Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. Неявная схема для совместного решения уравнений энергии и переноса излучения в задачах с радиационно-кондуктивным теплообменом 20
I. Общая схема решения задач радиационной газовой динамики 21
2. Построение неявных схем для совместного решения уравнений энергии и переноса излучения в задачах с радиационно-кондуктивным теплообменом 29
3. Исследование устойчивости неявных разностных схем 38
4. Примеры расчетов на ЭВД 50
ГЛАВА II. Методы осреднения двумерного уравнения переноса излучения 55
I. Осреднение двумерного уравнения переноса излучения по направлениям полета фотонов и приближенный метод учета угловой зависимости 57
2. Осреднение двумерного уравнения переноса излучения по углу и по частоте в случае коэффициента поглощения 92
3. Примеры численных расчетов 69
ГЛАВА III. Численное исследование развития лазерной плазмы вблизи поверхности мишени при умеренном давлении окружающего газа 80
I. Постановка задачи и метод численного решения 83
2. Динамика развития плазменного факела 89
Заключение
Литература
- Построение неявных схем для совместного решения уравнений энергии и переноса излучения в задачах с радиационно-кондуктивным теплообменом
- Примеры расчетов на ЭВД
- Осреднение двумерного уравнения переноса излучения по углу и по частоте в случае коэффициента поглощения
- Динамика развития плазменного факела
Введение к работе
І. В последнее время в науке и технике все чаще приходится иметь дело с высокотемпературными газодинамическими процессами. Эти процессы играют существенную роль в некоторых задачах управляемого термоядерного синтеза, в исследованиях явлений, происходящих в лазерной плазме, в сильноточных излучающих разрядах, в задачах по вхождению космических летательных аппаратов в атмосферы планет, в астрофизике и т.д. Во многих случаях невозможно определить газодинаїлические параметры (скорости, плотности, температуры), не зная полей излучения, и наоборот, нельзя определить поля излучения, не зная газодинамических полей.
Перенос тепла излучением начинает существенно влиять на ход процессов, когда температура среды достигает I эВ = = ІІ600К. В случае, если температура не слишком высока, а плотность среды не слишком низка, плотность энергии излучения и давление излучения пренебрежимо малы по сравнению с давлением и энергией вещества. Однако, поток энергии за счет излучения сопоставим с потоками энергии за счет других механизмов переноса. Связано это с тем, что поток энергии излучения по порядку величины равен с U , где V - плотность энергии излучения, а с - скорость света. Поэтому, несмотря на малость U , c{J может быть велико за счет большой величины о , и в расчетах газодинамических параметров необходимо учитывать поток излучения.
В этом случае система уравнений радиационной газовой динамики (РІД) имеет вид [I]: p ^kk--Qrl/CuJl(p+lA/) о d - -р&гГЬО + (JUifXawcLT-dtiifW + Q (Jl^Q'VoJIJ) -+- дЄг^І^ = дС^1у/э о чзъ v SS(T9j))7 p=f>CT7j>)9 Z=UT9j>)
3^ = ^^,7^)
В этой системе уравнений использованы следущие обозначения: t - время» и^ - вектор скорости, о - плотность среды, р - давление, ц/ - искусственная вязкость, S - внутренняя энергия, Т- температура, %- коэффициент теплопроводности, б — вклад в уравнение энергии различных источников тепла, W- вектор потока энергии излучения, Х^- спектральная интенсивность энергии излучения, Л - единичный вектор направления полета фотона, у - частота фотона, З^р- коэффициент поглощения фотонов частоты ]) , Т - спектральная интенсив-ность излучения абсолютно черного тела: т _ lb и L-vp- с* eW-l В системе (I) - (4) пренебрегается рассеянием излучения по сравнению с его поглощешем, предполагается наличие локального термодинамического равновесия в веществе, равновесие между веществом и излучением необязательно. Предполагается, что время прохождения светом исследуемого объема много меньше характерного времени задачи, что позволяет использовать квазистационарную форму уравнения переноса излучения (4).
Систему уравнений радиационной газовой динамики следует дополнить граничными условиями. Различные типы граничных условий для уравнений (I) и (2) приведены, например, в книге А.А.Самарского и Ю.П.Попова [2]. Для уравнения переноса излучения (4) в случае выпуклых областей без учета частичного отражения на границе Г граничные условия задаются в виде: .х^(г,Л,))) =Ґ(г,Л,))) {л,я).^о где Ті - вектор нормали к границе области, I - интенсивность приходящего извне излучения. Этот случай рассматривается в настоящей работе. Для невыпуклых областей-граничные условия строятся более сложным образом [3].
Если в уравнении энергии не учитывается электронная и молекулярная теплопроводность, то оно не нуждается в граничных условиях. Если вблизи границы нет излучения, то можно пользоваться обычно задаваемыми для уравнения теплопроводности граничными условиями [2]. В общем случае для построения граничных условий для уравнения энергии необходимо учитывать поток тепла через границу как за счет электронной и молекулярной теплопроводности, так и за счет излучения.
Более подробно математическая постановка задач Н?Д изложена в работах [1,4-6].
2. Как видно из системы уравнений (I) - (3), излучение вносит вклад только в уравнение энергии, поэтому решение задач РГД в этой постановке естественным образом разбивается на три этапа [7,8,9]: решение уравнений газовой динамики (I) - (2); решение уравнения переноса излучения (4); определение температуры из совместного решения урав- нения энергии (3) и уравнения переноса излучения (4).
