Последовательности квадратурных формул с пограничным слоем и последовательности типа Грегори в пространствах L_1^(m) [a, b] Шатохина Лариса Владимировна

Содержание к диссертации

Введение

1 Решетчатые квадратурные формулы в пространстве l\' [а, Ъ] 23

1.1. Оптимизация однопараметрических квадратурных формул типа Грегори в пространстве 24

1.2. Оптимизация двухпараметрических квадратурных формул типа Грегори в пространстве 30

1.3. Оптимальные решетчатые квадратурные формулы в классе формул типа Грегори 35

1.4. Некоторые свойства оптимальных решетчатых квадратурных формул в пространстве 39

2 Асимптотика норм функционалов ошибок квадратурных формул Грегори в пространствах Xj *[а, Ь] при т = 2, 3 48

2.1. Оценка норм функционалов ошибок квадратурных формул Грегори с конечными разностями первого порядка в пространстве 48

2.2. Оценка норм функционалов ошибок квадратурных формул Грегори с конечными разностями второго порядка в пространстве 54

2.3. Оценка норм функционалов ошибок квадратурных формул Грегори с конечными разностями второго порядка в пространстве 60

3 Уточнение квадратурных формул Грегори со вторыми конечными разностями в пространстве 66

3.1. Однопараметрическая оптимизация квадратурных формул Грегори со вторыми конечными разностями в пространстве 68

Заключение 88

Список использованных источников 90

Приложение

• Оптимизация двухпараметрических квадратурных формул типа Грегори в пространстве
• Некоторые свойства оптимальных решетчатых квадратурных формул в пространстве
• Оценка норм функционалов ошибок квадратурных формул Грегори с конечными разностями второго порядка в пространстве
• Однопараметрическая оптимизация квадратурных формул Грегори со вторыми конечными разностями в пространстве

Введение к работе

0.1. Тематика и структура диссертации щ Теория приближенного интегрирования является развитым разделом вы- числительной математики.

Исследования этой теории имеют давнюю историю, о чем можно судить даже из названий формул интегрирования: Ньютона-Котеса, Эйлера- Мак-лорена, Гаусса, Чебышева, Эрмита и др.

Методы исследования формул интегрирования очень разнообразны. Ча-ще всего исследуются и применяются в приближенном интегрировании квадратурные и кубатурные формулы. При их применении значение интеграла приближенно заменяется линейными комбинациями значений функции в некоторых точках, называемых узлами. Наиболее часто рассматриваются следующие задачи и методы вычисления интеграла, которые опираются на: а) построение формул высокой точности; б) исследование вероятностных методов интегрирования; в) формулы интегрирования, теория которых связана с оценками по грешностей интегрирования функций, принадлежащих классам или линей ным нормированным пространствам функций.

Данная диссертация посвящена исследованию погрешностей интегриро- вания в классах или пространствах функций.

Направление исследований, проводимых в данной диссертации, может быть проиллюстрировано следующим образом.

Пусть исследуются квадратурные формулы к=1 где Ск—коэффициенты, а х_к—узлы формулы (0.1).

Вместо непосредственного исследования формул (0.1) рассматриваются их функционалы ошибок l^N ь _N (l^N(x), /(*)) = f f(x)dx - C_kf(x_k). (0.2)

Пусть на интегрируемых функциях f(x) определена и конечна некоторая норма или полунорма ||/||#> которая порождает линейное нормированное пространство Я, а функционал l^N определяет некоторый элемент сопряженного пространства Я* к пространству Я. Тогда для погрешности приближенного интегрирования верна оценка \(l^N(x),f(x))\<\\l^N\\_H.-\\f\\_H. (0.3)

Если можно оценить ll/Ця и Н/^Ня*? то формула (0.3) может быть непосредственно использована для вывода верхних оценок погрешности интегрирования.

Часто речь идет не об одной квадратурной формуле (0.1) и функционале (0.2), а о целой серии формул (0.1) и функционалов (0.2), построенных по определенному закону.

Оценки (0.3) могут оказаться неудобными для применения при практическом интегрировании, так как ошибки интегрирования— левые части неравенств (0.3) — могут оказаться значительно меньше правых частей этих неравенств. Тем не менее желательно выбирать формулы (0.1) и функционалы (0.2) так, чтобы Ц/^Ця* была минимальной.

Иногда последовательность формул (0.1) называют просто формулой, например, усложненная формула Ньютона-Котеса или квадратурная формула Грегори.

В данной работе за Н из формулы (0.3) будут обычно приниматься пространства L\ [а, Ь], где [а, 6]— конечный промежуток интегрирования, т = 2 или т = 3. Будут рассматриваться квадратурные формулы Грегори или близкие к ним формулы типа Грегори (Эйлера-Маклорена) и формулы, образующие так называемые последовательности с пограничным слоем.

В диссертации автор обобщает результаты С. М. Никольского, относящиеся к усложненным квадратурным формулам [1]-[3] и результаты В. И. Половинкина [4], [5]. Одно из главных отличий между формулами, рассматриваемыми СМ. Никольским и В. И. Половинкиным состоит в следующем. Формулы, исследуемые С. М. Никольским, например, усложненные формулы Ньютона-Котеса строятся суммированием простейших формул, у которых узлы принадлежат промежуткам интегрирования. Формулы, рассматриваемые В. И. Половинкиным, строятся суммированием простейших формул, у которых некоторые узлы могут лежать вне промежутков интегрирования, т.е. являются одномерными аналогами кубатурных формул Соболева С. Л. с регулярным пограничным слоем. К ним, хотя это и не сразу очевидно, относятся квадратурные формулы Грегори и рассматриваемые здесь формулы типа Грегори.

В доказательствах работы применяются методы, основанные на реализации функционалов с помощью моносплайнов как у С. М. Никольского [2]-[3] и В. И. Крылова [6], а так же более новые методы, применяемые В. И. По-ловинкиным [4], [5].

