Введение к работе
В диссертационной работе рассматриваете» проблема построения ас-
куственных граночных условий (ИГУ) для некоторых классов задач ма
тематической физики с помощью метода разностных потенциалов. Прово-
дится исследование одного способа построения ИГУ,-предложенного ранее
В.С.Рябеиьким и С.В.Цынховым для численного решения задач обтека
ния. Этот способ был предложен на эвристическом уровне строгости и по
казал свою эффективность', что вызвало необходимость более детального
его изучения и бо лее строгого обоснования. Такие изучение и обоснование
проводятся в данной работе на модельном примере, позволяющем понять
механизм действия этого способа и дать рекомендации при использова-
шга его в различных задачах математической физики. В работе также
рассматривается разностный аналог плоской задачи о распределении ам
плитуды установившихся колебаний, вызванных, гармоническим источни
ком постоянной частоты, в стратифицированной среде. Для этой задачи
предложен и реализовав алгоритм переноса граничных условий из бес-
* конечности на удобную для дальнейших вычислений.нскусственную гра- -
ницу некоторой ограниченной подобласти. Построенные ИГУ учитывают
условия излучения Зоммерфельда- и потому позволяют выделить нужное
решение" уравнения Геяьмгольца. Кроме того, в работе рассматривает
ся задача на- сфере, решение которой интересует вас лишь в некоторой ' , -
малой подобласти, вне которой задача описывается разностным аналогом
уравнения Бельтрами. На искусственной границе расчетной подобласти
строятся ИГУ, заменяющие уравнение Бельтрами во внешности этой под- .
области. ' ; ' . .
Все эти задачи объединяет то, что, во-первых, ИГУ для них стро-.
ятся с помощью метода разностных потенциалов (МРП)", а во-вторых,
при построении ИГУ используется малый параметр: для задачи с урав
нением Гельмголца — согласно принципу предельного поглощения, для
других задач — согласно изучаемому способу, названному обобщенным
предельным поглощением. . * "
В диссертационной работе содержатся дохазательетва'всех основных ее результатов и приводятся данные соответствующих численных экгпе- .' рвмевтов. -
' Актуальность работы. Для численного решения внешних краевых задач математической физики характерны трудности, связанные с учетом початий искомой фувжции на бесконечное». Одним из эффгктяв-иих методов, преодоления ато! трудности является введение ВсКусгТВГИ-
ных границ и постановка на них искусственных краевых условий. При таком подходе решение задачи вычисляется лишь в некоторой ограниченной подобласти исходной неограниченной области, а краевые условия на искусственной границе этой подобласти ставятся так, чтобы полученное решение было максимально близко к соответствующему фрагменту
, решения исходной задачи. Кроме того, ИГУ целесообразно использовать не только тогда, когда задача поставлена в неограниченной области, но и в тех случаях, когда решение достаточно знать не всюду, а лишь в некоторой ограниченной подобласти. В' настоящее время широко разрабатываются методы построения ИГУ в различных областях вычислительной физики: в теории упругости, акустике, электродинамике, динамике жидкости и др.
Один го методов численного построения ИГУ для внешних задач, которые в некоторой окрестности бесконечности описываются линейными уравнениями (системами ллнепных уравнений) с постоянными коэффициентами — метод разностных потенциалов (МРП). Он позволяет для опре-, деленного класса разностных задач построить точные ИГУ, то есть такие, что решение разностной задачи в искусственно ограниченной подобласти совпадает с сужением решения исходной задачи на эту подобласть. При использовании МРП для построения ИГУ наиболее трудоемкой частью с
' вычислительной точки зрения является многократное решение так называемой разностной вспомогательной задачи. Поэтому очень важно, пользуясь заложенной в методе свободой, выбрать такую вспомогательную, задачу, к которой можно применить какой-либо способ быстрого вычисления. Для этого удобно иметь вспомогательную задачу в односвязной области правильной формы:.в прямоугольнике, бесконечной полосе, на поверхности тела вращения и т.д. Однако для некоторых уравнений и систем решение вспомогательной задачи, которую можно было бы поставить в таких областях, не существует или не единственно. Эта проблема возникает в таких практически важных случаях, как, например, внешние задачи обтекания, задачи упругости и др. В таких случаях приходится искать возможность приближенного вычисления ИГУ путем использования "неточной", во удобной для вычислений вспомогательной задачи, зависящей от параметров. Причем зависимость должна быть такой, чтобы при гт)*мленив параметров к пределу, мы, не теряя удобства вычислений, получали ИГУ близкие х точным ИГУ с заданной точностью в интересующей вас норме.
