Введение к работе
. Актуальность темы. Математическая теория оптимального управления в последние десятилетия развивалась очень интенсивно. К настоящему времени глубоко исследованы многие теоретические и прикладные аспекты для широких классов задач оптимального управления различными процессами, описываемыми как системами обыкновенных дифференциальных уравнений, так и уравнениями с частными производными, (см., например, книги и статьи Л.С. Понтрягина, Н.Н. Красовско-го, А.Б. Куржанского, Ю.С. Осипова, А.Г. Бутковского, Ф.П. Васильева, Е.Ф. Мищенко, Н.Х. Розова, В.А. Троицкого, Ф.Л. Черноусько, Ж.Л. Ли-онса, Д.Л. Рассела и многих других авторов).
В теории оптимального управления важную роль играют разделы, изучающие проблему выбора допустимого управления, переводящего динамическую систему из некоторого начального состояния в заданное состояние к заданному моменту времени (задача управления). Эта проблема тесно связана со специальным классом обратных задач оптимального управления - задачами наблюдения, заключающимися в востановлении состояния заданной динамической системы в заданный момент времени по некоторому наблюдаемому сигналу о траектории системы. Оказалось, что каждой задаче управления можно поставить в соответствие т.п. двойственную задачу наблюдения и обратно, причем взаимодвойственные задачи управления и наблюдения либо обе неразрешимы, либо обе одновременно разрешимы, и, зная решение одной из задач, нетрудно получить решение другой задачи; поэтому параллельное изучение взаимодвойственных задач оказалось весьма плодотворным.
Большинство работ, в которых исследуются задачи управления и наблюдения, посвящено вопросам существования решения при различных предположениях о рассматриваемых динамических системах, о классах допустимых управлений и фазовых траекторий. Проблемы управляемости и наблюдаемости для систем с распределенными параметрами изучались в работах А.Г. Бутковского, А.И. Егорова, А.Б. Куржанского, А.Г. Наконечного, Ю.С. Осипова, В.А. Троицкого, С. Долецкого, Ж-Л. Лионса, А. Притчарда, Д.Л. Рассела, X. Фатторини, Л.Ф. Хо и многих других авторов. Рассматриваемые вопросы могут быть интерпретирова-вы как обратные задачи математической физики, поэтому здесь весьма
полезными оказываются методы исследования обратных задач, разработанные в трудах А.Н. Тихонова, М.М. Лаврентьева, В.К. Иванова и других авторов.
Кроме того, для приложений актуальным является изучение процессов, в которых присутствуют неопределенные возмущения - помехи - в уравнениях, описывающих динамику системы, в уравнениях наблюдаемых сигналов. Сложилось два основных подхода к их исследованию: стохастическое (вероятностное), и гарантированное оценивание. В первом подходе классические результаты принадлежат Р. Калману. Второй подход предполагает, что помехи не имеют статистического описания, но априорно заданы множества их возможных реализаций. Систематическое развитие теория гарантированного оценивания получила в работах Н.Н. Красовского, А.Б. Куржанского, Ф.Л. Черноусько и других авторов.
Что касается численных методов решения задач управления и наблюдения, то к настоящему времени наиболее широкое распространение получил метод моментов (см. работы А.И. Ахиезера, Н.Н. Красовского, СВ. Емельянова, А.Г. Бутковского, В. Крабса, Ф.П. Васильева, А.З. Иш-мухаметова, М.М. Потапова, и других авторов). Этот метод с одной стороны широко использовался как удобный математический аппарат для доказательства существования решения задач управления и наблюдения; с другой стороны, он оказался эффективным численным методом решения таких задач. Следует, однако, признать, что другие подходы к разработке численных методов для решения задач управления и наблюдения (например, конечно-разностные методы, метод прямых) к настоящему времени развиты недостаточно. Известная техника исследова--ния-разностных методов и метода прямых (см. работы А.А. Самарского, П.Н. Вабищевича, А.З. Ишмухаметова, А.А. Злотника и других авторов) в основном разработана для задач с однородными граничными условиями, и ее непосредственное применение к исследованию соответствующих сеточных аппроксимаций к задачам управления с неоднородными граничными условиями вызывает определенные трудности.
Цель работы. Цель настоящей работы - изучить возможность применения метода прямых, конечно-разностных методов для численного решения некоторых взаимодвойственных задач управления и наблюдения для систем, описываемых уравнением колебаний струны, исследовать некоторые варианты конечномерных аппроксимаций метода моментов при-
менительно к этим задачам, рассмотреть возможность точного восстановления начального состояния струны при наличии помех в наблюдаемом сигнале.
Методы исследования. В работе используются методы функционального анализа, теории разностных схем, методы математической физики, теория наблюдения в условиях неопределенности.
Научная новизна. Основные результаты диссертации следующие:
-
Предложен и исследовал метод прямых для решения задач граничного и зонного управления и наблюдения для уравнения колебаний струны; исследована сходимость конечных разностей для задач зонного управления и наблюдения.
-
Предложены варианты конечномерной аппроксимации задач граничного и зонного управления и наблюдения для уравнения колебаний струны, основанные на обобщенном методе моментов; исследована их сходимость, получены оценки скорости сходимости.
-
Исследована задача апостериорного граничного наблюдения начального состояния струны при наличии помех в наблюдаемом сигнале, рассмотрена возможность точного восстановления начального состояния струны.
Практическая деняость. Полученные в работе результаты могут быть применены при численном решении задач, связанных с процессами управления колебательными системами и наблюдения таких систем, в том числе при наличии помех.
Адробадяя работы. Результаты диссертации докладывались на семинаре кафедры математической физики факультета ВМиК МГУ, на научно-исследовательском семинаре института проблем механики РАН, на воронежской математической школе " Понтрягинские чтения - IV" (г. Воронеж, май 1993 г.).
Пубдяхадни. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1]-[4], перечисленных в конце автореферата.
Структура н объем работы. Диссертация состоит из списка обозначений, введения, трезі глаз и списка литературы, включающего 154 наименования. Объем работы составляет 119 страниц машинописного текста.