Изложим более подробно историю вопроса. Исследуемая здесь тематика восходит в первую очередь к работам С. Л. Соболева [7]—[10], связанных с построением асимптотически оптимальных кубатурных формул в пространствах типа Щ.

Так как в диссертации рассматриваются только решетчатые квадратурные формулы с функционалами ошибок {l^h} С Н* (l^h(x), /(*)) = / f(x)dx - C_ithf(a + ih), (0.4) где C{_th—постоянные, h = (6 — a)/n, —oo < a < b < со то ограничимся описанием вопросов, связанных с решетчатыми формулами.

Пусть функционалы (0.4) исследуются в нормированном пространстве Н и принадлежат Н*. Последовательность функционалов (0.4) называется асимптотически оптимальной в Н, если для любой последовательности функционалов {p^h} С Н*

Г(P^h(x), /(*)) = / f(x)dx - A_jMf(a + jh), (0.5) где Ajfi—постоянные, j = 0,1, , n выполняется h=rt \\l^h\\_H-

Последовательность {l^h} называется оптимальной, если ||/^л||я* минимальна среди всех норм в Н* функционалов вида (0.5).

С. Л. Соболев показал асимптотическую оптимальность построенных им формул с регулярным пограничным слоем в пространствах L^(E_n) и близким к ним пространствах U(Q), где Q—область интегрирования.

Этот и другие результаты С. Л. Соболева были в той или иной мере обобщены В. И. Половинкиным [11]-[15], [4], [5], [16]-[17], О. И. Бесовым [18], М. Д. Рамазановым [19], Ц. Б. Шойнжуровым [20], М. В. Носковым [21], X. М. Шадиметовым [22].

В определенной мере, данной тематике посвящены исследования, относящиеся к разным задачам, связанным с оценками погрешностей интегрирования, проводимые И. В. Бойковым [23], А. А. Женсыкбаевым [28] и многими другими авторами [26]-[29].

Настоящая диссертация непосредственно обобщает с пространств Lp[a, 6], р Є (1; со] результаты В. И. Половинкина [4], [5] на пространства ь\[а, Ь). Отметим, что первоначально В. И. Половинкин исследовал задачи, связанные с асимптотической оптимальностью решетчатых формул в пространствах L_p^m (f2), где Q—ограниченная область n-мерного пространства [11], а затем более подробно изучил одномерный случай. Несколько позднее сходная задача в одномерном случае была рассмотрена в монографии [30].

В. И. Половинкиным были построены асимптотически оптимальные последовательности квадратурных формул, принадлежащие введенному им классу кубатурных формул с пограничным слоем. Функционалы ошибок l^h этих формул имеют вид (0.4) при определенном выборе коэффициентов С,-,д. Приведем важнейшие результаты из [4], [5] для р Є (1; со). Их формулировка опирается на понятие сопутствующего числа последовательности (0.4).

Если {l^h}— последовательность функционалов с пограничным слоем, то ее сопутствующее число ае определяется так ае = (6 - а)"¹hm{hr^m(l^h(x), х^т)}. (0.6)

Основной результат этих работ такой: а). Справедлива асимптотическая оценка \\¹%_р^[а ь] = ^ - а)^\\(-1)^тВ_т(х) + «|U_fIo,i]^^m(l + 0(h)) (0.7) р ь * lit» при h —> 0, где В_т(х) - полином Бернулли степени т ; б). Последовательность функционалов с пограничным слоем {l^h} асимптотически оптимальна в L_p [а,Ь] тогда и только тогда, когда ае удовлетворяет трансцендентному уравнению / \(-1)^тВ_т{х) + <\^q-^lsign({-l)^mB_m(x) + &)dx = 0, ./о (0.8) где р, q Є (1; со), ^ + 1 = 1. Такие асимптотически оптимальные последовательности функционалов всегда можно построить.

Отметим, что исследованию уравнения (0.8) посвящено ряд работ [16], [31]. При нечетном m или р = 2 решением этого уравнения является ае = 0. Случай такого ае соответствует последовательностям квадратурных формул с регулярным пограничным слоем С. Л. Соболева.

В теоремах 5 и 6 работы [5], аналогичные теоремам 4 и 5 из [4] было обращено внимание на особенности случая р = 1. Далее приведем формулировки этих теорем. Последовательности функционалов, рассматриваемые в упомянутых теоремах, относятся к последовательностям функционалов типа

Грегори {l^h}, которые имеют вид \ t n-t-\ (l^b(x),f(x)) = f{x)dx-h{Y_J[oc_if(a + ih)+Pif{b-ih)}+ J2 f(a + ib)h { i=0 i=t+l (0.9) где ao, , at, Por" , Pt— числа, n = 77,77 + 1, , t < rj/2 и l^h удовлетворяют условиям (l^h(x),x^k) = 0 при A; = 0, l,---,m — 1.

К этому классу относятся последовательности функционалов ошибок квад-ратурных формул Грегори. Отметим, что последовательности типа Грегори принадлежат к классу последовательностей функционалов с пограничным слоем.

Теорема 5. [5] Пусть {l^h}—последовательность типа Грегори. Тогда \\l^h\\irM = Kh^m, (0.10) где К -некоторая постоянная.

Теорема 6. [5] Для любых чисел ев, А найдется последовательность типа Грегори {p^h} с сопутствующим числом се, такая, что ІІРІкгм > ^Ahm-

Выделим две особенности функционалов типа Грегори в пространствах І^га)*М:

1). Как главные члены норм функционалов ошибок, так и свойства асим-тотически оптимальных последовательностей функционалов типа Грегори в Li [а, Ь] не определяется сопутствующими числами. Описание последовательностей асимптотически оптимальных функционалов в этом случае существенно сложнее, чем в случае пространств L_p [a,b], р > 1;

2). У последовательностей типа Грегори в отличии от формул (0.7), норма функционалов ошибок является однородной функцией параметров h. В правой части формулы (0.10) теоремы 5 отсутствуют члены более высокого порядка малости, чем h.