Методическая часть диссертации посвящена последним двум этапам. Что касается методов решения уравнений газовой динамики, то автор в своих расчетах использовал ранее разработанные алгоритмы, поэтому их изложению уделяется мало внимания. Более подробно эти методы изложены в работах [2,10-16].
Одна из трудностей решения системы уравнений (I) - (4) связана с многомерностью уравнения переноса излучения. Интенсивность излучения I , зависит от . " дополнительных переменных: частоты \) и направления полета фотона Л. Если ввести Л/к частотных интервалов (групп) и взять Nр точек по углу, то для определения поля излучения придется решать А/К'^р уравнений вида (4), в то время как остальных уравнений в системе (I) - (3) всего 2 +/?г , где ути - геометрическая раз-мерность пространства.
Вторая трудность решения задачи состоит в следующем. В правую часть уравнения энергии входит поток W , для определения которого необходимо решать уравнение переноса излучения. Поэтому наиболее простым способом решения является решение с использованием явных схем, когда поток U/ определяется по данным с предыдущего временного слоя. Однако, такие схемы часто требуют для устойчивости счета очень малого шага по времени.
Особенно ощутимым это становится для областей с большой оптической толщиной, в которых выполняется приближение лучистой теплопроводности [і]. В этом случае применение явной схемы для решения уравнения энергии эквивалентно применению явной схемы для уравнения теплопроводности, что накладывает жесткое ограничение на шаг по времени [2,17].
В работах [18,19] получено достаточное условие устойчи вости явной схемы для совместного решения одногруппового ура внения переноса излучения для плоского слоя и уравнения энер гии без учета теплопроводности: % ^ т п3 » где ^ ~ по"" стоянная Стеорана-Больцмана.
Указанные трудности решения задач динамики излучающего газа придают особую ценность различным приближениям, которые, позволяя существенно упростить поставленную задачу, дают решения, близкие к результатам, полученным при использовании более точных моделей. Среди приближенных способов следует отметить приближения лучистой теплопроводности, оптически тонкого слоя [1,4,7], серой материир,7), диффузионное приближение [1,3,4,7,20-22], приближения Эддингтона и Шварщильда-Шустера [1,23-24]. Последние три предполагают приближенный учет угловой зависимости поля излучения. Их использование в численных расчетах позволяет качественно верно определять интегральные характеристики поля излучения. Поэтому при решении двумерных задач в настоящее время часто поток энергии излучения W^ определяют из системы уравнений диффузии излучения \i/ _ апАХШ UJ где Ufp - спектральная плотность излучения абсолютно черного тела.
Заметим, что при решении двумерных уравнений (5) возни- кает новая трудность - необходимость использования итерационных методов решения уравнений эллиптического типа, что требует большого объема вычислений, особенно в случае неравномерных неортогональных сеток-, и непостоянных по пространству коэффициентов поглощения э^> .
В общем случае для расчета задач динамики излучащего газа приходится решать систему уравнений (I) - (4).
3. Методы решения задач РГД рассматривались рядом авторов. Методы решения одномерного уравнения переноса излучения (4) в различных геометриях предложены в работах [7,16,20,25-32]. Среди них следует отметить методы характеристик, метод характеристик с интерполяцией, S^t^Dpnr методы.
Решение двумерного уравнения переноса излучения значительно более трудоемко. Можно использовать методы дискретных ординат ( $n,1)Snr методы, метод характеристик, метод конечных элементов) [20,33-39], методы Монте-Карло [40,41]. Однако, при использовании методов дискретных ординат (кроме метода конечных элементов) в двумерных задачах недостаточно подробная сетка по угловой переменной может привести к значительным количественным и качественным ошибкам, обусловленным эффектом луча [33,42]. Эффект луча возшкает в том случае, когда область, в основном генерирующая излучение, мала,и направления, вдоль которых вычисляется интенсивность излучения, выбраны неудачно. Одним из способов борьбы с эффектом луча является специальный выбор сетіш по угловым переменным.
Так, например, в работах [35,36] интенсивность излучения вычисляется с помощью решения двумерного уравнения переноса методом дискретных ординат по шести лучам, специально выбранным из физических соображений.
Редкая сетка по угловой переменной, содержащая четыре луча, параллельных осям координат, используется при решении двумерной задачи ЕГД с осевой симметрией в работе [43]. При этом решение уравнения переноса вдоль каждого луча проводится в приближении плоского слоя. Такой способ может быть использован для решения некоторых задач, в которых не требуется точный учет поля излучения, а размеры зоны, в основном ге-нерирущей собственное излучение плазмы, близки к размерам всей исследуемой области.
Другим средством борьбы с эффектом луча является использование методов с осреднением по угловой переменной: диффузионного приближения [1,4,7], квазидиффузионного метода [7,19, 44-46], уравнений, полученных в работе [47].
В работе [47] предлагается определять поле излучения в , двумерных задачах ЕГД из решения самосопряженного уравнения Владимирова [3], проинтегрированного по угловой переменной внутри телесных углов, на которые разбивается сфера направлений. Метод является более точным, чем диффузионный. Однако, его применение, особенно в многогрупповом варианте, приводит к большому объему вычислений, связанному с решением двумерных эллиптических уравнений.
