Введение к работе
Актуальность. Большое число задач физики и техники приводит к дифференциальным уравнениям, содержащим малый параметр в виде множителя при старших производных, — так называемым сингулярно возмущенным уравнениям. Структура решений достаточно широкого класса сингулярно возмущенных задач изучена с помощью асимптотических методов в работах А.Н. Тихонова, М.И. Вишика, Л.А. Лю-стерника, А.Б. Васильевой, В.Ф. Бутузова, В. Базова и др. Хорошо известно, что если параметр при старших производных є —> 0, то решения рассматриваемых в настоящей диссертации сингулярно возмущенных краевых и начально-краевых задач сходятся во внутренних точках области к решению вырожденной задачи (є = 0), и при малых є неиспользованные в вырожденной задаче граничные условия приводят к образованию в окрестности точек границы, где заданы эти условия, так называемых пограничных слоев, где решение исходной задачи быстро меняется, а его производные не являются ограниченными равномерно по параметру.
Это приводит к тому, что точность классических численных методов, не учитывающих наличие в задаче малого параметра, зависит не только от шага сетки, но и от значения параметра, а точнее от соотношения шага сетки и параметра. Поэтому при малых значениях параметра для достижения хорошей точности приходится использовать сетки с очень большим числом узлов. Численное же решение, найденное на не слишком мелкой сетке, как правило, не имеет ничего общего с решением исходной задачи.
В связи с этим для сингулярно возмущенных задач разрабатываются специальные, так называемые равномерно по параметру сходя-
щиеся численные методы, точность которых зависит лишь от числа узлов и не зависит от значения параметра. Здесь можно выделить два основных подхода: а) методы экпотенциальной подгонки коэффициентов разностного уравнения (работа A.M. Ильина, монография Е. Ду-лана, Дж. Миллера, У. Шилдерса, работы Р.Б. Келлога и А. Цзань, Ю.П. Боглаева и А.А. Станиловского и цитированная там литература) и примыкающие к ним проекционно-сеточные методы, использующие в качестве базисных кусочно-экспотенциальные финитные функции, (см., например, работы М. Стайнза и Е. О'Риордана); б) специальным образом сгущающиеся в пограничных слоях сетки (работы Н.С. Бахвалова, В.Д. Лисейкина, Н.Н. Яненко, И.А. Блатова, Г.И. Шишкина).
Г.И. Шишкиным для достижения равномерной по параметру при старших производных сходимости предложено использовать сгущающиеся в пограничных слоях кусочно-равномерные сетки. В частности, сетка на отрезке [0,1], сгущающаяся в окрестности точки х — 0, имеет вид
ЄІ = {хі\ хі = ih, і — 0,...,п;
Xi = xn + (г — n)H, і = n + 1,.. .,N; (1)
h=5/n, H=(l-8)/(N~n), S = mm(CslnN,A)}.
Число 7i мелких и число (JV — п) крупных шагов сетки одинаковы по порядку, параметр С определяется коэффициентами уравнения, а число А Є (0,1) произвольно. Г.И. Шишкиным для широкого класса сингулярно возмущенных задач установлена равномерная по параметру сходимость разностных схем на сгущающихся в пограничных слоях кусочно-равномерных сетках, но с порядком не выше единицы. Это объясняется используемым математическим аппаратом доказательства сходимости (принцип максимума для разностных уравнений). Чтобы
удовлетворить принципу максимума, дифференциальные уравнения, содержащие члены с первыми производными аппроксимируются трехточечными разностными схемами с односторонней аппроксимацией первых производных — схемами первого порядка. Соответственно и установленный порядок сходимости таких схем не выше единицы.
Таким образом, несмотря на наличие большого количества работ в области численных методов сингулярно возмущенных задач, некоторые важные вопросы остаются нерассмотренными. В частности, кажется целесообразным исследовать на сетках, подобных (1), классические разностные схемы второго порядка аппроксимации и с помощью более тонких методов (математический аппарат функций Грина) получить равномерные по параметру оценки сходимости этих схем.
Целью данной диссертации является исследование разностных схем с точки зрения их применимости для решения сингулярно возмущенных краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка, вырождающиеся в дифференциальные уравнения первого порядка, начально-краевых задач для параболических уравнений с одной пространственной переменной, и двумерных эллиптических краевых задач и обоснование равномерной относительно параметра при старших производных сходимости этих схем на сгущающихся сетках в смысле сеточной нормы L^.
Научная новизна диссертации заключается в следующем:
-— Для сингулярно возмущенного обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка, вырождающегося в дифференциальное уравнение первого порядка, установлено, что трехточечная разностная схема с центрально-разностной аппроксимацией первой производной и четырехточечная схема с четырехточечной несимметричной (направленной) аппроксимацией первой производной на сгущающейся в
пограничном слое кусочно-равномерной сетке имеют равномерную по малому параметру точность 0(Лг~21п2 N), где N — число узлов сетки.
Для одномерного нестационарного уравнения конвекции-диффузии установлено, что двухслойная разностная схема с весом а > 0.5 на сгущающейся в пограничном слое сетке сходится равномерно по малому параметру в смысле сеточной нормы L^ со скоростью 0(Лг~21п2 N + (ст — 0.5)7- + г2), где N — число узлов сетки по пространству, т — шаг по времени.
Для сингулярно возмущенного эллиптического уравнения второго порядка в полосе с условиями периодичности по одной из переменных (у) установлено, что разностная схема с центрально-разностной аппроксимацией первой производной на сгущающейся в пограничном слое сетке сходится равномерно по малому параметру в смысле сеточной нормы L^ со скоростью О ((Л7-2 In2 N + N~2)y/lnN), где N и N — число узлов по направлениям хну соответственно.
Теоретическая и практическая ценность. Описанные в диссертации результаты имеют теоретическую направленность. Применение для получения априорных оценок сеточных решений сингулярно возмущенных задач математического аппарата функций Грина имеет целью дальнейшее его развитие в направлении исследования задач с большим числом независимых переменных. С помощью вышеуказанной техники получены равномерные по параметру оценки скорости сходимости разностных схем на сгущающихся сетках.
Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка цитированной литературы, содержащего 43 названия.
Методологическую основу диссертации составляют работы А.А. Самарского, Г.И. Шишкина, М.И. Вишика и Л.А. Люстерника.
Апробация. Результаты диссертации докладовались и обсужда-
лись на следующих конференциях:
Международная конференция " Оптимизация конечно-элементных аппроксимаций" (Ленинград, июнь 1995 г.)
Конференция "Современные проблемы математики и механики" посвященная 175-летию П.Л. Чебышева (Москва, май 1996 г.)
Международная конференция студентов и аспирантов "Ленинские горы-95" (апрель 1995 г.)
— Конференция аспирантов и студентов МГУ (апрель 1993 г.)
По результатам диссертации автором опубликовано пять работ.
Благодарности. Автор глубоко признателен профессору В.Б. Ан
дрееву за постоянное внимание к работе и полезные обсуждения.