Далее в диссертации будет показано, что при р = 1 в пространствах Li [а, Ь] можно получать выражения не только для главных членов норм функционалов из оптимальных последовательностей, но и точные выражения для норм функционалов оптимальных последовательностей, несодер-жащих членов высшего порядка малости.

Так же далее будут исследованны свойства оптимальных формул, связанные с их единственностью и сопутствующими числами.

Цели и результаты настоящего исследования состоят в следующем:

1). Получить асимптотические выражения норм функционалов ошибок квадратурных формул Грегори для пространств L^ '*[а, &];

2). "Улучшить" с целью уменьшения нормы функционала погрешности квадратурной формулы Грегори с помощью прибавления к квадратурным суммам разностных операторов, зависящих от одного или нескольких параметров, с носителями близкими к концам промежутка интегрирования [42]. Подобные уточнения проводились Крыловым В. И. [6] с целью увеличения точности формулы.

3). При т — 2 удалось описать последовательности оптимальных решетчатых формул, функционалы ошибок которых являются последовательностями типа Грегори [35]-[39]. Такие формулы неединственны [40], могут иметь разные сопутствующие числа и даже могут быть несимметричными относительно середины отрезка интегрирования [41]. Результаты проил- люстрированы численно и графически.

Аналогом описанного результата в пункте 3) для пространств типа Щ были посвящены работы С. Л. Соболева (гл. 9 [26]). С .Л. Соболев применял математический аппарат, основанный на дискретных уравнениях Винера-Хопфа. Позднее X. М. Шадиметов обобщил результат С. Л. Соболева на пространства L₂^m [a, b] [22].

Метод доказательства теоремы 1.1., теоремы 1.2. в настоящей диссер тации существенно проще методов, использующихся в работах С. Л. Собо лева [8]—[10] и X. М. Шадиметова [22]. Отметим, что и другими авторами исследовались квадратурные формулы в пространствах Li [а, 6] [33], [34]. Достаточно полная библиография научной литературы по данному вопросу приводится в книге [26]. Однако, их исследования относились не к иссле- дованиям асимптотически оптимальных квадратурных формул, а к реше нию задачи Никольского-Колмогорова о нахождении оптимальных формул в классах формул, где допускается изменение как коэффициентов, так и узлов. Разумеется, ранее были получены асимптотические выражения для норм функционалов ошибок в пространствах l, [а, Ь] обычных усложнен ных квадратурных формул, например, формул Ньютона-Котеса. Однако, _# эти классы квадратурных формул не включают в себя квадратурные фор мулы Грегори и другие формулы, рассматриваемые в диссертации.

Данная диссертация состоит из введения, трех глав основного текста, заключения, списка использованных источников из 42 наименований и приложений А, Б, В, Г. Общий объем диссертации 135 страниц.

0.2. Основные обозначения, определения . и утверждения, используемые в диссертации

Прежде, чем перейти к изложению результатов диссертации, приведем важнейшие определения, которыми будем пользоваться в дальнейшем.

Будем обозначать через т,п — натуральные числа. Пусть I — функционал. Будем писать I 6 Ь^т, если в его область определения входят одночлены и он равен нулю на одночленах степени меньше т: (1(х), х^к) = 0, к = 0,1,..., т - 1.

Всегда будем предполагать, что а, 6-действительные числа, причем —со < а < Ь < со, n-натуральное число, h — (6 — а)/п—шаг сетки.

Если I- функционал ошибки квадратурной формулы, г- натуральное число, то при supp l{^f^ — і) Є [a, b] через l{^j^ — і) обозначим функционал

Пусть 7]— натуральное число.

Определение 0.1. [5] Последовательность функционалов {l^h}, определяемых равенствами (l^h(x), /(*)) = I f{x)dx - J2 C^h_kf{a + kh), (0.11) C#,..., C^h_n - const, n = 7/,7/ + 1,..., называется последовательностью функционалов с пограничным слоем, если l^h Є L^m и найдутся такие натуральные числа d, t,K,t < d, функционалы Iq, /, І Є L^m, определяемые равенствами:

Г(/(*),/(*)) = / f(x)dx - C_s№, (0.12) ^a+dh t+d $(*),/(*)) = J fWx-f^Cyia + jh), (0.13) ^b t+d (l^h_n(x), f(x)) = f f(x)dx - C?*,/(b - jh), (0.14) где C-t, C-t+i,..., C_t> C₀,..., Q+_dj0; Со,п> і C/W — постоянные такие, что справедливы формулы: l\x) = l(^p - і) + Й(») + l^h_n(x), (0.15) |С$оІ.|С*„|<А'Л,І = 0 * + Л

Определение 0.2. [5] Последовательность квадратурных формул / f(x)dx « J] <#/(<* + *Ч называется последовательностью квадратурных формул с пограничным слоем, если последовательность функционалов ошибок формул этой последовательности является последователъномтъю функционалов с пограничным слоем.

Определение 0.3. [5] Пусть {^-последовательность функционалов с пограничным слоем, функционал I вместе некоторыми числами d,t,K и функционалами Iq, 1%, I соответствует ей в определении 0.1 и в формуле (0.11). Тогда I называется сопутствующим функционалом последовательности {l^h}

Определение 0.4. [5] Пусть {l^h}- последовательность функционалов с пограничным слоем, тогда число «ІЩп ('У>, (0.16) называется сопутствующим числом последовательности {l^h}.

Определение 0.5. [5] Последовательность функционалов с пограничным слоем называется последовательностью функционалов с регулярным пограничным слоем, если ее сопутствующее число равно нулю.

Это определение восходит к аналогичному определению С. Л. Соболева из [8].

Определение 0.6. [5] Последовательность квадратурных формул называется последовательностью квадратурных формул с регулярным пограничным слоем, если последовательность функционалов ошибок формул из нее является последовательностью функционалов с регулярным пограничным слоем.