Решение двумерных эллиптических уравнений, как уже отмечалось, представляет непростую задачу. Можно использовать различные итерационные методы, предложенные в книгах [17,48]. Хорошо зарекомендовал себя Л- в итерационный метод [49], который дает лучшую скорость сходимости, чем методы наискорейшего спуска, минимальных невязок [48]. Скорость сходимости О-р метода ^ \ А/"*', где Л/ - число узлов сетки по одному пространственному направлению. В отличие от методов верхней - II - релаксации, обобщенно-попеременно-треугольного метода [48] он не требует знания априорной информации о спектре разностного оператора.
Рассмотрим ряд алгоритмов, посвященных эффективному понижению размерности уравнения переноса излучения.
Среди них следует прежде всего отметить квазидиффузионный метод, который был первоначально предложен в работе [45] и в настоящее время широко используется для решения одномерных задач [7,19,44,46]. В квазидиффузионном методе понижение размерности уравнения переноса происходит благодаря осреднению по угловой переменной. При известных коэффициентах квазидиффузии поток энергии излучения W^ определяется из уравнений, не зависящих от направления полета фотона.
В работах [50,51] приведены примеры использования квазидиффузионного метода для решения двумерных задач нейтронной физики. Однако, его применение для решения двумерных задач ЇТД приводит к большому объему вычислений, связанному с решением на некоторых временных слоях двумерного уравнения переноса излучения.
В работе [52] предлагается использовать для решения одномерных задач потоковые уравнения, получающиеся в результате осреднения уравнения переноса по угловой переменной и являющиеся в некотором смысле аналогом системы уравнений квазидиффузии.
Ряд работ посвящен осреднению уравнения переноса излучения по частоте. В работах [53,54] предлагается моментный метод осреднения по частоте одномерного уравнения переноса излучения. Возможно его обобщение на решение двумерных задач.
Осреднение по энергиям потоковых уравнений [52], хорошо описывающих поведение потока энергии излучения для плоского слоя, проводится в работе [55]. В работе [56] предлагается проводить осреднение по энергиям фотонов для разностной формы записи системы уравнений квазидиффузии. При этом оказывается эффективным использовать метод замораживания осреднен-ных коэффициентов. Возмогло обобщение метода [56] на случай решения двумерных задач [8,9].
В работах [44,57] предложен эффективный способ осреднения по энергиям фотонов для одномерных и двумерных задач в случае, когда коэффициент поглощения представим в виде 36^ = = /(^j-/^(T р) При этом частотная зависимость интенсивности излучения переводится в угловую. В работе [ 58] предложена приближенная схема использования этого метода для задач, обладающих сферической симметрией- Метод был. успешно применен для решения одномерных практических задач [59-61]. Использование осреднения [44] для решения двумерных задач в случае 2tj = -f (VJ/ (Т р) облегчает учет частотной зависимости. Однако, поскольку геометрическая размерность уравнения переноса не меняется, для решения двумерных задач требуется много вычислений.
Важной проблемой является построение неявных схем для совместного решения уравнения энергии и уравнения переноса излучения.
В работе [19] рассмотрена неявная схема, основанная на выделении из дивергенции потока излучения главных частей, выражающихся через теїшературу и имекищх различный вид в случаях равновесного состояния и при наличии температурных пиков, когда отсутствует равновесие между веществом и излучением. Однако, в случае промежуточного оптического состояния прихо- - ІЗ - дится для сохранения устойчивости ограничивать временной шаг.
В случае, когда в уравнении энергии не учитывается теплопроводность, были построены другие неявные разностные схемы, предложены методы их решения.
В работах [62,63] предлагается использовать метод Ньютона-Канторовича для совместного решения уравнения энергии и уравнений, описывающих перенос излучения.В статье [62] построены чисто неявные итерационные разностные схемы для совместного решения уравнений переноса и энергии в стационарном случае и совместного решения уравнений диффузии излучения и энергии в нестационарном случае.
Построение неявной схемы решения задач динамики излучающего газа, использующей для решения уравнения переноса метод Монте-Карло, проводится в работе [64].
В работах [7,65] предлагается неявная разностная схема для совместного решения уравнений энергии без учета теплопроводности и переноса излучения для одномерных задач. Используются квазидиффузионный подход [45] и осреднение по энергиям фотонов для разностной формы записи уравнений квазидиффузии [56]. Проведено обобщение этой схемы на случай совместного решения двумерных уравнений диффузии излучения и энергии[8,9].
Разработке устойчивых методов совместного решения уравнений энергии и уравнений, описывающих перенос излучения, посвящены также работы [66,67].
При решении ряда задач, например, задач о развитии плазменного факела при облучении'металлической мишени лазером на некоторых стадиях процесса, некоторых задач ЛТС и других необходимо учитывать электронную теплопроводность. В работе [68] предлагается неявный метод решения задачи о радиационно-кон- дуктивном переносе энергии в одномерном по пространству нестационарном случае. Задача рассматривается в двухтемператур-ном приближении, учитывается электронная и ионная теплопроводность.
Автор не встречал универсальных устойчивых методов совместного решения уравнений энергии с учетом теплопроводности и переноса излучения в термодинамически-равновесном случае, когда задача может быть рассмотрена в однотемпературном приближении, более простом с вычислительной точки зрения.
