Введение к работе
Актуальность темы диссертации. Одной из основных проблем современной вычислительной математики является разработка быстрых и экономичных методов решения задач математической физики. Задача построения новых эффективных алгоритмов особенно важна при решении уравнений газовой динамики и гидродинамики, разностная аппроксимация которых приводит к необ-, ходимости решать большие системы нелинейных алгебраических уравнений, что требует значительных затрат машинных ресурсов.
При математическом моделировании задач подобного класса
в вычислительной практике широко используются методы, ос
нованные на применении адаптивных сеток. В настоящее
время существует несколько подходов к решению этой проб
лемы. Разработке и исследованию вычислительных методов адап
тивного тина посвящены работы А.А.Самарского, С.К.Годунова,
А.В.Забродина, Г.И.Марчука, В.В.Шайдурова, Е.В.Ворожцова,
Н.Н.Яненко, П.Н.Вабищевича, В.И.Мажукина и многих других
авторов. Необходимость построения и исследования разностных
схем на адаптивно-времепных сетках для задач газовой динамики
с особенностями обусловлена ограничениями па временной шаг
т (т < Tt, где т/с — h/c,h - шаг по пространству, с— скорость звука)
в области нерегулярности решения. Актуальность разработки
указанных методов для уравнений гидродинамики, заданных на
произвольном связном графе, вызвана наличием в гидравлической
сети, как линий резкого изменения параметров течения, где ес
тественно использовать "мелкие" временные шаги, так и линий с
медленно меняющимися параметрами, где шаг г можно увеличить.
Связь работы с крупными научными программами. Исследования проводились в соответствии с темой "Построение и исследование вычислительных методов для задач газовой динамики и гидродинамики" (Постановление Президиума АН Беларуси от 5 декабря 1990 года №116), включенной на 1991-1995 гг. в план НИР, выполняемой отделом численного моделирования Института математики АН Беларуси, а также в соответствии с договорами с Фондом фундаментальных исследований Республики Беларусь №Ф 7-105 от 3 ноября 1992 г. по теме "Вычислительные методы для нелинейных задач гидродинамики на адаптивных сетках" и №Ф 94-1G7 от 31 января 1995 г. по теме "Разностные схемы
для эволюционных задач на динамических локально-сгущающихся сетках".
Цель и задачи исследования. Целью диссертационной работы является разработка и теоретическое обоснование вычислительных методов на адаптивно-временных сетках для задач газовой динамики и гидродинамики, а также дальнейшее, развитие теории разностных схем с переменными весовыми множителями применительно к системам гиперболических уравнений.
Научная новизна полученных результатов. Новизна предлагаемых методов заключается в том, что они позволяют использовать в каждой расчетной области свой временной шаг и при этом удовлетворяют требованиям безусловной устойчивости и сходимости. В теоретическом плане новизна полученных результатов заключается в дальнейшем развитии теории устойчивости разностных схем с переменными весовыми множителями для систем гиперболических уравнений. С точки зрения математического моделирования в данной диссертации предложены и исследованы два подхода определения области адаптации.
Практическая значимость полученных результатов. Полученные теоретические результаты могут быть использованы при исследовании вопросов устойчивости и сходимости других вычислительных методов, относящихся к классу разностных схем с переменными весовыми множителями. С помощью разработанных в диссертации вычислительных алгоритмов на адаптивно-временных сетках было проведено моделирование задач о поршне и распаде произвольного разрыва, а также моделирование процесса запуска и остановки насоса в гидроприводе вентилятора охлаждения двигателя.
Экономическая значимость. Оценить экономический эффект от разработанных в диссертации вычислительных методов на данном этапе не представляется возможным.
Основные положения диссертации выносимые на защиту:
I. Для двухслойных разностных схем с онераторно-весовыми множителями получены достаточные условия устойчивости по начальным данным и в специальных нормах по правой части. Исследования проведены в предположении, что весовые операторы не являются коммутирующими и Липшиц-непрерывными по переменной t.
И. Получены безусловные оценки, точности разностных схем с переменными весовыми множителями для гиперболических систем уравнений перо ого порядка.
-
Построены и исследованы, два класса разностных схем (Koncej>-вативпые и педивергептппые) на адаптивно-временных сетках для уравнений газовой динамики в переменных Лаграпжа и системы уравнений слабосжимасмой жидкости, определенной на конечном связном графе. Предложены достаточно простые критерии автоматического нахождения областей нерегулярности решения.
-
Па основе разработанных алгоритмов проведено численное моделирование процесса запуска насоса в гидроприводе вентилятора охлаждения двигателя.
Личный вклад соискателя.
Основные результаты, приведенные в выносимой на защиту диссертационной работе, получены автором лично. Из совместно опубликованных работ н диссертацию вошли результаты, полученные лично автором, а также результаты, полученные на паритетных началах с соавторами.
Апробация результатов диссертации. Материалы диссертации докладывались на VI конференции математиков Беларуси (Гродно, 1992), математической конференции "Еругинские чтения II (Гродно, 1995), Международной конференции "Автоматизация и проектирование дискретных систем" (Минск, 1995), а также на научных семинарах в Институте математики АНБ и Белгосунивер-ситете.
Опубликованность результатов. По теме диссертации опубликовано 8 работ.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, общей характеристики работы, четырех глав, выводов и списка использованных источников, содержащего 121 наименование. Работа изложена на 103 страницах машинописного текста и содержит 29 рисунков.