В диссертации исследуются последовательности функионалов ошибок квадратурных формул типа Грегори. Такие формулы называются формулами Эйлера-Маклорена [32]. Дадим определение последовательностей функционалов ошибок квадратурных формул типа Грегори.

Определение 0.7. [5] Последовательность функционалов {l^h}, определенных равенствами: о (l^h(x),f(x)) = Jf(x)dx- n-t-1 -h і J2(^aif(^a+ih)⁺&л^ь -^ih)) + E /(+^ih) \> (-¹⁷) где ao,..., a^, Д),..., Pt-числа, n = 77,77 +1,..., < |, называется последовательностью типа Грегори, если она принадлежит классу Ь^т.

Примерами последовательностей (0.17) являются последовательности функционалов ошибок квадратурных формул Грегори [5], [б], [32].

Последовательности функционалов типа Грегори обладают следующим свойством:

Теорема 0.1. [5] а) Последовательности типа Грегори являются последовательностями функционалов с пограничным слоем; б) последовательности типа Грегори, принадлежащие классу L^m+l, являются последовательностями функционалов с регулярным пограничным слоем.

К последовательностям квадратурных формул типа Грегори [5] относятся квадратурные формулы Грегори с максимальным порядком разности к: |/(^^д|^/(а) + ^/(6)+|:/(а + гД)- ~[bhf(b - Л) - Д_А/(а)] - ... - C_k[A^k_hf(b - kh) + (-l)*Aj/(a)]j, (0.18) (n = 2k + 2,2k + 3,...), где Ал,..., Ад-конечные разности, A_hf(x) = f(x + h)-f(x), A№) = Aj-¹/(^ + 4-Aj-¹/W, 17 Ck = -^^fx(x-l)...(x-k)dx.

Для формул Грегори (0.18) доказана следующая теорема, которая является следствием теоремы 0.1:

Теорема 0.2. [5] Последовательности формул Грегори (0.18) с максимальным порядком разности к > т — 1 при т нечетном и к > т — 2 при т четном являются последовательностями квадратурных формул с пограничным слоем; последовательности формул Грегори с максимальным порядком разности к > т при т четном и к > т — 1 при т нечетном являются последовательностями квадратурных формул с регулярным пограничным слоем.

Через Lp[a,b], р Є [1,оо] будем обозначать линейное нормированное банахово пространство, порожденное полунормами:

Ш')\\#*_м= (j\f^(x)\"dx) ,р Є [1,00), ІІ/ИІІі&'М = ^{vrai SU}P {l/⁽"*'WI} (0.19) хЄ[а,Ь] на множествах функций f(x), имеющих на [а, Ь] абсолютно непрерывные производные до порядка т — 1 включительно и суммируемые со степенью р при р Є [1,оо) (существенно ограниченные при р = со) производные порядка т.

0.3. Некоторые вспомогательные сведения

В последующих главах будут неоднократно использоваться результаты, приводимые в этом параграфе.

Лемма 0.1. [6] Если функция (р{х)-суммируемая на [c,d\, —со < с < d < со, р Є L^m-функционал, определенный равенством:

Г (р(х), f[x)) = / f(x)t Vf(x) Є LW[c, d], (0.20) C\,..., C_n—постоянные, x\,..., x_n Є [c,d], mo a (p(x),f(x)) = JF(x)f^(x)dx, ^{F{x) =} j^rji І І^ф)(х ~ ^r)rW " ^Ci(Xi"*^)rl f' ⁽⁰'²¹⁾ (a; — r)+^_1—усеченная степенная функция [32]: _ч . f (я: - г)⁷""¹, (ж - г) > 0, { 0, (ж - г) < 0.

Равенства (0.21) могут быть записаны в другом виде ^{F{X) =} кЬ)! I / *^(я?)(я; ~ ^r)m"^lrfT " ^Qi?fe ~ ^ж)(:Гг' ~ ^Х)т~¹ \ ' (0.22) где -Е(:с)-функция Хевисайда: wt \ / ^1} * - ' [0, ж < 0.

В дальнейщем при ссылках на лемму 0.1 равенства (0.21) будут записываться в виде (0.22).

Замечание 0.1. Лемма 0.1 будет использоваться не только для реализации функционала вида (0.20), но и для реализации последовательностей A—образных операторов, а именно, если

Да/(*) = Е^С^1Ы, V/(*) Є L[c,d\, jfc=i ф где Ch,k—постоянные, хі,...,х_п Є [c,d], тогда существует такая функция д{х), что A%f(x) = / 0(0:)/(-)(^, (0.23) ( - і;. .₌₁

В этом случае можно считать в формуле (0.20) с = d.

Одним из основных результатов диссертации является построение оптимальных квадратурных формул в пространстве Ь\ [а, 6]. Дадим определение оптимальных квадратурных формул в пространствах L [а, Ь].

Определение 0.8. Последовательность функционалов {l^h} вида (0.4), равная нулю на многочленах степени меньше т, называется оптималь ной 6 Lp*[a,b), если для любой последовательности функционалов {p^h}, определенных равенствами: (P^hМ, /М) = / f{x)dx - ZU Ahf(a + ih), (p^h(x),x^k) = 0, & = 0,...,га-1, m выполняется

II^і Il4^m)*[_a,6]

Определение 0.9. Последовательность квадратурных формул называ ется оптимальной в если последовательность ее функционалов ошибок оптимальна в сопряженном пространстве.

Замечание 0.2. Если в неравенстве (0.25) заменить левую его часть на

Л->0Ц/^Л|І4т)._[віЬІ' то последовательность {l^h} будет называться асимптотически оптимальной в пространствах Lp*[a, 6], а последовательность соответствующих квад-. ратурных формул будет называться асимптотически оптимальной в пространствах Lp [а, Ь].

Основным объектом исследования настоящей диссертации являются симметричные квадратурные формулы. Дадим их определение.

