Введение к работе
Актуальность темы.
В современной вычислительной математике и ее приложениях - при геометрическом моделировании обводов и поверхностей агрегатов летательных аппаратов (ЛА), при конструировании расчетных схем и алгоритмов решения задач математической физики и в других задачах широко используются алгебраические сплайны и многочлены.
В настоящее время наиболее развитыми и математически обоснованными являются методы аппроксимации кубическими сплайнами, которые обобщены на сплайны произвольной нечетной степени. По способу построения эти сплайны -дифференциальные, так как их условия согласования с аппроксимируемой функцией носят дифференциальный характер. Устойчивость сплайнов нечетных степеней обеспечивается симметричностью соответствующих условий согласования на концах каждого частичного отрезка [х/,хі+1] (jc,- - узлы сетки
Д,: a = xq< *!<_..< jr„ = Ь), а также граничных условий на концах отрезка [а,Ь\.
Однако в большом числе вычислительных задач точность исходных данных соответствует точности аппроксимации параболическими многочленами и сплайнами. При конструировании интерполяционных сплайнов четных степеней указанный принцип симметрии не обеспечивается, что влечет за собой неустойчивость, например, параболических сплайнов, построенных обычным способом. Их регуляризация осуществляется путем сдвига узлов сплайна относительно узлов аппроксимируемой сеточной функции, что существенно усложняет расчетные алгоритмы.
Традиционные параболические сплайны, также основанные только на дифференциальных условиях согласования аппроксимирующих и аппроксимируемых функций, не обладают свойством консервативности в смысле сохранения интегральных свойств (площадей под кривыми и объемов под поверхностями). Однако в современных вычислительных алгоритмах математической физики отдается предпочтение консервативным методам, конструируемым дпя интегральных законов сохранения массы, импульса и энергии. Поэтому желательно, чтобы аппроксимационные алгоритмы, встраиваемые в расчетные схемы, удовлетворяли условию консервативности. При геометрическом моделировании сложных технических поверхностей соблюдение равенства
площадей и объемов под заданными и искомыми функциями также предоставляет новые возможности в повышении качества аппроксимации.
Из данного краткого анализа следует актуальность разработки новых более совершенных подходов к численной аппроксимации, удовлетворяющих требованиям консервативности, устойчивости, сходимости, экономичности, гибкости при их реализации.
В диссертации предложены и математически обоснованы новые интегродифференциальные многочлены и "консервативные йнтегродиф-ференциальные сплайны одной и двух переменных как параболические, так и произвольной четной степени, основанные на интегральных условиях или совокупности интегральных и дифференциальных условий согласования аппроксимирующей и аппроксимируемой функций. При этом для параболических интегродифференциальных сплайнов устойчивость обеспечивается без сдвига узлов сплайна относительно узлов сеточной функции.
Разработаны и методически исследованы устойчивые экономичные алгоритмы нахождения параметров интегродифференциальных сплайнов, позволяющие учитывать локальные свойства аппроксимируемых функций.
Целью диссертационной работы является:
разработка и математическое обоснование консервативного интегродифференциального метода аппроксимации одномерных и двумерных сеточных функций с помощью ИД-многочленов и ИД-сплайнов четныхстепеней, основанных на интегральных условиях или совокупности интегральных и дифференциальных условий согласования аппроксимирующей и аппроксимируемой функций;
- построение одномерных параболических ИД-многочленов и устойчивых
консервативных слабо и сильно сглаживающих ИД-сплайнов минимального
дефекта (9=1), узлы которых совпадают с узлами аппроксимируемых сеточных
функций, а также двумерных параболических ИД-многочленов и слабо
сглаживающих ИД-сплайнов дефекта 1;
- конструирование одномерных и двумерных интерполяционных
ИД-многочленов и ИД-сплайнов произвольной четной степени;
- изучение аппроксимационных свойств ИД-сплайнов различных типов и методические исследования алгоритмов приближения ими функций одной и двух переменных.
Научную новизну результатов работы составили:
-
Новый консервативный интегродифференциальный метод аппроксимации одномерных и двумерных функций с помощью ИД-многочленов и ИД-сплайнов, обеспечивающий построение устойчивых ИД-сплайнов четных степеней без сдвига узлов сплайна относительно узлов исходной сеточной функции.
-
Методы интерполяции, слабого и сильного сглаживания функций, а также восстановления функций, заданных своими интегралами на частичных отрезках на основе глобальных параболических ИД-сплайнов.
-
Устойчивые экономичные алгоритмы нахождения параметров глобальных параболических ИД-сплайнов, позволяющие учитывать локальные свойства аппроксимируемых функций.
-
Теоремы сходимости одномерных и двумерных слабо сглаживающих параболических ИД-сплайнов при аппроксимации ими функций различных классов гладкости.
5. Одномерные и двумерные интерполяционные ИД-многочлены и
ИД-сплайны произвольной четной степени, узлы которых совпадают с узлами
аппроксимируемой сеточной функции.
6. Результаты сравнительного численного анализа новых интегродиф-
ференциапьных сплайнов и традиционных дифференциальных сплайнов.
Теоретическое и практическое значение.
Теоретическая значимость результатов диссертации определяется построенными в ней интегродифференциальными сплайнами и многочленами произвольной четной степени, предложенными методами интерполяции и сглаживания сеточных функций на основе ИД-сплайнов и ИД-многочленов, а также консервативностью интегродифференциального метода.
Практическая значимость результатов диссертационных исследований состоит в том, что интегродифференциальный консервативный метод приближения функций соответствует характеру современных численных схем, используемых при расчете течений жидкостей и газов, которым присуща консервативность, и предоставляет новые возможности в построении аппроксимационных операторов. Метод аппроксимации на основе одномерных и двумерных ИД-сплайнов позволяет сохранять площади и объемы под аппроксимируемыми функциями, что обусловливает их перспективность при аппроксимации сложных технических поверхностей и обводов пространственных аэрогазодинамических форм ЛА, обладающих интегральными свойствами.
Достоверность исследования и полученных результатов вытекает из математической обоснованности постановок рассматриваемых задач, обусловлено соответствующими доказательствами теорем сходимости ИД-сплайнов и устойчивости -алгоритмов аппроксимации и подтверждается проведенными вычислительными экспериментами по аппроксимации одномерных и двумерных функций ИД-многочленами и ИД-сплайнами.
Апробация работы.
Основные результаты, изложенные в диссертации, докладывались
- на XIII Школе-семинаре по комплексам программ математической физики,
(Новосибирск, 26 сентября - 4 октября 1994 г.);
- на Молодежной научной конференции "21 Гагаринские чтения" (Москва,
4-8апреля 1995 г.);
- на Международной конференции "Математические модели и численные
методы механики сплошной среды", посвященной памяти академика Н. Н. Яненко
(Новосибирск, 26 мая - 2 июня 1996 г.);
на Международной конференции по вычислительной и прикладной механике (Москва, 5-8 февраля, 1997 г.);
на семинаре чл.-корр. РАН Пирумова У. Г. в Московском государственном авиационном институте (техническом университете) на кафедре "Вычислительная математика и программирование" (май 1997 г.).
Публикации. По теме диссертации опубликовано семь печатных работ.
Структура и объем работы.
Диссертация состоит из шести разделов (включая введение и заключение) и списка литературы, содержащего 138 наименований. Работа изложена на 152 страницах машинописного текста, содержит 12 рисунков и 11 таблиц.
Похожие диссертации на Интегродифференциальный консервативный метод приближения одномерных и двумерных функций алгебраическими многочленами и сплайнами
