматически. Запишем для задачи (2.1) двойственную, причем сразу же введем искусственные переменные: Vu v-i 0, г = 1,..., N, yi,si 0, / = 1,..., m; & 0 - искусственные переменные, і = 1,..., n + m + 1. Столбцы матрицы системы (2.3) обозначим через A-i = (-(fa, , -fin, (&к+/і)Фі1, , {&к+Іі)Фіт, Qk,i)T, і = 1,..., N, Yj = -En+j, Sj = En+j, j = 1,... ,m, Л0 = n+m+i - вектор свободных членов, Ei - единичные векторы, у которых только г -я координата равна 1, остальные - нули. Векторы Е{ [г — 1,..., п + т + 1) соответствуют искусственным переменным &. Обозначим через невырожденной подматрицы В размера кхк, к = n+m+1, соответствующих ей переменных и преобразований: при условии хв = B 1AQ — В 1Нхн, х О, х = (хв,хн), где В и Н — подматрицы матрицы А : А = [В\Н], векторы х = [хв\%н] и с = [с#,ся] разбиты в соответствии с разбиением матрицы А. Имея текущий базис В и соответствующее ему допустимое базисное решение хв 0, хв. — 0, по правилам симплекс-метода можно переходить от одного базисного множества к другому, пока значение целевой функции возрастает, т.е. пока среди компонентов вектора d — z — с#, где z = CfiB 1!!, есть отрицательные. Для системы уравнений (2.3) имеем образуемый искусственными переменными единичный базис из п + га + 1 вектора с допустимым базисным решением & = О, І = 1, . .. ,П + 772, n+m+l = lj ОСТаЛЬНЬЮ переменные равны нулю. Замена в базисе одного столбца другим эквивалентна операции модифицированного жорданова исключения (МЖИ) с ненулевым разрешающим элементом над элементами столбцов матрицы и коэффициентами целевой функции.
Приведем формулы (см. [13], [25]) пересчета элементов матрицы с использованием обратной базисной матрицы: где В 1 — обратная матрица, соответствующая текущему базису, W{ -любой из столбцов матрицы A, di - і -й элемент вектора относительных оценок d = СвХ — с, Св — элементы строки с7, соответствующие базисным столбцам, (-1)j — j -й столбец матрицы В-1, Uj — некоторые значения вектора и прямой задачи, которые могут не быть ее допустимым решением, и формулы пересчета - вектор коэффициентов целевой функции (2.2), соответствующих переменным системы (2.3). Заметим, что вектор переменных прямой задачи (2.1). Определим N векторов с первыми п нулевыми компонентами, и соответствующие им N величин cf = 0, = 1,..., N. Используя введенные обозначения, задачу (2.2)-(2.3) в матричной форме можно записать в следующем виде найти Запишем вспомогательную задачу для задачи (2.5) (так называемую преобразованную задачу [25]), которая получается в результате выделения -некоторой невырожденной подматрицы В размера кхк, к = n+m+1, соответствующих ей переменных и преобразований: при условии хв = B 1AQ — В 1Нхн, х О, х = (хв,хн), где В и Н — подматрицы матрицы А : А = [В\Н], векторы х = [хв\%н] и с = [с#,ся] разбиты в соответствии с разбиением матрицы А. Имея текущий базис В и соответствующее ему допустимое базисное решение хв 0, хв. — 0, по правилам симплекс-метода можно переходить от одного базисного множества к другому, пока значение целевой функции возрастает, т.е. пока среди компонентов вектора d — z — с#, где z = CfiB 1!!, есть отрицательные. Для системы уравнений (2.3) имеем образуемый искусственными переменными единичный базис из п + га + 1 вектора с допустимым базисным решением & = О, І = 1, . .. ,П + 772, n+m+l = lj ОСТаЛЬНЬЮ переменные равны нулю. Замена в базисе одного столбца другим эквивалентна операции модифицированного жорданова исключения (МЖИ) с ненулевым разрешающим элементом над элементами столбцов матрицы и коэффициентами целевой функции. Приведем формулы (см. [13], [25]) пересчета элементов матрицы с использованием обратной базисной матрицы: где В 1 — обратная матрица, соответствующая текущему базису, W{ -любой из столбцов матрицы A, di - і -й элемент вектора относительных оценок d = СвХ — с, Св — элементы строки с7, соответствующие базисным столбцам, (-1)j — j -й столбец матрицы В-1, Uj — некоторые значения вектора и прямой задачи, которые могут не быть ее допустимым решением, и формулы пересчета ([25]) при замене в базисе одного столбца (j-ro) другим (г-и):
Аппроксимация параметров атмосферы
