Введение к работе
Актуальность темы, Исторически первыми задачами наилучшего дробно-рационального приближения на системе отрезков били Третья и Четвертая задачи Золотарева (1877 г.). Напомним их формулировки. Обозначим 7^ семейство дробно-рациональных функций, в числителе и знаменателе которых стоят алгебраические полиномы степени не выше >» и т соответственно.
ТРЕТЬЯ ЗАДАЧА ЗОЛОТАРЕВА. Пусть г Є (0,1) - фиксированное число. Решить экстремальную задачу
max \H(t)\ -+ inf, «1-М]1
где инфимум берегся по всем дробям Я из ti\, удовлетворяющим
ограничению
\НЩ > 1 при |<| > 1/т.
ЧЕТВЕРТАЯ ЗАДАЧА ЗОЛОТАРЕВА. Пусть ае Є (0,1) -фиксированное число и D — [—1/зе, —1] L)[l,l/ae]. Решить экстремальную задачу
maxl//(t) -signft)! -* *mf
К.И.Золотарев получил решения этих задач в явном виде с помощью элллиптических функций. Точнее, он указал 16 решений Третьей задачи, легко конструируемых из основного решения, и 4 решения Четнертой задачи, не интересуясь, какие из решений по существу различаются между собой.
Н.И.Ахиезер отметил, что Четвертая задача Золотарева экви-иаломтпа следующей задаче Чебыгпева (1889 г.).
ЗАДАЧА ЧЕВЫШЕВА. Найти приближение функции s/Yft на отрезке [l,ft], где Л > 1, дробями вида
A j і і- ... + 2—
' <7, + * С„ +1
с наименьшей относительной погрешностью.
Эта задача интересовала П.Л.Чебышев'а'в связи с приближен-
IIим вычислением интегралов вида
/ U/s/Vdt.
Kayep (1933 г.) обратил внимание на то, что Третья задача Золотарева (и вообще дробно-рациональные приближения) имеют широкие приложения в теории электрических цепей, в частности, при синтезе фильтров.
Важную роль в развитии теории наилучших дробно-рациональных приближений на системе отрезков сыграла диссертация Амера (1964 г.). В ней было введено понятие знакового класса. Чтобы оценить важность этого понятия, нужно учесть, что задача аппроксимации на системе отрезков является многоэкстремальной. С помощью знаковых классов позднее удалось описать все локальные решения данной задачи.
К началу 1970-х годов утвердился более широкий взгляд па задачи чебышевского приближения как на задачи негладкой оптимизации. Успехи общей теории экстремальных задач позволили значительно продвинуться в изучении задач нелинейного чебышевского приближения, в частности, в разработке численных методов их решения. Расширился и круг приложений. Кроме обычных задач обработки экспериментальных данных, стали решаться задачи параметрического синтеза, возникающие во многих технических дисциплинах (радиоэлектронике, механике и т.д.).
Чебышевские приближения играют заметную роль в вычислительной математике. Активным пропагандистом использования чебышевских методов при численном решении функциональных уравнений был Л.Коллатц.
Цель работы.
1. Опираясь па общую теорию наилучших дробно-рациональ
ных приближений на системе отрезков, разработанную
В.М.Белых и В.Н.Малоземовым, провести детальный качественный анализ решений Третьей и Четвертой задач Золотарева. В частности, выяснить вонрос о количестве различных решений этих задач.
-
Провести детальный качественный анализ одной фильтровой задачи.
-
Исследовать эффективность численных методов решения задач наилучшего дробно-рационального приближения на системе
отрезков и задач сиптеза трехполосных фильтров.
Методика исследования. Исследование опирается на ..общую теорию нелинейных чебышевских приближений, теорию дробно-, рациональных приближений, линейное и нелинейное программирование, системный анализ.
Научная новизна. В диссертации получены следующие результаты.
-
Проведен детальный качественный анализ решений Третьей и Четвертой задач Золотарева. В частности, установлено, что обе задачи имеют т о ч н о но два решения.
-
Проведен детальный качественный анализ одной фильтровой задачи на осноие установленного факта ее эквивалентности Четвертой задаче Золотарева. Доказано, что фильтровая задача имеет точно два решения. Найден нестандартный инвариант этой задачи.
-
Разработана вычислительная схема решения задачи наилучшей дробпо-рациоиальной аппроксимации на системе отрезков, в основе которой лежит комбинация метода дифференциальной коррекции и метода выравнивания максимумов. Составлена программа па языке SUPER BASIC, реализующая эту схему. Ре-шепы две конкретные задачи в случае трех отрезков для всех знаковых классов.
-
Проведены обширные эксперименты по численному решению задачи Чебышева, когда в качестве параметра берется праний коїит отрезка аппроксимации. Подтверждена высокая эффективность параметрического метода, основанного только на выравнивании максимумов,
-
Разработана вычислительная схема решения задачи синтеза трехполосного фильтра. В основе этой схемы лежит комбинация вариантов метода дифференциальной коррекции и метода вмраинивапия максимумов. Получены конкретные результаты по синтезу фильтров разных порядков.
Практическая вечность. Результаты диссертации могут быть использованы при обработке експериментальних данных, численном решении задач проектирования и синтеза, в частности, синтеза электрических пеней и фильтров, при решении линейных
и нелинейных функциональных уравнений.
Аппробация работы и публикации. По результатам диссертации сделаны доклады на семинаре кафедры исследования операций и семинаре по нелинейным экстремальным задачам ари С.-Петербургском университете, на конференции но теории дробно-рациональных приближений (Махачкала, сентябрь 1991 г.) и па конференции но конструктивной теории функций, НОСВЯІЦЄННОЙ 70-летию проф. В.С.Виденского (С.-Петербург, май 1992 г.).
Основные результаты опубликованы в 4 работах.
Структура и объем работы. .Диссертация состоит из введения, двук глав (14 параграфов), списка литературы и приложения. Объем диссертации - 140 стр. основного текста и 17 стр. приложения. Список литературы насчитывает 57 наименований. В диссертации имеется 23 рис. и 10 табл.