Наследуемые в данной работе способы приближенного построения ИГУ как раз позволяют использовать удобную для вычислений вспомо-
гательную задачу и, тем самым, не просто ускоряют процесс вычисления ИГУ, а расширяют класс краевых задач, Для которых на практике возможно построение нелокальных ИГУ.
Таким образом, актуальность данной работы определяется актуальностью самой проблемы построения ИГУ для решения различных задач математической физики, а также возможностью эффективного .практического использования новых результатов, .полученных в данной работе и имеющих довольно общий характер, выходящий за рамки конкретных, задач.
Цель работы. Целью настоящей работы является исследование и по
лучение более глубокого понимания механизмов и характерных особен
ностей некоторых новых способов построения ИГУ, опирающихся на ис
пользование МРП. В рамках достижения этой пели ставятся следующие
задачи: изучение и обоснование способа построения ИГУ, предложенного
В.С.Рябенькии и С.В.Пынковым для задач обтекания; создание и реали
зация алгоритма построения ИГУ для внешней краевой задачи ва плос
кости, которая вне расчетной подобласти описывается уравнением Гель-
мгольца со стратификацией; построение ИГУ-для задачи, которая по
ставлена на сфере и вне расчетной подобластв описывается разностным
аналогом уравнения Бельтрами; исследование зависимости полученных
ИГУ от различных-параметров. -
Научная новизна. В работе впервые предложен и реализован алгоритм построения точных ИГУ для внешней краевой задачи на плоскости, которая вне расчетной подобласти описывается уравнением Гельмголь- -па со .стратификацией. При этом указан способ выделения единственного решения, удовлетворяющего требуемым условиям излучения Зоммер-фельда. Этот способ для задачи в разностной постановке позволяет использовать принцип предельного поглощения* только на аналитическом уровне, так что в вычислениях малый параметр не участвует. Впервые " проведено математически-строгое исследование н-обоснование ва модельном примере способа построения ИГУ, предложенного В.СРябенькии и С.В.Цынковым для задач обтекания. Получены соответствующие оценки точности исследуемых ИГУ. Построены ИГУ для задачи, которая поставлена на сфере в вне расчетной подобластв описывается разностным аналогом уравнения Бельтрами. При этом предложен а обоснован некоторый новый способ, который делает возможным н эффективным использование МРП для этой пели. Построение этих ИГУ может рассматривл і ?.«» п
качестве срішера для некоторых других задач, поставленных на многообразиях, в частности, на поверхностях тел вращения.
Практическая в научная значимость работы. Практическая и научная значимость работы определяется решением общих вычислительных вопросов, относящихся к проблеме построения ИГУ. Исследование новых способов построения ИГУ, проведенное в данной работе, позволяет строить ИГУ на искуственной границе достаточно произвольной формы для более широкого класса задач, чем прежле, и тем самым расширяет возможности численного исследования физических процессов. В результате работы получены теоретические оценки точности приближенных ИГУ и расширена область применения метода разностных потенциалов.
На зашиту выносятся:
1. Вопросы теоретического исследования и обоснования на модельном
примере метода построения ИГУ, предложенного З.С.Рябеньким и
С.В.Пынховым для задач обтекания:
(а) зависимость точности получаемых приближенных ИГУ от ве
личины периода, вводимого в исходную задачу,.
(б) зависимость точности получаемых приближенных ИГУ от ве
личины малого параметра, вводимого в исходную задачу.
2. Алгоритм построения ИГУ для плоской задачи, которая вне расчет
ной подобласти описывается разностным аналогом уравнения Гель-
мгольца в стратифицированной среде; способ учета условий излуче
ния Зоммерфельда для этой задачи.
3. Способ и алгоритм построения ИГУ для задачи, поставленной на по-
' верхности тела вращения и вне расчетной подобласти описываемой
.разностным аналогом уравнения Ееяьтрами; теоретическая оценка
точности полученных приближенных ИГУ.
4. Результаты численного исследования зависимости ИГУ, построен-
. ных рассматриваемыми способами, от различных параметров.
Апробация работы. Основные результаты докладывались на VIII Всероссийской конференции памяти К.И.Бабенко в 1990 г., на Международной конференции Optimization of Finite Uement Approximations (OFEA - 95) в 1995 г., на научном семинаре в Икстатуте математического моаелирования РАН ж 1997 г. *
Публикации. Проведенные в данной работе исследования п полученные результаты опубликованы в 7 работах (публикации |1-7] по списку).
Структура и объем работы. Диссертация состоит аз введения и трех глад. Первая глава содержит три параграфа, вторая — три параграфа, третья — четыре параграфа. Общий объем диссертации составляет 109 страниц, m нпх 4 страншда занимают таблицы и рисункп, а 3 страшщы — список литературы, который содержит 25 наименований.
