Введение к работе
Актуальность темы. Применение математических методов исследования многих важных явлений и процессов приводит к задачам , включащим системы дифференциальных уравнений в частных производных . 3 гидродинамике одними иа важнейших для практики и наиболее интересными для теоретических исследования являются мод ли, описывающие течения жидкости как. сплошной среды . Наиболее полнен математическая модель , учитывающая зфрокти вязкости и теплопроводности - система уравнений Навье-Стокса . Особый интерес здесь иредстаРчМіют уравнения, описывающие динамику вязкой несжимземой жидкости. Это обусловлено как большой практической значимостью данной системы , так и особого рода проблемами , возникающими при ее решении .
Математическим "опросам теории уравнений, вязкой несжимаемой жидкости посвящены работы 0.Л.Ладыженской , ШЛ.Солонникова , К.К.Головкина , Р.Темама , Ж.Лионоа , Е.Хспфа , К.Сорриня и других авторов. Сложный , нелинейный характер уравнений существенно затрудняет или вообще делает невозможным их аналитическое радение в большинстве практические приложении . Поэтому уравнения механики вязкой жидкости решаются ь основном при помощи численных методов, среди которых'широкое распространение г/ лучили конечно-разностные.
Метод конечных разностей является одним из наиболее эффективных и универсальных методов решения задач механики сплошной среды. Теоретическому исследованию данного метода посвящено огромное число публикаций , в том числе широкоизвестные труда А.А.Самарского , Г.Юарчукг , Н.Н.Янен'ко .С.К.Годунова , Е.Г.Дьяконова , Н.С.Бах-Еалова , Н.Н.Калиткина , ,Б.Л.Рождественского , А.В.Гулина ,- В.Б.Андреева , О.М.Белоцерковского , Р.Рихтмайера , К.Мортона , В.Базова , Дж.Форсайта и других авторов .
При численном решении уравнений вязкой несжимаемой жидкости возникает ряд трудностей , обусловленных многомерностью задачи , нелинейностью уравнений , наличием малого параметра при старших производных в случае течений с большими числами Гейнольдса.а'так-
' же неэволюционностью системы , что приводит в конечном итоге к проблеме определения давления .Последнее обстоятельство и предопределило первоначально широкое развитие.методов , основанных на переходе к системе уравнений относительно переменных завихрен-
ность («) - функция тока (у) . На присущие данному способу сла
бые места указывалось в работах О.М.Белоцерковокого ,Д.Андерсо
на , Р.Плетчера , Дж.Таннехилла , К.Флетчера и многих других
авторов. В связи с этим актуальной стала проблема разработ
ки элективных методов численного решения уравнений несжима
емой жидкости , записанных в физических переменных скорость-дав
ление (U,P) .
.Одним из подходов , используемым при решении (И,Р)-уравне-ний, 'является сведение их определенным способом к некоторой эволюционной системе ,для численного решения которой затем можно использовать методы типа дробных шагов или переменных направлений . Для аппроксимации уравнений Навье-Стокса уравнениями эволюционного типа широко используется идея искусственной сжимаемости (работы Н.Н.Владимировой , Б.Г.Кузнецова , Н.Н.Яненко .; А.Чорина ) , а также различные способы ^-аппроксимации (работы Р.Темама ; П.Е.Соболевского , В.В.Васильева ; А.П.Осколкова ; . Ю.Я.Белова и др.) .Построению и обоснованию разностных методов для таких систем посвящены работы 0.А.Ладыженской .В.Я.Ривкиндя, А.П.Осколкова , Г.М.Кобелькова , Б.Г.Кузнецова, А.Чорина , Р.Темама и многих других авторов.
Другой подход , применяемый при численном интегрировании (U,P) - системы уравнений , связан с естественным стремлением
точно удовлетворять в каждый момент времени разностному уравне
нию неразрывности , что означает выполнение сеточного аналога
закона сохранения массы . В этой связи следует отметить методы ,
использующие для аппроксимации исходной дифференциальной задн
ий разнесенные сетки ( работы Ф.Харлоу Д.Увлча ; А.Лмсдена ;
С.Истона ; К.Гхиа ; О.М.Белоцерковского и других авторов ).
Помимо закона сохранения массы для исходной модели вязкой несжимаемой жидкости выполняется уравнение баланса энергии. Для разностных неявных схем , построенных в работах О.А.Ладн-ской , А.Кживицкого , имеет место сеточный аналог такого
4'
уравнения . В работах Й.В.Фрязинова построены энергетически-нейтральные консервативные схемы на смещенных друг относительно друга неравномерных сетках , для которых также выполняются указанные выше законы. Применение неявных консервативных алгоритмов позволяет проводить вычисления с использованием достаточно грубых сеток. Однако, эти методы относительно неизвестного временного слоя образуют довольно сложные и специфичные по конструкции системы алгебраических уравнений . Поэтому построение эффективных способов р элизации.данных сем является вакной проблемой .
Целью работы является построение и исследование, эффективных итерационных алгоритмов реализации энергетически-нейтральных схем как для нестационарной , так и стационарной двумерной системы уравнений вязкой несжимаемой кидкости в переменных скорость-давление ,э такие некоторых способов корректировки разностных свойств этих схем в случае , когда для исходной задачи характерны, области быстроменяющегося решения .
Научная новизна. Для реализации і.ьухслойнкх неявних консервативных схем , аппроксимирующих н-стационарные уравнения Кавье-Стокса в переменных (U,P) , на основе многокомпонентного метода переменных направлений построены итерационные алгоритмы , для которых на каждой итерации точно выполняются уравнение неразрывности и некоторые сеточкке соотношения , обеонечивакше разрешимость разностной зядачи для давления в классическом смысле в, конечномерном гильбертовом пространстве сеточных функций . Итерационные методы , обладающие данными свойствами , построены и для стационарных уравнений . На основе анализа первого дифференциального приближения предложен способ коррекции используемых схем' при полном сохранении их консервативности, позволяющий уменьшить схемную вязкость и дисперсию в областях ,-где большая величина этих параметров ухудшает точность приближенного решения. Изучены вопросы устойчивости разностных схем , сходимости итерационных процессов, разрешимости разнослш методов . Предложен способ адаптации временной сетки , сохраняющий в области особенностей решения ряд основных свойств используемых cxer,. , а также позво-
лящий значительно уменьшить общее число арифметических операций для получения с приемлемой точностью, приближенного реиения нестационарной задачи и для обеспечения стабилизации решения стационарной задачи по методу установления .
Практическая значимость. Предложенная в работе методика
построения итерационных алгоритмов является эффективным аппаратом для коь-.груировшия экономичных методов численного решения задач динамики и теплообмена вязкой несжимаемой жидкости , а разработанный способ адаптации временного шага и итерационного ' параметра значительно повышает эффективность разностных методов для различных задач математической физики , допускающих решения с особенностями .
Аппробацкя работы. Основные результаты диссертации докладывались на Межреспубликанской научно-практической конференции "Актуальные проблемы информатики математическое , программное и информационное обеспечение" (Минск,1992), на семинаре отдела вычислительных методов Института математики и информатики АН Литвы , на семинарах отдела численных методов математической физики Институт;, математики АН Беларуси .
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1-8].
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения,
трех глав , приложения и списка литературы , содержащего 141 наименование . Общий объем работы 164 страницы .
Похожие диссертации на Об одном классе итерационных методов решения уравнений вязкой несжимаемой жидкости