В заключение литературного обзора приведем ряд работ, посвященных численному исследованию процессов, протекающих при взаимодействии лазерного излучения с веществом конденсированной среды. Первоначально процессы исследовались с помощью одномерных моделей в работах [69-77]. Применение такого упрощенного подхода позволяет получить, полезную качественную и количественную информацию об изучаемом процессе. Однако, область применимости одномерных газодинамических.моделей ограничена. Они могут использоваться только на начальных стадиях, когда газодинамическое расширение еще существенно одномерно, и поперечные размеры плазменных образований не превышают характерных размеров лазерного пятна. В условиях большой длительности лазерных импульсов и сравнительно небольшого пятна фокусировки существенное влияние на всю картину в целом оказывают эффекты объемного расширения. В работах [35,36,78-82] решение задачи о развитии лазерной плазмы вблизи поверхности твердого тела при давлениях окружающей среды р I атм проводится в двумерной осесимметричной постановке. Процесс описывается в эйлеровой системе координат, при решении уравнений газовой динамики используются методы Годунова [10], крупных частиц [III, FLIC [12,13]. При расчетах плазма предполагается нетеплопроводной, но излучащей [35,36,78,81,82], или, напротив, учитывается электронная теплопроводность, а собственное излучение не учитывается [79,80]. В работе [79] задача рассматривается в двухтемпературном приближении.
Подробный обзор теоретических и экспериментальных работ по исследованию низкотемпературной лазерной плазмы при повышенных давлениях окружающей среды и возможностей ее практического использования сделан в статье [83]. Основное внимание уделяется теоретическим аспектам развития лазерной плазмы вблизи металлических поверхностей в азотной среде при интенсивное тях лазерного излучения 50 * 10 МВт/см2 (Д= 1»06 мкм). Анализ основных теоретических и экспериментальных работ, посвященных изучению явления лазерного пробоя (начальной стадии процесса), содержится также в обзорах [84,85] и монографиях [86,87].
В работах [88-92] впервые численными методами проводится исследование динаїлики лазерной плазмы вблизи мишени при высоких давлениях азотной среды (30 * 100 атм) на следующей стадии развития процесса-стадии установления. Плазма предполагается нетеплопроводной, но излучающей. Результаты численного исследования хорошо согласуются с экспериментом [93,94].
Численное и экспериментальное исследование показало, что образующаяся плазма обладает рядом интересных свойств, влияющих на поверхность металла. В некотором диапазоне давлений и интенсивностей излучения процессы развитого испарения (то есть механического разрушения поверхности) практически отсутствуют. Это позволяет использовать процесс взаимодействия лазерного излучения с веществом при высоких давлениях ок- ружакщей среды для поверхностного упрочнения стали [95] и синтеза нитрида титана в азотной среде [96]. Однако, создание и поддержание высокого давления в окружающей мишень среде сталкивается с рядом технических трудностей. Как показывают численные и экспериментальные исследования, характер развития процесса при давлении I атм не позволяет исполъзо-Еать лазерное излучение для этих технологических применений. Поэтому вызывает интерес характер развития процесса при умеренном давлении окружащего газа. Была проведена серия экспериментальных работ [83], однако теоретически процесс исследован недостаточно.
4. Несмотря на большое количество работ, посвященных методам решения задач динамики излучащего газа, указанные трудности полностью не решены.
Определение потока энергии излучения в двумерных задачах остается трудоемкой процедурой. Его непосредственное определение из многогруппового уравнения переноса излучения, уравнений квазидиффузии, уравнений [47] требует большого объема вычислений. Использование диффузионного приближения не всегда позволяет получить достаточно точный результат. Трудоемкость решения двумерных задач усугубляется в случае сложного характера зависимости коэффициента поглощения от частоты.
Разработаны эффективные методы совместного решения уравнения энергии без учета теплопроводности и уравнения переноса излучения, однако, методам решения задач с радиационно-кондуктивным теплообменом в литературе должного внимания не уделялось. Решение уравнения энергии по явным схемам в этом случае накладывает жесткое ограничение на шаг по времени для устойчивости. К неустойчивости может привести как аппроксима- ция потока излучения, так и аппроксимация кондуктивного потока на предыдущем временном слое. Универсальных устойчивых неявных разностных схем для задач в однотемпературном приближении с равнозначным радиационным и кондуктивяым теплообменом до настоящего времени не существовало.
Среди задач ІТД особого внимания заслуживает исследование развития лазерной плазмы в результате взаимодействия лазерного излучения с веществом при умеренном давлении окружающего газа. Исследование этой задачи с помощью численного моделирования представляет как научный интерес - для лучшего понимания характера развития процесса, так и практический, в том числе в связи с технологическими применениями лазерного излучения для поверхностного упрочнения стали [95] и синтеза нитрида титана в азотной среде [96].
Перед автором настоящей диссертации стояли следующие задачи:
Разработка неявных устойчивых методов совместного решения уравнения энергии и уравнений, описывающих перенос излучения для одномерных и двумерных по пространству задач в случае, когда радиационный и кондуктивный обмен в среде равнозначны.
Разработка эффективных методов решения двумерного уравнения переноса излучения на основе осреднения по углу и по частоте, являющихся экономичными с вычислительной точки зрения и обладающих достаточной точностью.