Определение 0.10. Квадратурная формула называется симметричной, если она имеет один из следующих видов: / f(x)dx « 53 ^C№ + **) + f(^b - ^Хк)} ь _п f f(x)dx « 53 C_k[f(a + x_k) + /(6 - x_k)] + Cf ^±^j , где С, Ck—постоянные, x_k Є [0, (6 — a)/2), к = 1,..., п.

Узлы а + х_к, b — Xk будем называть симметричными.

В работе [8], в теореме 16.2 доказано, что среди оптимальных решетчатых кубатурных формул в периодическом случае, есть формулы с одинаковыми коэффициентами в точках решетки.

Аналогично упомянутой теореме 16.2 доказывается следующее утверждение.

Лемма 0.2. Среди оптимальных квадратурных формул есть формулы с одинаковыми коэффициентами при симметричных узлах.

Разница в доказательствах теоремы 16.2 и леммы 0.2 состоит в том, что в теореме 16.2 рассматривалась группа сдвигов решетки, а в лемме 0.2 используется группа отражений отрезка [а, Ь] относительно его середины.

В дальнейшем общую задачу, где узлы произвольны, рассматривать не будем, а ограничимся случаем, когда эти узлы образуют симметричную решетку: Хк = a + kh, к = 0,1,..., п, h = (b — а)/п.

Оптимизация двухпараметрических квадратурных формул типа Грегори в пространстве

Исследования этой теории имеют давнюю историю, о чем можно судить даже из названий формул интегрирования: Ньютона-Котеса, Эйлера- Мак-лорена, Гаусса, Чебышева, Эрмита и др. Методы исследования формул интегрирования очень разнообразны. Ча-ще всего исследуются и применяются в приближенном интегрировании квадратурные и кубатурные формулы. При их применении значение интеграла приближенно заменяется линейными комбинациями значений функции в некоторых точках, называемых узлами. Наиболее часто рассматриваются следующие задачи и методы вычисления интеграла, которые опираются на: а) построение формул высокой точности; б) исследование вероятностных методов интегрирования; в) формулы интегрирования, теория которых связана с оценками по грешностей интегрирования функций, принадлежащих классам или линей ным нормированным пространствам функций. Данная диссертация посвящена исследованию погрешностей интегриро вания в классах или пространствах функций. Направление исследований, проводимых в данной диссертации, может быть проиллюстрировано следующим образом. Пусть исследуются квадратурные формулы о / коэффициенты, а хк—узлы формулы (0.1). Вместо непосредственного исследования формул (0.1) рассматриваются их функционалы ошибок lN Пусть на интегрируемых функциях f(x) определена и конечна некоторая норма или полунорма /# которая порождает линейное нормированное пространство Я, а функционал lN определяет некоторый элемент сопряженного пространства Я к пространству Я. Тогда для погрешности приближенного интегрирования верна оценка средственно использована для вывода верхних оценок погрешности интегрирования. Часто речь идет не об одной квадратурной формуле (0.1) и функционале (0.2), а о целой серии формул (0.1) и функционалов (0.2), построенных по определенному закону. Оценки (0.3) могут оказаться неудобными для применения при практическом интегрировании, так как ошибки интегрирования— левые части неравенств (0.3) — могут оказаться значительно меньше правых частей этих неравенств. Тем не менее желательно выбирать формулы (0.1) и функционалы (0.2) так, чтобы Ц/ Ця была минимальной. Иногда последовательность формул (0.1) называют просто формулой, например, усложненная формула

Ньютона-Котеса или квадратурная формула Грегори. В данной работе за Н из формулы (0.3) будут обычно приниматься пространства L\ [а, Ь], где [а, 6]— конечный промежуток интегрирования, т = 2 или т = 3. Будут рассматриваться квадратурные формулы Грегори или близкие к ним формулы типа Грегори (Эйлера-Маклорена) и формулы, образующие так называемые последовательности с пограничным слоем. В диссертации автор обобщает результаты С. М. Никольского, относящиеся к усложненным квадратурным формулам [1]-[3] и результаты В. И. Половинкина [4], [5]. Одно из главных отличий между формулами, рассматриваемыми СМ. Никольским и В. И. Половинкиным состоит в следующем. Формулы, исследуемые С. М. Никольским, например, усложненные формулы Ньютона-Котеса строятся суммированием простейших формул, у которых узлы принадлежат промежуткам интегрирования. Формулы, рассматриваемые В. И. Половинкиным, строятся суммированием простейших формул, у которых некоторые узлы могут лежать вне промежутков интегрирования, т.е. являются одномерными аналогами кубатурных формул Соболева С. Л. с регулярным пограничным слоем. К ним, хотя это и не сразу очевидно, относятся квадратурные формулы Грегори и рассматриваемые с здесь формулы типа Грегори. В доказательствах работы применяются методы, основанные на реализации функционалов с помощью моносплайнов как у С. М. Никольского [2]-[3] и В. И. Крылова [6], а так же более новые методы, применяемые В. И. По-ловинкиным [4], [5]. Изложим более подробно историю вопроса. Исследуемая здесь тематика восходит в первую очередь к работам С. Л. Соболева [7]—[10], связанных с построением асимптотически оптимальных кубатурных формул в пространствах типа Щ. Так как в диссертации рассматриваются только решетчатые квадратурные формулы с функционалами ошибок {lh} С Н где C{th—постоянные, h = (6 — a)/n, —oo a b со то ограничимся описанием вопросов, связанных с решетчатыми формулами. Пусть функционалы (0.4) исследуются в нормированном пространстве Н и принадлежат Н . Последовательность функционалов (0.4) называется асимптотически оптимальной в Н, если для любой последовательности функционалов {ph} С Н

