Введение к работе
Актуальность темы. В настоящее время в связи с исследованиями глобальных изменений на планете Земля возрастает интерес к задачам усвоения и обработки данных наблюдений с целью ретроспективного анализа в различных отраслях знаний. К числу проблем, решение которых не может обойтись без четырехмерного анализа данных наблюдений можно отнести проблемы глобальных изменений климата нашей планеты, состояния и защиты от загрязнений окружающей среды, сохранение биосферы в условиях резкого увеличения народонаселения, интенсивного развития промышленного производства и многие другие. Все это потребовало комплексного изучения задач идентификации для эволюционных процессов.
В последние годы возникли новые постановки проблем, требующие детального изучения с применением теории сопряженных уравнений. В частности, следует отметить проблему анализа полей данных наблюдений, с помощью которых изучаются течения Мирового Океана, идет уточнение параметров океанических моделей, а также исправление самих наблюдаемых полей. Также стоит отметить бурно развивающуюся в последнее время отрасль человеческой деятельности - наблюдение Земли со спутников. В этом случае большое значение приобретает решение проблемы обработки данных, получаемых со спутников. Вариационная формулировка этой задачи может быть сформулирована следующим образом: введя функцию стоимости, измеряющую расхождение между наблюдаемыми величинами и результатами моделирования, найти неизвестные входные параметры модели, для которых функция стоимости принимает наименьшее возможное значение. Обработка получаемых данных является, таким образом, задачей огромной важности и в этом случае, с помощью методов усвоения можно превратить их в полезную информацию, что в конечном счете позволяет производить уточнения и самих наблюдаемых данных. Поэтому весьма актуальным является развитие методов исследования и численного решения задач вариационного усвоения данных.
Математические постановки задач об усвоении данных могут быть сформулированы как задачи оптимального управления в терминах систем уравнении состояния и сопряженных к ним. Начиная с работ Р.Беллмана, Л.С.Понтрягнна, Н.Н.Красовского, Ж.-Л.Лнонеа, Р.Гло-винского, А.Балакршпнана, Г.И.Марчука, Ю.С.Осипова, А.Б. Кур-
жанского, постановки и изучение таких задач с применением теории сопряжённых уравнений привлекают внимание многих исследователей. Наибольшее развитие эти методы получили в задачах ядерной энергетики, физики атмосферы и океана, охраны окружающей среды, и др.
Как известно, задачи усвоения данных в некотором смысле эквивалентны некоректно поставленным задачам и поэтому, требуют при-аіечення методов регуляризации, предложенных в работах А.Н. Тихонова, М.М.Лаврентьева. Ж.-Л.Лпонса и др.
Касаясь разрешимости задач оптимального управления, следует отметить результаты, полученные Ж.-Л. Лнонсом для линейных задач оптимального управления. Другие подходы к исследованию подобных задач рассматривались в работах К. Бардоса, А.И. Егорова, А.В. Фурснкова и др. Для нелинейных задач аналогичные результаты были получены в.работах В.Н. Агошкова, В.И.Агошкова и Г.И. Марчука, В.М. Нпатовой, В.П. Шутяева.
Один из подходов к исследованию разрешимости задач об усвоении данных заключается в получении так называемого оператора управлення. Как оказывается, знание свойств этого оператора, в особенности его спектральных свойств, важно для исследования разрешимости задачи управления, а также для разработки и обоснования численных алгоритмов ее решения. Наряду с изучением структуры спектра данного оператора важно получить оценки границ спектра, так как их знание позволяет оптимизировать численные алгоритмы решения задачи оптимального управлення. В частности, некоторые из таких оценок для непрерывных задач получены в работах Агошкова В.И., Шутяева В.П.
Как отмечалось, знание свойств спектра оператора управления важнс для разработки, обоснования и оптимизации численных алгоритмов решения задач оптиматьного .управления. Классические методы для решения подобных задач были разработаны в работах Н.Н. Красовско-го, A.M. Летова, П.А. Крылова и Ф.Л. Чсрноусько, Р.П. Федоренко, Евтушенко Ю.Г. и др. Ряд новых итерационных алгоритмов решения задач усвоения данных предложен в работах В.И. Агошкова и Г.И. Марчука, Г.И.Марчука и В.Б. Залесного, Г.Н.Марчука и В.П.Шутяева.
Наряду с исследованием непрерывной задачи важное значение имеет
)
исследование разностных аналогов вариационной задачи об усвоении данных. Отождествляя в некотором базисе оператор задачи с его матрицей, можно получить разностный аналог уравнения для управления. Свойства полученной "матрицы управления" оказываются подобными свойствам оператора соответствующей непрерывной задачи. При некоторых условиях границы спектра матрицы управления могут быть точно вычислены, что позволяет получить необходимые и достаточные условия сходимости итерационных методов и оценить их скорость сходимости.
В связи с этим актуальным является изучение разностных задач вариационного усвоения данных, исследование спектра матриц управления и анализ на основе их свойств численных алгоритмов решения задач.
Целью диссертационной работы является исследование разностных аналогов вариационных задач об усвоении данных, разработка и обоснование итерационных методов их решения, численный анализ алгоритмов.
Научная новизна. Представленные в диссертации результаты являются оригинальным вкладом в исследование разностных аналогов вариационных задач об усвоении данных, разработку и обоснование численных алгоритмов их решения.
Исследован разностный аналог линейной эволюционной задачи об усвоении данных с целью восстановления функции начального условия. Получены оценки для границ спектра матрицы управления. Доказана устойчивость разностной задачи оптимального управления.
Разработаны и обоснованы итерационные алгоритмы решения разностных задач об усвоении данных с целью восстановления функции начального условия. Проведена оптимизация итерационных алгоритмов на основе свойств спектра матрицы управления.
Проведено численное исследование итерационных алгоритмов решения конкретных залач об усвоении данных, среди которых задача о восстановлении начальных данных в линейной и полулинейной параболических задачах, проблема восстановления граничных функций в задаче переноса частиц.
Практическая значимость. Разработанные в диссертационной работе итерационные алгоритмы, основанные на одновременном использовании основных п сопряженных уравнений, могут быть прн-
:?
менены для решения практических задач об усвоении данных с целью восстановления функций начального условия или граничных функций.
Апробация работы. Результаты диссертации обсуждались на семинарах Института вычислительной математики РАН.
Результаты диссертации докладывались на 3-ей международной конференции "Математические модели нелинейных возбуждений, переноса, динамики, управлення в конденсированных системах и других средах-1 (Тверь, 1998), конференции по обратным и некорректно поставленным задачам (Москва, МГУ, 1999).
Публикации. По теме диссертации опубликовано 5 печатных работ.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы (97 наименований): изложена на 93 страницах и включает 26 рисунков и 25 таблиц.
Похожие диссертации на Исследование и численное решение некоторых задач об усвоении данных