Проведение численного исследования развития лазерной плазмы на стадии установления в результате действия на мишень лазерного излучения при умеренном давлении азотной среды.
Основными результатами диссертации являются: дальнейшее развитие методов решения задач ЇТД в указанных направлениях; решение физической задачи с использованием этих методов.
Разработанные методы могут быть применены также для расчета многих других задач РГД.
Диссертация состоит из введения, трех глав и заключения.
В первой главе предложены неявные разностные схемы для определения температуры из совместного решения уравнения энергии с учетом теплопроводности (3) и уравнения переноса излучения (4) в одномерном и двумерном случаях. Проведено теоретическое исследование устойчивости разностных схем для од-номерной модельной задачи, линейной относительно Т^ . Результаты проведенного экспериментального исследования одномерной задачи с помощью расчетов на ЭВМ хорошо согласуются с теоретическими выводами. Выявлен класс устойчивых схем.
Вторая глава диссертации посвящена разработке эффективных методов осреднешя двумерного уравнения переноса излучения по углу и по частоте. Предложен способ приближенного учета угловой зависимости интенсивности излучения в двумерных задачах, позволяющий существенно понизить трудоемкость решения по сравнению с квазидиффузионным методом. Этот способ применен для осреднения двумерного уравнения переноса излучения по углу и по частоте в случае 32^ = { (i\f (т р). Проведено исследование точности методов при помощи расчетов на ЭВМ модельной задачи, подтверждающее их эффективность по сравнению с многогрупповым диффузионным методом.
В третьей главе диссертации проведено численное моделирование процессов, протекающих в результате действия лазерно- го излучения ( Л= 1»06 мкм) на мишень в среде азота с давлением 10 атм на стадии установления. Задача решалась в двумерной осесимметричной постановке с учетом собственного излучения плазмы и электронной теплопроводности, использовалась неявная разностная схема для решения задач с радиационно-кон-дуктивным теплообменом, разработанная в первой главе. В результате численного расчета получено пространственно-временное распределение параметров, на основе которого выявлены основные физические закономерности протекания процесса и условия его технологического применения. Исследована роль теплопроводности и излучения в переносе энергии.
Основные результаты диссертации опубликованы в работах [97-101] и доложены на У Всесоюзной конференции по динамике излучащего газа [102], на семинаре под руководством академика А.А.Самарского в МГУ.
Построение неявных схем для совместного решения уравнений энергии и переноса излучения в задачах с радиационно-кондуктивным теплообменом
Рассмотрим неявную разностную схему для совместного решения уравнения энергии с учетом теплопроводности и уравнения переноса излучения [97,98]. Построение проведем на примере плоского слоя. Система уравнений (3), (4) в одногрупповом приближении плоского слоя имеет вид: - зо S-S(T,f) , х-- X CP,j ) (1.2.2) M І±. + geJ = Д эе-Т7 ТІ -1 Г 0; I\ - ІД/- 1 -4. & &, і 1, f) Здесь Q - вклад в уравнение энергии за счет работы сил сжатия и источников тепла. При построении разностной схемы будем использовать квазидиффузионный метод [45], который подробно рассмотрен в предыдущем параграфе. При его применении поток энергии излучения определяется из системы уравнений (I.I.2). С помощью второго уравнения в системе (I.I.2) исключим V из уравнения энергии (I.2.I), получим: (1.2.3) Joe эе, Лас . Благодаря использованию метода замораживания коэффициентов (см. I), для определения температуры на каждом слое по времени можно решать систему уравнений (1.2.3). В свою очередь, для пересчета коэффициентов , 0, С время от времени необходимо решать уравнение переноса излучения (1.2.2).
Решение уравнения переноса излучения можно производить при помощи разностных методов, обзор которых дан во введении. Построим разностные схемы для уравнений квазидиффузии и энергии (1.2.3): (1.2.4) &LJ?__[А.ф:Гс,Ф +в0ФІ±,ч Q X -JVy тї-х т + і Здесь od о , 63 - весовые множители. Конкретный вид коэффициентов определяется способом построения разностных схем для эллиптических уравнений [ЮЗ]. В случае падающего извне излучения большой интенсивности граничные условия для первого уравнения в системе (1.2.4) имеют вид [193: Выписанные разностные схемы нелинейны. Коэффициенты // , брать с предыдущего временного слоя. Проведем линеаризацию и F относительно / - / , получим: (1.2.5) ДФІ; СМ + 6, ФД - Ь Ф- + РҐ + 2f "VT.j! ") =0 - 32 (is) («.в, фІ Шгі&і№ I Ъ , , Система уравнений (1,2,5) - (1.2.6) слуяит для определения неизвестных ф. и 1 . Для того, чтобы определить Т из (1.2.6) .при о.ф0 , необходимо знать Ф- . Но в уравне-ниє для Ф- (1.2,5) входит I . Поэтому будем определять ф. и I одновременно. Введем вектор ij = / u . I и запишем систему (1.2.5) - (1.2.6) в вектором \ С / виде: _ (1.2.7) "Л-лГ с + /Л +i = Г; где векторы г /3 шеют вил-: Матрицы Hi и u // У имеют вид: - 33 ЙА U 0 .=76 t о XJ Уравнение (1.2.7) - трехточечное, векторное. Будем решать его методом матричной прогонки [17,48]. Как отмечалось в I, приближение серой материи на практике встречается редко, и в большинстве случаев для определения потока излучения приходится решать многогрупповое уравнение переноса излучения (I.I.4). При решении таких задач воспользуемся методикой, изложенной в I, п.2.