Некоторые свойства оптимальных решетчатых квадратурных формул в пространстве

В предыдущем параграфе среди решетчатых квадратурных формул, функционалы ошибок которых имеют вид (1.32) были построены оптимальные решетчатые квадратурные формулы типа Грегори для пространства Ь\ [а,Ь], функционалы ошибок которых записаны формулой (1.34). Функционалы вида (1.34) удовлетворяют условиям: Рассмотрим решетчатые квадратурные формулы, функционалы ошибок График функции Ф\(х) также показан на рисунке А.1. Из формул (1.44)-(1.47) следует, что функция Gh(x), реализующая функ ционал 7 имеет вид: Для того, чтобы квадратурные параграфе среди решетчатых квадратурных формул, функционалы ошибок которых имеют вид (1.32) были построены оптимальные решетчатые квадратурные формулы типа Грегори для пространства Ь\ [а,Ь], функционалы ошибок которых записаны формулой (1.34). Функционалы вида (1.34) удовлетворяют условиям: Рассмотрим решетчатые квадратурные формулы, функционалы ошибок График функции Ф\(х) также показан на рисунке А.1. Из формул (1.44)-(1.47) следует, что функция Gh(x), реализующая функ ционал 7 имеет вид: Для того, чтобы квадратурные решетчатые формулы с функционалами ошибок вида(1.42) были оптимальны необходимо, чтобы выполнялось равенство: Нормы функционалов 7Л»/?Л в пространстве b[ [а,Ь] определяются в [5]: Определим при каких значениях А На интервалах [а; а + h], [b — h; b] функции Gh(x), Fiii) тождественно равны. Рассмотрим случай, когда х Є [a + h; b — h]. 1). Если х Є [a + h; а + 2/г], функция (7Л(ж) в(1.48) задается формулой: Л(я) = 0,5((ж - а - Л)2 - (ж - а - h)h) + (1,5- \/2)h2 + Xh(x -a-h). Функция \Gh(x)\,x Є [a + /г; а + 2/І] может достигать своего наибольшего значения хотя бы в одной из трех точек: на концах интервала или в экстремуме функции СгЛ(ж), точке х = XQ = а — Xh + З/2/і. А). Пусть XQ Є [а Н- h\ (Только при А = 0 система (1.55) имеет решение.) Объединением решений в случаях а)-в) является множество [—1.5 + \/2;0]. В итоге имеем, неравенство (1.52) выполняется, если 2). Если ж Є [о + г Л;а+(г + 1)Л], г = 2,... ,п-3, функция Gh(x) в (1.48) задается формулой: Имеем (Gh(x)) = 0 при х = х\ = а + (г + 0.5)/г. Точка х\ принадлежит [a + ih;a Аналогично рассуждениям, проведенным в пункте 1) , выведем условия на А, при которых Модуль функции (1.57) Gh(x) может достигать наибольшего значения хотя бы в одном из трех значений: Так как \Gh(a + ih)\ = \Gh(a+(i + l)h)\, тогда выбор наибольшего значения Непосредственным сравнением получаем о Из соотношений (1.52), (1.56), (1.58), (1.61) и в виду симметрии функции Gh(x) относительно середины отрезка [а, Ь], окончательно имеем, Теорема 1.4 доказана. Из теоремы 1.4 следует, что оптимальные квадратурные формулы типа Грегори в пространстве L\ [а, Ь] не являются единственными. Покажем, что существует целый класс оптимальных решетчатых квадратурных формул с пограничным слоем в пространстве L\ [а, 6]. Теорема 1.5. Существует последовательность типа Грегори соответствующая несимметричным квадратурным формулам, которые оптимальны в пространстве L\ [а, Ь]. Доказательство. Рассмотрим функционалы 7Л вида (1.42) с некоторым числовым параметром А из интервала (—2.875 + 2\/2; 0).

Считаем п достаточно большим, например, п 10. Тогда определим функционалы решетчатые формулы с функционалами ошибок вида(1.42) были оптимальны необходимо, чтобы выполнялось равенство: Нормы функционалов 7Л»/?Л в пространстве b[ [а,Ь] определяются в [5]: Определим при каких значениях А На интервалах [а; а + h], [b — h; b] функции Gh(x), Fiii) тождественно равны. Рассмотрим случай, когда х Є [a + h; b — h]. 1). Если х Є [a + h; а + 2/г], функция (7Л(ж) в(1.48) задается формулой: Л(я) = 0,5((ж - а - Л)2 - (ж - а - h)h) + (1,5- \/2)h2 + Xh(x -a-h). Функция \Gh(x)\,x Є [a + /г; а + 2/І] может достигать своего наибольшего значения хотя бы в одной из трех точек: на концах интервала или в экстремуме функции СгЛ(ж), точке х = XQ = а — Xh + З/2/і. А). Пусть XQ Є [а Н- h\ (Только при А = 0 система (1.55) имеет решение.) Объединением решений в случаях а)-в) является множество [—1.5 + \/2;0]. В итоге имеем, неравенство (1.52) выполняется, если 2). Если ж Є [о + г Л;а+(г + 1)Л], г = 2,... ,п-3, функция Gh(x) в (1.48) задается формулой: Имеем (Gh(x)) = 0 при х = х\ = а + (г + 0.5)/г. Точка х\ принадлежит [a + ih;a Аналогично рассуждениям, проведенным в пункте 1) , выведем условия на А, при которых Модуль функции (1.57) Gh(x) может достигать наибольшего значения хотя бы в одном из трех значений: Так как \Gh(a + ih)\ = \Gh(a+(i + l)h)\, тогда выбор наибольшего значения Непосредственным сравнением получаем о Из соотношений (1.52), (1.56), (1.58), (1.61) и в виду симметрии функции Gh(x) относительно середины отрезка [а, Ь], окончательно имеем, Теорема 1.4 доказана. Из теоремы 1.4 следует, что оптимальные квадратурные формулы типа Грегори в пространстве L\ [а, Ь] не являются единственными. Покажем, что существует целый класс оптимальных решетчатых квадратурных формул с пограничным слоем в пространстве L\ [а, 6]. Теорема 1.5. Существует последовательность типа Грегори соответствующая несимметричным квадратурным формулам, которые оптимальны в пространстве L\ [а, Ь]. Доказательство. Рассмотрим функционалы 7Л вида (1.42) с некоторым числовым параметром А из интервала (—2.875 + 2\/2; 0). Считаем п достаточно большим, например, п 10. Тогда определим функционалы

