Введение к работе
Актуальность темы. Во многих теоретических л практических задачах вычислительной математики и математической теории управления возникает проблема локализации корней полинома или полиномиальной системы уравнений. В частности, при исследовании устойчивости по Ляпунову нулевого решения системы линейных автономных дифференциальных уравнений (в дальнейшем будем просто говорить об устойчивости системы), исследовании сходимости итерационных процессов необходимо проанализировать поведение спектра некоторой матрицы. В случае, когда оказывается возможным построить характеристический полином этой матрицы, анализ сводится к проверке набора алгебраических условий на коэффициенты этого полинома — критерий Рауса — Гурвица для асимптотической устойчивости, или Шура — Кона для нахождения всех корней полинома внутри круга |г| < 1 комплексной плоскости. Однако в ряде прикладных задач требуется выполнение более специфичных ограничений для собственных чисел матрицы. Это связано, например,1 с необходимостью отсутствия слабо затухающих высокочастотных элементов решений, получения решений с заданной степенью устойчивости и т.д. Отсюда возникает потребность в решении общей задачи локализации (отделения) корней полинома: необходимо построить критерии нахождения корней в произвольной алгебраической области комплексной плоскости. В последние десятилетия эта задача и ее обобщение для систем алгебраических уравнений сформировалась и в таком разделе вычислительной математики, каким является теория символьных (аналитических) вычислений (компьютерная алгебра). Решение ищется "чисто алгебраическое", т.е. предполагающее конечное число элементарных алгебраических операций над коэффициентами полиномов, участвующих в постановке задачи.
Исторически задача в указанной постановке была сформулирована в трудах классиков XIX в. — Коши, Якоби, Штурма, Эрми-. та, Кэли, Чебышева, Кронекера и Маркова. Так, Эрмит в 1854 г. предложил метод вычисления числа корней полинома внутри области, граница которой является уникурсальной (допускающей рацио-
'J.Ackerman. Sampled-Data Control Systems. Springer-Verlag, Berlin, 1985
пачьиую параметризацию) кривоіі; позднее были получены удобные условия для частного вида областей (полуплоскость, круг, сектор). Из современных математиков этой проблемой занимались Калмаи, Джури, Гутман и др. Однако полного решения задача все же не получила.
Важной является также задача о стабилизации линейного однородного дифференциального уравнения порядка п с переменными коэффициентами. Различными авторами предпринимались неоднократные попытки решить эту задачу, однако конструктивного алгоритма ее решения до сих пор получено не было. Основная трудность заключалась в отсутствии удобного для проверки критерия устойчивости таких систем.
В современной математике получил распространение более формализованный подход к исследованию систем (в общем случае, неавтономных) дифференциальных уравнений, основанный на понятии дифференциального результанта (Е. Веке; E.L. Ince; Л.М. Берковпч, В.Г. Цирулнк). Возникла и задача о стабилизации систем уравне-ний,записаш1ых в терминах дифференциальных полиномов. Эта переформулировка задачи о стабилизации систем линейных дифференциальных уравнений допускает возможность использования для решения ряда чисто алгебраических методов, так как имеется непосредственная аналогия между дифференциальными и обычными (алгебраическими) полиномами; сложность же заключается в отсутствии свойства коммутативности у дифференциальных полиномов.
Цель и задачи исследования. Цель работы заключалась в решении ряда теоретических и практических задач вычислительной математики. Перед диссертанткой были поставлены следующие задачи:
-
построить критерии нахождения корней полинома в произвольной алгебраической (т.е. описываемой конечной системой полиномиальных условий) области комплексной плоскости;
-
исследовать поведение решений линейного однородного дифференциального уравнения порядка п с переменными ограниченными коэффициентами;
-
найти удобное условие стабилизируемое линейного дифферен-
цналыюго уравнения с переменными ограниченными коэффициентами и систем таких уравнений.
Научная новизна работы. Разработаны методы определения точного числа корней полинома вне (внутри) алгебраической области комплексной п.чоскостп. Один из них основал на теории исключения и теории гаикелевых квадратичных форм, другой — па результатах Кронекера по теории наибольшего общего делителя полиномов и использовании параметров Маркова. Оба алгоритма алгебранч-иы. Используемый вспомогательный аппарат квадратичных форм (гаикелевых, безутиаит, Маркова) применяется к задаче построения функций Ляпунова для линейных систем. Полученные теоретические результаты иллюстрируются на примере стабилизации грузового моста.
Доказано достаточное условие асимптотической устойчивости и неосцилляции решений линейного однородного дифференциального уравнения порядка п с переменными ограниченными коэффициентами. Впервые приводится конкретный пример, показывающий, что это условие необходимым не является. Получено достаточное условие стабилизируемое этого уравнения и систем таких уравнений, каждое из которых зависит только от одной компоненты вектора основных переменных.
Получено достаточное условие стабилнзируемости для систем линейных дифференциальных уравнений, записанных в терминах дифференциальных полиномов.
Практическая значимость работы. Полученные результаты представляют теоретический интерес, поскольку они могут быть использованы в вычислительной математике, теории устойчивости и теории управления, при решении задач, требующих анализа поведения решений систем алгебраических и дифференциальных уравнений. Практическая ценность результатов диссертации определяется возможностью использования разработанных алгоритмов при создании пакетов программ в системах аналитических вычислений общего назначения и специализированных для задач теории управлення (таких, например, как MAPLE пли MatLab); эта возможность демонстрируется на примере задачи стабилизации грузового моста.
Апробация работы. Результаты работы докладывались па Международной студенческой математической конференции (Прага, 1089), на конференции факультета прикладной математики — процессов управлення СПбГУ (1990).
Публикации. По материалам диссертации опубликовано 3 печатных работы.
Объем ц структура работы. Диссертационная работа состоит из введення, трех глав, содержащих основные результаты, иллюстрируемые численными примерами, и заключения. Работа изложена на 104 страницах; список цитируемой литературы включает G4 наименования.