При этом поток энергии излучения определяется из системы уравнений (I.I.8) с осредненными по частоте коэффициентами. Первое уравнение в системе (I.I.8) отличается от первого уравнения системы (1.2.4) лишь видом коэффициентов /) , Bj, 6 , ., об, у и правой час ти - F- = - Т Hb & V4 Поэтому далее построение неявной к=1 разностной схемы для совместного решения уравнения энергии с учетом теплопроводности и многогруппового уравнения переноса излучения проводится аналогично. Построение разностной схемы для совместного решения уравнения энергии и уравнения переноса излучения в случае, когда кондуктивный и радиационный обмен в среде равнозначны, проводилось на примере одномерной задачи. Аналогичную неявную разностную схему можно построить для двумерных задач. Приведем без вывода разностную схему для совместного ре - 34 шения одногруппового уравнения диффузии излучения и уравнения энергии с учетом теплопроводности на не ортогональной сетке: + h Й \Ґ + В- \1- + К- //. +- /W -Л // (1.2.8) ; \ л , - \ ) ҐД- т - -Л. Т +/3-17 + ж т? - - з- т7 т + і Г r-, \( У \( fin / U" (.Ц оъ Коэффициенты при неизвестных U- и Г- берутся с пре дыдутцего временного слоя. В случае ортогональной сетки коэффициенты $im $in » Д,7»»
Систему уравнений (1.2.8) можно переписать в векторном виде. Для определения вектора неизвестных / ч . I можно ис - 35 пользовать модификацию нелинейного итерационного алгоритма [493, предложенную в работе [104]. Аналогичные разностные схемы можно построить и для совместного решения уравнения энергии и многогруппового уравнения переноса излучения, если воспользоваться методом осреднения по энергиям фотонов, изложенным в [56,8,9], а также в п.2 I настоящей главы.
Примеры расчетов на ЭВД
Одним из методов исследования устойчивости разностной схемы является расчет на ЭВМ. Такие исследования были проведены для разностных схем (1.2.7), (1.2.8), (1.2.10) - (1.2.1] (1.2.12) - (1.2.13) на примере модельной задачи о прогреве вещества лазерным излучением. При решении задачи газодинамический разлет не учитывается, что неплохо соответствует начальной стадии процесса. Задача рассматривается в четырехгрупповом приближении плоского слоя. Процесс описывается системой уравнении [і]: Используется простейший вид уравнения состояния; = oJVt где Х - 0,5. Интервал энергий квантов разбивается на отрезки [0; 1,5]; [it5; 4]; (4; id] ; [l0; 50] . Коэффициенты поглощения задаются в виде; Предполагается, что р и % постоянны: /0 = 1, %= 0,01. Для решения задачи вводится сетка по пространству с шагом \у - 0,01, по ПА с шагом 0,2, по времени с шагом V . Значения температуры, внутренней энергии, коэффициентов поглощения, Ф вычисляются в серединах отрезков сетки, интенсивность и поток излучения определяются в узлах. Построение разностных схем для совместного решения уравнений (1.4.I) - (1.4.2) проводится, как описано в 2, с использованием общей схемы решения многогруппового уравнения переноса излучения [ 7], изложенной в I, п.2. Применяется интегро-интерполяционный метод [2,I7j. Пересчет осредненных коэффициентов и коэффициентов квазидиффузии осуществляется один раз на десять временных слоев. Уравнения переноса собственного излучения (1.4.2) и лазерного излучения (1.4.3) решаются методом характеристик [7,27-30]. Значения вычисляются на предыдущем временном слое. Для определения неизвестных Ф , Т] из уравнений (1.2.7) используется метод матричной прогонки [l7,48] . Решение уравнений (1.2.10) - (1.2.II) осуществляется двумя скалярными прогонками [l7,48].
Исследование устойчивости разностных схем (1.2.7) и модифицированной схемы (1.2.10) - (1.2.II) проводится на времен - 52 ном отрезке lO,ut) при помощи расчетов на дШ БЭШ-6. Результаты исследования приведены в таблице I. Значения A t в последней графе таблицы измеряются в единицах времени о 10 с и соответствуют расчету с максимальным шагом V » сохраняющим устойчивость. Строкам g\ = 0, б = I; - 6 = = 0 соответствует расчет по разностной схеме, в которой поток излучения \д/ определяется из решения уравнения переноса излучения (1о4.2). Заметим, что счет по схемам (1.2.7) с ё _ - ё - 0,5; 6 = 0,5, о = I становится невозможным лишь при = 0,5. Однако это значение временного шага уже сопоставимо с характерным временем задачи, и счет с таким X неэффективен из-за требований точности. Заметим, что при расчетах с 6± = б = 0, = 0,002 неустойчивость проявляется лишь на 140 слое ( t - 0,08). Если би в уравнении энергии не учитывалось излучение, то условие X 2,5« 10 3 было бы достаточным для устойчивости [l7,I05]. Таким образом, учет излучения накладывает еще более жесткое требование на временной шаг. Так как учет излучения оказывает существенное влияние на устойчивость схемы лишь при достаточно высоких температурах, то неустойчивость проявляется позднее.
