Введение к работе
Актуальность темы. Одним из наиболее важных направлений в развитии численных методов решения уравнений математической фізики является разработка -эффективных алгоритмов решения многомерных стационарных задач, возникающих при описании физических явлений и процессов различной природы ( например, . в теории упругости, стационарной теплопроводности, электродинамике, исследовании процессов диффузии, фильтрации ).
Построению и изучению разностных методов решения эллиптических уравнений посвящены многие рвботы А.А. Самарского, E.G. Николаева, Н.С. Бахвалова, Б.В. Андреева, Е.Г. Дьяконова, Г.И. Марчука, В.П. Ильина, Н.Н. Яненко, А.Д. Лялко, U.U. Карчнвского, В.И. Лебедева,а также зарубежных' 'авторов: Р. Рихтмайера, К. Мортона, Ж. Лионса, Л. Хейгемана, В. Янга и других.
Вольная размерность рассматриваемых задач приводит к необхомости разработки специальных методов, учитывающих, специфическую структуру (разреженность, ленточность, блочность) получаемой в конечном счете матрицы системы алгебраических уравнений. Наиболее универсальными среди втих методов являются итерационные, позволяющие свести реализацию сложной задачи к последовательности более простых.
Существенным достижением в этой области является метод переменных направлений, предложенный Дугласом , Писненом, Ганном и Рэкфордом. Сравнение метода переменных направлений с другими итерационными алгоритмами показывает, что он является экономичным и довольно эффективным. Однако, в задачах с размерностью р > 2 применение данного метода связано с принципиальными трудностями, например, при этом необходима коммутируемость. "одномерных" пространственных операторов, и накладываются ограничения на итерационные параметры.
Распространенными алгоритмами решения задач ' большой размерности являются методы, основанные на факторизации разностного оператора задачи, которые разрабатывались B.C.
йладамировыа, O.K. Годуновым, А.А. Абрамовым, В.В. Лйдроєвїїїь А.А. Самарским, E.G. Николаевым и другими зкораа. Но и дг.д алгоритмов такого типа сохраняется требовиш коиущг/о^оет:; "одномерных" пространственных операторов.
В работах В.Н.Абрашина был првдлонен класс 8і<сї»оі:;ї!^;лї разностных схем, который позволяет аь счэт 2&Дг?лл ггл.'огокошонетности снять ряд ограничений па свойства ниючії задачи и дает возможность значительно расширить об^с-ь применения метода переменных ншіравлеш:!, Плзтрсаг.аэ и исследование алгоритмов подобного типа для сївцішнаркаї є5іДі;"-і бахчой размерности и более сложной стру^ры црздстаіч." v? несомненный интерес для теории численных методов.
Если исходная дифференциальная задача рисс?,5атр;ш';;ле;; ь области, имеющей сложную геометрию, то при построен»» ?л обосновании классических итерационных методов возге-каг? дополнительные трудности. Они связаны с наличием нарегу.ыйш. приграничных узлов и изменяющимся шагом сєїки, что плохо «.».3%' на обусловленность получавши в конечном счете матрица системі алгебраических уравнений. В связи с этим остается актуальной проблема дискретизации области сложной йормн к пострсоилл вкономичных итерационных методов решения МН0Г0М5РМ1-'Х шшштическнх задач в таких областях.
Целью работы является построение и исследование итерационных гаогокошюнентных методов переменных направлений реаюкий а&аштических задач любой размерности.
Научная новизна. Предложены экономичные разностные схеаа, которые позволяют использовать метод переменных направлений для рззения эллиптических задач любой размерности. Проведено исследование построенных итерационных многокомпонентных алгоритмов метода переменных направлений. Предложены вф|ективные разностные схемы атого метода, позволяющие использовать его в областях со сложной геометрией, а такке алгоритмы, допускающие полное распараллеливание вичислений на одномерные задачи. Решена вадача выбора оптимальных итерационных параметров для описанных методов.
Практическая значимость. Полученные результаты могут быть
использованы при решении широкого класса многомерных эллиптических уравнений как в прямоугольных, так и в областях Солее сложной формы.
Апробация работа. Основные результаты . диссерт8щгл докладывались на Республиканской научно-практической конференции творческой молодежи "Актуальные проблемы информатики; математическое, программное и информационное обеспечение" (г. Минск, 1989 г. ), на семинарах лаборатории численных методов математической физики Института математики АН Беларуси, w семинара кафедры численных методов и программирования Еелгосуниверситета, кафедры дифференциальных уравнений к численных методов Вильнюсского университета, отдела вычислительных методов Института математики и информатики АН Литвы, на семинарах кафедры информатики и вычислительной- техники Витебского педагогического института.
Публикации. Основные результаты диссертаций опубликованы F. работах И-41.
Структура и объем работы, диссертация состоит из введения, двух глав, приложения и списка литературы, содержащего S3 ноимз-' ноезниЯ. Общий объем работы 100 страниц,