Оценка норм функционалов ошибок квадратурных формул Грегори с конечными разностями второго порядка в пространстве

Обозначим через {ph} последовательность функционалов ошибок квад-ратурных формул (2.20) над пространством L\ [a,b], сопряженном к про-странсту Ь[ [a, 6]. Согласно [5] последовательность {ph} являются последовательностью функционалов с пограничным слоем и, следовательно, функционалы ph представимы в виде: где функционалы /?, р„, р точны на константах, одночленах первой и второй степеней. Аналогично алгоритму, изложенному выше для случая формул Грегори с первыми разностями, выпишем функционалы Ро,р,р из формулы (2.21). Функционалы ошибок ph квадратурных формул (2.20) в общем виде могут быть записаны: Перейдем к оценке нормы ф(X), Rn{x). Результаты полученны следующие: Выпишем явный вид функции Rh(x) из (2.28), реализующей функционалы ошибок квадратурных формул Грегори (2.19) со вторым порядком разнос ти: Построим график функции Rh(x) (2.29) (см. рисунок А.З) Поскольку f"(x) в (2.28) может быть произвольной функцией из Ь[ [а; Ь], то где Следовательно, норма функционалов ошибок (2.21) квадратурных формул Грегори (2.19) в пространстве Ь[ [а, Ь] определяется равенством (2.31). Теорема 2.2 доказана. В приложении Г, примере 2 показано применение формул (2.20) при вычислении определенного интеграла. Грегори с конечными разностями второго порядка в L[ [а, Ь] Рассмотрим последовательность {rh} функционалов ошибок квадратурных формул Грегори следующего вида: Равенства (2.32) можно преобразовать к виду: Функционалы (2.33) равны нулю на константах и одночленах до третей степени включительно. Согласно теоремы 0.2. последовательности формул Грегори с максимальным порядком разности к т — 1 (в нашем случае к — 2,т = 3) являются последовательностями квадратурных формул с пограничным слоем и последовательности функционалов (2.33) - последовательностями функционалов с пограничным слоем, т.е. их можно представить в виде суммы функционалов Доказательство. Согласно теоремы 0.2. последовательности функционалов (2.32) являются последовательностями функционалов с пограничным слоем (0.11) и представимы в виде (0.15). Обозначим через GQ(X), G%(x), G(x)— функции, такие, что для функционалов r r ,r из (2.34) выполняются равенства: где Так как функции GQ(X), G (X), G(X) равны нулю за пределами промежутков интегрирования в равенствах ункционала (2.21) ph в пространстве Теорема 2.2. Если {ph}—последовательность функционалов квадратурных формул Грегори вида (2.19), тогда ЛЛ _ - /,2

Доказательство. Согласно леммы 0.1. для фукционалов (2.22), (2.26), (2.27) существуют такие функции, которые обозначим, соответственно R(x),R (x),R (x), причем для произвольной функции f(x) Є Ь[ [a, 6] выполняются равенства: По методике, изложенной в [5] и аналогично тому, как были найдены выше функции F(x), FQ(X) и F%(x) ИЗ (2.10), (2.11), (2.12) соответственно, найдем функции R(x), RQ(X), Rn{x). Результаты полученны следующие: Выпишем явный вид функции Rh(x) из (2.28), реализующей функционалы ошибок квадратурных формул Грегори (2.19) со вторым порядком разнос ти: Построим график функции Rh(x) (2.29) (см. рисунок А.З) Поскольку f"(x) в (2.28) может быть произвольной функцией из Ь[ [а; Ь], то где Следовательно, норма функционалов ошибок (2.21) квадратурных формул Грегори (2.19) в пространстве Ь[ [а, Ь] определяется равенством (2.31). Теорема 2.2 доказана. В приложении Г, примере 2 показано применение формул (2.20) при вычислении определенного интеграла. Грегори с конечными разностями второго порядка в L[ [а, Ь] Рассмотрим последовательность {rh} функционалов ошибок квадратурных формул Грегори следующего вида: Равенства (2.32) можно преобразовать к виду: Функционалы (2.33) равны нулю на константах и одночленах до третей степени включительно. Согласно теоремы 0.2. последовательности формул Грегори с максимальным порядком разности к т — 1 (в нашем случае к — 2,т = 3) являются последовательностями квадратурных формул с пограничным слоем и последовательности функционалов (2.33) - последовательностями функционалов с пограничным слоем, т.е. их можно представить в виде суммы функционалов Доказательство. Согласно теоремы 0.2. последовательности функционалов (2.32) являются последовательностями функционалов с пограничным слоем (0.11) и представимы в виде (0.15). Обозначим через GQ(X), G%(x), G(x)— функции, такие, что для функционалов r r ,r из (2.34) выполняются равенства: где Так как функции GQ(X), G (X), G(X) равны нулю за пределами промежутков интегрирования в равенствах (2.38), (2.39), (2.40) , то из формул (2.44), (2.38)—(2.40) для произвольной функции f(x) Є L\ [a,b] получаем, где через Gh(x) обозначим функцию, равную

Однопараметрическая оптимизация квадратурных формул Грегори со вторыми конечными разностями в пространстве