В целом результаты расчетов хорошо согласуются с выводами теоретического исследования линейной относительно Т4 задачи. Результаты исследования устойчивости показали, что для расчетов следует использовать схемы (1,2.7), (1.2.8) при 2- 1/2, б 1/2, а также схемы (1.2.10) - (1.2.II), (1.2. 12) - (1.2.13), так как теоретически доказана их абсолютная устойчивость для модельной задачи. Расчет одномерной задачи по разностным схемам (1.2.7) при 6±= ,= 1\ б = I, 6 = = 0,5, а также по схеме (1.2.10) - (1.2.II) происходил устойчивым образом при всех X . С вычислительной точки зрения схемы (1.2.10) - (1.2.II), (1.2.12) - (1.2.13) значительно проще, чем (1.2.7), (1.2.8.), так как требуют для расчета менее трудоемких методов. Это особенно актуально в двумерных задачах. Таблица I Исследование устойчивости разностных схем (1.2.7), (1.2.10) - (1.2.II) при помощи численных раочетов б± ! Значения V , при которых д t при р.с. устойчива !р.с.неус-Ітойчива I I 0,002; 0,025; 0,25; 0,5 — 50 I 0 5 0,002; 0,025; 0,25; 0,5 — 50 0,5 I 0,025; 0,25 0,5 26,25 0,5 0,5 0,002; 0,025; 0,1 0,5 25,5 I 0 0,0026 0,005 0,4 0 I 0,004 0,01 0,364 0 0 0,001 0,002 0,275 Модифицщ хшанная 0,0025; 0,025; — 100 р. схема 0,25; 0,5 Итак, предложенные в настоящей главе разностные схемы для совместного решения уравнения энергии и уравнений, описывающих перенос излучения, позволяют эффективным образом производить расчет одномерных и двумерных задач с равнозначным радиационным и кондуктивным теплообменом. Результаты теоретического и экспериментального исследования устойчивости разностных схем хорошо согласуются мезду собой и позволяют выявить класс схем, наиболее подходящих для расчетов.
Осреднение двумерного уравнения переноса излучения по углу и по частоте в случае коэффициента поглощения
Тепловыделения не хватает на поддержание поджигащей ударной волны. Однако, анализ величин показыва-ет, что в начальные моменты времени роль газодинамического сжатия в переносе энергии преобладает над остальными способами. Кроме того, наблюдаются значительные перепады давления в горячей и холодной областях, скорости на фронте ударной волны сверхзвуковые. Скорости распространения плазмы меньше местной скорости звука, но больше скорости звука в холодном газе. Поэтому в начале процесса распространение не является и режимом медленного горения. С течением времени роль собственного излучения плазмы возрастает, и к моменту "t 0,3 мкс изменение энергии за счет собственного излучения в несколько раз превосходит ее изменение за счет газодинамического сжатия. Далее роль газодинамического сжатия продолжает падать, и основным механизмом распространения к моменту -р О.5 мкс становится дозвуковая радиационная волна - один из режимов медленного горения (рис.3.12, 3.13).
Из графиков (рис.3.II, 3.12) видно, что роль теплопроводности в течение всего процесса малосущественна, d if C$ruU на 1-2 порядка меньше, чем &«ifw. Исследование процесса взаимодействия лазерного излучения с веществом, проведенное в настоящей работе, показало, что в течение всего процесса горячая область непосредственно прилегает к поверхности твердого тела. Отсутствует экранировка мишени от действия лазерного и собственного излучения. Это позволяет объяснить, почему при взаимодействии лазерного излуче - 93 ния с веществом при давлениях р 10 атм в экспериментальных работах отмечались существенные повреждения поверхности, образование кратеров [83,93]. Таким образом, режим взаимодействия лазерного излучения с веществом при давлении 10 атм принципиально отличается от режима при р = 100 атм [90] и Р = 30 атм [91], когда благодаря экранировке мишени от действия лазерного излучения не наблюдалось существенных повреж- дений ее поверхности. Характер развития процесса при р = 10 атм близок к характеру развития процесса при л = I атм [78]. Поверхность металла подвергается существенным повреждениям, технологическое применение взаимодействия лазерного излучения с веществом при давлении окружающего азота 10 атм и заданном режиме работы лазера для закалки стали становится нереализуемым.
Численное исследование задачи о развитии лазерной плазмы в азотной среде умеренного давления при действии излучения на мишень с использованием методики, разработанной в настоящей диссертации, позволило сделать ряд выводов о характере развития процесса. Установлено, что при действии излучения неоди-мового лазера интенсивностью 10 Вч/сиг на поверхность металла режим развития плазменных образований носит переходный характер от светодетонационного к режиму медленного горения. Перенос энергии в среде за счет электронной теплопроводности малосущественен по сравнению с ее переносом за счет собственного излучения плазмы. Целью диссертации являлось развитие методов решения задач радиационной газовой динамики в одномерной и двумерной пространственной постановке, численное решение и исследование задачи о развитии лазерной плазмы вблизи металлической поверхности. В расчетах использовались разработанные автором алгоритмы. Предложенные методы и отлаженные программы могут быть примененц для решения широкого класса задач динаїлики излучающего газа.