Информация о состоянии атмосферы необходима при решении различных научных и технических задач. Так, состояние атмосферы оказывает влияние на динамику движения объектов, поэтому оно должно учитываться при решении задач баллистики, задач управления движением летательных аппаратов (ЛА), в частности, при расчете траекторий. Это достигается включением в систему нелинейных дифференциальных уравнений, описывающих движение (см., напр, 1, п. 1.1 настоящей главы), вектора , который, учитывает, наряду с другими возмущающими факторами, воздействие меняющихся параметров атмосферы. Грубый учет влияния атмосферы позволяет осуществить так называемая стандартная атмосфера: таблично или аналитически заданная зависимость параметров атмосферы от высоты. Однако есть задачи (см. п. 1.3 этой главы), для которых влияние атмосферы имеет преобладающее в сравнении с другими факторами (влияние аномалий, нецентральность поля тяготения, влияние вращения Земли) значение и использование стандартной атмосферы не дает приемлемого решения. Модели локальных атмосфер как функции высоты, также малопригодны: они строятся для пунктов ракетного или радиозондирования атмосферы, а число таких пунктов ограничено и их координаты чаще всего не совпадают с координатами тех точек, для которых нужно знать состояние атмосферы при решении задачи управления. В такой ситуации неизвестно какую локальную модель использовать и какую ошибку в определение конечной точки движения внесет такой учет влияния атмосферы. В задачах, где существенно влияние атмосферы, учет локальных и сезонных характеристик атмосферы (значительно отличающихся от стандартных) позволяет существенно уменьшить погрешности решений. Метеорологическая информация для таких задач чаще всего задается в виде таблиц значений соответствующих параметров (температура, давление воздуха, скорость ветра и т.д.) на густой сетке трехмерного пространства {( , Л, Н)}, где (р, А — географическая широта и долгота соответственно, Н — высота над уровнем моря.
Табличные данные могут содержать ошибки, вызванные неточностью измерений, неточностью подготовки средних значений, и случайные ошибки, связанные с ручной обработкой (напр., с занесением в базы данных ЭВМ). Хранение таблиц требует больших объемов памяти ЭВМ. Один из возможных способов уменьшения требуемых объемов состоит в приближенном представлении (аппроксимации) таблично заданных функций трех (или двух) переменных посредством комбинаций элементарных функций. Требования к точности математических моделей и их компактности диктуют необходимость разработки региональных (трехмерных или двумерных) моделей: таких моделей для различных параметров атмосфе ры, которые давали бы возможность с погрешностью, не превосходящей погрешности измерений, восстанавливать достаточно быстро значение соответствующего параметра в любой точке географических координат ср, А на любой высоте Н в пределах рассматриваемого региона. Хранению в ЭВМ подлежат коэффициенты моделей, а значения соответствующего параметра атмосферы в конкретных точках определяются по мере надобности посредством вычисления значения модели (аппроксимирующей функции) по координатам точек. Такой способ позволяет существенно сократить объем хранимой информации, и кроме того, в некоторых случаях подбираемая аналитическая формула, помимо сжатия информации, может автоматически сглаживать табличные данные. Компактные формулы для вычисления параметров атмосферы важны при решении большого класса задач управления движением летательных аппаратов, в частности задач управления в "реальном масштабе времени". Имея региональные модели, можно, задав координаты ( /?, А) точки в пределах региона и варьируя высоту Н, получить вертикальные профили параметров атмосферы (набор значений параметров атмосферы для данного отрезка высот); получить значения параметров атмосферы вдоль траектории движения J1A, пользуясь координатами (у?, А, Н) точек траектории и др. Исходной информацией для построения моделей служат данные, подготовленные в Одесском гидро-метеорологическом институте (ОГМИ), на основе данных "Аэроклиматического справочника северного полушария данных, накопленных в (ОГМИ) в результате теоретических и экспериментальных исследований по аэроклиматическому описанию различных регионов. Исходные аэроклиматические данные были получены в ОГМИ усред