Согласно [5] последовательность {ph} являются последовательностью функционалов с пограничным слоем и, следовательно, функционалы ph представимы в виде: где функционалы /?, р„, р точны на константах, одночленах первой и второй степеней. Аналогично алгоритму, изложенному выше для случая формул Грегори с первыми разностями, выпишем функционалы Ро,р,р из формулы (2.21). Функционалы ошибок ph квадратурных формул (2.20) в общем виде могут быть записаны: Перейдем к оценке нормы ф(X), Rn{x). Результаты полученны следующие: Выпишем явный вид функции Rh(x) из (2.28), реализующей функционалы ошибок квадратурных формул Грегори (2.19) со вторым порядком разнос ти: Построим график функции Rh(x) (2.29) (см. рисунок А.З) Поскольку f"(x) в (2.28) может быть произвольной функцией из Ь[ [а; Ь], то где Следовательно, норма функционалов ошибок (2.21) квадратурных формул Грегори (2.19) в пространстве Ь[ [а, Ь] определяется равенством (2.31). Теорема 2.2 доказана. В приложении Г, примере 2 показано применение формул (2.20) при вычислении определенного интеграла. Грегори с конечными разностями второго порядка в L[ [а, Ь] Рассмотрим последовательность {rh} функционалов ошибок квадратурных формул Грегори следующего вида: Равенства (2.32) можно преобразовать к виду: Функционалы (2.33) равны нулю на константах и одночленах до третей степени включительно. Согласно теоремы 0.2. последовательности формул Грегори с максимальным порядком разности к т — 1 (в нашем случае к — 2,т = 3) являются последовательностями квадратурных формул с пограничным слоем и последовательности функционалов (2.33) - последовательностями функционалов с пограничным слоем, т.е. их можно представить в виде суммы функционалов Доказательство. Согласно теоремы 0.2. последовательности функционалов (2.32) являются последовательностями функционалов с пограничным слоем (0.11) и представимы в виде (0.15). Обозначим через GQ(X), G%(x), G(x)— функции, такие, что для функционалов r r ,r из (2.34) выполняются равенства: где Так как функции GQ(X), G (X), G(X) равны нулю за пределами промежутков интегрирования в равенствах ункционала (2.21) ph в пространстве Теорема 2.2. Если {ph}—последовательность функционалов квадратурных формул

Грегори вида (2.19), тогда ЛЛ _ - /,2 Доказательство. Согласно леммы 0.1. для фукционалов (2.22), (2.26), (2.27) существуют такие функции, которые обозначим, соответственно R(x),R (x),R (x), причем для произвольной функции f(x) Є Ь[ [a, 6] выполняются равенства: По методике, изложенной в [5] и аналогично тому, как были найдены выше функции F(x), FQ(X) и F%(x) ИЗ (2.10), (2.11), (2.12) соответственно, найдем функции R(x), RQ(X), Rn{x). Результаты полученны следующие: Выпишем явный вид функции Rh(x) из (2.28), реализующей функционалы ошибок квадратурных формул Грегори (2.19) со вторым порядком разнос ти: Построим график функции Rh(x) (2.29) (см. рисунок А.З) Поскольку f"(x) в (2.28) может быть произвольной функцией из Ь[ [а; Ь], то где Следовательно, норма функционалов ошибок (2.21) квадратурных формул Грегори (2.19) в пространстве Ь[ [а, Ь] определяется равенством (2.31). Теорема 2.2 доказана. В приложении Г, примере 2 показано применение формул (2.20) при вычислении определенного интеграла. Грегори с конечными разностями второго порядка в L[ [а, Ь] Рассмотрим последовательность {rh} функционалов ошибок квадратурных формул Грегори следующего вида: Равенства (2.32) можно преобразовать к виду: Функционалы (2.33) равны нулю на константах и одночленах до третей степени включительно. Согласно теоремы 0.2. последовательности формул Грегори с максимальным порядком разности к т — 1 (в нашем случае к — 2,т = 3) являются последовательностями квадратурных формул с пограничным слоем и последовательности функционалов (2.33) - последовательностями функционалов с пограничным слоем, т.е. их можно представить в виде суммы функционалов Доказательство. Согласно теоремы 0.2. последовательности функционалов (2.32) являются последовательностями функционалов с пограничным слоем (0.11) и представимы в виде (0.15). Обозначим через GQ(X), G%(x), G(x)— функции, такие, что для функционалов r r ,r из (2.34) выполняются равенства: где Так как функции GQ(X), G (X), G(X) равны нулю за пределами промежутков интегрирования в равенствах (2.38), (2.39), (2.40) , то из формул (2.44), (2.38)—(2.40) для произвольной функции f(x) Є L\ [a,b] получаем, где через Gh(x) обозначим функцию, равную

Похожие диссертации на Последовательности квадратурных формул с пограничным слоем и последовательности типа Грегори в пространствах L_1^(m) [a, b]

Об асимптотической оптимальности последовательностей квадратурных формул С. Л. Соболева в пространствах Lp (m) (a, b)Сидорова Татьяна Валерьевна

Оценка погрешности кубатурных формул с пограничным слоем и узлами на решетке в весовых пространствах СоболеваФранцев Григорий Львович

Вычисление параметров функционалов погрешностей кубатурных формул с пограничным слоем в неизотропном пространствеЮмова Цыренханда Жэмбэевна

Построение и исследование кубатурных формул с пограничным слоем для интегрирования функций из пространств Wmp(En)Булгатова Елена Николаевна

Оценка погрешности кубатурных формул общего вида с пограничным слоем и узлами на решетке в пространстве Соболева L^m_p (E_n) Цыренжапов Нима Булатович

Дифференциальная геометрия двупараметрических семейств двумерных плоскостей параболического типа пространства P_5 Пыжьянова Альбина Николаевна

О проекторах на пространства типа конечных элементов и их приложенияхДобробог, Надежда Викторовна

Шаровые покрытия банаховых пространств и теоремы единственности для потенциалов мер в бесконечномерных пространствах типаКим Ён Чжин

Теоремы плотности и функциональные представления для симметричных алгебр операторов в пространстве Понтрягина типа П1Машарипова, Софья Шариповна

Обратные задачи для уравнений эллиптического и параболического типов в пространствах гёльдераСоловьев Вячеслав Викторович