Основные результаты и выводы состоят в следущем: . 1. Разработана неявная разностная схема для определения температуры из совместного решения уравнения энергии и уравнений, описывающих перенос излучения в одномерных и двумерных задачах с радиапионно-кондуктивным теплообменом. С помощью теоретического исследования и расчетов выявлен класс устойчивых схем. 2. Предложены эффективные методы решения двумерного уравнения переноса излучения, включающие его осреднение по направлениям полета фотонов с приближенным учетом угловой зависимости. При специальном виде зависимости коэффициента поглощения от частоты, температуры и плотности проведено дополнительно осреднение уравнения переноса по энергиям фотонов Ме-тоды позволяют во многих случаях получить значение dinf W точнее, чем многогрупповой диффузионный. 3. С помощью разработанного алгоритма решения задач с радиационно-кондуктивным теплообменом проведено численное исследование процессов, протекающих в плазме в результате действия излучения неодимового лазера на мишень в среде с перво - 106 начальным давлением азота 10 атм. В результате решения двумерной задачи выявлены основные физические закономерности протекания процессов и условия технологического применения. В заключение автор выражает благодарность - научному руководителю доктору физико-математических наук Б.НЛетверушкину за предложенную тему, постоянное внимание к работе и обсуждение результатов; - кандидату физико-математических наук В.И.Мажукину за ценные советы в проведении расчетов и участие в обсуждении результатов.
Динамика развития плазменного факела
Изучению процессов, протекающих при взаимодействии лазерного излучения с веществом конденсированной среды, посвящено- большое количество работ, литературный обзор которых дан во введении. Первоначально считалось, что наиболее интересными для применения являются давления газовой среды, не превышающие I атм. Однако, как показали исследования с помощью расчетов [88-92] и эксперименты [93,94], развитие лазерной плазмы при высоком давлении окружающего газа обладает рядом интересных свойств.
Развитие лазерной плазмы можно разбить на три стадии: пробой газа (поджиг), установление (формирование непрозрачного для лазерного излучения плазменного очага) и квазистационарное распространение плазменных образований. Экспериментальное получение информации о начальных стадиях затруднено в связи с большой сложностью постановки опытов. Поэтому на начальных этапах особенно велика роль численного моделирования, позволяющего получить количественную и качественную информацию о любой стороне моделируемого явления при различных условиях постановки опытов. Работы [88-92] посвящены численному моделированию развития процесса на стадии установления. Задача рассматривалась в двумерной постановке.
Исследование показало, что при давлении 100 атм возникает экранировка поверхности от действия лазерного излучения, поток W собственного излучения, приходящий на поверхность, на 2,5 порядка ниже. Это позволяет объяснить, почему при давлении р 70 атм в экспериментах не происходит разрушения поверхности. При давлении 30 атм экранирующий эффект через некоторое время исчезает, поэтому наблюдается существенное повреждение мишени. Данные расчетов показали, что площадь поверхности, подверженная термическому воздействию лучистых потоков, в несколько раз больше пятна первоначальной фокусировки лазерного луча, что находится в согласии с экспериментами. В работах [90,92] установлено, что режим распространения плазменных образований является переходным от светодето-национного к режиму медленного горения. Характер изменения физических свойств металлических поверхностей под совместным воздействием плазмы и излучения позволил в некотором диапазоне давлений окружающей среды и интенсивноетей излучения использовать лазеры для поверхностного упрочнения стали [95] и синтеза нитрида титана в азотной среде [96].
Как отмечалось во введении, создание и поддержание высокого давления сталкивается с рядом технических трудностей. Снижение начального давления до I атм приводит к принципиально отличному характеру развития лазерной плазмы [78]. В таких условиях горячая область в течение всего процесса непо - 82 средственно прилегает к мишени, экранировка от лазерного излучения отсутствует. Распространение плазменных образований происходит в режиме светодетонации. Технологические применения лазерного излучения при атмосферном давлении для упрочнения поверхности стальных изделий по всей видимости не реализуемы.
Вызывает интерес характер развития процесса при умеренных давлениях окружающего газа (1-Ю атм). Был проведен ряд экспериментальных работ [83,93], однако теоретически процесс исследован недостаточно. В настоящей работе проводится численное исследование газодиншлическои стадии развития плазменного факела в азотной среде с давлением 10 атм. при действии неодимового лазера с интенсивностью излучения 10 Вт/cwn. Задача рассматривается в двумерной постановке, учитывается электронная теплопроводность и собственное излучение плазмы. При решении используется разработанная в первой главе неявная схема для решения задач с радиапионяо-кондуктивным теплообменом.
Как отмечалось в работе [86], для режима медленного горения при давлении внутри области порядка I атм и радиусе плазменного облака «. 0,1 см потери энергии на лучистое охлаждение плазмы малы по сравнению с потерями за счет теплопроводности. Это связано с малостью оптической толщины плазмы. С ростом давления оптическая толщина растет, а коэффициент теплопроводности меняется мало [86]. При давлении окружающего газа 100 атм, когда характерное давление в плазме Пг атм, наоборот, теплопроводностью можно пренебречь по сравнению с излучением [107]. В настоящей работе исследовано соотношение потерь энергии плазмой на теплопроводность и из - 83 лучение при давлении 10 атм.
В результате численного решения задачи о развитии лазерной плазмы вблизи мишени получено пространственно-временное распределение параметров плазмы, на основе которого выявлены основные физические закономерности протекания процесса и условия его технологического применения.
